离散数学(chapter5)
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离散数学 (5)
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 注意: 题目中没给个体域, 解 注意 题目中没给个体域 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数 G(y): y为负数 L(x,y): x>y 为正数, 为负数, 为正数 为负数 →y(G(y)→L(x,y))) 或 x(F(x)→ → → xy(F(x)∧G(y)→L(x,y)) ∧ → 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数 G(y): y是有理数 是无理数, 是有理数, 是无理数 是有理数 L(x,y):x>y : ∧y(G(y)∧L(x,y))) x(F(x)∧ ∧ ∧ 或 xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) ∧ ∧ 两者等值
6
谓词: 谓词 表示个体词的性质或相互之间关系的词 谓词常项: 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词 F: …是人,F(a):a是人 是人, 是人 : 是人 是自然数, G: …是自然数, F(2):2是自然数 是自然数 : 是自然数 谓词变项: 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词 F: …具有性质 ,F(x):x具有性质 具有性质F, 具有性质具有性质 : 具有性质 元数: 元数:谓词中所包含的个体变项个数 一元谓词: 一元谓词 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词 ≥ 元谓词, 多元谓词 元谓词 n≥2): 表示个体词之间的关系 有关系L, 如 L(x,y): x与y有关系 , L(x,y): x比y高2厘米 : 与 有关系 : 比 高 厘米 注意:多元谓词中, 注意:多元谓词中,个体变项的顺序不能随意改动
9
例1(续) 续
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 在命题逻辑中, 是有理数. 在命题逻辑中 设 p: 2 是无理数,q: 33 : 2是无理数, : 是有理数 符号化为 q→p, 这是假命题 → 在一阶逻辑中, x是无理数 是无理数, x是有理 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 F ( ( 22 ) → G (3 )3 ) F ) → G( (3) 如果 如果2>3,则3<4 , 在命题逻辑中, 在命题逻辑中 设 p:2>3,q:3<4. : , : 符号化为 p→q, 这是真命题 → 在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y):x>y,G(x,y):x<y, : , : 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
离散数学第五章
• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
离散数学第5讲PPT课件
() A. GH B. HG C. H => G D. G => H 4、设Ａ，Ｂ为任意命题公式，Ｃ为重言式，若Ａ∧ＣＢ∧Ｃ，那么Ａ Ｂ是_________式（重言式、矛盾式或可满足式）。 5、 命题公式（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ的主合取范式为______，主析取范式为 _______。 6、化简下式：
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第二章 命题逻辑等值演算
等值演算法求解主析取范式的方法和步骤：
（1）化为析取范式A；
∨ רP （2）对A中的简单合取项补入没有出现的命题变元 ，即合取上（P
）
式，然后应用分配律展开；
（3） 将析取式A中重复出现的合取项和相同的变元合并；
（4）除去析取范式中所有永假的合取项；
第2页/共31页
解：因为主析取范式是由所有的取值为1的极小项析取构成，而 成真赋值所对应的即为极小项的编码，所以主析取范式为：
m0∨m3∨ m6
同理，主合取范式为：M1 ∧ M2 ∧ M4 ∧ M5 ∧ M7
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第二章 命题逻辑等值演算
2、判断公式的类型： 设公式A中含有n个命题变项，则：
（1）A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项。 （2）A为矛盾式 A的主析取范式不含任何极小项 ，记A的主析取范式为 0。 （3）A为可满足式 A的主析取范式至少含一个极小项 。
第二章 命题逻辑等值演算
以上六种情况对应公式分别为：
①(רp∧רq) ∧((רp∧רr)∨(p∧r)) ∧(רp∧r) …①
② (רp∧רq) ∧(p∧רr)∧((p∧r)∨(רp∧ רr)) …②
③
((רp∧q)∨(p∧רq))∧(רp∧r)∧(רp∧r)רp∧q
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第二章 命题逻辑等值演算
等值演算法求解主析取范式的方法和步骤：
（1）化为析取范式A；
∨ רP （2）对A中的简单合取项补入没有出现的命题变元 ，即合取上（P
）
式，然后应用分配律展开；
（3） 将析取式A中重复出现的合取项和相同的变元合并；
（4）除去析取范式中所有永假的合取项；
