陶瓷材料可靠性分析中的统计断裂强度理论_2_其它统计断裂强度理论

ramic materials has been comprehensively reviewed. Statistical methods for the building of strength distribution functions are analyzed, and the feasibility of their applications in the reliability analysis of ceramic materials and the design of ceramic components is discussed. On the basis of the comprehensive considerations of the flaw size distribution and the flaw orenta tion distribtuion as well as the irregularity of the crack propagation path, statistical expression of the fracture strength of ce ramic materials under general stress state is analyzed theoretically. = Key words> ceramic material; reliability; stress; statistical theory of the fracture strength; fractal 靠性分析与设计 的基础。而 且 , 它已 成为联 系陶 瓷 材料宏观与微观 力学性 能的 主要方 法之 一。因此 , 合理的强度分布方程的建立就成 为一个至关重要的 问题。目前 , 对陶瓷材料 断裂统 计理 论的研 究已 相 当多。对于各向同性 陶瓷材 料 , 除了 各种经 典统 计
由最弱环原理 , 含 N 条裂 纹的试样的断断概率为 : F ( R) = 1 - exp[- NF 1 ( R) ] = 1- exp[- N
Q Qf ( a ) g ( H) ]
0 a C
P ]
( 12)
对于裂纹的尺度 分布 , 可采 用式 ( 3) 的形 式 , 因 为这一分布形式对于包括陶瓷材 料在内的多数脆性 材料都是成立的 [ 6] 。而裂纹的方位分布则采用两 种 常见分布形式 : 均匀分布 正态分布 g ( H) = g ( H) = 1 P ( 13)
当裂纹临界扩展时 , a = aC , 令 R1 = R, R2PR1 = B < 1, 可得 : (A * IC ) 2 ( 18) 2 P R ( sin H+ B2 cos2 H) 对于裂 纹方位均匀 分布的 情况 , 整理 得材 料的 断裂概率为 : aC =
2
F ( R) = 1 - exp P
1- r
对于平面应力 状态 , A= 1; 对 于平 面应 变状 态 , A= 2 ( 1+ L2 ) 1P , L 为泊松比。
( 23) 式 ( 23) 即为同时考虑裂纹 尺度和方位分布以 及 裂纹表面不规则程度时陶瓷材料 统计断裂强度的一 般表达式。它将材料的微观结构与其力学性能相 联 系 , 从而 使材料断裂强 度的统计 表达 更为全 面和 深 入。与不考虑裂纹表面不规则程度时的断裂概率 公 式 ( 21) 相比 , 式 ( 23) 将更接 近于 陶瓷 材料失 效过 程
K IC ) 2 NA ( A r- 1 P R2
2 2 r- 1
Βιβλιοθήκη Baidu1 - r
Q P( sin H + B cos H)
1
2 0
dH
4
结束语
对于正态分布的情况 , 相应地有 : K IC ) 2 NA ( A F ( R) = 1 - exp r- 1 P R2
1- R
