数学物理方程与特征函数-03
数学物理方程与特征函数-01
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程：
u E E /
对方程进行化简：
E (u) u 2u /
2u /
泊松方程
2u 0
拉普拉斯方程
非齐次的拉普拉斯方程
次、阶、元
热传导
确定所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t)
根据物理规律建立微分方程并化简：
边界条件：
初始速度
u(x,0)
t
第一类边界条件，固定端、恒温端、恒压端
u(a, t) u |xa u |S 0 u(a,t) f 第二类边界条件，自由端、绝热端
u(a,t) 0 x
第三类边界条件，弹性支承端、热交换端
T u(a,t) ku(a,t) x
u(a,t) k u(a,t) u(a,t) u(a,t) 0
t 2
x 2
什么是方程的解
古典解：如果将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解，也 就古典解。
通解： 如果解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的 任意常数，称为通解。
特解： 通过约束条件确定了解中的任意常数后得到的为特解。
形式解：未经过验证的解为形式解。
sin
s in
T
dx
2u t 2
sin tan 1 tan2
tan u
x
T
dx
2u t 2
u(x dx,t) x
u( x, t ) x
dx
u(
x dx, x
t
)
u ( x, x
t)
dx
dx
2u ( x, x 2
t
)
2u T 2u a2 2u
特征函数讲解.ppt
| eitx || (eihx 1) | dF ( x)
| (eihx 1) | dF( x) | eihx -1|dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
| x| A
A
2 dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E(eit ) E(eitg( ) )
eitg
(
x
)
dF
(
x
)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
| x| A
A
2
dF( x) 2
A hx | sin |dF( x)
| x| A
A
2
由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意
小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.
(3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1, t2 , , tn ,
nn
以及复数1, 2 , n ,成立
eix d x |
|
eix
|d
x
0
0
因而 | ei 1 || |
因此
|
e e i tx1
i tx2
it
ei tx
|
x2
x1
经过交换积分次序我们可以得到
IT
1 2π
第3章 特征函数(20110826)
第3章 特征函数：随机变量的刻画3.1 特征函数定义定义 3.1.1 假设X 是定义在概率空间),,(P F Ω上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称)exp(itX 的数学期望)][exp(itX E 为X 的特征函数，或者分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ或)(t ϕ；此处12-=i 。
对复随机变量的数学期望定义如下：如福随机变量为iY X Z +=，其中Y X ,均为实随机变量，则Z 的数学期望定义为)()()(Y iE X E Z E += （3.1.1）由于)sin()cos()exp(tX i tX itX += （3.1.2）因此，⎰⎰∞∞-∞∞-+=+==)()sin()()cos( )][sin()][cos( )][exp()(x dF tx i x dF tx tX iE tX E itX E t X ϕ⎰∞∞-=)()exp(x dF itx （3.1.3）于是，X 的特征函数也可以称为对分布函数)(x F 的富立埃-斯蒂阶变换。
因为对任意R t ∈， )cos(tX 和)sin(tX 均为有界连续函数，故)][cos(tX E 和)][sin(tX E 均为有限，因此，任意随机变量的特征函数总是存在的。
随机向量的特征函数：如果),,,(21m X X X X =是m 维随机向量，则其特征函数定义为)]}({exp[)(2211n n X X t X t X t i E t +++= ϕ⎰⎰∞∞-∞∞-+++=),,,()](exp[ 212211n n n x x x dF x t x t x t i （3.1.4）● 当X 为离散随机变量时，其特征函数为∑==kk kX p itxitX E t )exp()][exp()(ϕ （3.1.5）此处)(k k x X P p ==。
● 当X 为连续随机变量时，其特征函数为⎰∞∞-== )()exp()][exp()(dx x f itx itX E t X ϕ （3.1.6）显然，随机变量特征函数的计算需要进行复数运算（复数求和）或者进行实变复值函数的积分。
14特征函数
2) g(t ) g(t ).
