总体均值的置信区间知识讲解
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
平均值的置信区间
平均值的置信区间什么是置信区间？统计学家经常必须从样本数据推断总体数据的特征。
在这个过程中，一个单独的样本本身代表的是总体的一部分，因此不能仅仅依靠简单地描述样本来了解总体。
这就是置信区间的意义所在。
置信区间是总体平均值的一个估计值，因此是样本平均值的范围。
平均值的置信区间是一种用来估计某个总体参数范围的工具。
换句话说，它是一个实数区间，可能包含某个待估计参数的真实值。
例如，如果我们根据样本数据计算出来的平均值是12，那么我们可能会使用置信区间来推断总体平均值的真实值（假设总体符合正态分布）。
这个置信区间告诉我们，在一定置信度下，总体平均值可能位于某个范围内，例如11至13之间。
在置信区间的范围内，我们可以以某一个概率推测待估计参数的真实值。
但是，由于我们只能够进行样本数据的抽样，因此我们无法知道总体的真实情况，也无法肯定某个置信区间是否覆盖了总体真实值。
因此，置信区间只是一个通过样本数据估计总体数据的工具，不能对总体答案的正确性做出绝对保证。
置信区间的理论基础置信区间的关键是$t$分布。
$t$分布是概率论和统计学中的一个重要分布。
在统计推断中，为计算总体平均值的置信区间而被广泛使用。
$t$分布是由William S. Gossett发明的，是在样本量较小、总体标准差未知的情況下针对总体平均值的推断所采用的一种概率分布。
当样本容量较少时，总体标准差通常被视为不知道。
此时，如果使用普通的$z$分布进行推断，则推断的误差非常大。
而当样本容量较大时，通常可以将总体标准差视为已知。
这时，我们可以使用$z$分布进行推断。
但是，如果我们无法确认总体标准差，却需要进行总体平均值的推断，那么我们就可以使用$t$分布。
$t$分布与正态分布不同，它没有一个固定的标准差。
相反，它的标准差是根据样本数据中的方差估计得出的。
与正态分布相比，$t$分布的曲线更高、更平，它的尾部比正态分布更粗、更长。
在样本容量较小（小于30）时，$t$分布对总体平均值的估计要比正态分布更准确。
工业分析技术专业《知识点7 平均值的置信区间》
平均值的置信区间
由正态分布得知，只要其真值μ和标准偏差σ，便可以期望
测量值会以一定概率落在μ值附近的一个区间内。
反之，当μ未知时，也可期望测量值以一定概率包含在值附近的一个区间内。
将以测定结果为中心，包含μ值在内的可靠性范围称为置信
区间。
真实值落在这一范围的概率，称为置信度或置信水准。
曲线上各点纵坐标表示误差出现的频率，曲线与横坐标从
-∞到∞之间所包围的面积表示具有各种大小误差的测定值出现的概率的总和，设为100%。
1置信区间公式
由数学统计计算可知，真实值落在μ±σ、μ±2σ 和μ±3σ 的
概率分别为%、%和%。
也就是说，在1000次的测定中，只有三次测量值的误差大于±3σ 。
在屡次测定求得平均值后，可得μ与关系：
s 为标准偏差，n 为测定次数，t 为选定某一置信度下的概率
系数，可以通过查表得到。
2有限次测量时置信区间公式
两个概念：
置信度P —在某一t 值时，测定值落在μ±ts 范围以内的概率。
显著性水准α—在某一t 值时，测量值落在μ±ts 范围以外的
概率α=1-P
n
s t x f ,αμ±=
在一定置信度下，增加平行测定次数可使置信区间缩小，说明测量的平均值接近总体平均值。
t值表t: 某一置信度下的几率系数。
总体均值征值的区间-概述说明以及解释
总体均值征值的区间-概述说明以及解释1.引言1.1 概述总体均值征值的区间是指在统计学中，通过对样本数据进行分析，得出总体均值的一个范围估计。
总体均值征值的区间通常用来解决样本数据较多、总体方差未知的情况下，对总体均值进行推断性的统计量。
在实际问题中，我们往往无法完全获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
为了对总体的特征进行推断，我们需要借助样本数据来进行分析和估计。
总体均值征值的区间就是在这个背景下提出的一种统计方法。
总体均值征值的区间可以通过统计分布或抽样分布的理论知识来进行计算。
常用的方法有置信区间的估计和假设检验等。
在进行总体均值征值的区间估计时，一般会考虑到样本均值、样本标准差、样本容量等。
总体均值征值的区间估计在实践中具有广泛的应用，例如在医学研究中用于估计药物的疗效，工程领域中用于估计产品的质量指标等。
通过总体均值征值的区间估计，我们可以更加准确地了解总体的特征，并作出相应的决策或推断。
本文将通过对总体均值征值的区间的介绍和计算方法的详细解析，探讨其在实际问题中的应用和研究意义。
在正文部分，将分别介绍置信区间的估计和假设检验两种常用方法，并结合实际例子进行说明。
