等差数列中几个重要结论的证明
高中数学第五章数列5..1.等差数列的性质学案含解析B版选择性第三册
第2课时等差数列的性质必备知识·素养奠基1.等差中项：如果x,A，y 是等差数列,那么称A 是x与y的等差中项,且A=。
2。
等差数列中项与序号的关系(1）两项关系a n=a m+（n-m）d(m,n∈N+).(2）多项关系若s+t=p+q（p，q，s,t∈N+),则a s+a t=a p+a q.特别地,若2s=p+q,则2a s=a p+a q.如何证明若m+n=p+q(m，n，p,q∈N+），则a m+a n=a p+a q?提示:因为a m=a1+（m-1)d，a n=a1+（n-1）d。
所以a m+a n=2a1+（m+n—2）d.同理，a p+a q=2a1+(p+q-2）d，因为m+n=p+q,所以a m+a n=a p+a q. 3。
等差数列的项的对称性文字叙述在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和符号表示n为偶数n≥2a1+a n=a2+a n-1=…=+n为奇数n≥3a1+a n=a2+a n—1=…=24.由等差数列构成的新等差数列(1)条件｛a n｝,{b n｝分别是公差为d1,d2的等差数列。
（2)结论数列结论{c+a n}公差为d1的等差数列(c为任一常数){c·a n｝公差为cd1的等差数列(c为任一常数）｛a n+a n+k｝公差为2d1的等差数列（k为常数,k∈N+）{pa n+qb n}公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数）5。
等差数列的单调性等差数列｛a n｝的公差为d，(1)当d〉0时,数列{a n｝为递增数列。
(2)当d<0时,数列｛a n}为递减数列.（3)当d=0时,数列{a n｝为常数列。
1。
思维辨析（对的打“√”,错的打“×”）（1)若{a n}是等差数列,则{｜a n|}也是等差数列. (）(2)若数列{a n｝是等差数列，则a1,a3，a5,a7,a9也是等差数列。
（)(3)在等差数列｛a n｝中，若a m+a n=a p+a q，则m+n=p+q也能成立（m,n,p，q∈N+ ). （）(4)在等差数列｛a n}中,若m+n=r,m，n,r∈N+,则a m+a n=a r。
专题09 与等差数列相关的结论(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
(4) Sm , S2m − Sm , S3m − S2m , S4m − S3m 构成等差数列.
(5) Sn = n
d 2
n
+
(a1
−
d 2
)
是关于
n
的一次函数或常数函数，数列 { Sn n
}
也是等差数列.
(6) S=n
n(a1 + a= n ) 2
na1
+
n(n
−1)d 2
(7)若等差数列{an}的项数为偶数 2m ,公差为 d ,所有奇数项之和为 S奇 ,所有偶数项之和为 S偶 ,则所有项
S奇 S偶
=
m m −1.
(9)在等差数列
{an
}
，
{bn
}
中，它们的前
n
项和分别记为
Sn
,
Tn
则
an bn
=
S2n−1 T2n−1
.
二、典型例题
例题 1．（2023·全国·高二专题练习）等差数列{an} 的前 n 项和 Sn ，若 Sn= 1, S3n − Sn= 5 ，则 S4n =（
）
A．10
专题 10 与等差数列相关的结论
一、结论
设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.
