等差数列的判定与证明—中项公式法
高中数学专题-数列
高中数学专题-数列一、基础知识1.等差数列的定义与性质定义：1n n a a d+-=（d 为常数)，()11n a a n d=+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S nad+-==+性质：{}n a 是等差数列(1)若m n p q+=+，则m n p q a a a a +=+；(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；(3)若三个成等差数列，可设为a d a a d-+，，(4)若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=(5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数)nS 的最值可求二次函数2n S an bn=+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S ndS S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.(7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-na S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠)，11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =.前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！)性质：{}n a 是等比数列(1)若m n p q+=+，则m n p qa a a a =··(2)232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为nq .注意：由nS 求na 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二、等差数列和等比数列对比等差数列等比数列定义a n－a n－1＝常数(n≥2)a na n－1＝常数(n≥2)通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n≥1)⇔{a n}为等差数列(3)通项公式法：a n＝pn＋q(pq为常数)⇔{a n}为等差数列(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}为等差数列(5){a n}为等比数列，a n>0⇔{log a a n}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝a n·a n＋2(n≥1)(a n≠0)⇔{a n}为等比数列(3)通项公式法：a n＝c·q n(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}为等比数列(4){a n}为等差数列⇔{a an}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q特别：若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(2)a n＝a m＋(n－m)d(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列，即2(S2m－S m)＝S m+(S3m－S2m)(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q特别地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p.(2)a n＝a m q n－m(3)若等比数列前n项和为S n则S m，S2m－S m，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－S m)2＝S m(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．前n 项和S n＝n a1＋a n2＝na1＋n n－12d(1)q≠1，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q(2)q＝1，S n＝na1三、考点方法归纳考点一求数列的通项公式1.由a n与S n的关系求通项公式：由S n与a n的递推关系求a n的常用思路有：①利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n与前n项和S n的关系是a n S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合S n－S n－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合S n－S n－1，则用分段函数的形式表示。
高中数学_数列知识点汇总
必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d da a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数） ④前n项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数）2. 等差中项：b A a ,,成等差数列，A 称为b a 与的等差中项（其中b a 与为任意实数， A 存在且唯一），2b a A b a A +=⇔的等差中项与为即3. 等差数列性质：（1） 任两项关系：nm a a mn a a d n m m n --=--=（其中n m ≠）（2） 任两项关系：d m n a a m n )(-+=（其中n m ≠）（3） 是递增数列；数列}a {,0d n >是递减数列；数列}a {,0d n <是常数列数列}a {,0d n =。
（4） 两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112+-+=n n n a a a （其中n>1, n n n a a a +=2） k n k n n a a a +-+=2（其中n-k>0, n n n a a a +=2）特别若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,（5） {}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列)，则：①：k m a +、k m a 2+、k m a 3+、k m a 4+…成等差数列（其中k m ,为常数） ②：{}k a n +、{}n n b q a p ∙+∙为等差数列，(其中q p k ,,为常数)（6） 前n 项和性质：①：成等差数列,,,232k k k k k S S S S S --②：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。
中项定理公式 等差数列
中项定理公式等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
在等差数列中，我们常用中项定理来求解数列中的某一项，或者求解数列的和。
下面，我们将详细介绍中项定理的公式及其应用。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
我们用a1、d、an分别表示等差数列的首项、公差和第n项。
公差d 可以通过任意两项的差值计算得出，即d = an - a(n-1)。
等差数列的性质有：1. a(n) = a1 + (n-1)d，即第n项等于首项加上公差与n-1的乘积。
2. a(n) = a(m) + (n-m)d，即第n项等于第m项加上公差与n与m之间的差值的乘积。
3. a(n) = a(n-k) + kd，即第n项等于第n-k项加上公差与k的乘积。
二、中项定理的公式中项定理是等差数列中常用的一个公式，用于求解数列中的中项。
中项定理的公式如下：an = (a1 + a(n+1))/2其中，an表示等差数列的第n项，a1表示首项，a(n+1)表示第n+1项。
三、中项定理的应用举例为了更好地理解中项定理的应用，我们来看一个具体的例子。
例题：已知等差数列的首项是3，公差是5，求该等差数列的第10项。
解题思路：根据中项定理的公式，我们可以得到：a10 = (a1 + a11)/2其中，a1 = 3，a11 = a1 + (11-1)d = 3 + 10*5 = 53。
代入公式，得到：a10 = (3 + 53)/2 = 56/2 = 28因此，该等差数列的第10项是28。
四、等差数列的和除了可以利用中项定理求解等差数列的某一项外，我们还可以利用等差数列的和公式求解等差数列的和。
等差数列的和公式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和，n表示项数，a1表示首项，an表示第n项。
同样，我们用一个例子来说明等差数列的和公式的应用。
第一讲等差等比数列
