第三章紊流模型知识分享
环境水利学第3章 随流扩散与紊动扩散 (5)
❖ 各向同性紊流只是一种理想化的最简单的紊流
u1 2u22u32
精品资料
第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
❖ 凡不满足均匀性要求的紊流（当然也不满足各向同性）,称为剪切紊 流。
❖ 当紊流中存在切应力时，就有流速梯度，导致各处的紊流统计量不 相同，从而破坏了紊流的均匀性和各向同性。这种紊流是最常见的， 它比各向同性紊流复杂得多。
R i(a,) ui(a)ui(a) ui2(a) ui2(a)
对均匀( jūnyún)
紊流有:
(3-3-1)
u u u i2 (a ) i2 (a) i2
均匀紊流的欧拉空间相关系数为:
Ri()ui(a)u uii2(a)
(3-3-2)
当ξ等于零时，Ri(ξ)应等于1；ξ愈大，Ri(ξ)愈小; 当ξ超过一定的值，Ri(ξ)渐趋于零(两点分别位于不同的涡体）。
❖ 各态历经(lì jīnɡ)：一个随机过程在重复多次试验出现的所有样 本，亦将在一次试验的相当长时间或相当大的范围内出现，并 且出现的概率相同。
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
一、紊流的分类(fēn lèi)
❖ 紊流按其流动特点可分为可分两大类：均匀各向同性(ɡè xiànɡ tónɡ xìnɡ)紊流和剪切紊流。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
3、欧拉紊流尺度(chǐdù) （比尺）
➢从紊流统计(tǒngjì)理论看，其空间点的脉动量可以视为各种不 同尺度(或不同脉动频率)的涡体经过该点所造成的涨落，较大尺 度涡体包含着较小尺度涡体。
➢大尺度涡体频率低，小尺度涡体频率高。 ➢由相关系数的概念，引入涡体的平均尺度(积分尺度)。
的乘积的统计平均值。
R i(t,)
紊流流动
（3）时均稳定流动
p
1 t
t 0
pi dt
1
t
t 0
vxi dt
0
空间各点的时均值不随时间改变的紊流流动称为时均
稳定流动。
vx vx
v x
vxi
vx
说明:通常用时均值描述流体的紊流流动.
宗燕兵
27
（4）紊流中的切应力
层流： 摩擦切应力
v
dvx dy
紊流： 摩擦切应力 + 附加切应 力
(N m) m3
4
二、局部阻损
• 在管道系统中，通常装有阀门、弯头、三通、变截面 管等，流体经过这些局部装置时，将发生碰撞，流速 要重新分布。
• 流体质点与这些局部装置产生碰撞，使流体的流动受 到阻碍，此时受到的阻力称为局部阻力。
• 流体为克服局部阻力所损失的能量，称为局部损失。 • 在管道流动中的局部损失，用下式求
宗燕兵
13
3.3圆管中流体的层流流动
宗燕兵
14
粘性性流体在圆管中作层流流动时，由于粘性作用，在管壁 上流体质点的速度为0 ，随着流层离开管壁接近管中心时， 流速逐渐增加，圆管中心流速为最大值。
0
r
p
0X
dr r
r
p p dl l
v
R
dr
dl
求横截面上的速度分布规律、流量、沿程阻损。 条件：不可压缩流体，等直径圆管，稳定层流流动
用控制体 dV 2 rdrdl 去除上式，略去二阶无穷小量，得
p 1 ( r) 0
l r r
因为p p(x),只是l的函数， （r）,只是r的函数，所以
总结紊流模型
总结紊流模型引言紊流模型是研究流体力学中的一种重要模型。
紊流是流体运动中的一种不规则且无序的状态，其对流体的输运和混合过程具有重要影响。
紊流模型是为了研究和描述紊流行为而开发的一套数学模型和数值方法。
在本文中，我们将对紊流模型进行总结和介绍。
紊流模型的背景紊流是指流体运动中出现的一种混乱、不规则且无序的状态。
紊流行为对于理解和描述自然界中很多现象具有重要意义。
例如，在地球大气层中，气象学家需要研究和预测风场的紊流行为，以便预测天气和气候变化。
此外，在工程领域中，了解和控制液体和气体的紊流行为对于设计有效的流体输运系统和减小能量损耗也是至关重要的。
紊流模型的发展可以追溯到19世纪。