最后，通过总结要点和研究意义的归纳，对总体均值征值的区间进行深入的分析和思考。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包含以下内容：在本文中，我们将按照以下结构来展开讨论总体均值征值的区间。
首先，在引言部分中，我们将概述本文的主要内容并介绍文章的目的。
接着，我们将进入正文部分，在第一个要点中探讨总体均值征值的概念及其重要性。
我们将详细介绍总体均值征值的计算方法以及应用场景，并提供相关的案例分析。
接着，在第二个要点中，我们将深入研究总体均值征值的区间估计方法。
我们将介绍常用的置信区间估计方法，并讨论其优缺点以及适用条件。
我们还将介绍一些现代统计技术和方法，在实际应用中如何进行总体均值征值的区间估计。
最后，在结论部分，我们将对本文进行总结，概括文章的要点，并探讨研究总体均值征值的区间估计的研究意义和实际应用前景。
6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差 µ1 − µ 2的置信区间
2 σ1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 σ2
3. 小结
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为 第一个总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 , Y1 ,Y2 ,⋯,Yn 为第二
要点回顾
无偏性 1. 估计量的评选的三个标准 有效性 相合性 2. 置信区间是一个随机区 (θ , θ ), 它覆盖未知参 间 ( 数具有预先给定的概率置信水平) , 即对于任
意的θ ∈Θ, 有 P{θ < θ < θ } ≥ 1−α. 求置信区间的一般步骤(分三步 分三步). 求置信区间的一般步骤 分三步
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（ 计
工人 操作 机器人 操作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00
2 σ1 , 由 X , Y 的独立性及 X ~ N µ1 , n1 2 2 σ1 σ 2 , + 可知 X − Y ~ N µ1 − µ 2 , n1 n2
2 σ2 , Y ~ N µ2 , n2
或
( X − Y ) − (µ1 − µ 2 ) ~ N (0, 1),
2 s1 s12 1 1 2 , 2 s F (6,7) s F (6,7) = ( 2.87,46.81). 0.95 2 2 0.05
这个区间的下限大于1，在实际中， 这个区间的下限大于 ，在实际中，我们就认为
置信区间表示
置信区间表示置信区间表示是一种在统计学中使用的重要概念，它用于描述一组数据的真实值可能落在哪些范围内。
在现实世界中，我们无法完全确定一组数据的真实值，因此必须依靠置信区间来描述数据的不确定性和可靠性。
接下来，我将详细介绍置信区间表示的相关概念和应用。
一、置信区间的概念置信区间是指一个包括某个总体参数的区间，这个区间由样本统计量确定，其形式为“点估计值±误差范围”。
常见的置信区间有95%置信区间和99%置信区间，其中95%置信区间表示如果我们重复随机从总体中抽取一个样本并计算95%置信区间，那么约有95%的置信区间会包含总体参数的真实值。
二、置信区间的计算方法计算置信区间时，需要明确总体参数的类型以及样本量和样本统计量的类型。
对于总体参数的类型，可以分为两类：均值型和比例型。
对于样本量和样本统计量的类型，则可以分为大样本和小样本两种情况。
对于均值型总体参数和大样本，可以使用标准正态分布表计算置信区间。
未知均值的样本方差可以用样本方差代替总体方差进行计算。
在此基础上，95%置信区间的计算公式为：置信区间 = 样本均值± 1.96 × 标准误其中，样本均值表示样本的平均值；标准误表示标准差与样本量的开方之比；1.96表示标准正态分布表中的值，对于99%置信区间而言，应当使用2.57进行计算。
对于比例型总体参数和大样本，可以使用正态分布表计算置信区间。
在样本量较大的情况下，二项分布可以近似为正态分布。
在此基础上，95%置信区间的计算公式为：置信区间 = 样本比例± 1.96 × 标准误其中，样本比例表示样本中的比例；标准误表示标准差与样本量的开方之比；1.96表示正态分布表中的值，对于99%置信区间而言，应当使用2.57进行计算。
对于小样本和均值型总体参数，可以使用t分布表计算置信区间。
在此情况下，样本方差不能代替总体方差进行计算。
在此基础下，95%置信区间的计算公式为：置信区间 = 样本均值± t分布表中95%置信水平对应的t值× 标准误其中，t值根据样本量和置信区间来调整；标准误的计算与大样本情况相同。
置信区间公式表
置信区间公式表 在统计学中，置信区间是用来估计一个参数或者变量真实值的范围。
置信区间公式表则是用来计算这些置信区间的具体公式的总结。
