《自动控制原理》稳定性和稳态误差

7-5 离散系统的稳定性和稳定误差 回顾：线性连续系统 稳定性和稳态误差问题：线性离散系统 稳定性和稳态误差 ？分析：sT e z =，首先研究s 平面与z 平面的关系。

一．s 域到z 域的映射s 域到z 域的关系： sT e z = S → Zs 域中的任意点可表示为ωσj s +=，映射到z 域则为 T j T T j e e e z ωσωσ==+)(ωσj s += ━━━━━━━━→ T e z σ=，T z ω=∠ (7—84)问题：s 平面上的点、线、面 如何映射到 z 平面？(1) s 平面上虚轴的映射虚轴：0=σ，ω=∞-→0→∞分析：0=σ时，1==T e z σ，ω=∞-→0→∞时，T z ω=∠==∞-→0→∞ 以原点为圆心的单位圆,经沿着单位圆转过无穷多圈分析：T 采样周期，单位[sec], 采样频率,单位[1/sec] f s =1/T采样角频率 s ω，单位[rad/sec] , T s /2πω=ω=2/s ω-→0→2/s ω时，T z ω=∠=π-→0→π 正好逆时针转一圈ω=2/s ω→s ω→2/3s ω时，T z ω=∠=π→π2→π3 又逆时针转一圈由图可见：可以把s平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从-ωs/2到ωs/2的周期带称为主要带，其余的周期带叫做次要带。

(2) 等σ线映射s 平面上的等σ垂线，映射到z 平面上是以Te z σ=为半径的圆 s 平面上的虚轴映射为z 平面上的单位圆左半s 平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆，在单位圆内 右半s平面上的等σ线映射为z 平面上的同心圆，在单位圆外(3) 等ω线映射在特定采样周期T 情况下，由式(7-84)可知，s 平面的等ω水平线，映射到z 平面上的轨迹，是一簇从原点出发的映射，其相角T z ω=∠从正实轴计量，如图7-36所示。

由图可见，s 平面上2/s ωω=水平线，在z 平面上正好为负实轴。

(4) 等ξ线映射s 平面上的等ξ线： ωβωj tg s +-=于是 T j tg sT e ez )(ωβω+⋅-== 映射关系为 ,)/2(βωωπtg s e z ⋅-=s z ωπω2=∠ (7-85) 左半s 平面上的等ξ线（β为常数，除︒=0β和︒=90β），映射为z 平面上单位圆内收敛的对数螺旋线，起点：（1，0）处，终点为z 平面的原点。

︒=30β时见图7-37。

(5) 主要带的映射设s 平面上的主要带如图7—38(a)所示，通过sT e z =，变换，映射为z 平面上的单位圆及单位圆内的负实轴，如图7—38(b)所示。

类似地，由于z e e e e sT n j sT jn s s ===+πω2)(，因此s 平面上所有的次要带，在z 平面上均映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴。

问题*： s 平面上的负实轴在z 平面上的映射?二．离散系统稳定的充分必要条件定义若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。

众所周知，在线性定常连续系统中，系统稳定的充分必要条件是指：系统齐次微分方程的解是收敛的，或者系统特征方程式的根均具有负实部，或者系统传递函数的极点均位于左半s平面。

连续系统这种在时域或s域描述系统稳定性的方法同样可以推广到离散系统。

对于线性定常离散系统，时域中的数学模型是线性定常差分方程，z域中的数学模型是脉冲传递函数，因此线性定常离散系统稳定的充分必要条件，可以从以下两方面进行研究。

(1) 时域中离散系统稳定的充分必要条件 设线性定常差分方程如式(7—54)所示，即∑∑==-+--=m j j n i i j k r a i k c a k c 01)()()( (7-54)其齐次差分方程为)()(1=-+∑=ni i i k c a k c设通解为l A α，代入齐次方程，得0...11=+++--nl n l l A a A a A ααα或 0)...(110=+++--nn l a a a A ααα因0=l A α，故必有 0 (1)10=+++--n n a a a αα以n α乘以上式，得差分方程的特征如下0...2211=++++--n n n n a a a a αα不失一般性，设特征方程(7-86)有各不相同的特征根0...,,21=n a a a ，则差分方程(7-54)的通解为,...2,1,0;...)(12211==+++=∑=k A A A A k c n i lii l n n llαααα式中，系数i A 可由给定的n 个初始条件决定。

当离散系统特征方程(7-86)的根1<i a 时，n i ,...,2,1=，必有0)(lim =∞→k k c ，故差分方程描述的离散系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程(7-54)所有特征根的模1<i a ，n i ,...,2,1=，离散系统是稳定的。

(2) z 域中离散系统稳定的充分必要条件由s 域到z 域的映射关系知：s 左半平面映射为z 平面上的单位圆内，对应稳定区域；s 有半平面映射为：z 面上的手心圆外，对应不稳定区域；s 平面上的虚轴．映射为z 平面上的单位圆周，对应临界稳定情况。

因此，在z 域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z 平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即),...,2,1(1n i z i =<，相应的线性定常离散系统是稳定的。

