辽宁省大连市高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.5 空间距离教案 新人教B版选修2-1
距离
为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
类型三线面距离与面面距离例3 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD 且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝3，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE 的距离．1．评价、总结
2．答疑解惑学生展示讲解，其
余小组评价。
学生自主
探究，培
养学生分
析问题解
决问题的
意识
3.
做议讲评1 如图，在空间直角坐标系中
有长方体ABCD－
A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，
AA′＝3，求点B到直线A′C
的距离．
2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)求点C1到平面AB1D的距离．
3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1
的棱长为1，求平面A1BD与平面
B1CD1间的距离．
1、组织课堂
2、对学生的展
示和评价要给
予及时的反
馈。
3.要对学生不
同的解题过程
和答案给出准
确的评价，总
结。
1）按小组会的人
数多少，选小组代
表去黑板板演并
讲解
2）学生用投影仪
展示答案
3）其余同学质疑、
挑错
让更多学
生主动参
与课堂及
主动学会
知识
16
分
钟
4．
总结提升1、提问:本节
课学习目标是
否达成？
2、归纳总结
解题方法
1、抽签小组展示
讨论的结果。
2、总结方法
培养学生
归纳总结
习惯，强
化知识及
方法
3
分
钟
5．
目标检测检测卷巡视学生作答
情况。
以小组为单位组
长收齐上交
检查学生
对本课所
学知识的
掌握情
况。
5分
钟
6
布置下节课自主学习任务1、阅读教材，完成课后习题
2、完成优化学案预习测评
让学生明确下节
课所学，有的放
矢进行自主学
习。
2分钟
7. 板书
3.2.5距离一点线距离例1 二点面距离例2 三线面距离与面面距离例3
8.课后
反思学生分类归纳能力有了明显提高，但计算能力和知识的综合运用能力
还需提升
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A ．10
B ．3 C.83 D.10
3
2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离为( ) A. 2 B ．2 C.
22 D.322
3．若O 为坐标原点，OA →＝(1，1，－2)，OB →＝(3，2，8)，OC →
＝(0，1，0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.
1652 B ．214 C.53 D. 532
4．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________．
5．设A (2，3，1)，B (4，1，2)，C (6，3，7)，D (－5，－4，8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法(第3课时)空间向量与空间距离选学课件选修2_1
解：建系如图，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)， G(2，1，0)，所以A→G＝(0，1，0)，G→E＝(－2，1，1)， G→F＝(－1，－1，2)． 设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量， 点 A 到平面 EFG 的距离为 d，
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间向量与空间距离(选学)
第三章 空间向量与立体几何
考点 点到直线的 距离 点到平面的 距离
学习目标
核心素养
了解点到直线的距离并会用 直观想象、数学
向量方法求解
运算
了解点到平面的距离并会用 直观想象、数学
向量方法求解
运算
空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点间 的距离
设平面 AB1D1 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AA→→BD11＝＝00，，即xy－－hhzz＝＝00，，取 z＝1，得 n＝(h，h，1)，所
→ 以点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d＝|n·|nA|C|＝
hh＋2＋hh＋2＋0 1＝43，
解得 h＝2.
故正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的高为 2.
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，
则 d＝|A→B|＝ A→B·A→B＝ ___（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1_）__2＋___（__z2_－__z_1_）__2 _____
点到平 面的距离
设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点到平 面 α 的距离 d＝|B→A|n·| n|
d＝
|B→C|2－B→C→·A→′C2)＝
4－1164
|A′C|
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。
（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离课堂导学案新人教B版选