本文将介绍常见的统计参数和对应的置信区间计算公式，以及实际举例说明，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、均值的置信区间公式1.总体均值的置信区间公式（大样本）当总体标准差已知时，总体均值的置信区间公式为： 置信区间 = 样本均值 ± Z分数 *（总体标准差 / 根号下样本容量）2.总体均值的置信区间公式（小样本）当总体标准差未知时，总体均值的置信区间公式为： 置信区间 = 样本均值 ± t分数 *（样本标准差 / 根号下样本容量） 举例说明：假设某地的成年人平均身高是170厘米，现在随机抽取了50名成年人，测得的样本平均身高是168厘米，样本标准差为3厘米。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如95%），这个样本的置信区间为166.4厘米至169.6厘米。
二、比例的置信区间公式总体比例的置信区间公式为： 置信区间 = 样本比例 ± Z分数 * 根号下（（样本比例 *（1 - 样本比例））/ 样本容量） 举例说明：某商品在一个网上商城上的购买成功率为0.65。
现在随机抽取了300个订单，其中成功购买的数量为200个。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如90%），这个样本的置信区间为0.616至0.684。
三、方差的置信区间公式总体方差的置信区间公式为： 置信区间 = （（n - 1） * 样本方差） / X^2分数（α/2，n - 1）至（（n - 1） * 样本方差） / X^2分数（1 - α/2，n - 1） 举例说明：假设某批产品的重量服从正态分布，我们随机抽取了12个产品，测得的样本方差为9。
根据上述公式，我们可以计算出给定置信水平下（例如99%），这个样本的置信区间为5.77至27.44。
置信区间公式表是统计学中一个重要的工具，可以帮助我们了解样本估计值的真实范围。
总体均值的置信区间
利用置信区间进行假设检验步骤
构造置信区间
首先根据样本数据构造出总体 均值的置信区间。
计算p值
为了进一步量化检验结果，可 以计算p值，即观察到的样本结 果或更极端结果出现的概率。
判断原假设是否成立
如果置信区间完全位于原假设 的拒绝域内，则可以拒绝原假 设；否则，不能拒绝原假设。
中心极限定理
即使原始数据不服从正态分布，只要 样本量足够大，样本均值的分布也会 趋近于正态分布，从而可以使用Z分 布法。
小样本情况下构建方法
t分布法
当样本量较小且总体方差未知时，样本均值的分布将服从t分布。此时，可以使用t分布法来构建总体 均值的置信区间。
Welch修正
当两个样本的方差不同或样本量不相等时，可以使用Welch修正的t检验来构建总体均值的置信区间。
样本量增加到一定程度后，置信区间收窄速度减缓
当样本量已经足够大时，再增加样本量对置信区间宽度的减小作用将变得有限。
如何确定合适样本量
根据预期效应大小确定样本量
考虑可接受的误差范围
如果预期效应较大，则所需样本量相对较 小；反之，如果预期效应较小，则需要更 大的样本量来检测这种效应。
在确定样本量时，还需要考虑可接受的误 差范围。较小的误差范围需要更大的样本 量来保证估计的精度。
总体均值估计方法
点估计
点估计是用样本统计量直接作为总体参数的估计值，例如用样本均值估计总体 均值。
区间估计
区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数的一个估计区间，即置信区间。 通过构造合适的统计量，并利用抽样分布理论，可以确定置信区间的上下限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xXx;pPP
2020/6/21
17
（三）抽样误差的概率度
基于概率估计的要求，抽样极限误差通 常需要以抽样平均误差为标准单位来衡量。
极限误差除以抽样平均误差得到的相对 数称为概率度。用Z表示。
（四）抽样估计的置信度
指样本指标与总体指标误差不超过一定 范围的概率保证程度。抽样误差的概率就是 概率度Z的函数，即：
N
.3
2
.1 0
1
234
2020/6/21
11
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
2020/6/21
12
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个
第二个观察值
观察值 1
2
3
4
1 1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0
P(x)
3
2
1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
x
样本均值的抽样分布
2020/6/21
13
所有样本均值的均值和方差
n
xiM 1xi 1.01.51 64.02.5
