高中数学必修二两条直线的平行与垂直
高中数学《两条直线的垂直与平行》导学课件 北师大版必修2
问题3 两直线垂直的判定
(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为 y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.
问题3 中心对称问题
(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点 式求出直线方程.
3
整理得 4x+3y-17=0.
对称问题 光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x 反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在直线的方程.
【解析】作出草图,如图所示.
设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A'点,D 点关于 y 轴的对称点为 D'点,则易得 A'(-2,-4),D'(1,6). 由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为y-6 =x-1 ,即 10x-3y+8=0.
(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不 存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为 x=-1.
平面几何中的平行与垂直问题
已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).
(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.
(2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.
【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB=34,kAC=2,kBD=mn--45,kCD=mn--32.
问题1 在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为 2x-y-3=0; 当m⊥n时,直线n的方程为 x+2y+1=0 .
高中数学_两条直线平行与垂直的判定教学设计学情分析教材分析课后反思
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计一、教材分析本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。
从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。
通过本章知识的学习可以让学生从新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。
同时在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程的理解，从而使知识规律化、系统化、网络化。
这种学习方式的过程和方法一经掌握，可以轻松地学习第四章圆的方程的内容。
本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系。
只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习直线方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系这一节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络。
二、知识结构分析以上的简要教材分析，可从这一章的知识结构的思维导图中得以充分体现。
三、课标的分析《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。
从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。
在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。
现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。
坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。
在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。
人教A版高中数学必修二课件一般式平行和垂直
2.平行直线系方程：与直线Ax+By+C=0平行 的直线方程是：Ax+By+C1=0（C1≠C）.
3.垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程是：Bx-Ay+C1=0.
例8：求过两直线x-2y+4=0和x+y2=0的交点，且满足下列条件的直线 方程： （1）过点(2,-1); （2）和直线3x-4y+5=0垂直。
答： 位置关系
相交
公共点个数 1个
平行 0个
重合 无数个
§2.1.3两条直线的平行与垂直
1.平行
【问题1】你认为，不重合的两条 直线的位置关系（平行、相交） 与它们的斜率有何关系？
答：不重合的两条直线 斜率存在时两直线平行斜率相等 两直线相交斜率不相等
斜率不存在时？ 同时不存在
【问题2】由直线方程你能直接判 断两直线的位置关系吗？
2.5
B 120
h
O
C
x
（1）3x+2y-4=0 （2）4x+3y-6=0
例9：证明：无论m取何值，直线L： (m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点， 并求出该定点的坐标。
（9，-4）
课堂练习
1.如果直线ax+y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a=.
2
2.如果两直线x+ysin-1=0和2xsin+y+1=0互相垂直,则=
课堂小结
1.填表
两直线方程 平行
垂直
适用范围
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2
两条直线平行与垂直的判
1 . ②当 m－2≠0，即 m≠2 时， k1＝ m－ 2
m 2－ m － 2 1 · 由 k1k2＝ ＝－ 1，得 m＝－ 3， 2 m－ 2 故若 AB⊥BC，则 m＝2 或 m＝－3.
高中数学人教版必修2课件
平行和垂直关系的综合应用
高中数学人教版必修2课件
2－a＋2 a 解：设直线 l2 的斜率为 k2，则 k2＝ ＝－3， 1－－2 a－4 a (1)若 l1∥l2，则 k1＝ (a≠4)＝－1＝k2＝－3， 3－a－1
∴a＝3.
(2)若 l1⊥l2，
当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－1，显然不符合题意； 当 k2≠0 时，l1 的斜率存在，此时 k1＝－1， 由于 l1⊥l2，∴k1·2＝－1，解得 a＝－3. k
由①②，则 x＝－17，y＝8，则 D(－17,8)．
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2－ห้องสมุดไป่ตู้.已知三点 A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)，若 AB
⊥BC，求 m 的值．
解：设 AB、BC 的斜率分别为 k1、k2，
m2－m－1－1 m2－m－2 ＝ ， 则 k2＝ 3－1 3－1 又知 xA－xB＝m－2，
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两条直线垂直的判定
例 2：已知 A(1，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求点 D，使直线 AB
⊥CD 且直线 AD∥BC. 解：设 D(x，y)，∵AB⊥CD， 2－－1 1－y 1－y kAB＝ ＝3，kCD＝ ， ∴3× ＝－1 2－1 4－x 4－x
①.
y－－1 y＋1 1－2 1 ＝ ＝－ ， 又 AD∥BC，kAD＝ ，kBC＝ x－1 x－1 4－2 2 ∴ y＋1 1 ＝－ 2 x－1 ②.