本文对现有统计断裂强度理 论的发展及其在用 于陶瓷材料可靠性分析和陶瓷部 件设计中的许多问 题进行了评述。在理 论分析 的基 础上 , 给出 了统 一 考虑裂纹尺寸和方位分布以及裂 纹面不规则性时陶 瓷材料统计断裂强 度的一 般表达 式 , 使其更 接近 于 ( 20) 实际情况。但需指出 的是 , 尽管 目前 多数研 究认 为 陶瓷 材 料 断 面 分 维 与 其 断 裂 韧 性 间 存 在 定 量 关 系 [ 8~ 10] , 但也有少数研究 给出相反 的结论 [ 11] 。事 实 上 , 根据线弹性断裂力学和定量断口分析的知识 , 粗 糙的断面在断裂过 程中应 消耗较 多的 能量 , 亦即 断 面分维越大 , 材料韧性越好 , 这是可以理解 的。问 题 的产生也许在于分 形断裂 研究是 一新 兴领域 , 在 很 多方面仍处于探索 阶段 , 而这也 正说 明该领 域尚 有 待于进一步的深入研究。
XU Chong - hai , WANG Yi , CHENG Qiang , DING Wen -ling
( 1. Shandong University of Technology, Jinan 250100, China; 2. Committee of City Construction, Hekou, Dongying 257000, China) = Abstract > The current development of statistical theories of the fracture strength for the reliability analysis of ce 1 1 1 2
Q
]
f ( a ) da
( 4)
1 ( H- H) 2 ex p ( 14) 2 2u 2 Pu 均匀分布意味着材 料内部 裂纹方 位是 随机的 , 而 正 态分布则表明裂 纹取向 偏于 某一方 位。进一 步地 , 可以求出一 般应 力状 态 下陶 瓷材 料 的统 计断 裂 强 度。 在双 轴应力 状态 下 ( 图 1) , Ñ 型和 Ò 型 裂纹 的 应力强度因子分别为 : K K
Statistical Theories of the Fracture Strength for the Reliability Analysis of Ceramic Materials H ) Other Statistical Theories of the Fracture Strength
Ñ Ò
a C( R )
将上 式 积 分 , 并 考 虑 到 Weibull 分 布 方 程 的 一 般 式 [ 1, 2] F = 1- exp[ - n ( R) V] ( 5) 与二参数 Weibull 分布方程 V R F ( V, R) = 1 - ex p V 0 R0 整理可得 : n ( R) = 1 R A ( a ) 1- r = V0 R0 r- 1 C
( Lc) dLc
Q Q f ( a ) g ( H) dadH
0 a C
P ]
( 11)
( 2) 式中 , 3N C , v 4 , 3N C , a4 和3NC , l 4分别对应于体积缺 陷、 表面缺陷和边缘缺陷的情况 , Q C, v , Q C, a 和 Q C , l 分别为 其临界缺陷密度。 该分布方程的优越之处在于它并没有对试样加 载情况、 缺陷种类以及断裂判据作特别的限制 , 因此 相对而言它更为通用。而且 , 常 用的 Weibull 分布只 是式 ( 1) 的特 殊 情况 , 即 当 缺陷 尺度 概 率分 布密 度 为: f ( a ) = Aa - r ( 3) 时。式中 , A 和 r 均为材料常 数。此时 , 临界缺 陷密 度为 : n ( R) = Q C , v ( R) =
图1 双轴应力状态下的裂纹
的实际情况。由于 裂纹 断面分 形维 数 df 是 材料 微 观结构的表征参数 , 因而即使是同一类陶瓷材料 , 由 于微观结构的不同 而可能 导致不 同的 分布方 程 , 并 由此产生不同的 断裂概 率。所以 , 对 于陶瓷 等脆 性 材料 , 从 微观结构的角 度进行材 料的 可靠性 分析 与 设计 , 将是今后研究的重要方向。但需指出的是 , 此 处的分析均基于最 弱环原 理 , 因 此它 只适用 于拉 应 力状态的情况。在压 应力状 态下 , 最 弱环原 理不 再 适用 , 需要进行另外的分析。 ( 19)
2
Danzer 的统计断裂强度理论
九十年代 , Danzer[ 6] 基 于最弱环 原理 , 并忽 略缺 陷间的相互作用 , 推导出一个强度分布方程 , 它适于 缺陷非均匀分布的脆性材料 , 即 : F = 1- exp[- 3N C, S 4 ] ( 1) 式中 , 3N C, S 4 为在尺 寸为 S 的试 样中存在 的临 界缺 陷的平均数目 : 3N C, S 4 = 3N C, v4 + 3NC , a 4 + 3N C, l 4 =