第一讲 等差数列、等比数列一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d .3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质推广：(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1) ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．等差数列的单调性单调递增d ＞0 当01<a 时，n S 有最小值 单调递减 d<0 当01>a 时，n S 有最大值常数数列d=0三、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． 四、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n仍成等比数列，其公比为q n ；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍是等比数列． 等比数列的单调性单调递增 a 1＞0，q ＞1或者a 1＜0,0＜q ＜1 单调递减 a 1＞0,0＜q ＜1或者a 1＜0，q ＞1常数数列 a 1≠0，q ＝1摆动数列 q ＜0基础自测1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是 a n ＝________.2．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.3．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．考点一 等差、等比数列的基本运算例1、[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．1 2、（2013新课标全国Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3 ＝ a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19跟踪练习1．（2013安徽）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．22．[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二等差、等比数列的性质例 1.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．1762．[2014·广东卷] 等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．变式练习1、设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324(n＞6)，求数列{a n}的项数及a9＋a10.2、[2014·全国卷] 设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32 C．63 D．64考点三等差、等比数列的判断与证明要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．例1、[2014·全国卷] 数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．2、数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；②求数列{a n }的通项公式．。
第2讲 等差数列
知识归纳一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列．2．等差中项：如果三数a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.二、等差数列的通项公式等差数列{a n }的通项a n ＝a 1＋(n －1) d ＝a m ＋(n －m )d.推导方法：累加法a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. 三、等差数列的前n 项和公式 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d. 推导方法：倒序相加法． 四、用函数观点认识等差数列 1．a n ＝nd ＋(a 1－d)(一次函数)．2．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n(常数项为零的二次函数)．五、等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列，证明一个数列为等差数列，一般用定义法；(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)通项公式法：a n ＝kn ＋b(k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (5){a n }是等差数列⇔{S nn }是等差数列．六、等差数列的性质 1．下标和与项的和的关系在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋a n ；若2m ＝p ＋q ，则有 a p ＋a q ＝2a m ，(p ，q ，m ，n ∈N *)． 2．任意两项的关系在等差数列{a n }中，m 、n ∈N *，则a m －a n ＝(m －n)d 或a m ＝a n ＋(m －n)d 或a m －a nm －n＝d. 3．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md.等差数列的依次n 项和也构成一个等差数列，即S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，……第2讲 等差数列为等差数列，公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列．4．设等差数列{a n}的公差为d，那么(1)d>0⇔{a n}是递增数列，S n有最小值；d<0⇔{a n}是递减数列，S n有最大值；d＝0⇔{a n}是常数数列．(2)数列{λa n＋b}仍为等差数列，公差为λd.(3)若{b n}，{a n}都是等差数列，则{a n±b n}仍为等差数列．(4)项数为n的等差数列中，n为奇数时，S奇－S偶＝a n+12，S奇S偶＝n＋1n－1.S n＝na中＝na n+12.n为偶数时，S偶－S奇＝n2d.(5)若{a n}与{b n}为等差数列，且前n项和分别为S n与S′n，则a mb m＝S2m－1S′2m－1.误区警示1．用a n＝S n－S n－1求a n得到a n＝pn＋q时，只有检验了a1是否满足a n，才能确定其是否为等差数列，前n项和是不含常数项．．．．．的n的二次函数时，{a n}才是等差数列．2．在讨论等差数列{a n}的前n项和S n的最值时，不要忽视n是整数的条件及含0项的情形．3．如果p＋q＝2r(p、q、r∈N*)，则a p＋a q＝2a r，而不是a p＋a q＝a2r.方法技巧一、函数思想等差数列的通项是n的一次函数，前n项和是n的二次函数，故有关等差数列的前n项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．[例1]已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a5＝11，则a n＝__________.二、等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.[例2]有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数的和为12，求这四个数．典例讲练等差数列的通项已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8 D ．等差数列且公差为9①在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18②已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n }是等差数列，则a 11等于( )A.0B.16C.13D.12等差数列的前n 项和①等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66②设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn }的前n项和，求T n .①已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A. 12B ．1C ．2D ．3②已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6 B ．S 5<S 6 C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6等差数列性质的应用已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m>1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 为( ) A ．10 B ．19 C ．20D ．39①等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70D ．75②在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)等于( )A. 3 B ．－1 C ．1D.33有关等差数列的最值问题等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项的和最小？