(1) an = a1 + (n −1)d ; an = am + (n − m)d
(2) p + q = m + n ⇒ ap + aq = am + an (m, n, p, q ∈ N ∗ )
(3) p + q= 2m ⇒ ap + aq = 2am (m, p, q ∈ N ∗ ) ;
等差数列的一个结论及其推广
数理化解题研究2020年第25期总第482期等差数列的一个结论及其推广徐加华韩振(山东省新泰市第一中学271200)摘 要:本文提出了等差数列的一个结论并将其做了推广，以期对读者有所帮助.关键词：等差数列；结论;推广中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2020)25 -0002 -01我们知道，等差数列有这样一个结论:已知等差数列{匕}, { b n }，它们的前n 项和分别为》,T n ，且初二誥) (关于n 的最简形式)，则学二沖二f n -1)-b n T 2n -1 f (2 n -1)证明 对于等差数列{ a n }, { b n },其前n 项和分别为r 「 (a 〕+ i )(2n - 1)S n ，T n ，则 S 2n -1 = 1 加八 丿二(2n -1) %，T^-1(b 1+ b2n -1)(2n -1) (2 b 则S2n -1b二--------2 二(2" -1) b n-则 ^n二 2n -1，b n 二证明对于等差数列｛ J ｝，｛ b n ｝,其前n 项和分 别为S n , T n .依据题意,不妨令/( n ) _ an + b , f ( n ) _cn + d ,于是有 S n _ knf ( n ) _ ban 2 + %bn ； T n _ %ng ( n )_ %cn 2 + %dn ( k H 0 )；贝卩产b”S n - S n -1T m - T m -1kan 2 + kbn - [ ka ( n - 1)2 + kb ( n - 1 ) ] _ (2n - 1) a + bkcm 2 + kdm - [ kc ( m - 1)2 + kd ( m - 1 ) ] (2m - 1) c + d 由于/(n ) _ an + b ,f (n ) _ cn + d ,所以/(2n - 1 ) _ (2n -T2n -1干曰 O n — (2 n - 1) _ S 2n -1 _ f (2 n - 1)2 n -1，于疋 b n _ T 2n -1 _ T 2n -J f (2 n -1).(2 n -1)例题1已知等差数列｛ O n ｝，｛ b n ｝，它们的前n 项和S分别为S n ，T n ，它们的前n 项和分别为S n ，T ，且/ _anS n- Sn1)a + b ,f (2m - 1) _ (2m -1) c + d ,所以于 _ ~r —T ■丄 _mm-m -1(2n - 1)a + b _ /(2n - 1)(2m - 1)c + d f (2m - 1)°例题2已知等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝,它们的前n 项和 分别为S n ,T n ，且T _4n +5,设点力是直线M 外一点，点2n -3 则 °3 + °15 +°3 _ (4n - 3，、2 (b 3 + b 9) b 2 + b 1019 17 7A •劣 B. 17 C. 741 37 15).P 是直线BC 上一点，且# _岂严・矛+入元,则实数2 b 7入 _ ()•谒2 a 9 a3 a 9 a 32( b 3 + b g ) + b 2 + b 10_4 b 6 +2 b 6 _2 b 6 +2 b 6_y :.利用结论可得:_ T 11 _4：n -3_49,故选a .2b6b6b6T114 X 11-3 41结论的推广：已知等差数列｛匕｝，｛ b n ｝,它们的前nS项和分别为S n ,T n ,它们的前n 项和分别为S n ,耸,且/ _ 叫(关于n 的最简形式)，则学_ 沖 _ f (2n -1丿、.f (n) b m T 2m -1 f (2m -1)分析°3+ °15分析论可知斜> a ? +。
高中数学_数列知识点汇总
必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d da a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数） ④前n项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数）2. 等差中项：b A a ,,成等差数列，A 称为b a 与的等差中项（其中b a 与为任意实数， A 存在且唯一），2b a A b a A +=⇔的等差中项与为即3. 等差数列性质：（1） 任两项关系：nm a a mn a a d n m m n --=--=（其中n m ≠）（2） 任两项关系：d m n a a m n )(-+=（其中n m ≠）（3） 是递增数列；数列}a {,0d n >是递减数列；数列}a {,0d n <是常数列数列}a {,0d n =。
（4） 两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112+-+=n n n a a a （其中n>1, n n n a a a +=2） k n k n n a a a +-+=2（其中n-k>0, n n n a a a +=2）特别若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,（5） {}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列)，则：①：k m a +、k m a 2+、k m a 3+、k m a 4+…成等差数列（其中k m ,为常数） ②：{}k a n +、{}n n b q a p ∙+∙为等差数列，(其中q p k ,,为常数)（6） 前n 项和性质：①：成等差数列,,,232k k k k k S S S S S --②：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。
