向量的坐标表示教案Microsoft Word 文档
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
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1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
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1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
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最新整理高二数学教案向量的坐标表示与坐标运算.docx
最新整理高二数学教案向量的坐标表示与坐标运算课时7 向量平行的坐标表示（2）学习目标巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
知识扫描1．共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得 =λ .(  )2．设 =(x1, y1) =(x2, y2) 其中  , 则∥ (  ) x1y2-x2y1=0注：（1）该条件不能写成∵x1, x2有可能为0（2）向量共线的条件有两种形式：∥ (  )归纳: 向量平行的坐标表示要注意正反两方面，即若则例题选讲例1已知ａ＝（１，１），ｂ＝（ｘ，１），ｕ＝ａ＋２ｂ，ｖ＝２ａ－ｂ，（1）若ｕ＝３ｖ，求x；（2）若ｕ∥ｖ，求x.例2．已知点A（1，1），B（-1，5）及，，求点C、D、E的坐标，判断向量是否共线。
例3．已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0），（3，-1），（1，2），并且，求证：例4．已知四点A（x，0），B（2x,1）C(2,x),D(6,2x)。
(1)求实数x,使两向量，共线；（2）当向量，共线时，A、B、C、D四点是否在同一直线上？例5．设向量 =（k,12）， =(4,5), =(10,k),当k为何值时，A、B、C三点共线。
例6．已知 =2 ， =（-1，），且∥，求向量。
课内练习课本P75练习1-31．三点A（a,b）,B(c.d),C(e,f)共线的条件为2.已知A（1，-3），B（8，），若A、B、C三点共线，则C点坐标是3．向量 =（3，7）， =（-3，），（），若∥，则x等于4．已知 =（1，2）， =（x，1）,且( +2 )∥(2 - ),则x的值为课后作业1．以下各向量中，与向量 =（-5，4）平行的向量是A （5k,4k）B ( )C (-10,2)D (-5k,-4k)2．与 =（15，8）平行的所有单位向量是3．已知 =（3，4）， =（sinx，cosx）,且∥，则tanx=4．已知 =（-2，1-cos ）， =（1+ cos ，- ），且，则锐角 =5．下列各组向量相互平行的是A =（-1，2）， =（3，5）B =（1，2）， =（2，1）C =（2，-1）， =（3，4）D =（-2，1）， =（4，-2）6．已知 =（2，3）， =（-1，2）若k - 与 -k 平行，求k的值。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 学会向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)。
3. 向量的加法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的和向量为\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\) 和\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)\)。
4. 向量的减法：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的差向量为\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\) 和\(\vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y, a_z b_z)\)。
5. 向量的数乘：一个标量\(k\) 乘以向量\(\vec{a}\) 得到\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y)\) 和\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)\)。
6. 向量的点乘：两个向量\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 的点乘为\(a_x b_x + a_y b_y\) 和\(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体演示向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生通过小组讨论和实例分析，掌握向量的坐标表示和运算。
4. 利用练习题巩固所学知识，提高学生的实际运用能力。
向量的坐标表示及其运算教案
8.1 向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标：了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标:会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题;会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标:感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律,加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力,以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程,增强学习的主体意识，形成数学的应用意识,养成严谨、慎密的思维习惯.教学重、难点重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.（1)若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处,队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？［说明] 此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处。
这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案,这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻,四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米距FG边1米处,队员B在距EF边6米距FG边3米处,队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？［说明] 不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些,学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算,学习了这个内容之后,同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了,引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授1、向量的正交分解（1)基本单位向量：我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为.（2）位置向量:如图,称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量. 思考1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？如上图右，设如果点A的坐标为，它在小x轴，y轴上的投影分别为M,N，那么向量能用向量与来表示吗?（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得)，于是可得：（3)向量的正交分解：由上面这个式子,我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合,这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2、向量的坐标表示思考2:对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗?如下图左。
