解析一元二次方程的应用面积问题
（32-x)(20-x)=540， 整理，得
x2-52x+100=0. 解得x1=2,x2=50(不合题意，舍去）. 答：道路宽为2m.
拓展提升
如图是长方形鸡场的平面示意图,一边靠墙,另外 三边用竹篱笆围成,且竹篱笆的总长为35米． ①若所围的面积为150m2,试求长方形鸡场的长和宽； ②如果墙长为18m，则①中长方形鸡场的长和宽分 别是多少？ ③能围成面积为160m2的长方形鸡场吗?请说明理由
一元二次方程的应用 图形面积问题
自主学习(P51)
动脑筋题目中利用什么列出的等量关系?
合作交流
动脑筋 如图，在一长为40cm,宽为28cm的矩
形铁皮的四周截去四个全等的小正方形后，折
成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体形盒
子的底面积为364cm2.求小正方形的边长是多
少?
40cm
设小正方形的边长是xcm.
28cm
“折” ！
28-2x
40-2x
xcm xcm
合作探究
例1：某校为了美化校园,准备在一块长32米, 宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的 道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计, 现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根 据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽 分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
（3(22)-x)米
(3 2x)2 ( 0x)540
化简得：x25x2100
解之得：x12,x2 5（0不合题中的平移
草小草 地路地
生活中的平移
草 小草 地 路地
生活中的平移
草
草
地小
地
路
分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2
解:如图,设道路的宽为x米，则
(2)
3 2 2 0 3 2 x 2 0 x x 2 5 4 0
化简得，x252x1000,
x12,x2 50
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
答：所求道路的宽为2米。
例1 如图，在长为32m、宽为20m的矩形地面
上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下 部分种上草坪．要使草坪的面积为540m 2 ，求 道路的宽 ．
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为x米，由题意得：
(3 2 2 x)2 ( 0 2 x) 540
化简得：
x22x62 50
(1)
解得
x11,x2 25（不合题意，舍去）
答：图(1)中道路的宽为1米.
(2)
利用图形的平移把纵、横两条路平移
“移” ！
(20-x)米
(2)
解：设路宽为x米，由题意得：
“围” ！
课堂小结
本节课的收获：我想说......
常见的图形有下列几种： 常用方法：平移法、割补法。
知识回顾
说出下列图形的面积与体积公式：
1.长方形面积= 长×宽 2.正方形面积= 边长×边长 3.梯形面积= (上底+下底)×高÷2=中位线×高 4.正方体体积= 边长×边长×边长 5.长方体体积= 长×宽×高
24.4一元二次方程的应用第1课时面积问题-冀教版九年级数学上册课件
邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.
x
分析：
封面
26
封面
x 18.5 1 18.5 x x
解：设正方形的边长为xcm，由题得 （26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260 整理，得x2+32x-68=0 解得，x1 2, x2 34（不合题意，舍去） 正方形的边长为 2cm.
2.如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角
修建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行）， 余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽.
方法一：
十字相 乘法
解得x1 2, x2 50（不合题意，舍去）
例2.如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修
建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行），余 下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽度.
90
2 2
x
m
由题意得，x 90 2 x 700 2
方法二：设长方形与墙垂直的边为xm,则另一边为(90+2-2x)m
x·(90+2-2x)=700
例1.(变式三)如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形
的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m）.存车处内修两条铁栏杆
（如图所示），另外三面也用铁栏杆围起来，已知铁栅栏共90m.如
冀教版九上
第二十四章 一元二次方程
24.4一元二次方程的应用 第一课时 面积问题
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
冀教版九上
学习目标
01能根据面积公式列一元二次方程解决实际问题， 并能根据问题的实际意义检验结果的合理性.
一元二次方程解决面积问题
一元二次方程解决面积问题面积问题在数学中广泛存在，而解决这类问题时，一元二次方程是一个重要的工具。
一元二次方程是一个带有一个未知数的二次方程，通常写作ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a不等于0。
当涉及到面积问题时，我们可以利用一元二次方程来求解。
例如，考虑一个长方形的问题：给定长方形的宽度x，其长度为（3x + 4）。
我们希望求解这个长方形的面积。
首先，我们需要确定长方形的面积公式。
长方形的面积等于长度乘以宽度，即A = x(3x + 4)。
然后，我们将这个面积公式转化为一个一元二次方程。
展开表达式，我们得到A = 3x² + 4x。
现在，我们要解决的问题是找到一个x的值，使得面积A达到最大或最小。
我们可以利用一元二次方程的特性来求解这个问题。
一元二次方程的图像是一个抛物线，对于正系数a，抛物线开口向上。
因此，当a大于0时，抛物线的最小值出现在顶点处。
通过求解一元二次方程的顶点，我们可以找到长方形的最大或最小面积。
一元二次方程的顶点的x坐标由公式x = -b/2a给出。
对于我们的长方形问题，a = 3，b= 4，所以x = -4/(2*3)。
计算得出x = -2/3。
将这个值代入原方程，我们可以计算出面积A的最小值或最大值。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程来解决长方形的面积问题。
一元二次方程在解决面积问题以及其他数学问题中具有广泛的应用。
通过灵活运用一元二次方程的特性，我们能够解决各种各样的面积问题。
九年级数学一元二次方程的应用之面积问题
一元二次方程应用一、同步知识梳理列方程解应用题的步骤及注意的问题：（1）设未知数和做答时，单位要写清楚。
（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致。
