幂函数知识归纳及习题(含答案)

自主梳理1．幂函数的概念形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点y ＝x R R 奇 Z (1,1)y ＝x 2 R [0，＋∞)偶 [0，＋∞)Z (－∞，0][y ＝x 3R R 奇 ZY ＝x 12[0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞)Z Y ＝x －1(－∞，0) ∪(0，＋∞)(－∞，0) ∪(0，＋∞)奇(－∞，0)[(0，＋∞)[(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点．1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4C.22D. 2 2．下列函数中，其定义域与值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 13D ．y ＝x 23．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)5．(2013·蚌埠二中调研)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．－b2aB ．－baC ．c D.4ac －b 24a6．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数D ．与m 有关 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图像关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．8．(2012·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．9．(2012·无锡联考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．10．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．11．已知二次函数f(x)的图像过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．12．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f (x )的值域．1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12 C.34D ．12．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．3．(2012·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．答 案 课时跟踪检测(九)A 级1．选C 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入解析式得：α＝－12， ∴f (2)＝2－12＝22.2．选D 对A ，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B ，定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C ，定义域值域均为R ；对D ，定义域为R ，值域为[0，＋∞)．3．选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 4．选D 由已知可得二次函数图像关于直线x ＝1对称，又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．选C 由题意得：a ≠0，x 1＋x 22＝－b 2a ，x 1＋x 2＝－b a .得f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b 2a ＋c ＝c .6．选B 法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0.法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 7．①②⑤⑥8．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．解析：若m ＝0，显然－1<0恒成立， 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ<0.∴－4<m <0.故所求范围为：－4<m≤0.答案：(－4,0]10．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－12＋p＋32>0，2p即p2－2p－3<0.∴－1<p<3.又∵f(x)是偶函数且p∈Z，∴p＝1，故f(x)＝x2.11．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8，当x∈[0,3]时，由二次函数图像知，f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．12．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图像如图，(3)由图像可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．B 级1．选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.。