n
(xi x)2
2 i1 x
M
(1.02.5)2
(4.02.5)2
2
0.625
16
n
式中：M为样本数目 比较及结论：
总体均值的置信区间
第一节 抽样调查
一、抽样调查的概念及特点
1.概念
（1）抽样调查：从所研究的总体中抽出 一部分单位，作为样本进行观察研究，以认 识总体的数量特征一种统计方法。
（2）抽样估计：根据样本分布的原理、 利用样本资料提供的信息对总体的某些数量 特征进行科学的估计或推断。
2020/6/21
2
2020/6/21
8
（二）抽误误差的影响因素
1.样本容量:即样本单位数 2.总体差异程度 3.抽样方法 4.抽样组织形式
2020/6/21
9
二、抽样平均误差
（一）抽样平均误差的概念
所有可能样本的估计值与相应总体参数 的标准差，反映样本估计值与其中心的平均 离散程度。
（二）抽样平均误差的计算公式
(ˆ)
3
三、抽样调查的几个基本概念
1.总体和样本
（1）总体 总体单位的总数称为总体容量（用N表示）。
（2）样本 从总体中抽取来代表总体的部分总体单位所
构成的整体。 样本单位的总数称为样本容量（用n表示）。 种类：大样本 小样本
2020/6/21
4
2.总体参数和样本指标
（1）总体参数（总体指标）
如 （或记为 X ）、P、 等。
P(xXZ(x))F(Z)
2020/6/21
18
Z / 2 1; F (Z / 2 ) 68.27%; Z / 2 1.96; F (Z / 2 ) 95%; Z / 2 2; F (Z / 2 ) 95.45%; Z / 2 3; F (Z / 2 ) 99.73%
2020/6/21
（2）样本指标（估计量或样本统计量）
如 x 、p、s 等。
3.重复抽样和不重复抽样
（1）重复抽样（回置抽样） （2）不重复抽样（不回置抽样）
2020/6/21
5
4.概率抽样与非概率抽样
（1）概率抽样
基本的组织方式有：整群抽样、分层抽样、 等距抽样、简单随机抽样。
（2）非概率抽样
根据调查者的经验或判断，从总体中有意 识的抽取若干单位构成样本。如典型调查、重 点调查、方便（偶遇）抽样等。
2020/6/21
6单框架。
（2）形式：
◆名单抽样筐——列出全部总体单位的名录一览 表。如企业名单、居民名单、学生名单；
◆区域抽样筐——按地理位置将总体范围划分为 若干小区域，以小区域为抽样单位；
◆时间表抽样筐——将总体全部单位按照时间顺 序排列，把总体的时间过程分为若干小的时间单 位，以时间单位为抽样单位。如检测流水线上的 产品质量时以1分钟为一个抽样单位。
2020/6/21
7
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念
（一）抽样误差的性质
1.抽样误差
由于随机抽样的偶然因素使各单位的结构不足
以代表总体的结构而引起抽样指标与总体指标间
的绝对离差。
2.抽样调查中误差的来源
(1)登记性误差:可避免
(2)代表性误差 系统误差:非随机、可避免
随机性误差：可计算、控制
抽样估计中所指的误差主要指随机误差。
n
(2)不重复抽样
(p)P (1P )(N n)P (1P )(1n)
n N 1
nN
例：从40000件产品中随机抽取200件进
行检查，结果有10件不合格。求合格率的抽
样平均误差？
2020/6/21
16
三、抽样极限误差
（一）概念
又称允许误差。指样本指标与总体指标 之间产生抽样误差被允许的最大可能范围。
(ˆ)2
M(样本个数)
2020/6/21
10
样本均值的抽样分布
（一个例子）
【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数
N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的 均值、方差及分布如下:
均值和方差
总体分布
N
Xi
i1 2.5
N
N
(Xi )2
2 i1
1.25
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
2020/6/21
14
1.抽样平均数的平均误差
(1)重复抽样
(x) 2
nn
(2)不重复抽样
(x) 2(Nn) 2(1n)
n N1 n N
2020/6/21
15
2.抽样成数的平均误差
(1)重复抽样
(p) P(1 P)
2.特点 （1）根据部分实际资料对全部总体的数量特征 作出估计； （2）按随机原则从全部总体中抽取样本单位； （3）抽样误差可以事先计算并加以控制；
二、抽样调查的作用
1.对不可能进行全面调查现象进行抽样估计； 2.抽样调查可以节省人力物力，提高调查的经 济效益，又能够节省时间，提高调查的实效性。
2020/6/21
19
第三节 简单随机抽样估计的方法
一、抽样估计的优良标准
同一个总体参数有多个样本估计量，究竟
哪一个才是最优估计量呢，常用以下三个标准
衡量：
1.无偏性：估计量的数学期望等于被估计