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解：因为主析取范式是由所有的取值为1的极小项析取构成，而 成真赋值所对应的即为极小项的编码，所以主析取范式为：
m0∨m3∨ m6
同理，主合取范式为：M1 ∧ M2 ∧ M4 ∧ M5 ∧ M7
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第二章 命题逻辑等值演算
2、判断公式的类型： 设公式A中含有n个命题变项，则：
（1）A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项。 （2）A为矛盾式 A的主析取范式不含任何极小项 ，记A的主析取范式为 0。 （3）A为可满足式 A的主析取范式至少含一个极小项 。
第二章 命题逻辑等值演算
以上六种情况对应公式分别为：
①(רp∧רq) ∧((רp∧רr)∨(p∧r)) ∧(רp∧r) …①
② (רp∧רq) ∧(p∧רr)∧((p∧r)∨(רp∧ רr)) …②
③
((רp∧q)∨(p∧רq))∧(רp∧r)∧(רp∧r)רp∧q
赵洪銮《离散数学》第五章3-4节
证明：因为<S, *>是半群。对于b∈S，由*的封闭性，
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i， 所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下： 对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不 相同。 咋证呢？
12
3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。 因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。 由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。 例如： ？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i， 所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下： 对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不 相同。 咋证呢？
12
3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。 因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。 由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。 例如： ？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*
离散数学课件(第5章)
的概率。
02
条件概率的性质
条件概率具有可交换性、可结合性、可分解性和归一性等性质。
03
条件概率的计算公式
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立性
事件的独立性
如果两个事件之间没有相互影响， 即一个事件的发生不影响另一个 事件的发生，则这两个事件是独
要点二
详细描述
关系的并运算是指两个关系的并集，表示两个关系中都存 在的关联；关系的交运算是指两个关系的交集，表示同时 存在于两个关系的关联；关系的差运算是指两个关系的差 集，表示存在于一个关系但不存在的关联；关系的逆运算 是指一个关系的逆关系，表示元素之间的关联方向相反。 这些运算可以用来对关系进行操作和变换，以得到所需的 关系。
路径与回路
总结词
路径是指一系列节点和边的有序集合，而回 路是指路径中至少有一条边是有向的。
详细描述
路径是指从图中的一个节点出发，经过一系 列的边和节点，最后回到起始节点或有终止 节点的一条路径。在路径中，所有的边都是 无向的。而回路则是指至少有一条边是有向 的路径，即起点和终点相同的路径。在图论 中，回路的概念非常重要，因为许多问题可
立的。
独立性的性质
独立性具有传递性、对称性和可 分解性等性质。
独立性的计算公式
如果事件A和事件B是独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B)，即两个独立 事件的概率乘积等于它们各自的
概率。
05
离散随机过程
随机变量
定义
分类
随机变量是定义在样本空间上的可测函数 ，它将样本点映射到实数轴上。
离散随机变量和连续随机变量。
离散数学第五章习题答案
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。
首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。
其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。
证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。
由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。
离散数学第5章 代数结构
1
代数的概念与方法是研究计算机工程与科学的主要工具之 一.例如,要构作一个现象或过程的数学模型,就需要某种数 学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一；又如描述 机器可计算的函数,研究算术计算的复杂性,刻划抽象数据 结构,以及作为程序设计语言的语义学基础和编码理论等等, 也都需要代数结构的知识.因此,我们有必要掌握它的重要 概念和基本方法. 本章提供了代数结构的基础知识, 它们在组合计数、编码 理论、形式语言与自动机理论等学科中都发挥了重要作用.
所以*不满足交换律.