等差数列的性质2
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
a4+a7=28 ①
解 ①、 ② 得 又 a4a7=187 ② ，
解： a4+a5+a6+a7=56
a4= 17
a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
{an＋bn}，{an－bn}，仍是等差数列，且公差分别为： d1＋d2，d1－d2
等差数列的其它性质：
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则下 列{pan＋qbn}(p、q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列． 3． {an}的公差为 d， 则 d>0⇔{an}为 递增 数列； d<0⇔{an} 为 递减 数列；d＝0⇔{an}为 常 数列．
【方法总结】
等差数列性质较多，利用数列性质
解题，方法灵活，计算简化，应多加思考，培养学生的 发散思维能力．
a2 变式练习 4 数列{an}满足 a1＝ 2a， an＋ 1＝ 2a－ (n an 1 ∈ N )，其中 a 是不为零的常数，令 bn＝ . an － a
*
(1)数列{bn}构成什么数列？并证明你的结论； (2)求数列{an}的通项公式．
[解析] a3＋ a6＋ a9＋ „＋ a99＝ (a1＋ 2d)＋ (a4＋ 2d)＋ (a7＋ 2d) ＋ „„＋ (a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋„＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.
高二数学等差数列及其性质
4.在等差数列{an }中, (1)若a3 a4 a5 a6 a7 450, 则a2 a8 ___; (2)已知am n A, amn B, 则am ___; (3)已知a2 a3 a4 a5 34, a2 a5 52, 求公差d ; (4)若a1 a3 a5 12, a1a3a5 80, 求通项公式an .
1.若{an }为等差数列, 求 : (1)a p q, aq p, 且p q, 求a p q ; (2)a1 12, a6 27, 求an ; (3)已知a3 12, a6 27, 求a12 .
2.(1)若{an },{bn }成等差数列, 且a1 34, b1 66, a98 85, b98 15, 则a2004 b2004 ______ . (2)已知等差数列a1 , a2 , a3 , an的公差为d , 则ca1 , ca2 , ca3 , , can (c为常数)是( A公差为d的等差数列 C不是等差数列 ) B公差为cd的等差数列 D以上说法都不对
2n 1 2an an 2n 1 2bn bn
4、其他的题型：
1 1.在数列{an }中,已知a3 2, a7 1, 且{ }成等差数列, 1 an 则a11 _____; 4 1 2.已知数列{an }中, a1 4, an 4 (n 2)令bn , an 1 an 2 求证 :{bn }为等差数列; 并求{an }的通项公式.
(3)已知等差数列{an }的前3项分别为a 1, a 1, 2a 3, 则 此数列的通项公式是 _________ .
3.在等差数列{an }中, (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______; (2)若a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33, 则 a3 a6 a9 ______ (3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____;
(完整版)数列复习
第二章 数列
一．等差数列
1.定义：an an1 d (n 1, d为常数)
an1 an 3
an1 an 3
an是等差数列，且公差 d 3
这也是证明an为等差数列的最重要的 方法。
2.通项公式： an a1 (n 1)d
3.等差数列前 n项求和公式：
Sn
na1
n(n 1)d 2
去迎接每一天。用自己的双眼，去欣赏属于自己的快乐风景。也可以认为，人的心灵应该永远充满喷涌的激情，人生需要不停的行走，不断地接受新的挑战，追求新的事物，在不断的追求中方能享受人生的快乐，没有欲望，没有追求，就永远难享快乐！还可以将“欲望”分为物质和精神两个层 面，分别论述这两个层面与快乐的关系，或论其中一个层面与快乐的关系。 写作时，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议，也可以用一个人物的经历演绎故事，表达自己对这个话题的看法，鼓励文体创新，写出富有个性的佳作。 ? 10.阅读下面的材料，然后按要求作文。 中国自主设计的 地铁二号线投入运营后，人们发现德国人设计的一号线中的许多细节被我们忽视了。譬如，德国设计师在靠近站台约50厘米内铺上了金属装饰，又用黑色大理石嵌了一条边。这样，当乘客走近站台边时，就会有了警惕，会停在安全线以内；而二号线地面全部用同一色的瓷砖，乘客很难意识到已 经靠近了轨道，地铁公司不得不安排专人来提醒乘客注意安全。恰恰是诸如此类的细节，决定了二号线运营成本远远高于一号线，至今尚未实现收支平衡。一号线近乎完美的设计，正是基于德国设计人员的细心观察，科学计算，周密推理，尤其是对于细节与全局关系准确把握的一种理性和自觉， 最终才能从大处着眼，从细节着手。 请以“细节与全局”为话题，写一篇800字的文章。 [写作提示]“细节与全局”是一个双概念关系型的话题，它体现了哲学上讨论的“整体与局部”的关系，着眼考查学生的思辨能力。考生写作时，应该用联系的眼光看待“细节与全局”的关系，细节虽小， 却不可忽视，生活中每一个小的细节都和整体有着密不可分的联系。如果每个细节我们都做得好，那么就会有一个令人满意的全局；如果关键的细节我们没有注意到，就可能带来全局性的失误，如前苏联的联盟一号飞船的悲剧就是由于一个小数点的错误造成的。