复变函数08-12年自考试题

全国2008年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于12．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w3．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +4．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．05．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-6．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（ ）A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 7．z -21的幂级数展开式∑∞=0n nnza 在z =-4处（ ）A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．收敛于61 8．幂级数∑∞=+0)1(1n n nz i 的收敛半径为（ ） A ．2 B ．1 C ．21 D ．09．函数z z tan 在z =0点的留数为（ ） A ．2 B ．i C ．1 D ．010．函数2ze e ibz iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（ ） A ．)(a b i - B ．a b - C ．b a - D ．)(b a i -二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．设i z 101103+-=，则=_z ____________. 12．方程i z 31ln π+=的解为____________.13．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.14．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.15．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.16．若在幂级数∑∞=0n n n z b 中，i b b nn n 43lim1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本小题6分）设复数)2)(1(--=i i iz（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 18．（本小题6分）设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．(本小题7分)设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20．(本小题7分)设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=， 求),(y x v . 21．（本小题6分）求)2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<z 内的罗朗级数展开式.22．（本小题6分）设z z f -=11sin )(的幂级数展开式为∑∞=0n nnza ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.23．（本小题7分）设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z ze izC-⎰π24．（本小题7分）求)(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，两题都做按前一题评分。

每小题8分，共16分）25．利用留数计算积分⎰+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(222. 26．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3arg 0<<<z z π求下列保角映射：（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1； （2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限； （3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限. 27．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换.复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设z =i+-11，则z 为（ ）A ．21i+- B ．21i-- C ．21i- D ．21i+ 2．下列集合为有界闭区域的是（ ）A ．0< arg (z+3)≤2π B ．Re (z -i )<1 C ．1≤Im z ≤2D ．1≤i z -≤43．Ln(-4+3i )的主值是（ ）A ．ln5+i (-π-arctg 34)B ．ln5+i (π-arctg 34)C ．ln5+i (-π-arctg43) D ．ln5+i (π-arctg43) 4．正弦函数sin z=（ ）A ．ie e iziz 2--B ．2iz iz e e --C ．ie e iz iz 2-+D ．2iziz e e -+5．复积分⎰iiz dz e 0的值是（ ）A ．-（1-e -1）iB ．e -1iC ．（1-e -1）iD ．-e -1i6．复积分⎰=---21i z ziz e dz 的值是（ ） A ．e i B ．e -i C ．2πie iD ．2πie -i7．z =0是函数2zcos 1z-的（ ）A ．本性奇点B ．可去奇点C ．一阶极点D ．二阶极点8．Res []1,ctg z π=（ ）A ．-π1B ．π1 C ．-2i D ．2i 9．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（ ）A ．-3π<ϕ<0B ．-3π<ϕ<0 C ．0<ϕ<3π D ．0<ϕ<3π10．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换[])(t f 为（ ）A ．2ω-eB ．22ω-eC ．22ωeD ．2ωe二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.复数1-3i 的三角表达式是_________________.12.tgz 的所有零点为_________________.13．⎰=-13cos i z z zdz e =______________.14．幂级数∑∞-12n nnnz 的收敛半径是____________. 15．设n z z f nn n2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________. 16．分式线性映射iz iz +---=11ω把上半平面Im z >0映射成___________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）用θcos 与θsin 表示θ5cos ．18．（本题6分）已知z ≠时22yx yx +-=υ为调和函数，求解析函数υi u z f +=)(的导数)(z f '，并将它表示成z 的函数形式．19．（本题6分）计算积分I=dz ix y x c⎰+-)(2，其中C 为从0到1+i 的直线段．20．（本题6分）将函数f(z)=ln(z 2-3z +2)在z =0处展开为泰勒级数． 21．（本题7分）函数f (z )=x 2-y 2-x +i (2xy-y 2)在复平面上何处可导？何处解析？22．（本题7分）计算积分I=dz z z c ⎰+-)1()1(122，其中C 为正向圆周x 2+y 2-2x =0. 23．（本题7分）利用留数计算积分I=⎰-c zdz z e 22)1(，其中C 为正向圆周z =2． 24．（本题7分）将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z <1内展开为罗朗级数．四、综合题（下列３个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，若两题全做，以26题计分。

每小题8分，共16分）25．（1）求1)(242++=z z z z f 在上半平面内的所有孤立奇点．（2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数．（3）利用以上结果计算积分I=dx x x x ⎰+∞∞-++1242．26．设Z 平面上区域D ：z <2且i z ->1．试求以下保角映射: （1）)(11z f =ω把D 映射成W 1平面上的带形域D 1：41<Im ω1<21; （2）)(122ωωf =把D 1映射成W 2平面上的带形域D 2：0<Im ω2<π; （3）)(23ωωf =把D 2映射成W 平面上的区域D 3：Im ω>0; （4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0. 27.（1）求sin t 的拉氏变换（sin t ）； （2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧-==+'1)0(sin y ty y全国2009年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设z =1-i ,则Im(21z )=（ ） A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（ ） A ．0B ．4πC ．2π D ．43π 3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ） A ．1-2πi B ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+ 4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =1 5．积分⎰=2iiπz dz e （ ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π26．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（ ）A ．i π23-B ．i π3-C ．i π43 D ．i π23 7．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ ） A ．i π2- B ．i π- C ．i π D ．2i π8．点z =0是函数)1(sin )1()(2--=z z ze zf z 的（ ）A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点9．函数)3)(2()(-+=z z zz f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为（ ）A ．z ＜2B ．1-z ＜2C ．z ＜3D ．1-z ＜310．设)1(sin )(2z z zz f -=,则Res[f (z ),0]=（ ）A ．-1B ．-21 C ．21 D ．1二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。