命题演算的推理理论
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命题演算(1-4节)
形式逻辑只管形式，从错误的前提推出错误的结论， 形式逻辑只管形式，从错误的前提推出错误的结论，在 逻辑只管形式 形式上也可以是正确的。 形式上也可以是正确的。 ——毛泽东在延安文艺座谈会上的讲话 毛泽东在延安文艺座谈会上的讲话
3
绪
论
演绎逻辑 形式逻辑： 形式逻辑： 归纳逻辑
演绎逻辑：(deductive logic)演绎逻辑的任务在于研究如何检验 演绎逻辑 演绎的正确性(即决定一个推理是否是正确地演绎出一个已知规 则)以及如何构造出正确的未知(演绎推理)规则。 归纳逻辑：(inductive logic)归纳逻辑的任务在于研究如何測定 归纳逻辑 不充分置信的推理的归纳概率的大小，从而决定该不充分置信 推理的归纳强度规则，并且研究如何构造出归纳强度高的推理 规则。
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§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
2.简单命题 简单命题(simple proposition) ：简单命题是不包含其它命题 简单命题 作为组成部分的命题。 作为组成部分的命题。 简单命题是命题逻辑推理的最小单位！ 简单命题是命题逻辑推理的最小单位！ 3.复合命题 复合命题(compound proposition) ：复合命题是包含其它 复合命题 命题作为组成部分，由其它命题组成的命题。 命题作为组成部分，由其它命题组成的命题。 4.支命题 支命题(branch proposition) ：支命题是组成复合命题的各 支命题 个命题。 个命题。 支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。 支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
14
§2.命题的形式化 真值联结词 真值函项 2.命题的形式化
1.真值联结词 真值联结词(truth connective) ：在命题逻辑中所使用的、意 在命题逻辑中所使用的、 真值联结词 义比较严格的联结词称为真值联结词或命题联结词。 义比较严格的联结词称为真值联结词或命题联结词。 真值联结词
命题逻辑的推理理论,证明方法
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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唐存琛 刘峰
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课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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唐存琛 刘峰
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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武汉大学国际软件学院唐存琛 刘峰
离散数学第1章 命题演算
所以这句话没有办法判断真假，所以不是命题！
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命题符号化
为了能用数学方法来研究命题之间的逻辑关系和推理， 需要将命题符号化。
一个任意的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
定义：以“真” 、“假”为其变域的变元称为命题
变元。
常用大写的英文字母A，B，C，…P，Q，R，…等来表 示一个命题或命题变元。
定义 对于命题公式中各命题变元（分量）指派所有可能 的真值，以及由此而确定的命题公式的真值汇列成表，称 为真值表。
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例1:命题公式P∧﹁ Q的真值表如下所示。
Ｐ F F T T
这组命题变 元的确定值 称为该公式 的一个指派
Ｑ F T F T
﹁Ｑ T F T F
P∧﹁ Q F F T F
整个表即为该公式 的真值表
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§1-2
命题公式
将由命题变元和联结词组成的复杂的命题 变元称为命题公式。各个命题变元称为命题公 式的分量。
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§1-2