高中数学2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直第一课时两条直线的平行课件苏教版必修2
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 不 重 合 的 两 条 直 线 的 倾 斜 角 相 等 ， 则 它 们 一 定 互 相 平
行．
(√ )
(2) 如 果 两 条 直 线 互 相 平 行 ， 那 么 它 们 的 斜 率 一 定 相 等 ．
(×)
(3)直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x＋ay＋2＝0 互相平行，则
[活学活用] 1．若直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x两直线平行，所以 a2－1＝0，解得 a＝±1.
答案：±1
2．直线 l1 经过 A(3,4)，B(5,8)，直线 l2 经过点 M(1，－2)，N(0， b)，且 l1∥l2，则实数 b＝________. 解析：∵k1＝85－ －43＝2，k2＝b－＋12＝－(b＋2)， 又∵l1∥l2，∴k1＝k2， 即－b－2＝2，∴b＝－4. 答案：－4
应用两直线平行求参数值
[典例] 已知直线 l1：mx＋y－(m＋1)＝0，l2：x＋my－2m ＝0，当 m 为何值时，
(1)直线 l1 与 l2 互相平行？ (2)直线 l1 与 l2 重合？ [解] (1)若 l1∥l2，需满足
m2－1＝0， －2m2＋m＋1≠0，
解得 m＝－1.
[解] (1)k1＝1，k2＝33－ －11＝1，k1＝k2， ∴l1 与 l2 重合或 l1∥l2. (2)l1 与 l2 都与 x 轴垂直，通过数形结合知 l1∥l2. (3)k1＝01－ －10＝－1，k2＝2－0－－31＝－1，k1＝k2，数形结合 知 l1∥l2.
判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线 l1，l2 的斜率都存在，将它们的方程都化成 斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2； 则kb11＝ ≠kb22， ⇒l1∥l2. ②若两条直线 l1，l2 的斜率都不存在，将方程化成 l1：x＝x1， l2：x＝x2，则 x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1 不全为 0)，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0(A2，B2 不全为 0)，由 A1B2－A2B1＝0 得到 l1∥l2 或 l1， l2 重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．
高中数学 两条直线的平行与垂直
典例导学
即时检测
一
二
三
2.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距的绝对值之和为 10 . 3 的直线l的方程为 解析：设与直线2x+3y+5=0平行的直线l的方程为 2x+3y+c1=0(c1≠5),
典例导学
即时检测
一
二
三
二、两条直线平行或垂直条件的应用 如图,在平行四边形OABC中,点A(3,0),点C(1,3). (导学号51800070)
(1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D,求CD所在直线的方程. 思路分析：已知四边形OABC是平行四边形,可以利用平行四边 形的有关性质求AB的斜率,利用两条直线垂直的条件求CD的斜率, 进而求相应直线的方程.
∴AB
即 3x+5y+2=0. ∵点 C(12,6)不在 AB 上 , ∴AB∥CD.
12-2 ∵kAD= 2+4
-4-2 3 12-6 3 =- ,kCD= =- , 6+4 5 2-12 5 3 的方程为 y-2=- (x+4), 5
=
∴kAB· kAD=-1,即 AB⊥AD.
5 , 3
典例导学
∴m=2.
1
∴当 m=2时,l1⊥l2.
1
典例导学
即时检测
一
二
三
1.已知A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下列结论正确的个数是 ( ) (导学号51800069) ①AB∥CD;②AB⊥AD;③AC⊥BD;④AC∥BD. A.1 B.2 C.3 D.4
解析： ∵kAB=
典例导学
即时检测
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
【步步高】高中数学 第二章 2.1.3两条直线的平行与垂直(二)配套课件 苏教版必修2
又 kOP· kOR＝－1，∴OP⊥OR，
故四边形 OPQR 为矩形．
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例 3 在路边安装路灯，路宽 23 m，灯杆长 2.5 m，且与灯 柱成 120° 角， 路灯采用锥形灯罩， 灯罩轴线与灯杆垂直． 当 灯柱高 h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中 线？(精确到 0.01 m) 解 记灯柱顶端为 B，灯罩顶为 A，灯杆为
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问题 2 若 l1⊥l2 且直线 l1，l2 有一条与 x 轴垂直，那么两条 直线的斜率如何？
答 有一条直线与 x 轴垂直，则另一条与 x 轴平行，所以 两条直线中有一条直线斜率不存在， 另一条直线的斜率为 0.