著名的物理学家奥斯特里奇尔首先提出了紊流的描述方法，他认为紊流是由无数个不同尺度的涡旋组合而成的。
随后，许多学者对紊流进行了深入研究，并提出了不同的理论和模型。
这些模型主要包括雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程模型、大涡模拟（LES）模型和直接数值模拟（DNS）模型等。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程模型雷诺平均纳维-斯托克斯方程模型是最常用的紊流模型之一。
该模型基于平均流动场的假设，将流场分解为平均部分和涨落部分。
该模型利用雷诺应力项来描述涨落部分的影响，并采用一系列经验公式来计算涨落部分的动力学行为。
尽管RANS 模型已经广泛应用于各个领域，但由于其对涡旋的统计特性进行了平均化处理，因此无法准确描述流体中小尺度涡旋的空间和时间演化。
大涡模拟模型大涡模拟模型是一种介于RANS模型和DNS模型之间的紊流模型。
该模型利用滤波方法将流体运动分解为大尺度运动和小尺度运动，并采用过滤后的雷诺平均纳维-斯托克斯方程对大尺度运动进行求解，对小尺度运动进行模型化处理。
大涡模拟模型具有较好的精度和计算效率，因此在工程领域中得到了广泛应用。
直接数值模拟模型直接数值模拟模型是对紊流行为进行最准确描述的一种模型。
该模型通过离散化流体运动方程，并采用数值方法对其进行求解，可以直接获得流体中各个尺度的涡旋的空间和时间演化。
冯卡门大气紊流模型推导
冯卡门大气紊流模型推导介绍大气紊流是指地球大气中的湍流现象。
冯卡门大气紊流模型是描述大气中的湍流现象的模型。
冯卡门方程冯卡门方程是描述大气紊流的微分方程组。
它包括三个方程：连续性方程、Navier-Stokes方程和状态方程。
连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原则，可以表示为：∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0其中，ρ是空气密度，u是速度矢量。
Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程描述了动量守恒的原则，可以表示为：∂u ∂t +u⋅∇u=−1ρ∇P+ν∇2u+g其中，P是压力，ν是动力粘性系数，g是重力加速度。
状态方程状态方程描述了气体物理性质与状态之间的关系，通常可以表示为：P=ρRT其中，R是气体常数，T是温度。
大气边界层大气边界层是指大气中靠近地表的一层区域，受到地表摩擦力和大气条件的影响。
在大气边界层中，湍流是主要的运动形式。
大气边界层可以分为三个不同的区域：大气表面层、颠簸层和波动层。
大气表面层大气表面层是距离地表几百米的一层区域。
在大气表面层中，湍流强度较大，主要受到地表摩擦力的影响。
这个区域的湍流可以通过冯卡门大气紊流模型来描述。
颠簸层颠簸层是距离地表几百米到几千米的一层区域。
在颠簸层中，湍流强度逐渐减弱，主要受到大气条件的影响。
波动层波动层是距离地表几千米以上的一层区域。
在波动层中，湍流强度较小，主要受到大气条件和地形等因素的影响。
大气紊流模拟方法大气紊流模拟是通过数值模拟方法来研究大气中的湍流现象。
目前常用的大气紊流模拟方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均Navier-Stokes 方程模拟（RANS）等。
直接数值模拟（DNS）直接数值模拟是一种通过求解Navier-Stokes方程来模拟湍流的方法。
它可以精确地模拟湍流的细节，但需要消耗大量的计算资源。
大涡模拟（LES）大涡模拟是一种通过分解湍流流场为尺度较大的大涡和尺度较小的小涡来模拟湍流的方法。
紊流基本方程及零、单方程模型
du du dy dy
数学模型 单方程模型（K模型）
u K K uj uiu j i t x j x j x j
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x j x j x j
ux
u y x