命题公式
定义:命题逻辑公式(公式)可按如下法则生成: (1)命题是公式;
(2)如果P是公式,则(﹁ P)是公式;
(3)如果P,Q是公式,则(P ∧ Q),(P∨Q),(P→Q),
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例如：
因为2<3，所以1+1=2。 在通常意义下2<3与1+1=2没有存在任 何联系，我们一般不会做如此推理。 但在数理逻辑下，设P:2<3; Q:1+1=2 这句话可以形式化为P→Q; 并且真值为T
27
联结词
5.双条件 定义 设P，Q是命题，P和Q的等价命题记
作 P Q ，读作“P当且仅当Q”，或 “P等 价 PQ Q”，当P和Q的真值都为T和F时， 的真 PQ
命题演算的推理理论
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
Hale Waihona Puke 解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为重言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
第二章命题推理(离散数学)
(3) PP
公理1
(4) (PQ)(PQ)
(5) P((PQ)Q)
代入
分离(2)(4)
26/66
例1
已知公理：
A: (Q R)((PQ)(PR))
B: (PP)P
C: Q(PQ)
及分离规则和代入规则 试证明 PP 为定理
27/66
例1的证明
(1) (Q R)((PQ)(PR)) 公理A
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假言三段论（传递三段论）
PQ QR 前提 前提
PR
结论
推理的有效性由公理3所保证。
34/66
化简
P∧Q 前提
P
结论
推理的有效性由公理8所保证。
35/66
合取
P Q 前提 前提
P ∧Q
结论
推理的有效性由公理10所保证。
36/66
拒取
PQ Q 大前提 小前提
P
结 论
推理的有效性由定理3所保证。
9/70 9/66
关于推理理论的学习
公理化 演绎推理 归结推理
离散 数学
北京大学 耿素云
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 8条推理定律
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 9条推理定律,24个等值式 9条推理规则
离散 数学 及其 应用 离散 数学 离散 数学
北京大学 屈婉玲
解放军通信 工程学院 方世昌 朱怀宏， 南京大学出 版社
从前提出发，通过推导即“演绎”，得出 结论的过程。前提和结论之间有可推导性 关系：前提的真蕴涵结论的真。
•归纳推理（科学家使用） 从真的前提出发，得到的结论只能够要求 它与前提是协调的，但不一定是真的。
• 溯因推理（侦探使用） 生成假设来解释观察或结论。
离散数学第二章-命题演算的推理理论-命题演算的公理系统
破坏性二难
㈢ 规则
(1)代入规则：将公式中出现的某一符号 B 每处均代以某一公式C， 所到的公式D 称为C 对 的 代入。
(2)分离规则：如果AB且A，则B。
二、语义部分
(1) 公理是永真公式。 (2) 规则规定如何从永真公式推出永真公式。分离规
则指明，如果AB永真且A永真，则B也为永真公 式。 (3) 代入规则指明如果为永真公式，则某一个公式 正确代入公式后所得的公式也为永真公式。 (4) 定理为永真公式，它们是从公理出发利用分离规 则和代入规则推出来的公式。
(10)((PQ)(QP))((PQ)(QP)) (9)(7)分离
(11)(PQ)(QP)
(10)(4)分离
例 （同定理3）
已知公理 A: PP B: (PQ) (QP) C: (PQ) ((RP) (RQ)) D: (PQ) ((QR) (PR))
要证 (PQ) (QP)为本系统中的定理。
公理推理证明定理的方法
• 演绎推理 • 归纳推理
归纳推理
从真的前提出发，得到的结论只能够要求它与 前提是协调的，但不一定是真的。 它基于对特殊的代表的有限观察， 或基于对反 复再现的现象的模式的有限观察，用公式表达 规律。
所有观察到的乌鸦都是黑的。 所以所有乌鸦都是黑的。
演绎推理
可推导性——当前提的真蕴涵结论的真时，称前提和 结论之间有可推导性关系，即前提和结 论之间的推理是正确的。
分析：由公理14，(PQ)(QP)， 可以得到 (PQ)(QP) 下面就是要建立(PQ)与(PQ)之间的联系。 如果 (PQ) (PQ)， 则由传递性知道结论成立。 下面先证明(PQ) (PQ)。
证明：先证 (PQ) (PQ)
(1)PP
第八讲++命题演算..