“千里之堤，溃于蚁穴”，讲的 就是这个道理。 11.阅读下面的材料，然后按要求作文。 科学家不是依赖于个人的思想，而是综合了几千人的智慧。许多人想一个问题，并且每个人做其中的部分工作，添加到正建立起来的伟大的知识大厦之中。——卢瑟福 独立性是天才的基本特征。——歌德 即使通过自己的努力知道一半的 真理，也比人云亦云地知道全部真理要好。——罗曼·罗兰 一粒沙子是松散的，可是它和水泥、石子、水混合后，比花岗岩还坚韧。——王 杰 读了上面的几则材料，你有什么感想？请以“自主与合作”为话题写一篇作文。 [写作提示]对“自主与合作”之间的关系要进行辩地分析。一味地强 调自主而忽视合作，便会导致刚愎自用，不能借用集体的智慧；一味地强调合作而忽视自主，便会丧失自我。只有在自主中寻求合作，在合作中保持自主，这才是明智的做法。该话题可用的材料非常多，中国历史上战国七雄之间的关系可以从本话题的角度来写；当今的企业之间、国与国之间既 合作又团结的关系也可以成为作文的论材料。 ? 12.阅读下面的材料，然后按要求作文。 有一位木匠，晚年他很少手把手地教徒弟做工，只是习惯于提醒，有一句口头禅是：“注意了，留一道缝隙。”木工讲究疏密有致，黏合贴切，该疏则疏，不然易散落。时下，许多人家装修房子，常常出现 木地板开裂，或挤压拱起的现象，这就是当初做得太“美满”的缘故。高明的装修师傅懂得恰到好处地留一道缝隙，给组合材料留下吻合的空间，便可避免出现这样的问题。 其实，做人处事，和木匠的工艺一样，也得讲究“留一道缝隙”。你是如何看待这个问题的？请以“留一道缝隙”为话题， 联系社会生活实际，写一篇文章。立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字。 ? [写作提示]做人和处事，如果事事工于算计，利害当头，互不相让，凡事追求“团满”，人与人之间的关系就会紧张，就会裂变。同样，一个人把所有行为都目的化，就会把自己的理想挤压得变形。留一道缝 隙，给自己，给他人，给社会留一个可供吻合的人际空间。 ? 13. 阅读下面的材料，然后按要求作文。 铅笔即将被装箱运走，制造者很不放心，把它带到一旁对它说：“你将来能做很多大事，会成为最好的铅笔。但是有一个前提，你要记住我的话：你不能盲目自由，你要允许自己被一只手握 住；你可能经常会感受到刀削般的疼痛，但是这些痛苦都是必要的，它会使你成为一支有用的铅笔；不要过于固执，要承认你所犯的任何错误，并且勇于改正它；不管穿上什么样的外衣，你都要清楚一点，你最重要的部分总是在里面；在你走过的任何地方，都必须留下不可磨灭的痕迹，不管是 什么状态，你必须写下去。要记住，只有这样，生活才会有意义。” 请以“铅笔的原则”为话题，写一篇800字的文章。 ? [写作提示]这是一个比喻性的话题，好在话题材料中已经把“铅笔的原则”的比喻义讲得十分清楚，也就是制造者的嘱咐。考生须明白的是，这则材料看似在告诫铅笔，实 则是在告诫人，这个话题是让我们思考做人的原则问题：生活中没有绝对的自由，正视痛苦磨炼人生，要勇于改正错误，守住心灵不迷失自我，奋斗中展示自己的美。文章立意的自由度很大，所写内容只要与以上几个方面有联系都算是符合题意。 注意写议时应有丰富的材料，选材要新颖、典型， 更要有对材料的合理分析，注意论辩色彩，使文章有较强的说服力。写记叙文要构思精巧，要有饱满的情感，以深刻的细节描写打动读者，追求行文的艺术性。 14.阅读下面的材料，然后按要求作文。 一只兔子被猎人开枪打伤。它惊恐地逃跑了。猎人让猎犬追赶那只逃跑的兔子。猎犬的速度飞 快，兔子没命地飞奔，根本看不出它已经受伤，最后竟把猎犬甩开了。猎人见猎犬一无所获，愤怒地骂道：“没用的东西，连一只受伤的兔子都抓不到！”猎犬感到很委屈，辩解道：“我虽然没能抓到兔子，可我已经尽力而为了呀!”那只受伤的兔子逃回窝中，伙伴们为它死里逃生而感到惊 奇。 ? 它们好奇地问：“猎犬速度这么快，你居然还能逃脱，真是太不可思议了！”惊魂未定的兔子说：“猎犬如果抓不住我，顶多被主人骂一顿，所以，它追我只是尽力而为；可我如果被它抓住，命就没有了，所以我逃跑是全力以赴呀!” 在生活中，我们常常发现一些本应该能够做好的事情 竟没有做好，而有些看来没有希望做好的事情却做成功了。这原因往往就如猎犬和兔子，取决于是尽力还是全力。请以“尽力与全力”为话题写一篇作文。题目自拟，立意自定，文体自选，800字以上。 [写作提示]“尽力”与“全力”的区别在于是否还留有余地，是否还有退路，其所处境遇不 同，付出也会异样，那么结果也就不一样。这不是一个关系型话题，而是同中求异的范围型话题。 我们可以从几个角度选择立意。从猎犬与兔子比较的角度立意，可以联想到生存状况影响对待工作的态度，猎犬没有生存危机，所以只需“尽力”做就行；兔子有生存危机，所以做事必须“全力以 赴”。从猎人的角度联想，可以想到形成猎犬与兔子行动结果的不同，是猎人的造成的，对兔子是把它逼向死地，对猎犬却没有很有用的利害机制促其全力以赴，人不求“全力”，只求“尽力”是机制造成的。进而可以这样联想，假如打破“铁饭碗”，摔烂“铁交椅”，砸碎“关系网”，人还 敢只“尽力”而不“全力”去做吗？看来，制度决定人的工作态度。 至于是议论还是编故事，只要能表明自己的观点或者中心意图，都是可以的。 15. 阅读下面的材料，然后按要求作文。 理查·布林斯莱·谢立丹是18世纪后期英国最有成就的喜剧家。当他的第一部喜剧《情敌》初次上演时， 谢立丹应观众的要求谢幕。就在这个时候，有一个人在剧场顶层的楼座上喊道：“这个喜剧糟透了！”声音很大，全场观众都听见了，他们都想看看谢立丹有什么反应。谢�
等差数列及性质