性质2：设随机变量X的特征函数为 g X t ,则 Y=aX+b的特征函数是 gY (t ) e gX (at ).
ibt
Ex.6 设Y～N(μ,σ2 ),求其特征函数. 解：设X～N( 0,1),有Y =σX+μ, 且
问题
能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？
φ(t ) F ( x )
φ(Байду номын сангаас )
F ( x ) ？
函数分别为 F x 和 t ，则对任意的 x1，x2 R1，有：
（1）
（逆转公式） 设随机变量 的分布函数和特征 定理1
F x2 0 F x2 0 2 1 e lim 2 l l
如果f ( t1 , t 2 , , t n )是(1 , 2 , , n )的特征函数 则 a11 a2 2 an n的特征函数为
f (t ) f (a1t , a2t ,, ant )
(3) 性质3
n
如果矩E( )存在，则 kn E (1k1 2k2 n )
T1
T2
T1 T2
Tn
Tn
k 1
n
e
i t k ak
e i tk
i t k bk
f ( t1 , t 2 , , t n )d t1 d t 2 d t n
其中ak 和bk 都是任意实数，但须满足唯一的要求： (1 , 2 ,, n )落在平行体ak xk bk , k 1, 2, , n 的面上的概率等于零
§4.4 特征函数
求特征函数
求特征函数1. 什么是特征函数？特征函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于统计学、概率论、信号处理等领域。
它是一种描述随机变量的函数，反映了随机变量在不同取值下的特征。
在概率论中，特征函数指的是随机变量的某个矩的生成函数，可以用来描述随机变量的基本特征，如均值、方差等。
特征函数常常用于概率分布函数的分析，可以通过特征函数的计算来推导出概率密度函数、累积分布函数等概率分布的相关特性。
2. 特征函数的定义设随机变量X的概率密度函数为f(x)，特征函数φ(x)定义为：φ(x) = E(e^(jxX))其中，j为虚数单位，E表示期望。
特征函数的定义式和普通的函数定义式有所不同，它引入了虚数单位和期望运算符，是一种较为复杂的定义形式。
3. 特征函数的性质特征函数具有以下基本性质：（1）满足连续性和逆连续性：如果随机变量X的概率密度函数为f(x)，那么它的特征函数φ(x)是一个连续函数，同时满足逆连续性，即若φ(x)的导数存在，则f(x)存在，并有：f(x) =1/(2π) ∫(-∞,∞) e^(-jxt) φ(t) dt.（2）满足唯一性：若两个随机变量X和Y的特征函数相等，即φ(x)=φ(y)，则它们的分布函数也相等，即FX(x)=FY(y)。
（3）满足矩的求解：若随机变量X的特征函数为φ(x)，那么它的k阶矩可以表示为：E(X^k) = (j^-k) * φ^(k)(0)其中，φ^(k)表示φ的k阶导数，即φ的k阶矩。
4. 怎样求解特征函数有时候，我们需要通过特征函数来推导出一个概率分布的相关性质，但是并不知道该分布的概率密度函数。
这个时候，我们可以通过特征函数的求解来获取这个分布的相关信息。
对于一些简单的分布，特征函数可以直接求解，如正态分布、泊松分布等。
对于一些复杂的分布，特征函数的求解可能比较困难，需要借助数学工具来计算。
当然，也可以通过模拟方法来近似求解特征函数，例如蒙特卡罗模拟、马尔科夫链蒙特卡罗模拟等，但这种方法通常比较耗时，无法处理大规模数据。
特征函数知识点总结归纳
特征函数知识点总结归纳一、定义及用处1. 定义特征函数是描述输入数据特征的函数，其作用是将输入数据映射到输出数据的过程中。
特征函数可以是简单的数学函数，也可以是复杂的复合函数，其形式通常由具体的问题和建模任务所决定。
特征函数在统计学和机器学习中有着广泛的应用，它是数据建模和分析中不可或缺的组成部分。
2. 用处特征函数在机器学习和统计建模中有着重要的作用，它可以用于描述输入数据的特征，帮助模型更好地理解和理解数据。
通过特征函数，我们可以将原始数据映射到模型可理解和可处理的特征空间中，从而提高模型的表达能力和泛化能力。
此外，特征函数还可以帮助模型更好地适应现实世界中复杂多变的数据分布，从而提高模型的预测精度和鲁棒性。
二、常见类型特征函数的类型多种多样，根据其在模型中的位置和作用不同，可以将其划分为输入特征函数、隐变量特征函数、输出特征函数等不同类型。
下面我们分别对这几种常见的特征函数进行介绍和分析。
1. 输入特征函数输入特征函数是描述输入数据特征的函数，其作用是将原始输入数据映射到模型可理解和可处理的特征空间中。
输入特征函数通常用于对原始数据进行预处理和特征提取，帮助模型更好地理解和利用数据。
输入特征函数的形式多种多样，可以是简单的数学函数，也可以是复杂的数据转换算法。
常见的输入特征函数包括多项式特征、核函数特征、傅立叶变换特征等。
2. 隐变量特征函数隐变量特征函数是描述隐变量特征的函数，其作用是将隐变量映射到模型可理解和可处理的特征空间中。
隐变量特征函数通常用于隐变量模型的建模和推断，帮助模型更好地理解和解释数据。
隐变量特征函数的形式多种多样，可以是简单的数学函数，也可以是复杂的变分推断算法。
常见的隐变量特征函数包括指数族分布特征、隐变量模型特征、潜在变量特征等。
3. 输出特征函数输出特征函数是描述输出数据特征的函数，其作用是将模型预测的输出数据映射到可观测的特征空间中。
输出特征函数通常用于对模型输出进行后处理和特征解释，帮助模型更好地理解和利用预测结果。
03特征函数
)dt
.