二、公理方法经历的三个阶段
2. 概括公理方法 适用于多个论域。 只适用于多个论域。 ◆ 某些论域的公理不是自足的，需要别的系 某些论域的公理不是自足的，需要别的系 统的东西来证明，即它不是自足的。 的东西来证明，即它不是自足的。 概括公理方法的思想就是建立模型思想。 概括公理方法的思想就是建立模型思想。 但解释概括公理方法很复杂。 但解释概括公理方法很复杂。 直观公理方法与概括公理方法统称为实 质性公理方法。 质性公理方法。
形式公理系统的主要特点 三、形式公理系统的主要特点
一致性、完全性、 2. 一致性、完全性、独立性
3） 独立性：就是公理的不可推出性。
命题演算的公理系统——PM系统 ——PM 四、命题演算的公理系统——PM系统
1. 概念部分
（1）初始符号 命题变元：p，q，r，s，p1… 联结词： ﹁ ，∨ ； 辅助符号：（ .）。 （2）形成规则 命题变元是公式； 如果A是公式，则﹁A是公式； 如果A和B是公式，则（A∨B）是公式； 除此以外的均非公式
公理系统是从少数几个公理出发， 按照推理规则进行的演绎推理。 公理系统是应用公理方法的结果。
二、公理方法经历的三个阶段
1. 直观公理方法
Euclid《几何原本》是一个实质公理系统 《 把点、 角等分为原始定义概念（23）和可定义概念； ◆把点、线、面、角等分为原始定义概念（23）和可定义概念； 命题分为公理（ 和公设（ ◆命题分为公理（5）和公设（5） 由公理公设出发加以证明的定理（ ◆由公理公设出发加以证明的定理（467） ）
二、公理方法经历的三个阶段
1. 直观公理方法 ◆ 只适用于某个特定的论域 ◆ Euclid的几何只用于平面几何； Euclid的几何只用于平面几何； 的几何只用于平面几何 亚里士多德的逻辑只适用于推理 ◆ 为某个论域或某个学科所创
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
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第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3 命题演算的归结推理法 归结推理法 是机器证明的一个重要方法， 是机器证明的一个重要方法， 仅有一条推理规则(称为归结规则)的 称为归结规则 仅有一条推理规则 称为归结规则 的 机械推理法， 机械推理法， 从而便于计算机程序实现。 从而便于计算机程序实现。
例 ((P Q) ∧(Q R))
(P R)
证明： 证明：考察 ((P Q) ∧(Q R)) ∧ ¬ (P R) 化为合取范式： 化为合取范式： 上式 = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬ Q∨R) ∧ ¬( ¬P ∨ R) ¬ ∨ = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬Q ∨R) ∧ P ∧¬ ∧¬R ¬ 建立子句集 {¬P ∨ Q, ¬Q ∨R ，P，¬R }, ¬ ， 归结过程为: 归结过程为: (1) ¬P ∨ Q (2) ¬Q ∨R (3) P (4) ¬R (1)(2)归结 (5) ¬P ∨R 归结 (6) R (3)(5)归结 归结 (7) □ (4)(6)归结 归结
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为Байду номын сангаас言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
一、建立子句集
(1) 要证明公式 →B，将 要证明公式A→ ， A ∧ ¬B 化为合取范式； 化为合取范式； (2) 把合取范式的所有析取式构成一个集合即 子句集。 子句集。
A化为合取范式、 化为合取范式、 化为合取范式 ¬B化为合取范式 化为合取范式
例 建立子句集
如要证明公式 ((P→Q)∧P)→Q， → ∧ → ， 只要考察 (P→Q)∧P∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q 根据(1)得合取范式 得合取范式： 根据 得合取范式： (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ 根据(2)建立子句集 建立子句集： 根据 建立子句集： S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ， (1) (2)
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
例 (p23)
(P→Q)→((P→¬ →¬ → → →¬ →¬P) →¬Q)→¬
证明： → ∧ →¬P 证明： (P→Q)∧¬((P → ¬Q ) →¬ ) = (¬P ∨Q)∧ ¬((¬P ∨ ¬ Q) →¬ ) →¬P ¬ ∧ ¬ =(¬P ∨Q)∧ ¬(¬(¬P ∨ ¬ Q) ∨ ¬P ) ¬ ∧ ¬¬ =(¬P ∨Q)∧ (¬P ∨ ¬ Q) ∧ ¬¬ ) ¬¬P ¬ ∧ ¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬P ∨ ¬ Q (3) ¬¬ ¬¬P (4) ¬P (5) □ 故原式为定理
