2020届江西省赣州市寻乌中学高三上学期第一阶段考试数学(理)试卷

2019-2020学年第一学期寻乌中学高三第一次段考理科数学试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合}24|{},1)3(log |{2-<<-=<+=x x B x x A ，则=B A ( ) A. }23|{-<<-x x B. }14|{-<<-x x C. }1|{-<x x D. }4|{->x x2.已知复数z 满足i z i-=-+121，则在复平面内z 对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.下列四个结论： （1）命题“若，则”的否命题为：“若，则”；（2）命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”； （3）“，“”是“”的充分不必要条件；（4）命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-<”． 其中正确的结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知函数22)(x x f x+=，设)31(log 2f m =，)7(1.0-=f n ，)25(log 4f p =，则m ，n ，p 的大小关系为 ( ) A. np m >>B. mn p >>C. n m p >>D. m p n >>5.已知函数()sin[(1)],02,0x x x f x x π-≥⎧=⎨<⎩，则12log 4f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．B ．C． D6.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ） A . 221x y x =-- B ．2sin y x x =C ．ln x y x=D ．()22xy x x e =-7．已知()f x '是函数f (x )(x ∈R)的导数，满足()()f x f x '=，且f (0)＝2，设函数g (x )＝f (x )－()3ln[]f x 的一个零点为x 0，则以下正确的是 ( ) A.x 0∈(0，1) B.x 0∈(1，2)C.x 0∈(2，3)D.x 0∈(3，4)8.已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分412()f x dx ⎰的值为( ) A ．12π+ B ．144π+ C ．324π+ D ．948π+ 9．定义在R 上的函数()f x 满足：对x ∈R 都有f (x +2)= - f (x ),()()f x f x -=，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是 ( ) A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)210.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行，L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ( ) ABCD11.若函数()f x 满足：(1) ()f x 的图象是中心对称图形；(2)若x D ∈时，()f x 的图像上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称()f x 是区间D 上的“M 对称函数”．已知函数3()(1)f x x m =++ (0)m >是区间[4,2]-上的“3m 对称函数” ，则实数m 的取值范围是 ( ) A．)+∞B．)+∞C．(-∞D．(-∞12．已知定义在R 上的函数()f x 和函数()g x 满足()()()2221202x f f x e x f x -⋅+-'=⋅，且()()20g x g x '+<，则下列不等式成立的是（ ）A ．()()()220172019f g g >B ．()()()220172019f g g <C ．()()()201722019g f g >D ．()()()201722019g f g <二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数log (1)3a y x =++经过定点A , 定点A 也在函数()2xf x b =+的图象上，2(log 3)f =____.14.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________.15. 已知，，若，，使得成立，则实数a 的取值范围是______ ．16.定义在),0(+∞上的函数满足，且，不等式1)1()(++>x a x f 有解，则正实数的取值范围是________________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） （一）必考题：共60分．17.已知:p x R ∀∈，230ax x -+>，:[1,2]q x ∃∈, 21x a ⋅≥. （1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.18．已知函数()f x 满足22()log log (1)f x x ax +=+． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >； （Ⅱ）若关于x 的方程12()2log f x x =的解集中有且只有一个元素，求a 的值。

19．已知函数2()cos x f x e x ax =-.（1）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 的切线方程;（2）若存在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()0f x ≤，求a 的取值范围。

20.已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．21. 已知函数21()ln 2f x a x x x =+-a R ∈.（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12ln 23()()24f x f x +>--.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. ⑴求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；⑵若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB ⋅ 的值. 23.已知函数()241f x x x =-++.⑴解不等式()9f x ≤；⑵若不等式()2f x x a <+的解集为{}2,|30A B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.2019-2020学年第一学期寻乌中学高三第一次段考理科数学参考答案及评分标准一、BDACC DADDA AC 二、 13.5 14.15.16.三、17.【解析】(1)当0a =时，30x -+>不恒成立，不符合题意；当0a ≠时，01120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得112a >.综上所述：112a >.----------------5分 (2)[]1,2x ∃∈，21x a ⋅≥，则14a ≥.------------------------------------6分 因为p q ∨为真命题，且q q ∧为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真，--------------8分当p 真q 假，有11214a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即11124a <<； 当p 假q 真，有11214a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，则a 无解.综上所述，11124a <<.-----------------------------------------------12分 18. 【解析】（Ⅰ）由题意可得201log (1)110x x x >⎧⎪⎪+>⎨⎪+>⎪⎩，得112x+>，解得{|01}x x <<------------3分（Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于210ax x +-=有且仅有一正解， 当0a =时，1x =符合题意；当0a >时，140a ∆=+>，1210x x a⋅=-<，此时方程有一正、一负根，满足题意， 当0a <时，要使得210ax x +-=有且仅有一正解，则：140a ∆=+=， 解得：14a =-，则方程的解为2x =，满足题意。

综上，0a ≥或14a =--------------------------------------------------------------------------------------------------------7分19．（1）由2()cos x f x e x ax =-，得 (0)1f = 由()(cos sin )2x f x e x x ax '=--ax x x e x f x 2)sin (cos )('-+=，得1)0('=f ，则切线的斜率为1 所以切线方程为1y x =+..5分（2）当20π≤<x 时，2cos x e x a x ≥ 令2cos ()(0,]2x e x g x x x π=∈ 则3[(cos sin )2cos ]()x e x x x x g x x --'=，令()(cos sin )2cos h x x x x x =--则()(1)(cos sin ),(0,]2h x x x x x π'=-+∈所以：()h x 在(0,1)单调递增，在(1,]2π单调递减，当1x =时， 所以()(1)cos1sin10h x h ≤=--<，所以：()g x 在(0,]2π单调递减，min ()()02a g x g π≥==…………12分 20..解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．设函数2()(1)e 1xg x x -=+-，则22()(21)e (1)e x xg'x x x x --=--+=--．当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e xh x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)exh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e 4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4a =．21.【解析】22.（1）曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.-----------------------------------2分由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.------4分（2）将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=.点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=124t t =.因为点M对应的参数为1222t t +=，所以121222t t PM AB t t +⋅=⋅-=32==.---------10分 23.(1)()9f x ≤可化为2419x x -++≤，即>2,339x x ⎧⎨-≤⎩或12,59x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或<1,339,x x -⎧⎨-+≤⎩解得2<4x ≤或12x -≤≤或2<1x -≤-；不等式的解集为[]2,4-． ------------------4分 (2)易知()0,3B =； 所以B A ⊆，所以241<2x x x a -+++在()0,3x ∈恒成立；24<1x x a ⇒-+-在()0,3x ∈恒成立；1<24<1x a x x a ⇒--+-+-在()0,3x ∈恒成立；()()>30,305>350,35a x x a a a x x a ⎧-∈≥⎧⎪⇒⇒≥⎨⎨-+∈≥⎪⎩⎩在恒成立在恒成立．-----------------------------10分。