《3.1.4 空间向量的坐标表示》教案
《3.1.4 空间向量的坐标表示》教案教学目标:知识与技能:1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算;2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行.过程和方法:通过复习平面向量运算的坐标表示的推导过程,结合前面对空间向量的坐标表示,采用自主学习､讨论的方式对空间向量运算的坐标表示进行归纳总结,进而抽象概括出空间向量运算的坐标表示,提高学生对空间向量的坐标的理解.情感态度与价值观:1.体会空间向量的坐标解题的优越性,培养学习空间向量的兴趣.2.培养学生多角度思考问题的学习习惯,形成严谨的科学态度.教学重点:空间向量运算的坐标表示公式及运用.教学难点:空间向量运算的坐标表示公式推导.教学方法:讲练结合教具准备:1.多媒体课件2.实物投影仪3.三角尺 教学过程:【课前预习】完成下列练习:(上课前呈现答案,供学生进行对照､订正)1.若),(),,(2121b b a a ==则=+b a ___________;=-b a _____________.a λ= __________//a b ⇔____________1122(,),(,)A x y B x y AB = (3)若则__________ 2. 已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系, 写出正方体各顶点的坐标.3.分别求出点)1,3,2(--A 关于xoy 平面,zox 平面及原点O 的对称点.y 4.在平面直角坐标系内,平面向量可以用坐标表示.比如,若M(2,3),N(4,2),则=__________,=__________那么在空间直角坐标系内空间向量能否用坐标表示呢?比如,第2题中=_______,=_______设计意图:学生在一组基础习题的引领下,通过课前练习,复习空间直角坐标系的有关知识,为新课学习做好准备,促进学生学习向课前延伸,培养学生良好的预习习惯.【课堂实施】一､创设情境我们知道平面向量可以用坐标表示,并且可以用坐标进行运算,那么空间向量能否用坐标表示呢?如果能用坐标表示,又怎样用坐标表示?怎样进行坐标运算?设计意图:通过类比,呈现将要学习的内容､目标,激发学生思考和学习兴趣. 二､学生活动问题1 如图已知与x 轴､y 轴､z 轴方向相同的单位向量,j ,,对于空间任意一个向量,根据空间向量基本定理,向量可以表示为=____________(由此建构数学1)问题2 如图,已知空间一点A 的坐标为),,(z y x A ,那么向量怎样用坐标表示?(由此建构数学2)问题3 若123(,,)a a a a = ,123(,,)b b b b = ,则a b += ___________,a b -= ______________,a λ= _____________, ⇔≠)0(//a b a ________________(由此建构数学3)三､建构数学(时段教学目标: 培养学生的独立自主的探索意识与动手实践能力,加强学生之间的合作探究精神.学生相互讨论,填写下表,填写后给出幻灯片.)1.如图,在空间直角坐标系xyz o -中,分别取与x 轴､y 轴､z 轴方向相同的单位向量,j ,作为基向量,对于空间任意一个向量,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组),,(z y x ,使z y x ++=.有序实数组),,(z y x 叫做向量a 在直角坐标系xyz o -中的坐标,记作),,(z y x = 2.在空间直角坐标系xyz o -中,对于空间任意一点),,(z y x A ,向量OA 是确定的,容易得到k z j y i x OA ++=.因此,向量的坐标为),,(z y x OA =3.若123(,,)a a a a = ,123(,,)b b b b =,则),,(332211b a b a b a b a +++=+ ),,(332211b a b a b a b a ---=-R a a a ∈=λλλλλ),,,(321332211,,)0(//a b a b a b a b a b a λλλλ===⇔=⇔≠四､数学运用(时段教学目标:对基础知识点加深理解,灵活运用;分析题意,由学生述说解题思路､过程,教师适当板书扼要过程.)例1 已知 3,,)4,10,3(),8,3,1(-+-=-=求(时段教学目标:1.加深对向量坐标表示的理解,2以帮助学生对空间向量运算的坐标表示理解巩固.)(例1学生自行完成,指点一名学生在黑板上演示,老师在教室内巡视.)练习:80P 3,5例2 已知空间四点)10,0,10(),3,5,2(),1,3,2(C B A --和)9,4,8(D ,求证:四边形ABCD 是梯形.(时段教学目标:了解空间向量的坐标运算的初步应用.)变式1:已知ABCD 为平行四边形,)10,0,10(),3,5,2(),1,3,2(C B A --,求D 点坐标. 变式2:在空间直角坐标系内,平行四边形如何证明?变式3: 已知长方体''''D C B A ABCD -,)3,5,2(),1,3,2(--B A ,)5,4,3(-C ,)1,5,2('D ,求出平行六面体其余各顶点的坐标.建构数学4:若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则),,(121212z z y y x x ---=-=(学生先独立思考,再和其他同学讨论.教师巡视,了解学生情况,参与到学生的讨论中.教师请学生展示解法,同时请其他学生对该学生的解法作出评价.)教师实时小结:空间向量是处理立体几何问题的另一种方法.空间向量的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.空间向量运算的坐标表示将向量运算坐标化是几何问题代数化的桥梁,在空间向量中有着重要的地位和作用.五､回顾反思(时段教学目标: 由学生自我回顾与反思,归纳课堂的重点与难点,强调易错､易疏忽知识点.)。
向量的坐标表示及其运算优秀教案
平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一平面向量的正交分解思考如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，向量a如何表示？答a＝23i＋2j.1.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).2.在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).知识点三平面向量的坐标运算思考1设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.思考2根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标又如何表示？设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.类型一 求向量的坐标例1 如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22). ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，323， 即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，323. (2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323. (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解.即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.跟踪训练1 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标.解 (1)如图所示，利用三角函数的定义，可得：sin 60°＝y |OA →|，cos 60°＝x |OA →|，所以y ＝|OA →|·sin 60°＝43×32＝6，x ＝|OA →|·cos 60°＝43×12＝23，∴A (23，6)，∴OA →＝(23，6).(2)BA →＝OA →－OB →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7). 类型二 平面向量的坐标运算例2 已知三点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，点P 满足AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R ). (1)当λ为何值时，点P 在函数y ＝x 的图象上？ (2)若点P 在第三象限，求实数λ的取值范围. 解 设P (x 1，y 1)，则AP →＝(x 1－2，y 1－3). 因为AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)，所以AP →＝AB →＋λ AC → ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ).所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－2＝3＋5λ，y 1－3＝1＋7λ.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝5＋5λ，y 1＝4＋7λ.所以点P 的坐标是(5＋5λ，4＋7λ). (1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12.所以当λ＝12时，点P 在函数y ＝x 的图象上.(2)当点P 在第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0成立.解得λ＜－1.∴实数λ的取值范围是(－∞，－1). 反思与感悟 向量坐标运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练2 已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c . 解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1) ＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b . 类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2).当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6).当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).反思与感悟 利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求某些参数的值.跟踪训练3 已知M (2，－1)，N (0,5)，且点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，则P 点坐标为( ) A.(－2,11) B.⎝⎛⎭⎫43，3 C.⎝⎛⎭⎫23，3D.(－2,12)答案 A解析 因为点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，所以MP →＝2MN →，又MN →＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP →＝(－4,12)，故点P 的坐标为(－2,11).1.若{i ，j }为正交基底，设a ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则向量a 对应的坐标位于( )A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析 a 对应的坐标为(x 2＋x ＋1，－x 2＋x －1). ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0， －x 2＋x －1＝－⎝⎛⎭⎫x －122－34＜0. ∴a 对应的坐标位于第四象限.2.如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A.⎝⎛⎭⎫12，－13B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫－23，－13D.⎝⎛⎭⎫－34，25 答案 C解析 向量OP →用基底OA →，OB →表示具有唯一性，结合图形知x ＜0，y ＜0.3.已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，则以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )的形式为____________. 答案 a ＝17e 1＋47e 2解析 设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.4.已知两点M (3,2)，N (－5，－5)，MP →＝12MN →，则点P 的坐标是________.答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－32 解析 设O 为坐标原点. ∵MP →＝12MN →，OP →－OM →＝MP →，∴OP →＝OM →＋12MN →＝(3,2)＋12(－8，－7)＝⎝⎛⎭⎫－1，－32. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 5.如图，在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.答案 (－3，－5)解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5).1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.3.向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.一、选择题1.给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. 其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误. 2.已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(－2,2)D.(2，－2)答案 D3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A.－2,1B.1，－2C.2，－1D.－1,2答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.4.