三、归结证明
依归结规则进行归结， 依归结规则进行归结，直至归结出空子 表示)， 句(用“□”表示 ， 用“□”表示 则证明原公式为定理，否则不为定理。 则证明原公式为定理，否则不为定理。
子句可以 多次使用
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3.1 归结证明过程
要证明公式(如A→B，其中A和B为子公式 为定 要证明公式 如 → ，其中 和 为子公式)为定 为子公式 实际上是证明A∧¬ 为矛盾式。 ∧¬B为矛盾式 理，实际上是证明 ∧¬ 为矛盾式。 归结法就是从公式A∧¬ 出发对子句进行归结 归结法就是从公式 ∧¬B出发对子句进行归结 ∧¬ 。
例2(p22)
((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q → (S→R) → → ∧¬ ∨ ∧ →
证明：考察 → → ∧ ¬ ∨ ∧ 证明：考察((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q ∧¬(S→R) → 合取范式为 (P∨R)∧(¬Q∨R)∧(¬S∨P)∧Q∧S∧¬ ∧¬R ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ∧ ∧¬ 建立子句集 { P∨R，¬Q∨R，¬S∨P，Q，S，¬R} ∨ ， ∨ ， ∨ ， ， ， 归结过程为 (1) P∨R ∨ (2) ¬Q∨R ∨ (3) ¬S∨P ∨ (4) Q (5) S (6) ¬R (7) R (4)(2)归结 归结 (8) □ (7)(6)归结 归结
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
二、对子句集S的归结
设有两个子句 和 P1∨ P2∨…∨ Pn ∨ ¬P1∨ Q2∨…∨ Qm， ∨
注意到这两个子句， 注意到这两个子句，其中一个含有命题变元的 肯定形式，另一个含有该变元的否定， 肯定形式，另一个含有该变元的否定，由这两 个子句就可推出一个新子句： 个子句就可推出一个新子句： P2∨…∨ Pn∨ Q2∨…∨ Qm ∨ ∨ 称之为这两个子句的归结式。 称之为这两个子句的归结式。 归结式
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
例1 (P→(Q→ R))→((P∧Q)→R) → → → ∧ →
证明： 证明：考察 (P→(Q→ R))∧ ¬((P∧Q)→R) → → ∧ ∧ → 合取范式为 (¬P∨¬ ∨ R)∧P∧Q∧¬ ∨¬Q∨ ∧ ∧ ∧¬ ∧¬R ¬ ∨¬ ∨¬Q∨ ， ， ， 建立子句集 {¬P∨¬ ∨ R，P，Q，¬R} ¬ ∨¬ 归结过程为： 归结过程为： (1) ¬P∨¬ ∨ R ∨¬Q∨ ∨¬ (2) P (3) Q (4) ¬R (5) ¬Q∨ R (1)(2)归结 ∨ 归结 (6) R (5)(3)归结 归结 (7) □ (6)(4)归结 归结
(2)(3)归结 归结 (1)(5)归结 归结 (4)(6)归结 归结
例 用归结原理证明
证明： ¬ ∨ 证明： ¬(¬P∨P) = ¬ ¬ P ∧¬ ∧¬P 归结过程为 (1) ¬ ¬ P (2) ¬P (3) □ 故原式为定理
¬P∨P
(1)(2)归结 归结
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 第三章 谓词演算基础
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3 命题演算的归结推理法 归结推理法 是机器证明的一个重要方法， 是机器证明的一个重要方法， 仅有一条推理规则(称为归结规则)的 称为归结规则 仅有一条推理规则 称为归结规则 的 机械推理法， 机械推理法， 从而便于计算机程序实现。 从而便于计算机程序实现。
例 ((P Q) ∧(Q R))
(P R)
证明： 证明：考察 ((P Q) ∧(Q R)) ∧ ¬ (P R) 化为合取范式： 化为合取范式： 上式 = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬ Q∨R) ∧ ¬( ¬P ∨ R) ¬ ∨ = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬Q ∨R) ∧ P ∧¬ ∧¬R ¬ 建立子句集 {¬P ∨ Q, ¬Q ∨R ，P，¬R }, ¬ ， 归结过程为: 归结过程为: (1) ¬P ∨ Q (2) ¬Q ∨R (3) P (4) ¬R (1)(2)归结 (5) ¬P ∨R 归结 (6) R (3)(5)归结 归结 (7) □ (4)(6)归结 归结
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为Байду номын сангаас言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