u y
u y y
uz
u y z
Fi
p 2u y y
uz u u u p ux z u y z uz z Fi 2uz t x y z z
运动方程
ui ui 2ui p u j Fi t x j xi x j x j
u p gh i x xi j
压能和位能的迁移变化率
u u j u i u j ui i ui x j xi x j x j xi
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x x j x j j
扩散项 耗散项
ui Fi
浮力项
K Ck Dk Pk Bk t
紊流数学模型
零方程•单方程
运动方程
紊流时均的运动方程 雷诺方程（Reynolds equation）
基本方程
u u p i u j i F i t x j xi x j
Ⅰ
Ⅰ 动量的时间变化率 Ⅱ 动量的空间对流变化率 Ⅲ 质量力引起的动量变化率 Ⅳ 压强梯度引起的动量变化率 Ⅴ 分子粘性力引起的动量变化率
f g f g
af af
f g f g
3随流扩散和紊动扩散
《环境水力学》
第三章 随流扩散和紊动扩散
§3 随流扩散方程的解
3.3 一维流动三维扩散的随流扩散方程的某些解析解 3.3.2 瞬时线源
2. 瞬时半无限长线源一维扩散
0， 初始条件： c ( x,0) c 0 ,
( x 0) ( x 0)
边界条件： c(, t ) 0, c(, t ) c0 相应的解为
1. 无限长瞬时线源二维扩散 设无限长瞬时线源与 z 轴重合
初始条件：单位长线源瞬时的投放质量 mz const
边界条件： c(, y, t ) c( x,, t ) 0 相应的解为
( x ut) 2 y 2 mz c( x, y, z, t ) exp 4Dt 4 Dt
3.2 随流扩散方程
某三维流场中
y
v
dy
w
o
z
dx
u
dz
x
Yangzhou Univ
《环境水力学》
第三章 随流扩散和紊动扩散
§2 随流扩散方程
3.2 随流扩散方程
某三维流场中
y
c q z wc D z
q x uc D
qy
dy
c x c q y vc D y
qq dx x x dx ( qq )dydz x x xx 22
3. 有限长瞬时线源一维扩散
0， ( x x1 ) 初始条件： c ( x,0) c0 , ( x x1 )
边界条件： c(, t ) 0 相应的解为
c0 c( x, t ) 2
Yangzhou Univ
x1 ut x x1 ut x ) erf ( ) erf ( 4Dt 4Dt
层流与紊流
v － 平均速度（m/s）； Hf － 沿程损失水头（米流体柱）； p － 沿程压力损失。
Re
2.3 管中层流沿程损失的达西公式
管中流量为Q的层流流体沿程损失的功率：
128 Q 2 Nf Qhf d 4
在一定的 l、Q 情况下，流体的 越小，损失功率越 Nf 小。
第四章 层流流动及湍流流动
第三节
流体在平行平板间的层流流动 得平板间的流体 速度分布：
p 2 v (h z 2 ) 2l
例题2： p0，两板均静止 Z=+h时，v=0； Z=－h时，v=0。
即：两个平行平 板间的流体层流 运动，速度按抛 物线规律分布。
第三节 平均速度：
流体在平行平板间的层流流动
Q 1 h v h vdz A 2h 1 h p 2 1 2p 3 2 (h z )dz h h 2h 2l 2h 3l ph 2 3l
Re
v D
惯性力 粘性力 vD
式中：v － 流体在圆管中的平均速度（m/s）； D－ 圆管内径（m） 。
惯性力愈大，层流趋向于紊流转变； 惯性力愈小，紊流趋由层流开始向湍流转变： Recr 2320 层流（ Recr临界雷诺数 ）； Recr’ 13000 湍流（ Recr’上临界雷诺数 ）； 2320 ＜Re ＜ 13000 ，流动处于过渡区（不稳定）， 可能是层流、也可能是湍流。
第二节 流体在圆管中的层流流动
2.1 有效断面上的速度分布
假设条件：流体沿管 轴对称等速运动
受力分析：压力； 切应力；重力
2.1 有效断面上的速度分布