3.2.5 距离（选学）课堂导学三点剖析一、由定义求距离【例 1】 棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，侧面是 PAB ，PAC 都垂直于底面，另两侧面与底面 成 45°角，M 、N 分别为 BC 、CD 的中点，最长的侧棱为 15 cm.求： （1）棱锥的高；（2）底面中心 O 到平面 PMN 的距离.解析：棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.(1)设高为 h,由平面 PAB ，平面 PAC 都垂直于底面，得 PA⊥底面 AC.又∠PBA=45°， ∴PA=AB=h,AC= 2 h.由 PA 2+AC 2=PC 2及 PC=15，得 PA=5 3 （cm ）; (2)∵BD⊥AC ，BD⊥PA ，z ∴BD⊥平面 PAQ. 又 MN∥BD ，∴MN⊥平面 PAQ ，∴平面 PAQ⊥平面 PMN.做 OH⊥PQ 于 H ，则 OH 之长即为所求. 做 AG⊥PQ 于 G.在 Rt△PAQ 中，AQ= 3 4AC=3 2 4h, PQ=34PA.2AQ 23∴AG= PA PQ A Q3 17 17h.再由 OH AG O Q QA 1 3，得OH=1 3 AG= 17 17 h= 5 51 17(cm). 温馨提示1由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往 往成为正确解题的关键. 二、通过转化求距离【例 2】如左下图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面 AB 1D 1与平面 C 1BD 的距 离.解：如右上图，可证得 A 1C⊥平面 AB 1D 1，A 1C⊥面 C 1BD.设 A 1C 和平面 AB 1D 1及平面 C 1BD 分别交 于 P 、Q 两点.则 PQ 就是两平行平面 AB 1D 1和平面 C 1BD 的公垂线段.连结 A 1C 1交 B 1D 1于点 O 1， 连结 AC 交 BD 于点 O ，由对角面 A 1C 1CA 与两平行平面 AB 1D 1和平面 C 1BD 分别相交于 AO 1和 C 1O 知 AO 1∥OC 1.由正方体的特性易计算对角面 A 1C 1CA 中，O 1A 1= 2 2a,A 1A=a,A 1C= 3 a,于是在Rt△AA 1O 1中，AO 1= 6 2a.由面积关系得A 1P=2OAA Aa 1112 AO6 12a 3 3. 同理可求得 CQ=3 3a, 2 3∴PQ=A 1C-2A 1P= 3 a-a=33 3a. 温馨提示本例应用两方面的转化，其一是空间距离的转化，其二是空间问题转化为平面问题，转化 为平面问题后，为使思路清晰，可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方法， 注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后，也可以用三角形的中位线的性质得 A 1P=PQ ，CQ=PQ 知 A 1P=PQ=QC ，即先证明 P 、Q 两点三等分对角线 A 1C 后再计算.该例还有多 种解法.三、利用向量求距离【例 3】如下图，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为 a.2(1)求证：平面 B 1AD 1∥平面 BC 1D ；（2）求平面 B 1AD 1与平面 BC 1D 间的距离.(1)证明：由正棱柱的性质知 B 1BDD 1与 AB 1C 1D 分别为矩形，∴AB 1∥DC 1，D 1B 1∥DB ， 故 面 B 1AD 1∥BC 1D.(2)解：由两平行平面间距离的定义知，面 B 1AD 1与面 BC 1D 间的距离等于 B 1到面 BC 1D 的距离. 设 B 1M⊥面 BC 1D ，M 为垂足，且 B 1M 延长后交面 ABCD 于 N ，以 AB ， AD ，A A 分别为 x,y,z1轴的非负轴建立空间直角坐标系，则 B 1（a,0,a ）,设 N （x,y,0）,B 1N =(x-a,y,-a),BD =(-a,a,0),BC 1 =(0,a,a).由 B N1⊥ BD ，得B1N ·BD =-a(x-a)+ay=0.①由 B N1⊥ BC 1 ，得 B 1N ·BC 1 =ay-a2=0.②解①②得 y=a ，x=2a.于是B N1=（a,a,-a ）.记〈 B 1B ,B 1N 〉=θ,则|B 1M B 1M|=|B B 1 |·cosθ. 由 B 1B·B 1N =|B 1B |·|B 1N |·cosθ, ∴| B M1|=B BB N 1|1| B N1=(0,0a )(a ,a ,a )a2a 2a 2= 3 333a.故点 B 1到面 BDC 1的距离为33a ，亦即所求距离为3 3a.温馨提示利用向量方法求解的思路有两个：一是设公垂线段的向量坐标，借助于垂直将此向量坐标 确定出来；二是求与公垂线平行的向量 n ,然后求端点在两异面直线上的向量在 n 上的射影即 可.各个击破类题演练 1设 AC 、BD 分别是夹在两个平行平面 α、β 间的两条线段，且 AC=13 cm ，BD=15 cm ， AC 、BD 在平面 β 上的射影长的和是 14 cm ，求 AC 、BD 分别在平面 β 上的射影长以及平面 α 和平面 β 间的距离.解：过A、B分别作AA1⊥β,BB1⊥β,A1、B1为垂足，连结A1C、B1D，则A1C、B1D为AC和BD 在平面β内的射影，且∠AA1C、∠BB1D均为直角.∵α∥β，3∴AA 1⊥α,BB 1⊥α,AA 1(或 BB 1)就是 α 与 β 的公垂线段.设 AA 1=BB 1=z,A 1C=x,B 1D=y.222x z 13 ,2z,由题意得y 2 152x y 14,x 5, 解得y 9,z 12.∴AC 、BD 在 β 的射影长分别是 5 cm 、9 cm ；两平面 α、β 间距离为 12 cm. 变式提升 1如下图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′中，棱 AA′=5,AB=12,求直线 B′C′和平面 A′BCD′的距离.解：∵B′C′∥BC,BC 平面 A′BCD′，∴B′C′∥平面 A′BCD′.于是 B′C′到平面 A′BCD′的距离等于点 B′到平面 A′BCD′的距离.过点 B′在平面 A′B′BA 中作 B′E⊥A′B 于点 E. ∵BC⊥平面 A′B′BA ，B′E 平面 A′B′BA ， ∴B′E⊥BC.又 B′E⊥A′B ，而 A′B∩BC=B,∴B′E⊥平 面 A′BCD′.即 B′E 为 B′点 到 平 面 A′BCD′的 距 离 .在 Rt△A′B′B 中 ， BB′=5，A′B′=12，∴A′B=13.由面积关系 A′B′·B′B=B′E·A′B ，∴B′E=A ' BB ' B ' 5 12 A 'B1360 13.所以 B′C′和平面 A′BCD′的距离为 6013.类题演练 2如右图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱 AB 和 BC 的中点. 求点 D 到平面 B 1EF 的距离.解：由于平面 B 1EF 的法向量 n 1=(2,2,-1),又 DB 1=（a,a,a ）. ∴点 D 到平面 B 1EF 的距离 d=|D B1| n 1|n 1 | =2a 2a a3=a. ∴点 D 到平面 B 1EF 的距离为 a. 变式提升 2如右图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，∠B=60°，PC⊥面 ABCD ，PC=a,E 是 PA 的中点.4求 E 到面 PBC 的距离.解：EO∥PC ，PC 面 PBC ，EO∥面 PBC ，所以点 O 到面 PBC 的距离等于 E 的面 PBC 的距离， 作 OF⊥BC 于 F.因为 PC⊥面 ABCD ，PC 面 PBC ， 所以面 PBC⊥面 ABCD ，于是 OF⊥面 PBC ，OF 的长等于 O 到面 PBC 的距离. 由条件可得 OB=3 2a, OF= 3 2a× 1 2= 3 4a,所以 E 到面 PBC 的距离为3 4a.