紊流理论基础
高等流体力学_第一讲.
曲面所围体积之比的极限值；
div
a
lim
a
S
nds
V 0 V
封闭曲旋线度所（张cu的rl面or积r比ota值tio的n极）限：；向量场中围绕一点的封闭曲线的环量与该
a dl
rot a lim
S S 0
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
课程简介
一、课程名称:
高等流体力学——水利水电工程 高等水力学——给排水工程（土木工程）
——学什么？
二、教材：
1、高等流体力学？天津大学——新世纪研究生适用教材
相对于本科“水力学”或“流体力学”，在相关问题上进行更深入的理论分析 和论述，以满足现代水力工程对流体力学的要求，有助于提高理论修养，深入理解现代 流体力学的内容。是水力工程以及学科各硕士专业的学位课。
8、地下水中的弥散
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高等流体(水）力学讲稿
2
课程简介
三、内容
环境流体力学——董志勇（共8章）
1、绪论； 2、迁移扩散理论； 3、剪切流离散； 4、射流、羽流和浮射流； 5、水质模型； 6、地下水污染模型； 7、分层流； 8、生态水力学引论。
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五、教、学与评价探讨
课程特点： 1）要求数学知识多；方程、公式多，推演论证繁琐；解题 难度大。 2）学时少（32），所留自学时间也少，而教学内容多。
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数学基础知识
一、正交曲线坐标系
1、直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 1）坐标线与坐标面 2）坐标系间的转化
动力学和流体力学中的紊流分析
动力学和流体力学中的紊流分析动力学和流体力学是两个重要的学科，它们在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
其中一个重要的研究方向就是紊流分析。
紊流是一种无序、混沌、不可预测的流动状态，它具有很高的复杂性和多样性。
在许多科学和工程领域，紊流都是一个极具挑战性的问题，深入研究紊流的本质和机制，对于提高科学认识和技术水平具有重要的意义。
一、紊流和流体力学流体力学是研究流体运动和相应的物理现象的学科。
流体力学基于连续介质假设，认为物质是连续的，流体有连续的质量、能量和动量。
在流体力学中，通常分为牛顿流体和非牛顿流体两种情况，牛顿流体具有稳定的膜性质和扩散性质，非牛顿流体的特点是膜特性和非线性特性。
在流体力学中，流动分为层流和紊流两种状态。
层流状态下，流体的运动是有序的、稳定的，流速分布规律，流体发生的摩擦阻尼小，流体的稳定性高。
紊流状态下，流体的运动是无序的、不稳定的，流速分布不规律，流体发生的摩擦阻尼大，流体的稳定性差。
由于紊流状态下的流动机理十分复杂，因此紊流是流体力学中的一个重要研究方向。
二、紊流的特点和本质紊流的特点主要有以下几个方面：1、无序性 - 紊流的运动速度和方向都是无规律的，不能形成规律的模式。
2、混沌性 - 紊流中的流体运动是混沌的、不可预测的，小扰动可能对流体的运动状态产生极大的影响。
3、多样性 - 紊流的形态多样，流速分布和涡旋形成都十分复杂，具有高度的多样性和复杂性。
紊流本质上是由于流体运动的速度和方向的微小涨落，引起流体中的摩擦和阻力的不规律扰动和能量传递，造成流体的局部运动发生不规则变化，难以建立完整的数学模型来描述。
在现代科学研究中，紊流被认为是一个重要的复杂系统，由于其不确定性和复杂性，成为许多领域的热门研究和计算机模拟对象。
三、紊流的研究方法和应用领域紊流的研究方法通常分为理论分析、计算模拟和实验研究三种。