Ex.9
随机变量X在[−π ,
2
π 2
]上服从均匀分布,
Y=cosX, 利用特征函数求Y的概率密度.
21
2013/9/17
特征函数
主讲教师：彭江艳
解 X的概率密度为
f ( x) = ⎪⎨⎧π1 , ⎪⎩0,
Y的特征函数为
x ∈[−π ,π ] 22
其它.
偶函数
ϕY (t ) = E(e jtY ) = E(e jtcosX )
n r =1
zre
jtr x
2
dF ( x)
≥
0.
注 以上性质中φ(0) = 1,一致连续性，非负定
性是本质性的.
12
2013/9/17
特征函数
主讲教师：彭江艳
定理6.3.1 (波赫纳—辛钦) 函数φ(t) 为特征
函数的充分必要条件是在R上一致连续, 非负
定且 φ(0) = 1.
下定理给出了特征函数与矩的关系
Ex.2 两点分布
φ(t ) = e jt⋅0 (1 − p) + e jt⋅1 p = 1 − p + pe jt = q + pe jt , t ∈ R.
Ex.3 二项分布 φ(t) = (q + pe jt )n , t ∈ R
Ex.4 泊松分布 φ(t ) = eλ (e jt −1) , t ∈ R
意连续点x1, x2,（x1<x2）,有
F(x2 ) −
F ( x1 )
=
lim
T →∞
1 2π
∫T
−T
e −itx1
− e −itx2 φ(t )dt .
it
数学物理方程与特征函数
u(x,0) ex2 f1(3x) f2 (x)
u ( x,0) y
0
f1(3x)
f 2( x)
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C 3 ey3x2 3 eyx2
1 a
t
u
0
1 1 2 x a t
1
x a t
1
x a t
x t
x t
2u
u
0
u f ( )
u f1( ) f2 ()
1 1 2 x a t
u f1(x at) f2 (x at)
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
分离变量法
求解有界域偏微分方程
方程
齐次 非齐次 非齐次 非齐次
波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程
一维的、二维的、三维的
直角坐标系、极坐标系、球坐标系
边界条件 齐次
齐次
标准形式、非标准形式
齐次
非齐次
第一类、第二类、第三类
初始条件 非齐次
齐次
非齐次
非齐次
对拉普拉斯方程来说指另一个边界条件
解法
分离变量法 特征函数法 特征函数法 u=V(x,t)+W(x,t)
驻波法
u=V(x,t)+W(x,t)
齐次初始条件齐次边界条件非齐次方程
非齐次初始条件齐次边界条件齐次方程
数学物理方程和特殊函数
常见类型
Pn ( x ),
Pn ( x )e x ,
e x ( A1 cos x A2 sin x )
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
1.
y py qy Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x )， 代入方程
Q( x ) pQ( x ) qQ( x ) Pn ( x )
q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn ( x ) 直接积分得到.
2.
py qy Pn ( x )e x y
代入原方程
Q( x ) (2 p )Q( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pn ( x )
设非齐方程特解为 y* Q( x )e x
例 求解下列定解问题 ( x at ) 1 x at ( x at ) U ( x, t ) xat ( )d 2 2a u u t sin x ( x , t 0) tt 1 xxx t u t 02 0 t sin x d x x 0 cos( ut t 1 sinxx ) 1 cos( x t) t 2 2 u( x , t ) U ( x , t ) V ( x , t ) 利用叠加原理
其中 f ( x , t ) F ( x , t ) /
齐次化原理
设 v( x, t; )是齐次cauchy问题
vtt a 2v xx 0 ( x , t ) (II) v 0 x t v t t f ( x , ) x
对应齐次方程 y py qy 0,
数学物理方程与特殊函数精品文档
故域 内 所 含 电 量 的 d 4E i倍 d v ， V 即 4 dV
数学物理方程与特殊函数
制作：北京理工大学 闫桂峰等
2019/10/4
主讲教师： 闫桂峰 E-mail: Tel：68912131(中教630)
2019/10/4
参考书目
梁昆淼. 数学物理方法（第三版）. 高等教 育出版社,2019。
闫桂峰. 数学物理方法. 北京理工大学出版 社,2009。
即
E n d S 4 (x ,y ,z )dV
d E i4 v ( x ,y ,z )
2019/10/4
1.1 基本方程的建立
静电场 E是有势场，故存在势函数 u, 有 Egraud
故
d g iu r v 4 a ( x ,d y ,z )
热场
1.1 基本方程的建立
傅立叶实验定律:
dQkudSdt n
物体在无穷小时段dt内沿法线方向n
流过一个无穷小面积dS的热量dQ与
时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS
法线方向的方向导数成正比.