类题演练 3如下图，已知长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a,AD=b,AA 1=c,求顶点 C 到体对角线 AC 1的距离.解：分别以 AB 、AD 、AA 1为 x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，记点 C 在直线 AC 1的 射 影 为 G ， 则 A C =（ a,b,c ） ,CC =(0,0,c).由 数 量 积 的 几 何 意 义 得 |C G11 1|=|CC ·1|A C 1AC 1||= | 1 AC 1|·|CC · 1AC|= 1 a2c2b2c2.在 Rt△GCC 1中，|CG |= | CC2C G 2 =1|||1c2c4=c·a bc222a 2a 2b 2b 2c 2,这就 是顶点 C 到对角线 AC 1的距离. 变式提升 3如右图，在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=4，AA 1=6，E 是 BC 的中点，F 是 CC 1的中 点，建立空间坐标系，求：异面直线 B 1E 与 D 1F 的距离.解：设 B E1 与 D 1F 的公垂向量为m =(1,λ′,μ′).则由 B 1E ·m =0,D 1F ·m =0,得m =(1,2,23).5又EF=（0,2,3）,所求B1E与D1F的距离|EF m|d=|m|187.6。
《空间向量和立体几何》复习教案
空间向量与立体几何一、教学目标1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；2.用向量方法求解线面的夹角、距离、证明平行或垂直关系；3.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题．二、教学重点培养向量方法解决立体几何的思维方法三、知识要点1.运用空间向量求空间角(1)求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．(2)求线面角借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角ϕ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin cos a u a uθϕ•==(3)求二面角方法1：是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；方法2：转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．2.运用空间向量求空间距离，求解步骤是：(1)求出该平面的一个法向量；(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．||||AB n dn⋅=3.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.4.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.四、知识总结1.把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。
高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.2~06《立体几何中的向量方法求空间距离》1(人教A版选修2-1)
课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】课时：06 课型：新授课教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． （1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.在PAO Rt ∆中，θθsin ||sin AP d =⇒=又sin =θ||n d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）例１：如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离．解：如图，设=CD 4i ，=CB 4j ，=CG 2k ，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-， (0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-．设BM ⊥平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++(1)a b c ++=，∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a+4b,－2b －4c,2c)． 由⊥BM 平面EFG ，得BM GE ⊥，BM EF ⊥，于是 0BM GE ⋅=，0BM EF ⋅=．∴ (24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01a b b c c a b b c c a b c +--⋅-=⎧⎪+--⋅-=⎨⎪++=⎩整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得1511711311a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩． ∴ BM ＝(2a+4b,－2b －4c,2c)＝)116,112,112(． ∴||BM ⎛==故点B 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，为11D C 的中点，求下列问题： （1） 求1B 到面BE A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D-，则),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量x则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n 选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为3211==d课后练习：1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC ,∠ACB 到面BC A 1的距离.2.在三棱锥ABC S -中， ABC ∆是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，黄肌瘦32==SC SA ，M 、N 分别为AB 、SB 的中点,求点到平面CMN 的距离.x教学反思:。
高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.2~07《立体几何中的向量方法求空间距离》(2)(人教选修2-1)