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问题 3 吗？
对任意两条直线，如果 l1⊥l2，一定有 k1· k2 ＝－1
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跟踪训练 1
已知 A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断
△ABC 是否为直角三角形．
1－－1 1 解 AB 边所在直线的斜率 kAB＝ ＝－ ， 2 1－5 3－1 BC 边所在直线的斜率 kBC＝ ＝2. 2－1 由 kAB· kBC＝－1，得 AB⊥BC， 即∠ABC＝90° .所以△ABC 是直角三角形．
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探究点二 例1
两条直线垂直关系的应用
(1)已知四点 A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，
求证：AB⊥CD. 3 (2)已知直线 l1 的斜率 k1＝ ，直线 l2 经过点 A(3a，－2)， 4 B(0，a2＋1)且 l1⊥l2，求实数 a 的值．
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2.1.3 两条直线的平行与垂直
重难点：能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
经典例题：已知三角形的两个顶点是B (2,1)、C (-6, 3), 垂心是H (-3, 2), 求第三个顶A的坐标．
当堂练习：
1．下列命题中正确的是（）
A．平行的两条直线的斜率一定相等 B．平行的两条直线的倾斜角相等
C．斜率相等的两直线一定平行D．两直线平行则它们在y轴上截距不相等
2．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为，则m,n的值分别为（）
A．4和3 B．-4和3 C．-4和-3 D．4和-3
3．直线:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,则在两坐标轴上的截距的和（）
A．-1 B．-2 C．2 D．6
4．两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（）
A. m=1 B．m= 1 C．D．或
5．如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a、b的值为（）
A．a=, b=0 B．a=2, b=0 C．a=-, b=0 D．a=-, b=2
6．若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，则a等于（）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．
7．已知两点A（-2，0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是（）
A．2x+y=0 B．2x-y+4=0 C．x+2y-3=0 D．x-2y+5=0
8．原点在直线上的射影是P（-2，1），则直线的方程为（）
A．x+2y=0 B．x+2y-4=0 C．2x-y+5=0 D．2x+y+3=0
9．两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是（）
A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．与m,n的取值有关
10．方程x2-y2=1表示的图形是（）
A．两条相交而不垂直的直线B．一个点
C．两条垂直的直线D．两条平行直线
11．已知直线ax－y＋2a＝0与直线(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则a等于（）
A．1 B．0 C．1或0 D．1或－1
12．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（）
A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（6，8）D．（-6，-8）
13．已知点P（a,b）和点Q(b-1,a+1)是关于直线对称的两点，则直线的方程为（）A．x+y=0 B．x-y=0 C．x+y-1=0 D．x-y+1=0
14．过点M（3，-4）且与A（-1，3）、B（2，2）两点等距离的直线方程是__________________．15．若两直线ax＋by＋4＝0与(a－1)x＋y＋b＝0垂直相交于点(0, m)，则a＋b＋m的值是_____________________．
16．若直线1：2x-5y+20=0和直线2：mx-2y-10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m的值等于________．
17．已知点P是直线上一点，若直线绕点P沿逆时针方向旋转角（00<<900）所得的直线方程是x-y-2=0, 若将它继续旋转900-，所得的直线方程是2x+y-1=0, 则直线
的方程是___________．
18．平行于直线2x+5y-1=0的直线与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．19．若直线ax+y+1=0和直线4x+2y+b=0关于点（2，-1）对称，求a、b的值．
20．已知三点A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求经过点A并且与直线BC垂直的直线的方程．
21．已知定点A（-1，3），B（4，2），在x轴上求点C，使AC BC．
参考答案：
经典例题：
解：AC BH，, 直线AB的方程为y=3x-5 (1)
AB CH，, 直线AC的方程为y=5x+33 (2)
由（1）与（2）联立解得A点的坐标为（-19，-62）.
当堂练习：
1.B;
2.C;
3.C;
4.D;
5.C;
6.B;
7.C;
8.C;
9.B; 10.C; 11.D; 12.D; 13.D; 14. x+3y+9=0 或13x+5y-19=0; 15. 2或－1; 16. -5; 17. x-2y-3=0;
18. 解：依题意，可设的方程为2x+5y+m=0, 它与x,y轴的交点分别为（-,0）,
(0,-),由已知条件得：,m2=100, 直线的方程为2x+5y 10=0.
19. 解：由4x+2y+b=0，即2x+y+=0, 两直线关于点对称，说明两直线平行，a=2.
在2x+y+1=0上取点（0，-1），这点关于（2，-1）的对称点为（4，-1），
又（4，-1）满足2x+y+=0, 得b= -14, 所以a=2, b= -14.
20. 解:kBC==1,kl =-1, 所求的直线方程为y= -(x-1),即x+y-1=0.
21. 解：设C(x,0)为所求点，则kAC=, kBC=AC BC,kAC kBC=-1,
即x=1或x=2, 故所求点为C（1，0）或C（2，0）.。