在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC ，BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫－12，－5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，5答案 B解析 ∵CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12×(－2,3)－12×(3,7)＝⎝⎛⎭⎫－12，－5，∴选B. 5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( ) A.(1，－1)B.(－1,1)C.(－4,6)D.(4，－6)答案 D解析 由题意知：4a ＋3b －2a ＋c ＝0. ∴c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2,4) ＝(4，－6).6.已知A (2，－3)，AB →＝(3，－2)，则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( ) A.B (5，－5)，M (0,0) B.B (5，－5)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 C.B (1,1)，M (0,0) D.B (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 答案 B解析 OB →＝OA →＋AB →＝(2，－3)＋(3，－2) ＝(5，－5)，AB 中点M ⎝⎛⎭⎫72，－4. 二、填空题7.已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________. 答案112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.8.已知A (－1,2)，B (2,8).若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________.答案 (1,2)解析 AC →＝13AB →＝13(3,6)＝(1,2)，DA →＝－23AB →＝－23(3,6)＝(－2，－4)，DC →＝DA →＋AC →＝(－1，－2)，∴CD →＝(1,2).9.已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________. 答案 －1解析 因为A (1,2)，B (3,2)，所以AB →＝(2,0). 又因为a ＝AB →，所以(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0).所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.10.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________. 答案 (9，－18)解析 CM →＝3(1,8)＝(3,24)， CN →＝2(6,3)＝(12,6)，MN →＝CN →－CM →＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18).11.若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________.(用a ，b 表示) 答案 12a －32b三、解答题12.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值.解 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.13.已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋t AB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由. 解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，∴－23＜t ＜－13.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解. 故四边形OABP 不能成为平行四边形.。
向量的坐标表示教案
向量的坐标表示教案教案标题：向量的坐标表示教学目标：1. 理解向量的概念和性质。
2. 掌握向量的坐标表示方法。
3. 能够在平面直角坐标系和空间直角坐标系中表示和计算向量。
教学内容：1. 向量的概念和性质的介绍：a. 向量的定义和表示方法。
b. 向量的模、方向和零向量。
c. 向量的加法、减法和数量乘法。
d. 向量的数量积和向量积。
2. 向量的坐标表示方法：a. 平面直角坐标系中的向量表示：i. 向量的坐标表示方法。
ii. 向量的加法、减法和数量乘法的坐标表示。
iii. 向量的数量积的坐标表示。
b. 空间直角坐标系中的向量表示：i. 向量的坐标表示方法。
ii. 向量的加法、减法和数量乘法的坐标表示。
iii. 向量的数量积和向量积的坐标表示。
教学步骤：1. 导入：通过一个生活中的例子引入向量的概念，激发学生对向量的兴趣和好奇心。
2. 知识讲解：通过教师讲解和示意图展示向量的概念、性质和坐标表示方法。
3. 理解巩固：组织学生进行小组讨论，解决一些简单的向量计算问题，加深对向量的理解和运用。
4. 练习应用：提供一些练习题，让学生在平面直角坐标系和空间直角坐标系中进行向量的坐标表示和计算。
5. 拓展延伸：引导学生思考向量的应用领域，如力学、几何等，并展示一些相关应用实例。
6. 总结归纳：对向量的概念、性质和坐标表示方法进行总结，并强调重要概念和关键点。
7. 作业布置：布置一些练习题和思考题，巩固和拓展学生对向量的理解和应用能力。
8. 提问互动：鼓励学生提问和回答问题，加强师生互动和学生之间的交流。
教学资源：1. 教材：根据教学大纲选择合适的教材和教辅资料。
2. 示意图：准备一些示意图，以图形化方式展示向量的概念和坐标表示方法。
3. 小组讨论题：准备一些小组讨论题，促进学生之间的合作和交流。
4. 练习题：准备一些练习题，包括计算题和应用题，用于学生的练习和巩固。
评估方式：1. 教师观察：观察学生在课堂上的参与程度、理解情况和问题解决能力。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义解释向量的概念，即有大小和方向的量。
强调向量与标量的区别。
1.2 向量的表示方法介绍用箭头表示向量，并标注大小和方向。
讲解用坐标表示向量，特别是二维和三维空间中的向量。
1.3 坐标系的引入介绍坐标系的概念，包括直角坐标系和柱面坐标系等。
解释坐标系在表示向量中的应用。
第二章：向量的运算2.1 向量的加法讲解向量加法的定义和几何意义。
给出向量加法的坐标表示公式。
2.2 向量的减法解释向量减法的定义和几何意义。
推导向量减法的坐标表示公式。
2.3 向量的数乘讲解向量数乘的定义和几何意义。
展示向量数乘的坐标表示方法。
第三章：向量的线性组合3.1 线性组合的定义解释向量的线性组合及其概念。
强调线性组合中系数的选择。
3.2 线性组合的坐标表示给出向量的线性组合的坐标表示方法。
讲解线性组合的坐标运算规则。
3.3 线性相关与线性无关介绍向量组线性相关的概念。
解释线性无关的概念及其判断方法。
第四章：向量的数量积（点积）4.1 数量积的定义讲解数量积的概念和几何意义。
强调数量积的计算公式。
4.2 数量积的性质介绍数量积的基本性质，包括交换律、结合律等。
讲解数量积与向量长度的关系。
4.3 数量积的应用展示数量积在解决向量垂直、夹角等问题中的应用。
讲解数量积在坐标系中的运算规则。
第五章：向量的向量积（叉积）5.1 向量积的定义解释向量积的概念和几何意义。
强调向量积的计算公式。
5.2 向量积的性质介绍向量积的基本性质，包括交换律、结合律等。
讲解向量积与向量长度和夹角的关系。
5.3 向量积的应用展示向量积在解决向量垂直、平行等问题中的应用。
讲解向量积在坐标系中的运算规则。
第六章：向量的长度和单位向量6.1 向量长度的概念解释向量长度的定义和几何意义。
强调向量长度是标量，表示向量的大小。
6.2 向量长度的计算讲解如何利用坐标计算向量的长度。
给出向量长度计算的坐标公式。
中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》word教案