r p1 p2 2rl r l sin 0
2 2
紊流理论(基本理论)-60页精选文档
– 因此，绕流阻力主要 取决于物体背流面尾 流中的负压，与背流 面的形状关系密切。 这一问题直到边界层 理论提出后才得到解930年，普朗特建立了层流稳定性理论。 – 层流稳定性的基本点是：层流流动总会受到一些扰动，可能
层流稳定性理论
• 层流到紊流的转捩-壁面边界层流动
– 以经典的圆柱绕流为例。
– 粘性流动壁面无滑移，产生边界层，在背流面发生分离，形 成一个由漩涡组成的尾流区。
层流稳定性理论
• 层流到紊流的转捩-壁面边界层流动
– 临界Re附近，边界层流动由层流向紊流转捩，分离点下移， 尾流区缩小，形状阻力降低，产生了阻力危机。
第一项
第二项
第三项
=fx1144P x2414px3' 1(42xU 42 442yU 24)24(42xu42' 442yu32' )
第四项
第五项
U u' UU Uu' u' U u' u' V U V u' v' Uv' u'
14t 2 43t 1 4x4 4 44x2 4 4x4 4 43x 1 4y4 4 44y2 4 4y4 4 43y
uUu',vVv',wWw',pPp'
层流稳定性理论
问题：对于这样一个主流流动，主流满足N-S方程， 叠加后的流动也满足，那么扰动将随时间放大还是衰 减。
uti uj xuij fi 1 xpi x2 j uxi j
u t
u u x
v u y
fx
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①零方程模型：常系数模型，混合长模型，剪力模型等 ②单方程模型：k方程模型
③双方程模型：k- 模型
4、评价紊流模型优劣的标准
①适用于多种类型的水流现象； ②具有足够的精度； ③人力和计算机费用适度； ④复杂程度适当。
第三章 紊流模型
五、 紊流的数学描述
紊流是满足连续性条件的，因此对于连续介质流体所导出的连续 性方程和Navier-Stokes方程组可以用于描述紊流的瞬时流态。
从20世纪40年代开始，采用一些紊动量的微分输运方程，例如 紊动动能的输运方程、雷诺应力的输运方程等。这类模型的特 点是理论严谨、概念完整，其中某些模型中提出的基本概念仍 作为目前最先进的紊流模型的理论基础。
第三章 紊流模型
在20世纪60年代中期，计算机的威力已足够强大，才有可能 求解时均流偏微分方程，也才有可能检验、应用和发展这一 类紊流模型。
涡度脉动的三维性 紊流是涡度的脉动强度很大的有
旋三维运动。
第三章 紊流模型
第三章 紊流模型
二、紊流现象及相应的研究课题
②河流中的淡水注人海洋，与 咸水混合，在河口区域内，水 中含盐量的分布规律如何？是 否影响水中动植物的生长？
①热电厂的废气排人大气层中，这 些废气在风的作用下如何运动？是 否有可能触及地面，地面上废气的 浓度如何？
第三章 紊流模型
③管流中的突然放大段，通常 在突然放大处形成涡旋，使流 态复杂，涡旋的尺寸和流速分 布如何确定？局部阻力系数如 何计算？
④溢流坝反弧段的高速水流有可 能在反弧段末端引起空蚀破坏， 如何计算反弧段紊流的速度场。 压力场，预测空泡在水中的发生、 发展和溃灭，从而寻求减免空蚀 破坏的合理措施。
作为紊流的通解，纳维埃－斯 托克斯方程描述了流体运动的 一切细节
第三章 紊流模型
四、紊流模型
作为紊流的通解，N－S方程描述了流体运动的一 切细节
U ti Uj U xji fi 1 x pi x2 jU xij
但在实际工程中具有重要意义的并不是紊流的一切细节，而 是紊流对于时间的平均效应。雷诺（Osborne Reynolds）第 一个建议用统计方法将N－S方程对某一时间比尺取平均，所 得到的方程描述水流的时均流速、时均压力分布以及其它物 理量（温度、浓度等）的时均分布。
第三章 紊流模型 八、双方程模型
耗散率
第三章 紊流模型
评价双方程模型： 1、不仅考虑紊动速度比尺的输运，而且考虑到紊动 长度比尺的输运 2、k-ε模型得到最广泛的验证，应用成熟 3、 k-ε模型仍有问题：经验常数通用性较差；二次流 无法预测；各项同性的紊动粘性概念使模型过粗，无 法描述应力分量的输运。