等差数列及性质一、知识梳理：1．等差数列的定义(1)前提条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．2．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫做a，b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．34．等差数列通项公式的推广5.等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则：a m＋a n＝a p＋a q.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n ＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．（5）．等差数列的图象由a n＝d n＋(a1－d)，可知其图像是直线上的一些等间隔的点，其中是该直线的斜率．(6)．等差数列的单调性：对于a n＝d n＋(a1－d)，(1)当d＞0时，{a n}为；(2)当d＜0时，{a n}为；(3)当d＝0时，{a n}为．二、题型探究：探究一：等差数列的通项公式及其应用例1．(1)已知等差数列{a n}：3，7，11，15，….①135，4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由．②若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．(2)在等差数列{a n}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________．1．(1)若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________．(2)已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？探究二：等差数列的判定例2．(1)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；②当x 1＝12时，求x 2 015.(2)已知1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 成等差数列，证明：a 2，b 2，c 2也成等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2．(1)判断下列数列是否为等差数列：①在数列{a n }中a n ＝3n ＋2； ②在数列{a n }中a n ＝n 2＋n .(2)已知c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2，则数列{c n }________等差数列(填“是”或“不是”)．(3)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由.探究三：等差中项的应用例3．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．[互动探究]若将题中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解．方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.3．(1)方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．探究四：等差数列性质的应用例4．在等差数列{a n}中：(1)若a5＝a，a10＝b，求a15；(2)若a3＋a8＝m，求a5＋a6.(3)若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．(2)巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．4．(1)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51(2)若x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么a 1－a 2b 1－b 2等于( )A ．1 B.23C.34D.43探究五：等差数列的综合问题例5．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的根，求数列{a n }的通项公式.例6．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．5．(1)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，则a n ＝________．(2)已知数列{a n }满足(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝16，且a 1＝1，a n >0.①求证：数列{a 2n }为等差数列； ②求a n .例7．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？[解] 由等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 14＝－46＋13×2＝－20.∴a n ＝－46＋(n －1)×2＝2n －48. 令a n ≥0，得2n －48≥0⇒n ≥24， ∴从第25项开始，各项为正数．[错因与防范] (1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n ＝24也满足条件．(2)由通项公式计算时，易把公式写成a n ＝a 1＋nd ，导致结果错误．(3)等差数列通项公式中有a 1，a n ，n ，d 四个量，知三求一，一定要准确应用公式．7．(1)首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． (2)一个等差数列的首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d 的范围．例8．