课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(2)【教学简案】课时：07 课型：新授课教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． （1）空间线线距离： 异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，n 是与b a ,都垂直的向量） 例1：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，为11D C 的中点， 求异面直线B D 1与E A 1的距离.xyz D -系如图建立空间直角坐标解:)1,1,1(),0,21,1(11-=-=∴B D E AB D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n d 例2：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC 间的距离。
111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2D B AE 则xAD CB1A 1C 1B 1D课堂练习：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC1间的距离。
（2）空间线面距离及面面距离：直线到平面的距离 转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）例3：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求平面11C DA 和平面C AB 1间的距离AD CB1A 1C 1B 1D C1A 1C 1B 1D例4：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD ，求直线A 1D 和平面C AB 1间的距离课后作业：同步练习册 3.2~07教学反思:。
高二数学《空间向量与立体几何》教案范文
ABCDEyk iA(x,y,z)O jxz空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a ai a j ak =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）//a b b a λ⇔=112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
高三数学教案立体几何与空间向量
高三数学教案立体几何与空间向量高三数学教案—立体几何与空间向量一、教学目标通过本次教学，学生应能够：1. 了解立体几何的基本概念和性质，并能应用这些概念进行推理和证明；2. 掌握空间向量的定义和运算法则，并能够运用空间向量解决实际问题；3. 熟悉立体几何和空间向量在解决实际问题中的应用，培养数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点1. 立体几何的基本概念和性质；2. 空间向量的定义和运算法则；3. 立体几何和空间向量在解决实际问题中的应用。
三、教学内容1. 立体几何立体几何是研究三维空间中图形、面和体的形状、大小、位置及其相互关系的数学学科。
在本节课中，我们将学习以下内容：1.1 空间图形的描述和表示方法；1.2 空间直线和平面的性质；1.3 空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 空间向量空间向量是用于表示和研究空间中点、直线、面的数学工具。
在本节课中，我们将学习以下内容：2.1 空间向量的定义和表示方法；2.2 空间向量的线性运算法则；2.3 空间向量的数量积和向量积计算方法。
四、教学方法1. 概念讲解：通过归纳总结与实例分析，介绍立体几何和空间向量的基本概念和性质。
2. 示例演练：通过解决典型问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养解决问题的能力。
3. 引导探究：通过课堂讨论和小组合作，引导学生自主探究立体几何和空间向量的规律和方法。
五、教学步骤1. 第一节课：立体几何1.1 导入：通过展示实际生活中的立体图形，激发学生对立体几何的兴趣。
1.2 概念讲解：依次介绍空间图形的描述和表示方法、空间直线和平面的性质以及计算空间几何体的表面积和体积的方法。
1.3 示例演练：通过数个例子，引导学生应用所学知识计算空间几何体的表面积和体积。
1.4 小结：对本节课所学内容进行总结，并提出下节课将要学习的内容。
2. 第二节课：空间向量2.1 导入：通过实际问题引入空间向量的概念，引发学生思考和探究。
2.2 概念讲解：依次介绍空间向量的定义和表示方法、空间向量的线性运算法则以及计算空间向量的数量积和向量积的方法。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体
3.2.5 距离(选学)1．理解图形F 1与图形F 2的距离的概念．2．掌握四种距离的概念．3．会解决一些简单的距离问题．1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________，叫做图形与图形的距离．此概念中的图形不仅仅是平面图形，也包括空间图形．【做一做1】空间直角坐标系中，已知A (2,3,4)，B (－2,1,0)，C (1,1,1)，则C 到AB 中点的距离为( )A ．1B ． 3C ．2D ． 52．点到平面的距离一点到它在一个平面内________的距离，叫做点到这个平面的距离．求点到平面的距离时，一般是过该点作平面的垂线，也可利用等积法求解．【做一做2】在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点A 1到平面BB 1D 1D 的距离为( )A ．aB ．12a C ．34a D ．22a 3．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．求线面距离时，注意在l 上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解．【做一做3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则BC 到AB 1C 1D 的距离为( )A ．1B ．22C ． 2D ． 34．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面________的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线________平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段． (3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线段的长就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距离，可以用点到平面的距离求解．