理论分析主要是基于数学模型和物理学原理，推导出可以描述紊流运动特征的公式和方程，如雷诺平均法和湍流模型等；计算模拟主要是利用计算机在数值上对流体的流动状态进行模拟和分析，如有限元法、网格网格方法和动力学离子法等；实验研究主要是通过实验装置观察、测量和分析流体的运动状态，如风洞实验和湍流管实验等。
中国矿业大学(北京)806流体力学2020年考研专业课初试大纲
工程热 力学
《工程热力学》，朱明善等 编著，清华大学出版社，第1 版，1995年； 《工程热力学》，沈维道等 编著，高等教育出版社，第4 版，2007年
二、 考试范围
1.基本概念 热力系统，状态及平衡状态，状态参数及其特性，参数坐标图，热力过程及 准静态过程，热力循环。 2.热力学第一定律 闭口系热力学第一定律解析式，热力学第一定律应用于开口系统，稳定流动 能量方程式，焓，技术功，能量方程应用。 3.气体的性质与过程 理想气体状态方程及气体常数，理想气体的比热，理想气体的内能、焓和熵 的计算，四个典型热力过程，多变过程及多变指数。气体的理想压缩功，压 缩机的效率，活塞式压缩机余隙容积的影响，多级压缩和中间冷却。 4.热力学第二定律 过程的方向性，卡诺循环和卡诺定理，熵的导出，克劳修斯不等式，孤立系 统熵增原理，熵方程，火用及其计算。 5.气体动力循环 活塞式内燃机循环，燃气轮机装置循环，提高循环热效率的各种途径。 6.水蒸气 蒸汽的性质，蒸汽图表及其应用，水蒸气的热力过程。 7.蒸汽动力循环
三、 试题结构（包括考试时间，试题类型等）
1. 考试时间：180分钟，满分：150分 2. 题型结构 (1) 概念型题 重点考察学生对基本概念的理解程度。这个类型题的基本形式有以下几 种：填空、选择、判断等。 (2) 简答、分析型题 通过此类考题考察学生对于知识点的理解程度，及运用专业工程语言， 简单准确的叙述能力。
考试为笔试、闭卷形式。重点考察学生对基本概念、基本公式、基本计 得使用带有公
算方法的掌握和应用能力。学生应能对流体力学学科知识有系统的理解 式和文本存储
，深刻领会流体在静止、相对平衡、运动状态及不同假设条件下的数学 功能的计算器
描述方式，能从整体上把握学科各知识点间的联系，避免单纯的死记硬 。
第三章一元流体动力学基础
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
高等流体力学-第四讲
uuj uuj p(u , uj )duduj i i i i
1）同一点上的两脉动速度相关系数（correlation coefficient）
Qij u ( x , t )uj ( x , t ) i
Rij
Qij u 2 uj 2 i
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第四讲
紊（湍）流运动基础
二、基于统计理论的紊流运动方程
1、基本统计量 对不可压缩流动问题，基本未知量ui，p可认为是具有一定统计规律 的随机变量，即：可表示为
ui ui u i
p p p
其中上划线表示平均值，上ui’ 、p’表示脉动值，称为“涨落” （Fluctuation）。 （1）系综平均与时间平均 1）系综平均（ensemble average）
空间相关图示
R22 (r ) g (r )
u ( x1 )u ( x1 r ) 2 2
u 2 2
f(r) 、g(r )曲线
其中f(r) 、g(r) 存在关系
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第四讲
紊（湍）流运动基础
（4）充分发展的紊流研究 紊流的发生：剪切层的存在—产生涡。（剪切层的类型图示）
对充分发展的紊流研究分类： 1）自由剪切紊流：剪切层由流速间断面引起，紊动发展 不受边壁的限制； 2）边壁剪切紊流：剪切层由边壁附着引起，紊动发展受 边壁限制。 3）均匀各向同性紊流：作为理论研究的假想模型。流动 中无速度梯度，也无剪切应力。
u i 0 x i
可得：
ui 0 x i