9
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
（4）设单位元为 e ( a , b ) ,则对x , y Q ,应满足
( a , b ) ( x , y ) ( ax , ay b ) ( x , y ) ,
( a , b ) (1,0 ) , 即 (1,0) 为左单位元； 可以验证 (1,0 ) 也是右单位元, 故单位元为e (1,0 ) ；
例 (*, ◦, ) 是独异点, 而(+, ◦)不是.
13
备注 ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构 中的代数常数可以不止一个, 也可以没有代数 常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是 两个不同的代数结构. 我们可以将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算).
8
（3）结合律: [( a , b ) ( c , d )] ( e , f ) (ac, ad b) (e, f )
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
(ace, acf ad b) ,
(a , b) [(c, d ) (e, f )] ( a , b ) ( ce , cf d ) (ace, acf ad b) ,
代数的概念与方法是研究计算机工程与科学的主要工具之 一.例如,要构作一个现象或过程的数学模型,就需要某种数 学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一；又如描述 机器可计算的函数,研究算术计算的复杂性,刻划抽象数据 结构,以及作为程序设计语言的语义学基础和编码理论等等, 也都需要代数结构的知识.因此,我们有必要掌握它的重要 概念和基本方法. 本章提供了代数结构的基础知识, 它们在组合计数、编码 理论、形式语言与自动机理论等学科中都发挥了重要作用.
所以*不满足交换律.
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(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
（4）设单位元为 e ( a , b ) ,则对x , y Q ,应满足
( a , b ) ( x , y ) ( ax , ay b ) ( x , y ) ,
( a , b ) (1,0 ) , 即 (1,0) 为左单位元； 可以验证 (1,0 ) 也是右单位元, 故单位元为e (1,0 ) ；
例 (*, ◦, ) 是独异点, 而(+, ◦)不是.
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备注 ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构 中的代数常数可以不止一个, 也可以没有代数 常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是 两个不同的代数结构. 我们可以将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算).
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（3）结合律: [( a , b ) ( c , d )] ( e , f ) (ac, ad b) (e, f )
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
(ace, acf ad b) ,
(a , b) [(c, d ) (e, f )] ( a , b ) ( ce , cf d ) (ace, acf ad b) ,
离散数学导论(盘) 教学课件 作者 王元元 张桂芸 第五章演示文稿-支持高清浏览
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定理5.17
设R是集合A上任一二元关系，那么 1 如果R是自反的，那么s(R)和t(R)都是自反的。 2 如果R是对称的，那么r(R)和t(R)都是对称的。 3 如果R是传递的，那么r(R)是传递的。
第五章 关
系2. 关系
4.
关系特性闭包
定理5.18
4 称A为R的前域，B为R的陪域。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.2 关系的基本运算
定义5.6
称关系R和S相等，如果R与S有相同的
前域和陪域，并且 x y(xRy xSy)
定义5.7
设R是A到B的关系，R的逆关系或逆 （converse
是B到A的关系，记为R~， 规定为 R~= ｛<y,x> xRy｝
如果R为A上的自反、对称、传递的二元 关系。
第五章 关
系3. 等价关系
1.