n
S
M
VS
热场
从时刻 t 1 到时刻 t 2 经过曲面S 流入区 域V 的热量为
Q1
c u t xku x yku y zku z
(非均匀的各向同性体的热传导方程)
对于均匀的各向同性物体，
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l
l
l 1 l C0 = ∫ xdx = l 0 2
u ( x,0) ∞ nπ nπ = ∑ Dn cos x=0 t la l n =1
∞ 2l (1) 2 l nπ nπ u= +∑ cos t cos x 2 n =1 nπ la l
Dn = 0
2u 2u = a2 2 , 0 < x < l , t > 0, t 2 x u (l , t ) u (0, t ) = 0, + hu (l , t ) = 0, t > 0 x u ( x,0) = ( x), u ( x,0) = 0, 0≤ x≤l t u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 u ( x, t ) = X ( x)T (t ) u (l , t ) + hu (l , t ) 2 XT ′′ = a X ′′T x = X ′(l )T (t ) + hX (l )T (t ) X ′′ 1 T ′′ = 2 = λ = [X ′(l ) + hX (l )]T (t ) = 0 X a T
分离变量法
分离变量
2 2u 2 u 0 < x < l, t > 0 t 2 = a x 2 , t >0 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, u ( x,0) u ( x,0) = ( x), t = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l
T ′′ + λa 2T = 0 nπ λn = (nπ / l )2 求特征值和特征函数 X n ( x) = Bn sin x l nπa nπa 求另一个函数 ′ ′ Tn = C n cos t + Dn sin t l l ∞ ∞ ∞ nπa nπa nπ t + Dn sin t ) sin x 求通解 u = ∑ un = ∑ X nTn = ∑ (Cn cos l l l n =1 n =1 n =1 2 l nπ 2 l nπ xdx Dn = 确定常数 Cn = ∫ ( x) sin ∫0ψ ( x) sin l xdx 0 l l nπa
X ′′ + λX = 0
T ′′ +
λ
a
2
T =0
X ′′ + λX = 0, 0 < x < l X ′(l ) = 0 X ′(0) = 0,
2u 2u 0 < x < l, t > 0 = a2 2 , 2 x u (0, t ) tu (l , t ) X ′′ + λX = 0, 0 < x < l = = 0, t > 0 x x X ′(l ) = 0 X ′(0) = 0, u ( x,0) u ( x,0) = x, = 0, 0 ≤ x ≤ l t λ = β 2 < 0 X ′′ β 2 X = 0 X ( x) = Ae βx + Be βx
∞
Dn = 0
4 u=∑ cos(n 1 / 2 )πt sin (n 1 / 2)πx 3 3 n =1 ( n 1 / 2) π
2u 2u 0 < x < l, t > 0 = a2 2 , 2 x u (0, t ) tu (l , t ) = = 0, t > 0 x x u ( x,0) = x, u ( x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ l t u (0, t ) u ( x, t ) = X ( x)T (t ) = X ′(0)T (t ) = 0 x 2 a XT ′′ = X ′′T u (l , t ) = X ′(l )T (t ) = 0 X ′′ T ′′ x = a2 = λ X T X ′(0) = 0, X ′(l ) = 0
′ ′ Tn = C n cos(n 1 / 2)πt + Dn sin (n 1 / 2)πt
′ ′ un = X nTn = Bn sin (n 1 / 2 )πx[Cn cos(n 1 / 2)πt + Dn sin (n 1 / 2)πt ] = [Cn cos(n 1 / 2 )πt + Dn sin (n 1 / 2 )πt ]sin (n 1 / 2)πx
A= B=0
X ( x) = 0
X ′′ + β 2 X = 0
β n = (n 1 / 2)π , n = 1,2,3,
X ( x) = A cos βx + B sin βx X (0) = A = 0, X ′(1) = Bβ cos β = 0
X n ( x) = Bn sin (n 1 / 2 )πx
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