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紊动扩散及研究紊动扩散的两种方法
(c'ui ')
Dij
c x j
(11)
欧拉法
将（11）式带入（10）式中，得到：
c t
xi
(cui )
Dij
2c xi x j
Dm
2c xi x j
Fc
(12)
式（12）就是欧拉型的紊流扩散方程。
欧拉法
在以下四个条件下，上式可以继续简化： （1） 因为紊动的尺度远远大于分子运动的尺度，
t
0 (t )RL ( )d
(7)
拉格朗日法
扩散时间很短
两种 情况
扩散时间很长
两种情况 扩散时间很短
RL ( ) 1
Y22 (t) 2v22
t
0 (t )RL ( )d
Y22 (t) v22t 2
Y22 (t) v22 t
在扩散初期， 扩散的发展 与时间t成正 比例。
(2)
拉格朗日法
t’’ t
t
d t’’ d t’
由数学知识可得：
tt
t
t'
t’ dt'dt'' 2 dt' dt'' (3)
00
0
0
拉格朗日法
所以，Y22(t) 可以写成如下：
Y22 (t)
2
t 0
dt'
t'
0 v2 (t0
t')v2 (t0
t'')dt''
(4)
RL (
)
vi
紊流基本方程及零、单方程模型
du du dy dy
数学模型 单方程模型（K模型）
u K K uj uiu j i t x j x j x j
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x j x j x j
ux
u y x
u y
u y y
uz
u y z
Fi
p 2u y y
uz u u u p ux z u y z uz z Fi 2uz t x y z z
运动方程
ui ui 2ui p u j Fi t x j xi x j x j
u p gh i x xi j
压能和位能的迁移变化率
u u j u i u j ui i ui x j xi x j x j xi
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x x j x j j
扩散项 耗散项
ui Fi
浮力项
K Ck Dk Pk Bk t
紊流数学模型
零方程•单方程
运动方程
紊流时均的运动方程 雷诺方程（Reynolds equation）
基本方程
u u p i u j i F i t x j xi x j
Ⅰ
Ⅰ 动量的时间变化率 Ⅱ 动量的空间对流变化率 Ⅲ 质量力引起的动量变化率 Ⅳ 压强梯度引起的动量变化率 Ⅴ 分子粘性力引起的动量变化率
f g f g
af af
f g f g
第三章紊流模型知识分享
①零方程模型：常系数模型，混合长模型，剪力模型等 ②单方程模型：k方程模型
③双方程模型：k- 模型
4、评价紊流模型优劣的标准
①适用于多种类型的水流现象； ②具有足够的精度； ③人力和计算机费用适度； ④复杂程度适当。
第三章 紊流模型
五、 紊流的数学描述
紊流是满足连续性条件的，因此对于连续介质流体所导出的连续 性方程和Navier-Stokes方程组可以用于描述紊流的瞬时流态。
从20世纪40年代开始，采用一些紊动量的微分输运方程，例如 紊动动能的输运方程、雷诺应力的输运方程等。这类模型的特 点是理论严谨、概念完整，其中某些模型中提出的基本概念仍 作为目前最先进的紊流模型的理论基础。
第三章 紊流模型
在20世纪60年代中期，计算机的威力已足够强大，才有可能 求解时均流偏微分方程，也才有可能检验、应用和发展这一 类紊流模型。
涡度脉动的三维性 紊流是涡度的脉动强度很大的有
旋三维运动。
第三章 紊流模型
第三章 紊流模型
二、紊流现象及相应的研究课题
②河流中的淡水注人海洋，与 咸水混合，在河口区域内，水 中含盐量的分布规律如何？是 否影响水中动植物的生长？
①热电厂的废气排人大气层中，这 些废气在风的作用下如何运动？是 否有可能触及地面，地面上废气的 浓度如何？