第三章 紊流模型
三、研究方法
l）经验资料相关法
2）用解析方法求解 简化的方程
3）数值求解时间平均 的纳维埃－斯托克斯方 程（即雷诺方程）
这类方法借助于因次分析， 将实验资料浓缩成许多经验 公式。只能描述一些最简单 的水流现象。
势流理论就是这类方法的典型例 子，由于实际流体现象复杂，古 典的势流理论已不能全面满足水 利工程发展的实际需则性 或者叫随机性，由于这个特性，我们只
能应用统计的方法对紊流进行研究。
扩散特性 一个随机流动，如果不具有把速度的脉
动（或热、质量等）扩散到整个流场的特性，它不能 称作是紊流运动。
高雷诺数 紊流总是高雷诺数的流动。随着雷诺数的
增大，原来为层流的流动产生不稳定而转变成紊流。
九、应力-通量方程模型
前面介绍的各类紊流模型，都假设紊流的当地状态可用某个速 度比尺表征，而雷诺应力的各个分量均可通过不同的方式与这 个速度比尺相联系。
第三章 紊流模型
第三章 紊流模型
扩散项的模拟
第三章 紊流模型
UUU ppp
U ti U j U xjifi1 x p i xj U xji U iU j
但是，取平均的过程中方程中包含一些新未知项， 表示紊动引起的平均动量的输运以及热和物质的输运。 这使时均过程所得的方程组不再构成封闭系统，只有 借助于经验公式，才能使这些方程构成封闭系统，各 种类型的紊流模型应运而生。
第三章 紊流模型
1、紊流模型定义 紊流模型可定义为一组方程（代数方程或微分方
程），这组方程确定时均流方程中的紊动输运项，从 而封闭时均流方程组。
2、紊流模型的发展
普朗特（IJPrandtl）于1925年提出的混合长假设，是最早 把紊动输运项与时均流的当地量建立联系的紊流模型。应 用范围窄，通用性差。
第三章 紊流模型
第三章 紊流模型
局限性： 1、混合长理论忽略了紊动量的扩散输运 2、混合长理论忽略了紊动量的对流输运 3、混合长模型缺少通用性
七、单方程模型
第三章 紊流模型
令 t C kL
经验常数
k方程为
K为单位质量流体的紊动动能
适用：考虑对流输运和扩散输运，高雷诺数水流，不能用于粘性 底层。长度比尺不易确定。
紊动动能
k12u12u22u32
与气体分子运动 类似
tVL
2、紊动扩散概念
假设
ui
xi
紊动扩散系数
t t
普朗特数 施密特数
第三章 紊流模型
六、零方程模型
1、 t 和 为常数的模型
适用：大体积水体的流动，紊动粘性项对计算影响很小；温度场
的远区。 2、混合长模型
t
l
2 m
U y
适用：简单的剪力层流动
第三章 紊流模型
一、紊流及其特性 1、紊流的定义
◆雷诺实验（1883年）：紊流中各层流体互相混掺， 流体质点作不规则运动。将紊流视为一种蜿蜒曲折、起 伏不定的流动。
◆泰勒（1937年）：流体流过固体表面或者相同流 体的分层流动中出现的一种不规则流动。
◆ Dryden(1939)：紊流是一种不规则的随机运动，随 时间作不易为普通量测仪器所察觉的振荡，这种振荡可 以认为是叠加在一种恒定运动之上的。
张量表达式：
连续性方程
精 确
N-S方程
方
程
温度和浓度 方程
U i 0 xi
U tiU j U xji 1 x p i x2 jU x ijfi
t Uj x j xj2 xj S
第三章 紊流模型
时均流方程
UUui pppi
代入精确方程，得时均值方程：
连续性方程
U i 0 xi
N-S方程
U ti U j U x ji 1 x p i 1 x j U x jiu iu j fi
温度和浓度 方程
t Uj x j xi xi ui S
第三章 紊流模型
1、紊动粘性概念 鲍辛涅斯克假设：
uiuj tU xji U xij 3 2kij
第三章 紊流模型
◆ Hinze(1975) ：紊流运动是一种不规则的流动状 态，它的流动参数随时间和空间随机变化，所以， 只能根据这些参数的统计平均值来区别各种紊流流 态。
可见，“不规则”是紊流的一个最重要的特 征。而这种不规则既是时间上的概念，同时也是 空间上的概念。仅仅从时间的概念上谈紊流的不 规则性，或仅仅从空间的概念上谈紊流的不规则 性都是不完整的。