一、建立子句集
(1) 要证明公式 →B，将 要证明公式A→ ， A ∧ ¬B 化为合取范式； 化为合取范式； (2) 把合取范式的所有析取式构成一个集合即 子句集。 子句集。
A化为合取范式、 化为合取范式、 化为合取范式 ¬B化为合取范式 化为合取范式
例 建立子句集
如要证明公式 ((P→Q)∧P)→Q， → ∧ → ， 只要考察 (P→Q)∧P∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q 根据(1)得合取范式 得合取范式： 根据 得合取范式： (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ 根据(2)建立子句集 建立子句集： 根据 建立子句集： S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ， (1) (2)
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
例 (p23)
(P→Q)→((P→¬ →¬ → → →¬ →¬P) →¬Q)→¬
证明： → ∧ →¬P 证明： (P→Q)∧¬((P → ¬Q ) →¬ ) = (¬P ∨Q)∧ ¬((¬P ∨ ¬ Q) →¬ ) →¬P ¬ ∧ ¬ =(¬P ∨Q)∧ ¬(¬(¬P ∨ ¬ Q) ∨ ¬P ) ¬ ∧ ¬¬ =(¬P ∨Q)∧ (¬P ∨ ¬ Q) ∧ ¬¬ ) ¬¬P ¬ ∧ ¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬P ∨ ¬ Q (3) ¬¬ ¬¬P (4) ¬P (5) □ 故原式为定理
三、归结证明
依归结规则进行归结， 依归结规则进行归结，直至归结出空子 表示)， 句(用“□”表示 ， 用“□”表示 则证明原公式为定理，否则不为定理。 则证明原公式为定理，否则不为定理。
子句可以 多次使用
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3.1 归结证明过程
要证明公式(如A→B，其中A和B为子公式 为定 要证明公式 如 → ，其中 和 为子公式)为定 为子公式 实际上是证明A∧¬ 为矛盾式。 ∧¬B为矛盾式 理，实际上是证明 ∧¬ 为矛盾式。 归结法就是从公式A∧¬ 出发对子句进行归结 归结法就是从公式 ∧¬B出发对子句进行归结 ∧¬ 。
例2(p22)
((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q → (S→R) → → ∧¬ ∨ ∧ →
证明：考察 → → ∧ ¬ ∨ ∧ 证明：考察((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q ∧¬(S→R) → 合取范式为 (P∨R)∧(¬Q∨R)∧(¬S∨P)∧Q∧S∧¬ ∧¬R ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ∧ ∧¬ 建立子句集 { P∨R，¬Q∨R，¬S∨P，Q，S，¬R} ∨ ， ∨ ， ∨ ， ， ， 归结过程为 (1) P∨R ∨ (2) ¬Q∨R ∨ (3) ¬S∨P ∨ (4) Q (5) S (6) ¬R (7) R (4)(2)归结 归结 (8) □ (7)(6)归结 归结
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
二、对子句集S的归结
设有两个子句 和 P1∨ P2∨…∨ Pn ∨ ¬P1∨ Q2∨…∨ Qm， ∨
注意到这两个子句， 注意到这两个子句，其中一个含有命题变元的 肯定形式，另一个含有该变元的否定， 肯定形式，另一个含有该变元的否定，由这两 个子句就可推出一个新子句： 个子句就可推出一个新子句： P2∨…∨ Pn∨ Q2∨…∨ Qm ∨ ∨ 称之为这两个子句的归结式。 称之为这两个子句的归结式。 归结式
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
例1 (P→(Q→ R))→((P∧Q)→R) → → → ∧ →
证明： 证明：考察 (P→(Q→ R))∧ ¬((P∧Q)→R) → → ∧ ∧ → 合取范式为 (¬P∨¬ ∨ R)∧P∧Q∧¬ ∨¬Q∨ ∧ ∧ ∧¬ ∧¬R ¬ ∨¬ ∨¬Q∨ ， ， ， 建立子句集 {¬P∨¬ ∨ R，P，Q，¬R} ¬ ∨¬ 归结过程为： 归结过程为： (1) ¬P∨¬ ∨ R ∨¬Q∨ ∨¬ (2) P (3) Q (4) ¬R (5) ¬Q∨ R (1)(2)归结 ∨ 归结 (6) R (5)(3)归结 归结 (7) □ (6)(4)归结 归结
(2)(3)归结 归结 (1)(5)归结 归结 (4)(6)归结 归结
例 用归结原理证明
证明： ¬ ∨ 证明： ¬(¬P∨P) = ¬ ¬ P ∧¬ ∧¬P 归结过程为 (1) ¬ ¬ P (2) ¬P (3) □ 故原式为定理
¬P∨P
(1)(2)归结 归结
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