m m
( 6)
= ( R1 sin2 H+ R2 sin2 H)
2
Pa
( 15) ( 16)
= ( R1 - R2 ) sin Hcos H Pa
( 7)
对 Ñ - Ò 复合 型裂纹 问题 , 根据 应变能 释放 率 断裂判据 :
# 152 #
K 2Ñ + K 2Ò E ( A K IC ) 2
( 17)
( 2) 其它统计断裂强度理论
许崇海 , 王
( 1. 山东轻工业学院机电工程 系 , 山东 济南
1
毅 ,程
1
强 , 丁文亮
1
2
250100; 2 东营市河口区城 建委 , 山东 东营
257000)
= 摘 要> 评述了当前陶瓷材料统计断裂强度 理论的发展 概况 , 分析了两种 建立强 度分布 方 程的统计方法 , 探讨了它们用于陶瓷材料 可靠性分析和陶 瓷部件设 计的可行 性。并基于 对缺陷 的 尺度分布和方位分布以及裂纹扩展路径不规则性的 统一考虑 , 理论分 析了一般应 力状态 下陶瓷 材 料的统计断裂强度。 = 关键词> 陶瓷材料 ; 可靠性 ; 应力 ; 统计断裂强度理论 ; 分形 中图分类号 :TQ1741 1 文献标识码 : A
1 引 言
陶瓷材料的可靠性问题是陶瓷材料工程应用中 的关键问题 , 而材料 的统计 断裂强 度理论 则是 其可
收稿日期: 2000 -05 -19 作者简介: 许崇海( 1971- ) , 男, 博士生, 山东轻工业学院副教授.
# 151 #
断裂强度理论 , 如 Weibull 理论 [ 1, 2] 、 Batdorf 的缺 陷密 度与方位理 论[ 3, 4] 和 Evans 的 单元强 度理论 [ 5] 以 外 , 还有其它一些近年 来得 到发 展的 强度 理论 , 如 Dan zer的统计断裂强度理论 [ 6] 等。本文在对比分析现有 各种经 统计断裂 强度理 论 [ 7] 和 其它 强度 理论 的基 础上 , 探讨了它们用 于陶瓷 材料可 靠性分 析与 陶瓷 上设计的合理性。并且结 合分 形理论 的应 用 , 基于 对材料内部缺陷尺度和方位分布以及裂纹扩展路径 不规则的统 一考虑 , 从理论 上探讨 了一般 应力 状态 下陶瓷材料统计断裂强度的表达问题。
3
统计断裂强度的一般描述
假设裂纹 ( 或缺陷 , 下同 ) 的 尺度 和方位 相互 独
立分布 , 其概率密度函数分别为 f ( a ) 和 g ( H) , 则 一 条裂纹引起断裂的概率为 : F 1 ( R) =
QQ
V
C, v
( V c) dV c+
QQ
A
C, a
( Ac) dAc +
QQ
L
C, l
再由 Griffith 断裂判据 aC ( R) = K IC RY
2
( 8)
联立式 ( 7) 和 ( 8) , 可推得 : m = 2( r - 1) K IC R0 = RY r- 1 V0 A
1 Pm
( 9) ( 10)
据式 ( 9) 可知 , Weibull 模 数 m 只取 决于材 料常 数 r 。 它描述了材料内部 缺陷尺 度分布 的均 匀程度 , 因 而 也可以视为一个与材料有关的常 数。 另一方面 , 尽管式 ( 1) 是一个较为通用的分布 模 型 , 但 Danzer 并没有据此进行具体的应用分析 , 而且 也没有对材料的微观断裂过程即 裂纹扩展过程作进 一步的考虑 , 因而尚有待于改进。
第 19 卷 第 4 期 Vol 1 1 9 No 1 4
文章编号 : 1004 - 793X( 2001) 04 -0151 - 03
材 料 科 学 与 工 程 Materials Science & Engineering
总 第7 6 期 Dec . 200 1
陶瓷材料可靠性分析中的统计断裂强度理论
式中 , K IC0 为 不考虑 裂纹表 面粗糙性 的断裂 韧性 , R 为相似比 , 1 PR 代表 一个 分行 单元 所行 走的 直线 距 离 , df 为裂纹剖面的分形维数。 将式 ( 22) 代入式 ( 21) 可得 : 2 2 1- d NAJ A K IC0 ( 1PR ) f F ( R) = 1- exp 2 r- 1 PR