等价关系
定义5.12
设R为集合A上的等价关系。对每一a A，
a的等价类（equivalent class），记为[a]R
（或简单地记为[a]），指下列集合
[a]R=｛x x A∧xRa｝ a称为[a]R的代表元素。
第五章 关
特性之一，则R1 R2仍有此性质。 2 自反、反自反、对称性对并运算封闭。 3 反自反、对称、反对称性对差运算封闭。 4 对称性对补运算封闭。 5 五大特性对求逆运算均封闭。 6 自反性对合成运算封闭，其他四大特性对合成运算
均不封闭。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定义5.10
设R是集合A上二元关系，称R "为R的自反闭包 （对称闭包，传递闭包），如果R"满足： （1）R"是自反（对称的，传递的）。 （2）R R"。 （3）对任意A上关系R"" ，若R""满足（1）和（2）
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2013-7-16 离散数学 ◆ 万姐 21
§5.1 二元运算及其性质
例3：设 是实数集R上的二元运算，对 x, yR有 x y = x + y – 2xy ，说明 运算是否为可交换的、
可结合的、幂等的，然后确定关于 运算的幺元、
零元和所有可逆元素的逆元。 解：由x x = x + x – 2x2 = 2x – 2x2， 要使 x x = x，只有x = 0或1/2， 不满足对 xR都有x x = x， 于是： 运算不是幂等的；
二元运算 的唯一幺元。
证明： 由el 是左幺元有：el er = er ， 由er 是右幺元有：el er = el ，
于是有： er = el ，记er = el = e
又设S上有幺元e'，则有： e' = e' e = e， 于是e是S上关于二元运算 的唯一幺元。
2013-7-16
n个
2013-7-16
离散数学 ◆ 万姐
5
§5.1 二元运算及其性质
n元运算通常用符号 , , • , …来表示。 如： f : N N N，对 x, yN ， f (<x, y>) = x + y 可简记为 (x, y) = x + y 或x y = x + y。 g : N N，f (x) = y 可简记为 (x) = y。
(4) S为任意集合，P(S)为其幂集，则∪,∩, , 都 是P(S)上的二元运算。 (5) S为集合， SS是S上的所有函数的集合，则合成 运算 是SS上的二元运算。
n元运算：设S为集合，n为正整数，则函数
f : S S … S S称为S上的一个n元运算， 简称为n元运算。
如：自然数集上的加法运算无零元，乘法运算的零元
是0，幂集P(S)上的∪运算的零元是S，∩运算的 零元是。
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§5.1 二元运算及其性质
设l ,r 分别是S上关于二元运算的左零 定理2 元和右零元，则有 l = r = ，且 是S上 关于二元运算 的唯一零元。 （证明过程与定理1类似）
1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 2
解：关于 的幺元是2，零元是1，1无逆元， 2的逆元是2，3的逆元是3。
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§5.1 二元运算及其性质
例3：设 是实数集R上的二元运算，对 x, yR有 x y = x + y – 2xy ，说明 运算是否为可交换的、
的所有元素进行某种运算后，运算结果仍 在S中，则称集合S对该运算封闭。 验证运算是否为集合S上的二元运算，首先需要 如：集合Z对加、减、乘法封闭，但对除法不封闭。 验证集合S对该运算的封闭性。
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§5.1 二元运算及其性质
常见二元运算：
(1) 设f : N N N，f (<x, y>) = x + y，则f 是集合
< Mn(R), +, •, , E >，< P(S),∪,∩, ~ , , S>。
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§5.2 代数系统及其子代数
二、子代数系统的概念
子代数系统：设V = < S, f1, f2, … , fk >是代数系统，
B S且B ，如果B对f1, f2, … , fk都是封闭
都有(x y) z = x (y z)，则称运算 在S上 是可结合的。 如：Z上的减法不满足结合律。幂集P(S)上的∪,∩, 满足结合律。
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§5.1 二元运算及其性质
3、幂等律：设 是S上的二元运算，若对 xS都 有x x = x，则称运算 适合幂等律。
离 散 数 学
第五章 代数系统的一般性 质
§5.1 二元运算及其性质 §5.2 代数系统及其子代数
§5.3 代数系统的同态与同构
§5.1 二元运算及其性质
一、二元运算的概念
二元运算：设S为集合，函数f : S S S称为S上 的一个二元运算，简称为二元运算。
集合对运算的封闭性：给定集合S ，如果对集合上