XT ′′ = X ′′T X ′′ T ′′ = = λ X T
X ′′ + λX = 0 T ′′ + λT = 0
u (0, t ) = X (0)T (t ) = 0 u (1, t ) = X ′(1)T (t ) = 0 x X (0) = 0, X ′(1) = 0 X ′′ + λX = 0, 0 < x < 1 X ′(1) = 0 X (0) = 0,
X ′(0) = A = 0, X ′(l ) = Bβ sin βl = 0 λ n = n 2π 2 / l 2 β n = nπ / l , n = 1,2,3, nπ X n ( x) = Bn cos x l
2u 2u λ = 0 X 0 ( x) = B0 0 < x < l, t > 0 = a2 2 , 2 x u (0, t ) tu (l , t ) λn = n 2π 2 / l 2 , n = 1,2,3, = = 0, t > 0 x x nπ u ( x,0) X n ( x) = Bn cos x u ( x,0) = x, = 0, 0 ≤ x ≤ l l t λ T ′′ + 2 T = 0 a ′ u0 = B0C0 = C0 ′ ′ ′ T0 (t ) = D0t + C0 = C0 T ′′ = 0 λ =0 nπ nπ n 2π 2 ′ cos ′ sin Tn = C n t + Dn t Tn′′ + 2 2 Tn = 0 λ >0 la la l a nπ nπ nπ ′ ′ x Cn cos t + Dn sin t u n = X nTn = Bn cos l la la nπ nπ nπ = Cn cos t + Dn sin t cos x la la l
λn = (n 1 / 2)2 π 2
2u 2u 0 < x < 1, t > 0 t 2 = x 2 , u (1, t ) λn = (n 1 / 2)2 π 2 , n = 1,2,3, t >0 = 0, u (0, t ) = x X n ( x) = Bn sin (n 1 / 2 )πx u ( x,0) u ( x,0) = x 2 2 x, = 0, 0 ≤ x ≤ 1 t T ′′ + λT = 0 2 Tn′′ + (n 1 / 2 ) π 2Tn = 0
λ = β 2 < 0
X ( x) = Ae βx + Be βx X ′′ β 2 X = 0 X (0) = A + B = 0, X ′(1) = Aβe β Bβ e β = 0 A=B=0 X ( x) = 0
λ =0
λ = β2 >0
X ′′ = 0
X ( x) = Ax + B
∞
u = ∑ u n = ∑ [C n cos(n 1 / 2)πt + Dn sin (n 1 / 2)πt ]sin (n 1 / 2)πx
n =1 n =1
∞
2u 2u 0 < x < 1, t > 0 t 2 = x 2 , u (1, t ) u (0, t ) = t >0 = 0, x u ( x,0) = x 2 2 x, u ( x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 t ∞ u = ∑ [Cn cos(n 1 / 2 )πt + Dn sin (n 1 / 2 )πt ]sin (n 1 / 2 )πx
X ′(0) = Aβ Bβ = 0, X ′(l ) = Aβe βl Bβ e βl = 0
A=B=0
X ( x) = 0
X ( x) = Ax + B
λ =0
X ′′ = 0
A=0
X 0 ( x) = B0
λ = β2 >0
X ′′ + β 2 X = 0
X ( x) = A sin β x + B cos βx
0 < x < l, t > 0 t>0 0≤ x≤l
l
nπ nπ u = C0 + ∑ Cn cos t + Dn sin la la n =1
∞
nπ t cos x l
u ( x,0) Hale Waihona Puke C0 + ∑ Cn cos
n =1
∞
nπ x=x l
∞ l nπ mπ mπ xdx = ∫ C0 + ∑ Cn cos x cos xdx = ∫ x cos xdx 0 0 l l l n =1 2 l nπ 2l Cn = ∫ x cos xdx = (1) 2 l 0 l nπ ∞ l nπ x dx = ∫ xdx C0l = C0 ∫ dx = ∫0 C0 + ∑ Cn cos 0 0 l n =1
2u 2u 0 < x < 1, t > 0 t 2 = x 2 , X ′′ + λX = 0, 0 < x < 1 u (1, t ) u (0, t ) = t >0 = 0, X ′(1) = 0 X (0) = 0, x u ( x,0) = x 2 2 x, u ( x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 t