(本题满分12分)两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11.2分 又等差数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，4分 等差数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1.6分 所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①8分 所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.10分又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项.12分[规范与警示] (1)解题过程中①处易出现令3n ＋2＝4n －1，解得n ＝3的错误，这实际上是混淆了两个n 的取值而导致的错误，也是常犯错误，解题过程中②处易出现c n ＝12n －1≤399，导致错误．这是对题意不理解造成的，两个数列的公共项应以较小的为基准求解．(2)在解决数列的问题时弄清公式中各量的含义，不同的数列中同一量的意义是相同的，但是并不一定对应．如本例中项数n 在数列{a n }和数列{b n }中的意义，当项相同时，对应的序号n 不一定相同．巩固练习：1．(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋13．(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8C ．10 D ．144．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37C ．100 D ．－37 5．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 6．(2015·泰安高二检测)在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．7．(2015·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________．9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．10．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.11．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．备选：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．巩固练习答案：1.解析：选C.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， 所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)， 所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．2.解析：选D.设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3.解析：选B.法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 4.解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.5.解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.6.解析：由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3. 答案：37.解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.答案：408.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 29.解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 310.解：(1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17.11.解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，∴a 2＝1. 由⎝⎛⎭⎫121－d＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2. 当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5. 12.解：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1（4－4a n）－2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2＝a n －22（a n －2）＝12.又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2.备选：解析：设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案：67667(1)解析：a n ＝24＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 10<0，a 9≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋9d <0，24＋8d ≥0，解得－3≤d <－83.答案：⎣⎡⎭⎫－3，－83 (2)解：设等差数列为{a n }，由d ＞0，知a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1＜a 10＜a 11＜…，a 1＜a 2＜…＜a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1a 9≤1⇔⎩⎨⎧125＋（10－1）d ＞1，125＋（9－1）d ≤1，解得875＜d ≤325，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎦⎤875，325.。