【做一做4】已知平面α∥平面β，空间一点到α的距离是4，到平面β的距离是2，则平面α与平面β的距离是( )A ．2B ．6C ．2或6D ．以上都错如何求点到平面的距离？剖析：如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度． 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA 中，|BO |＝|AB |·cos∠ABO . 如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面α的距离为|BO |＝||||AB n n ⋅.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n |n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB ·n 0|.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．题型一 用向量求两点间的距离【例1】已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求A 与C ′的距离．分析：解答本题可先用基底表示AC ′，然后平方求|AC ′|.反思：空间距离本质上是点与点的距离，求空间两点的距离常常转化为求向量的模；点与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线，再运用解三角形求．题型二 求点到平面的距离【例2】直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，在底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．分析：直接作平面的垂线较难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．反思：点到平面的距离的求法：①定义法即直接求所作公垂线段的长；②等体积转化法；③利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d ＝|PA ·n 0|＝||||PA n n ⋅，其中d 为点P 到平面的距离，A 为平面内的一点，n 0为平面的单位法向量，n 为平面的法向量．题型三 求平行平面的距离【例3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离．反思：求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求．面面距离通常转化为点面距离来求．1在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离为( )A ．63aB ．36aC ．34aD ．66a2已知矩形ABCD 的一边CD 在平面α内，AC 与α所成角为60°，若AB ＝2，AD ＝4，则AB 到α的距离为( )A ．15B ． 5C ．10D ．33已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，侧面与下底面所成的角为45°，则两底面的距离为( )A ． 2B ．1C ．2D ．2 24把边长为a 的正三角形ABC 沿高AD 折成60°的二面角B －AD －C ，则点A 到直线BC 的距离等于________．5平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线段，PO ＝3，且∠POM ＝∠PON ＝45°，则点P 到α的距离为________．答案：基础知识·梳理1．最小值【做一做1】B 用空间两点间的距离公式可求得距离为 3.2．正射影【做一做2】D 设B 1D 1中点为O ，则A 1O 即为点A 1到平面BB 1D 1D 的距离．可求得A 1O ＝22a .【做一做3】C 设AB 1中点为O ，则BO 即为BC 到AB 1C 1D 的距离．4．(1)同时垂直 (2)夹在【做一做4】C 这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧．典型例题·领悟【例1】解：如图，因为AC →′＝AB ＋AD ＋AA →′，所以|AC ′→|2＝(AB ＋AD ＋AA →′)·(AB ＋AD ＋AA →′)＝|AB |2＋|AD |2＋|AA →′|2＋2(AB ·AD ＋AB ·AA →′＋AD ·AA →′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此|AC →′|＝85.【例2】解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)．则BC →＝(0，－1,0)，A 1C →＝(－1,0，－3)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即－x －3z ＝0，－y ＝0，令x ＝－3，则y ＝0，z ＝1，所以平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(－3，0,1)．所以点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32. 【例3】解：建立坐标系如图，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，D (0,0,0)，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．∴AB 1→＝(0，a ，a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，BC 1→＝(－a,0，a )，DC 1→＝(0，a ，a )． 设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB 1→＝a y ＋z ＝0，n ·AD 1→＝a －x ＋z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－z ，x ＝z .取z ＝1，则n ＝(1，－1,1)．又∵AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，AD 1∩AB 1＝A ，DC 1∩BC 1＝C 1，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1. ∴两平面间的距离可转化为点C 1到平面AB 1D 1的距离d .∵C 1B 1→＝(a,0,0)，平面AB 1D 1的法向量为n ＝(1，－1,1)，∴d ＝|C 1B 1→·n ||n |＝|a |3＝33a . 随堂练习·巩固1．D 点A 1到平面MBD 的距离等于点A 到平面MBD 的距离，利用V M －ABD ＝V A －MBD 求解．2．A 如图，作AE ⊥α于点E ，由三垂线逆定理可得ED ⊥DC ，AC ＝42＋22＝25，AE ＝AC sin 60°.3．B4．154a 5． 3。