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§5.1 二元运算及其性质
例3：设 是实数集R上的二元运算，对 x, yR有 x y = x + y – 2xy ，说明 运算是否为可交换的、
可结合的、幂等的，然后确定关于 运算的幺元、
零元和所有可逆元素的逆元。 解：设e 和 分别是幺元和零元， 即对 xR，有x + e – 2xe = x 和 x + – 2x = ， 解得e = 0 和 = 1/2， 则x 对 xR，设y是x的逆元， + y – 2xy = 0 解得y = x/(2x –1)，其中x 1/2。
…
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…
… an an
…
7
§5.1 二元运算及其性质
例1：设S ={1, 2, 3, 4}，定义S上的二元运算如下： x y = (xy) mod 5， x, yS。
求 的运算表。
1 2 3 4 1 1
2 3 4
2 2
4 1 3
3 3
1 4 2
4 4
3 2 1
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§5.1 二元运算及其性质
2、左零元（右零元）：设 是S上的二元运算， 若存在元素l (或r)S，使得对 xS都有
l x = l (或x r = r)，则称l (或r)是S
中关于运算 的一个左零元（或右零元）。 若 S关于运算 既是左零元又是右零元， 则称 为S上关于运算 的零元。
则称y是x 的逆元，并记为x –1。
如：整数集中元素x 的加法逆元是- x，只有1和-1分别
有乘法逆元1和-1，其他元素无乘法逆元。
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§5.1 二元运算及其性质
设运算为S上可结合的二元运算， e是 的 定理3 幺元，对于 xS，若存在左逆元yl 和右逆 元yr ，则有yl = yr = y，且y是x 的唯一逆元。 证明：由yl 是x 的左逆元有：yl x = e， 由yr 是x 的右逆元有：x yr = e，
则：yl = yl e = yl (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr ， 又设x有逆元y'，则有： y' = y' e = y' (x y ) = (y' x) y = e y = y， 于是yl = yr = y是S上x关于运算 的唯一逆元。
也即是 S中的所有元素都是幂等元。
如：幂集P(S)上的∪,∩运算适合幂等律，但 运算 不适合幂等律。
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§5.1 二元运算及其性质
4、分配律：设 和 是S上的两个二元运算，若对 x, y, z S都有x (y z) = (x y) (x z)
解：关于的幺元是1，无零元， 1的逆元是1， 2的逆元是3，3的逆元是2。
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§5.1 二元运算及其性质
例2：设S ={1, 2, 3}，S上定义的二元运算 和 如表 所示，试指出S中关于 和 存在的特殊元。
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
可结合的、幂等的，然后确定关于 运算的幺元、
零元和所有可逆元素的逆元。 解：由x y = x + y – 2xy 和 y x = y + x – 2yx 得： 运算是可交换的； 由(x y) z = x + y + z – 2xy – 2xz – 2yz + 4xyz 和x (y z) = x + y + z – 2xy – 2xz – 2yz + 4xyz 得： 运算是可结合的；
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§5.1 二元运算及其性质
例2：设S ={1, 2, 3}，S上定义的二元运算 和 如表 所示，试指出S中关于 和 存在的特殊元。
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 2
§5.1 二元运算及其性质
有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出。
a1 a2 an
…
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(ai ) (a1) (a2) (an)
…
a1 a1 a1 a1 a2 a2 a1 an an a1
…
a2 … an a1 a2 … a1 an a2 a2 … a2 an an a2
若eS关于运算 既是左幺元又是右幺元， 则称e为S上关于运算 的幺元。 如：自然数集上的加法运算的幺元是0，乘法运算的 幺元是1，幂集P(S)上的∪运算和 运算的幺元 是，∩运算的幺元是S。
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§5.1 二元运算及其性质
设el ,er 分别是S上关于二元运算的左幺元 定理1 和右幺元，则有el = er = e，且e是S上关于