①若数列{a n }(n ∈N *)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值②已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21综合应用设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1、a 2、a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．①数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11②设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝ k ＝1nb k ，证明：S n <1.课堂巩固1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．452．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．53．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( ) A ．2n －3 B ．2n －1 C ．2n ＋1 D ．2n ＋34．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5.设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.136.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．187.已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10 B ．16 C ．20D ．248.已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6D ．49.设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( ) A ．22 B ．21 C ．20D ．1910.已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|＝A.1B.34C.12D.3811.已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m)y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( ) A.921 B.1021 C.1121D.202112.设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.13.已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：记A(m ，n)表示第m 行的第n 个数，则A(21,12)＝________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …14.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .15.已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( ) A ．－2或－3 B ．2或3 C ．－2 D ．316.已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P(1，a n )，点Q(2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．117.数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.18.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且 b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18B.13C.19D.31020．将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组． A ．30 B ．31 C ．32D ．3321．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．2057C ．1034D ．205822．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i<4?B ．i<5?C ．i≥5?D ．i<6?23．已知函数f(x)＝sinx ＋tanx.项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d≠0.若f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 27)＝0，则当k ＝______时，f(a k )＝0.24．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．25．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．1.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22D ．442．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．94．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为 A ．3 B ．－1 C ．2 D ．3或－15．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( ) A ．16 B ．11 C ．－11 D ．±116．在函数y ＝f(x)的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝2x ＋1B ．f(x)＝4x 2C ．f(x)＝log 3xD ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫34x7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b 2的值为________．8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 9．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …………2826那么10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f(x)＝3x 2－2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的第n 项和T n .11.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( )A.S 15a 15B.S 9a 9C.S 8a 8D.S 1a 113．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A.1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升14．若数列{x n }满足x n －x n －1＝d ，(n ∈N *，n≥2)，其中d 为常数，x 1＋x 2＋…＋x 20＝80，则x 5＋x 16＝________.15．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .。
等差数列的定义及通项公式
a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，
即 31＝10＋7d，∴d＝3.
∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5.
∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
求等差数列的通项公式①确定首项a1 和 公差d，需建立两个关于a1 和d 的方程，通过解含a1 与d 的方 程求得a1 与d 的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d 求解．
C．2n－1
D．2n＋1
解析：由已知2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，整理得a＝0，
∴a1＝－1，a2＝1，d＝a2－a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－3.
重点 等差数列的单调性及通项公式
(1)由等差数列的定义知 an＋1－an＝d， 当 d＞0 时， an＋1＞an 即{an}为递增数列； 当 d＝0 时，an＋1＝an 即{an}为常数列； 当 d＜0 时，an＋1＜an 即{an}为递减数列． (2)等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，等差数列任意的 两项间有 an＝ak＋(n－k)d，即 d＝ ann－－kak.
巩固练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ )
A. 1
B. -1
C.- 1
5
D.