（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉。
（4）对于求得的方程的解，还要看它是否有实际意义。
因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性。
二、同步题型分析题型一：面积问题——判断清楚要设什么是关键例1、如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x＝7644 B．（100－x）（80－x）＋x2＝7644C．（100－x）（80－x）＝7644 D．100x＋80x＝356例2、某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x－10）＝200 B．2x＋2（x－10）＝200C．2x＋2（x＋10）＝200 D．x（x＋10）＝200点评：本题考查列一元二次方程；由实际问题转化成几何图形，再根据长方形的面积公式得到一元二次方程是解决本题的基本思路，难度较小。
例3、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD。
求该矩形草坪BC边的长。
例4、图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是cm3。
变式训练1．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m。
若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）。
504m，道路宽应为多少？2.在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为23．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽。
24.4.1运用一元二次方程解决图形面积问题
利用一元二次方程解决图形问题
【例1】如图，某学校要在校园内墙边
的空地上建一个矩形的存车处，存车 处的一面靠墙（墙长22米），另外三 面用90米长的铁栅栏围起来．如果这 个存车处的面积为700平方米．求这 个矩形存车处的长和宽．
举一反三训练
1.〈2015，保定模拟〉在Rt△ABC中，∠B为直角，AB ＝6 cm，BC＝12 cm，动点P以每秒1 cm的速度匀速 自A点沿AB方向移动，同时点Q以每秒2 cm匀速自B 点沿BC方向移动，则( C )秒后△PQB的面积等于
员？
(1)设增长率为x， 根据题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．
答：月平均增长率为10%. (2)6月份的投递任务为：12.1×(1＋0.1)＝13.31 (万件)． ∵13.31÷0.6≈22.18(名)，
∴现有的21名快递投递业务员不能完成任务，至少需
利润 ×100% 进价（或成本）
折扣数 ＝折扣后价格，如原价1 000元，打5.5折，现价550元． 10
谢谢
本题(2)属于典型的增长率问题，这类问题的等量关系 均为：原量×(1＋增长率)增长次数＝增加后的量，或原量
×(1－减少率)减少次数＝减少后的量．
举一反三训练
2．〈2015，湖南长沙〉现代互联网技术的广泛应用，催 生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月 份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件． 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公 司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快 递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
一元二次方程应用 面积问题问题
实践收入 翻一翻，那么这两年中财政 收 入 的 平均年 增长率 应 是多少？翻二翻， 翻三翻呢？翻n翻呢？列 出方程即可
问题2： 某服装厂花1200元购进一批服 装，按40% 的利润定价，无人购买，决定 打折出售，但仍无人购买，结果又一次打 折才售完，经结算，这批服装共赢利280 元，若两次打折相同，每次打了几折？列 出方程即可
2.设体积为S，则S= (10-2x)2
3.折合成的长方体体积不随截去的正方 形的边长的增大而 增大，有最大值。
4.设体积为V，则V=x(10-2x)2
1、现有长方体塑料片一块，19cm, 宽15cm,给你锋利小刀一把，粘胶、 直尺、你能做一个底面积为77cm2 的无盖的长方体水槽吗？说说 你是 怎样做的？
D 1000(1+x)2=2500
2 某厂一月份的产值为10万元,第 一季度的总产值为70万元,设平均 每月的增长率为X,根据题意列出方 程是( C )
A 10(1-x) 2=70
B 10(1+x)+10(1+x)2=70
C 10+10(1+x)+10(1+x)2=70
D 10(1+x)2=70
例2、某药品经两次降价， 零售价为原来的一半。已知 两次降价的百分率一样，求 每次降价的百分率。（精确 到0.1℅）
C 1+2x=2
D (1+x)+2(1+x)2=4
例2，市场经济不仅让我们走上富裕之路， 而且让我们科学的经营方法，个体户张 某 原计划按600元每套销售一批西服，但 上市后销售不佳，为使资金正常运转， 减少库存积压，张某将这批西服连续两 次降价处理，调整价格到了384元，如两 次降价率相同，求每次降价率为多少？ 两次打折 标示多少折？
九年级数学一元二次方程的应用之面积问题(解答版)
A B CD16米草坪 一元二次方程应用一、同步知识梳理列方程解应用题的步骤及注意的问题： （1）设未知数和做答时，单位要写清楚。
（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致。
（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉。
（4）对于求得的方程的解，还要看它是否有实际意义。
因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性。
二、同步题型分析题型一：面积问题判断清楚要设什么是关键例1、如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．100×80－100x －80x ＝7644B ．（100－x ）（80－x ）＋x 2＝7644C ．（100－x ）（80－x ）＝7644D ．100x ＋80x ＝356答案：C例2、兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．x （x －10）＝200B ．2x ＋2（x －10）＝200C ．2x ＋2（x ＋10）＝200D ．x （x ＋10）＝200解析：矩形草坪的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则长为（x ＋10）米，由矩形草坪的面积为200平方米，可列方程为x （x ＋10）＝200。
故选D 。
点评：本题考查列一元二次方程；由实际问题转化成几何图形，再根据长方形的面积公式得到一元二次方程是解决本题的基本思路，难度较小。
例3、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长。
解：设BC 边的长为x 米，根据题意得321202xx-=， 解得：121220x x ==，， ∵20＞16， ∴220x =不合题意，舍去答：该矩形草坪BC 边的长为12米。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？