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§5.1 二元运算及其性质
二、二元运算的性质
1、交换律：设 是S上的二元运算，若对 x, yS都
有x y = y x，则称运算 在S上是可交换的。 如：Z上的加法满足交换律，但减法不满足交换律。 幂集P(S)上的∪,∩, 满足交换律。 2、结合律：设 是S上的二元运算，若对 x, y, z S
§5.1 二元运算及其性质
例3：设 是实数集R上的二元运算，对 x, yR有 x y = x + y – 2xy ，说明 运算是否为可交换的、
可结合的、幂等的，然后确定关于 运算的幺元、
零元和所有可逆元素的逆元。 解：由x x = x + x – 2x2 = 2x – 2x2， 要使 x x = x，只有x = 0或1/2， 不满足对 xR都有x x = x， 于是： 运算不是幂等的；
二元运算 的唯一幺元。
证明： 由el 是左幺元有：el er = er ， 由er 是右幺元有：el er = el ，
于是有： er = el ，记er = el = e
又设S上有幺元e'，则有： e' = e' e = e， 于是e是S上关于二元运算 的唯一幺元。
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n个
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§5.1 二元运算及其性质
n元运算通常用符号 , , • , …来表示。 如： f : N N N，对 x, yN ， f (<x, y>) = x + y 可简记为 (x, y) = x + y 或x y = x + y。 g : N N，f (x) = y 可简记为 (x) = y。
(4) S为任意集合，P(S)为其幂集，则∪,∩, , 都 是P(S)上的二元运算。 (5) S为集合， SS是S上的所有函数的集合，则合成 运算 是SS上的二元运算。
n元运算：设S为集合，n为正整数，则函数
f : S S … S S称为S上的一个n元运算， 简称为n元运算。
如：自然数集上的加法运算无零元，乘法运算的零元
是0，幂集P(S)上的∪运算的零元是S，∩运算的 零元是。
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§5.1 二元运算及其性质
设l ,r 分别是S上关于二元运算的左零 定理2 元和右零元，则有 l = r = ，且 是S上 关于二元运算 的唯一零元。 （证明过程与定理1类似）
1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 2
解：关于 的幺元是2，零元是1，1无逆元， 2的逆元是2，3的逆元是3。
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§5.1 二元运算及其性质
例3：设 是实数集R上的二元运算，对 x, yR有 x y = x + y – 2xy ，说明 运算是否为可交换的、
的所有元素进行某种运算后，运算结果仍 在S中，则称集合S对该运算封闭。 验证运算是否为集合S上的二元运算，首先需要 如：集合Z对加、减、乘法封闭，但对除法不封闭。 验证集合S对该运算的封闭性。
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§5.1 二元运算及其性质
常见二元运算：
(1) 设f : N N N，f (<x, y>) = x + y，则f 是集合
< Mn(R), +, •, , E >，< P(S),∪,∩, ~ , , S>。
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§5.2 代数系统及其子代数
二、子代数系统的概念
子代数系统：设V = < S, f1, f2, … , fk >是代数系统，
B S且B ，如果B对f1, f2, … , fk都是封闭
都有(x y) z = x (y z)，则称运算 在S上 是可结合的。 如：Z上的减法不满足结合律。幂集P(S)上的∪,∩, 满足结合律。
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§5.1 二元运算及其性质
3、幂等律：设 是S上的二元运算，若对 xS都 有x x = x，则称运算 适合幂等律。
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第五章 代数系统的一般性 质
§5.1 二元运算及其性质 §5.2 代数系统及其子代数
§5.3 代数系统的同态与同构
§5.1 二元运算及其性质
一、二元运算的概念
二元运算：设S为集合，函数f : S S S称为S上 的一个二元运算，简称为二元运算。
集合对运算的封闭性：给定集合S ，如果对集合上
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§5.1 二元运算及其性质
例3：设 是实数集R上的二元运算，对 x, yR有 x y = x + y – 2xy ，说明 运算是否为可交换的、