3
11
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
提示： d=an+1- an=-4
难点 等差数列常见的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)； (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数 a、b、c 成等差 数列，一般利用等差中项证明 b＝a＋2 c； (3)通项公式为 n 的一次函数：an＝kn＋b(k、b 为常数)．
等差与等比数列的判定(第三讲)
当n 5时，Tn Sn 9n n2
当n 6时，
Tn a1 a2 a5 a6 an a1 a2 a5 a6 a7 an
Tn
9n n2 n2 9n 40
Sn 2S5
n2 9n 2 (20)
n2 9n 40
(n 5) (n 6)
③通项公式法：
a2 n1
an
an2
(an 0) an 为等比数列；
③通项公式法：
an kn b (k,b为常数) an 是等差数列
④前n 项和公式法：
an k q n (k, q为常数） an 为等比数列；
④前n 项和法：
Sn An 2 Bn ( A, B为常数) an 是等差数列 Sn k(1 qn ) （k, q为常数） an 为等比数列。
是以
S1
1 为首项，2 为公差的等差数列。
bn
Sn 2n 1
1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn 3
(1 3
1) 5
(1 2n 1
1 2n
1)
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
变式、数列 an 的前 n 项和 S n =2 an －1，数列 bn 满足：b1 3，bn1 an bn （n N ）
⑵： ①证明：当 n 2 时，
Sn2
an (Sn
1) 2
(Sn
Sn1 )(Sn
1) 2
所以 S n
S n1
1 2
(S n1
Sn )
即 1 1 2 S n S n1
②：由 ①得
1 1 (n 1) d 1 (n 1) 2 Sn S1 2n 1
所以
等差数列的判定与证明—中项公式法ppt课件
与
an1 an (n 2),
an an1 (pn q) [p(n 1) q]
pn q (pn p q)
p.
3
{a } 这是一个与 n 无关的常数，所以 是等差数列，公差是p.
在通项公式中令 n＝1，得
，所以这个
n
等差数列的首项是 p+q，公差是 p.
a1 p q
注：等差数列的通项公式可以表示为
个数． 【思路点拨】 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求 解． 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
5
化简得d2＝16，于是d＝±4， 故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2. (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列， ∴d>0，∴d＝1， 故所求的四个数依次为－2,0,2,4.
2
a pn q 例1．已知数列的通项公式为
，其中 p, q, 是
常数，且
， 那么这个数列是否一定是等n差数
p 0 列？如果是，其首项与公差是什么？
{a } 分析：由等差数列的定义，要判断 是不是等差数列，
只要看
是不是一个与n 无关的 n
常数就行了. a n a n1(n 2)
解：取数列
{a } 中的任意相邻两项 n
等差数列的判定与证明—中项公式法
1
等差中项的定义 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
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例题 2： (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四 个数． 【思路点拨】 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求 解． 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
总结：等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d； (2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d； (3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
等差中项的应用
1 1 1 例 3：已知 a 、b 、c 成等差数列．求证： ， ， b＋c c＋a a＋b 成等差数列． 1 2 2 2 2 2 2 解：∵a 、b 、c 成等差数列，∴b ＝2(a ＋c )． a＋c＋2b a＋c＋2b 1 1 ∴ ＋ ＝ ＝ b＋c a＋b b＋ca＋b ab＋bc＋ca＋b2 a＋c＋2b 2a＋c＋2b ＝ 1 2 2 ＝a＋c2b＋a＋c ab＋bc＋ca＋2a ＋c 2 ＝ . a＋c 1 1 1 ∴ ， ， 成等差数列． b＋c c＋a a＋b
例1．已知数列的通项公式为 ，其中 p, q, 是 n 常数，且 ， 那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？
a pn q
p0
分析：由等差数列的定义，要判断 是来自是等差数列， 只要看 是不是一个与n 无关的 常数就行了.
a n a n 1(n 2)
与
{a n }
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化简得d2＝16，于是d＝±4， 故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2. (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列， ∴d>0，∴d＝1， 故所求的四个数依次为－2,0,2,4.
2 2 2
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等差数列的判定与证明—中项公式法
等差中项的定义
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
ab bA Aa A b 2A a(或a 2A b) 2 意义：
任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
解：取数列
a n 1 a n (n 2), {a n } a n a n 1 (pn q) [p(n 1) q] pn q (pn p q)
中的任意相邻两项
p.
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这是一个与 n 无关的常数，所以 在通项公式中令 n＝1，得 等差数列的首项是 p+q，公差是 p.
是等差数列，公差是p. ，所以这个 n
{a }
a1 p q
注：等差数列的通项公式可以表示为 ， 其中 p, q 是常数. 当 时，它是关于 n 的一次式， 因此从图像上看，表示这个数列的各点均在一次函 数 的图像上，其坐标为 .
a n pn q
p0
y px q
(n, a n )