2.3.4 平面向量共线的坐标表示编制人： 使用时间：2011年 月 日 姓名： 班级：三维目标：1.知识与技能：（1）掌握平面向量的坐标运算；（2）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.2.过程与方法：利用已经学过的向量加减，数乘坐标运算来推导共线的坐标表示3.情感态度价值观：培养从已知到未知的自主探究精神，调动学生的积极性和主动性学习重点：平面向量的坐标运算,共线的坐标表示学习难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.学习过程：一、复习: 已知),(11y x a = ，),(22y x b = 则b a +=_______b a -=_______λa =______二、新知：1.平面向量共线的坐标表示思考:如何用坐标表示两个共线向量?解析:设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠0 .因为a ,b 共线,当且仅当存在实数λ使得______________由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) 即____________________消去λ，_________________a ∥b (b ≠)的等价条件是______________________注：向量共线的等价条件有a ∥b (b ≠)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=2．看课本的例1例2完成101页A 组5题B 组2题例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 分线段P 1P 2满足∣P 1P ∣ =2∣PP 2∣，求点P 的坐标.(3) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.练习：课本101页练习5、6这节课我的收获是：1.向量共线的等价条件是：__________________2.P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 当点P 是线段P 1P 2的中点时,则点P 的坐标（ ）当点P 分线段P 1P 2满足P 1P =λPP 2时点P 的坐标是（ ）当堂检测：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A.-3 B .-1 C.1 D.33.若AB =i +2j ， DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44. 若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 的值为________5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = .。
向量的坐标表示-教学设计
7.3.1 向量的分解
【教学目标】
1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．
2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．
3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．
【教学重点】
平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．
【教学难点】
理解平面向量的基本定理．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．
7.3.2 向量的直角坐标运算
【教学目标】
1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．
3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
【教学重点】
平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．
【教学难点】
理解平面向量的坐标表示．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．
【教学过程】。
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平面向量的坐标表示
周至三中郭彩妮
教学目标：
1，掌握平面向量的坐标表示
2，会熟练进行平面向量的坐标运算
复习回顾（提问学生）
1，平面向量基本定理:
如果e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数λ 1 , λ2使得
a= λ1 e1+ λ2 e2.,
2，什么叫平面的一组基底?
同一平面内，不共线的两向量e1, e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.
3，平面的基底有多少组?
无数组
引入:
1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
预习检查（让学生在黑板上展示）
1，已知A 点坐标(2 , 2)，求 的坐标。
2，已知向量 ，用 与 表示 。
3，已知向量 ， 。
求： , a b + 4，已知点 A(-2 , -3),B(1 , 2) ,求 坐标。
新课：平面向量的坐标表示 我们把（x,y)叫做向量 的（直角）坐标，记作 =(x ，y), 其中x 叫做 在x 轴上的坐标y 叫做 在y 轴上的坐标，（x ,y ）叫做向量的坐标表示.
)(10i = )(01j = )(000=
平面向量的坐标运算
已知)(11a y x = )(22b y x = 则()11a b i j y x +=+ +()
22i j y x +
=()()1212i j y y x x +++
x
OA ()1,2a =- i j a ()1,2a =-- ()
3,4b = 2a AB a b - a a
a a
()1212,a b y y x x +=++
()1212
,a b y y x x -=-- 这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
(让雪上自己总结)
数乘向量的坐标运算
已知(),a x y = 和实数λ，则(),a x y λλλ=
解： a x i y j
=+ ()a xi y j λλ=+ =a xi y j λλλ=+
(,)x y λλ=
即：(,)a x y λλλ= 这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标。
（学生总结）
有向线段的坐标运算
如图,已知A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2), 则
AB OB OA =-
()()()2121
2121
,,,y y x x y y x x =-=--
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
（让学生自己总结）
自我检测
一， P89 第2，3，4
二，若向量 用 和 表示 小结：（提问学生自己在本节课中的收获，让学生总结本节课的主要
内容）
课堂作业
必做题：P89，第1，2，3，5 选做题：已知点O （0，0),A(1,2），B(4,5)及 求；(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二y
x O
B(x 2 , y 2)
A(x 1 , y 1)
()1,1a = ()1,3b =- ()5,6c = a b
c OP OA t AB
=+
象限？
（2）四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值：若不能，说明理由。
预习布置
1，如果两个向量平行它们的坐标满足什么关系？
2，根据已知向量坐标怎样判断两个向量共线？
3，做P89第5题。