可结合的、幂等的，然后确定关于 运算的幺元、
零元和所有可逆元素的逆元。 解：设e 和 分别是幺元和零元， 即对 xR，有x + e – 2xe = x 和 x + – 2x = ， 解得e = 0 和 = 1/2， 则x 对 xR，设y是x的逆元， + y – 2xy = 0 解得y = x/(2x –1)，其中x 1/2。
…
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…
… an an
…
7
§5.1 二元运算及其性质
例1：设S ={1, 2, 3, 4}，定义S上的二元运算如下： x y = (xy) mod 5， x, yS。
求 的运算表。
1 2 3 4 1 1
2 3 4
2 2
4 1 3
3 3
1 4 2
4 4
3 2 1
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§5.1 二元运算及其性质
2、左零元（右零元）：设 是S上的二元运算， 若存在元素l (或r)S，使得对 xS都有
l x = l (或x r = r)，则称l (或r)是S
中关于运算 的一个左零元（或右零元）。 若 S关于运算 既是左零元又是右零元， 则称 为S上关于运算 的零元。
则称y是x 的逆元，并记为x –1。
如：整数集中元素x 的加法逆元是- x，只有1和-1分别
有乘法逆元1和-1，其他元素无乘法逆元。
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§5.1 二元运算及其性质
设运算为S上可结合的二元运算， e是 的 定理3 幺元，对于 xS，若存在左逆元yl 和右逆 元yr ，则有yl = yr = y，且y是x 的唯一逆元。 证明：由yl 是x 的左逆元有：yl x = e， 由yr 是x 的右逆元有：x yr = e，
则：yl = yl e = yl (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr ， 又设x有逆元y'，则有： y' = y' e = y' (x y ) = (y' x) y = e y = y， 于是yl = yr = y是S上x关于运算 的唯一逆元。
也即是 S中的所有元素都是幂等元。
如：幂集P(S)上的∪,∩运算适合幂等律，但 运算 不适合幂等律。
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4、分配律：设 和 是S上的两个二元运算，若对 x, y, z S都有x (y z) = (x y) (x z)
解：关于的幺元是1，无零元， 1的逆元是1， 2的逆元是3，3的逆元是2。
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§5.1 二元运算及其性质
例2：设S ={1, 2, 3}，S上定义的二元运算 和 如表 所示，试指出S中关于 和 存在的特殊元。
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
可结合的、幂等的，然后确定关于 运算的幺元、
零元和所有可逆元素的逆元。 解：由x y = x + y – 2xy 和 y x = y + x – 2yx 得： 运算是可交换的； 由(x y) z = x + y + z – 2xy – 2xz – 2yz + 4xyz 和x (y z) = x + y + z – 2xy – 2xz – 2yz + 4xyz 得： 运算是可结合的；
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§5.1 二元运算及其性质
例2：设S ={1, 2, 3}，S上定义的二元运算 和 如表 所示，试指出S中关于 和 存在的特殊元。
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 2
§5.1 二元运算及其性质
有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出。
a1 a2 an
…
2013-7-16
(ai ) (a1) (a2) (an)
…
a1 a1 a1 a1 a2 a2 a1 an an a1
…
a2 … an a1 a2 … a1 an a2 a2 … a2 an an a2
若eS关于运算 既是左幺元又是右幺元， 则称e为S上关于运算 的幺元。 如：自然数集上的加法运算的幺元是0，乘法运算的 幺元是1，幂集P(S)上的∪运算和 运算的幺元 是，∩运算的幺元是S。
2013-7-16 离散数学 ◆ 万姐 13
§5.1 二元运算及其性质
设el ,er 分别是S上关于二元运算的左幺元 定理1 和右幺元，则有el = er = e，且e是S上关于
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§5.1 二元运算及其性质
二、二元运算的性质
1、交换律：设 是S上的二元运算，若对 x, yS都
有x y = y x，则称运算 在S上是可交换的。 如：Z上的加法满足交换律，但减法不满足交换律。 幂集P(S)上的∪,∩, 满足交换律。 2、结合律：设 是S上的二元运算，若对 x, y, z S