应当指出：上述稳定条件，对特征方程有无重特征根都是正确的。

此外．在现实系统中，不存在临界稳定情况。

X ？若1=i z 或1=i a ，在经典控制理论中，系统也属于不稳定范畴。

例7-26 设一离散系统可用下列差分方程描述：0)0(),()()1(≠=-+c n br n ac n c试分析系统稳定的充分必要条件。

解 给定系统相应的齐次方程为0)()1(=-+n ac n c利用迭代法。

可求通解)()1(1n c a n c n +=+由于0)0(≠c ，因此当1<a ，才有0)(lim =∞→n n c 。

故系统稳定的充分必要条件是1<a 。

例7-27 设离散系统如图7-26所示，其中)1(/10)(+=s s s G ，1)(=s H ，1=T 。

试分析该系统的稳定性。

解 由已知)(s G 可求出开环脉冲传递函数))(1()1(10)(11-----=e z z z e z G 根据式(7—76)，本例闭环特征方程0))(1()1(101)(111=---+=+--e z z z e z G 即0368.0952.42=++z z解出特征方程的根 876.4,076.021-=-=z z 因为12>z ，所以该离散系统不稳定。

应当指出，当例7-27中无采样器时，二阶连续系统总是稳定的，但是引入采样器后，二阶离散系统却有可能变得不稳定。

这说明采样器的引人一般会降低系统的稳定性。

如果提高采样频率(减小采样周期)。

或者降低开环增益．离散系统的稳定性将得到改善。

引申…？ 当离散系统阶数较高时，直接求解差分方程或z 特征方程的根总是不方便的．所以人们还是希望有间接的稳定判据可供利用，这对于研究离散系统结构、参数、采样周期等对于稳定性的影响，也是必要的。

三．离散系统的稳定性判据 连续系统的劳思—赫尔维茨稳定判据：是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定性的，不用求出具体的特征值。

这种对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判据，实质是判断系统特征方程的根是否都在左半S 平面。

但是，在离散系统中需要判断系统特征方程的根是否都在z 平面上的单位圆内。

因此，连续系统中的劳思判据不能直接套用，必须引入另一种变换，使z 平面上的单位圆内区域，映射成另一个平面（记为W 平面）上的左半平面，这种新的坐标变换称为W 变换。

图示: [s] ━━━━━→[z]━━━？━━━→[w]ωσj s += jy x z += jv u w +=(1) W 变换与劳思稳定判据如果令 11-+=w w z (7-87)则有 11-+=z z w(7-88) 式(7-87)与(7-88)表明，复变量z 与w 互为线性变换，故w 变换又称双线性变换。

令复变jy x z +=，jv u w +=代入式(7—88)，得222222)1(2)1(1)(y x yj y x y x jv u +--+--+=+显然 2222)1(1)(y x y x u +--+=由于上式的分母22)1(y x +-始终为正，因此0=u 等价为122=+y x ，表明w 平面的虚轴对应于z 平面上的单位圆周；0<u 等价为122<+y x ，表明左半w 平面对应于z 平面上单位圆内的区域；0>u 等价为122>+y x ，表明右半w 平面对应于z 平面上单位圆外的区域。

z平面和w 平面的这种对应关系，如图7-39所示。

由w 变换可知，通过式(7—87)，可将线性定常离散系统在z 平面上的特征方程0)(1=+z GH ，转换为在w 平面上的特征方程0)(1=+w GH 。

于是，离散系统稳定的充分必要条件，由特征方程0)(1=+z GH 的所有根位于z 平面上的单位圆内，转换为特征方程0)(1=+w GH 的所有根位于左半w 平面。

这正好与在s 平面上应用劳思稳定判据的情况一样，所以根据w 域中的特征方程系数，可以直接应用劳思表判断离散系统的稳定性，并相应称为w 域中的劳思稳定判据。

例7—28 设闭环离散系统如图7—40所示，其中采样周期s T 1.0=，试求系统稳定时K 的临界值。

解 求出)(s G 的z 变换368.0368.1632.0)(2+-=z z Kz z G因闭环脉冲传递函数)(1)()(z G z G z +=φ故闭环特征方程0368.0)368.1632.0()(12=+-+=+z K z z G令)1/()1(-+=w w z ，得0368.0)11)(368.1632.0()11(2=+-+-+-+w w K w w化简后，得w 域特征方程0)632.0736.1(264.1632.02=-++K w Kw列出劳思表从劳思表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使K>0和0632.0736.2>-K ，即K<4.33。

故系统稳定的临界增益33.4=c K 。

对于线性定常离散系统，除了采用w变换，在w域中利用劳思判据判断系统的稳定性外，还可以在z域中应用朱利判据判断离散系统的稳定性。

(2)朱利稳定判据*(3)离散系统根轨迹判别 补充内容，重要!●连续系统，根轨迹 在s平面上的变化 临界稳定点●离散系统，同样可以应用到含z的多项式而且，画z根轨迹的方法和规则相同不同的是稳定区域是单位圆内，增加求单位圆交点参见：[2]何克忠等编著，《计算机控制系统》清华大学出版社1998年4月[3]朱齐丹等译，GeneF.Franklin等著，《动态系统的反馈控制》，电子工业出版社2004年5月。