第三章 紊流模型
③管流中的突然放大段，通常 在突然放大处形成涡旋，使流 态复杂，涡旋的尺寸和流速分 布如何确定？局部阻力系数如 何计算？
④溢流坝反弧段的高速水流有可 能在反弧段末端引起空蚀破坏， 如何计算反弧段紊流的速度场。 压力场，预测空泡在水中的发生、 发展和溃灭，从而寻求减免空蚀 破坏的合理措施。
作为紊流的通解，纳维埃－斯 托克斯方程描述了流体运动的 一切细节
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紊流理论基础一、紊流的特点无序性：流体质点相互混掺，运动无序，运动要素具有随机性。
耗能性：除了粘性耗能外，还有更主要的由于紊动产生附加切应力引起的耗能。
扩散性：除分子扩散外，还有质点紊动引起的传质、传热和传递动量等扩散性能。
二、紊流切应力表达式1.紊流运动要素的脉动及其时均化时间平均流速：流体质点的瞬时速度始终围绕着某一平均值而不断跳动（即脉动），这一平均值就称作时间平均流速（图6-7）。
（6-14）或图6-7 紊流度N 可以表示紊动的程度：§ 脉动量的特点：脉动量的时均值为零，即。
各脉动量的均方值不等于零，即2.紊流切应力紊流流态下，紊流切应力：。
（6-15）矩形断面风洞中测得的切应力数据如图6-8：图6-8 说明：1）在雷诺数较小时，脉动较弱，粘性切应力占主要地位。
2）雷诺数较大时，脉动程度加剧，紊流附加切应力加大，在已充分发展的紊流中，粘性切应力与紊流附加切应力相比忽略不计。
3）沿断面切应力分布不同，近壁处以粘性切应力为主（称粘性底层）。
a.粘性切应力τv：从时均紊流的概念出发，各液层之间存在着粘性切应力：式中: b.紊流附加切力τt: ——时均流速梯度。
液体质点的脉动导致了质量交换，形成了动量交换和质点混掺，从而在液层交界面上产生了紊流附加切应力τt：的推导观看动画>> 由动量定律可知：动量增量等于紊流附加切应力△T 产生的冲量（图6-9），即：由质量守恒定律得：符号相反图6-9 由此可得二元紊流切应力表达式（6-16）注意：紊流附加切应力是由微团惯性引起的，只与流体密度和脉动强弱有关，而与流体粘性无直接关系。
3.紊流动量传递理论——普兰特混合长度理论紊流附加切应力中，脉动流速均为随机量，不能直接计算，无法求解切应力。
所以1925 年德国力学家普兰特比拟气体分子自由程的概念，提出了混合长理论。
a.普兰特假设：（1）不可压缩流体质点在从某流速的流层因脉动uy'进入另一流速的流层时，在运动的距离L（普1 兰特称此为混合长度）内，微团保持其本来的流动特征不变。
在混合长度L1内速度增量：（2）普兰特假设脉动速度与时均流速差成比例，即：（6-17）式中: ——亦称混合长度，但已无直接物理意义。
在紊流的固体边壁或近壁处，普兰特假设混合长度正比于质点到管壁的径向距离，即：（6-18）式中:k——由实验决定的无量纲常数。
例如圆管层流k=0.4。
y——至壁面的距离。
考考你:普兰特混合长度理论借用了气体中b.紊流切应力的表达式的概念。
（6-19）式中：——涡流粘度，是紊动质点间的动量传输的一种性质。
η 不取决于流体粘性，而取决于流体状况及流体密度。
——运动涡流粘度，不是流体的一种属性，ε 而取决于混合长度及流速梯度等紊流特性。
三、紊流的基本方程对N-S方程（3-12）和连续性方程（3-9）进行时间平均即可得出紊流的时均流动方程。
连续性方程（6-20）N-S 方程（x 方向）（6-21）式中：——由于脉动产生的附加法应力统称为雷——由于脉动产生的附加切应力诺应力它们是紊流传输项，也是造成紊流动量交换及质点混掺的主要原因。
在紊流边界层外侧或紊流扩散中，雷诺应力远远超过粘性切应力。
四、紊流流速分布1. 粘性底层，紊流核心（圆管）的概念（图6-10）粘性底层（viscous sublayer）：圆管作紊流运动时，靠近管壁处存在着一薄层，该层内流速梯度较大，粘性影响不可忽略，紊流附加切应力可以忽略，速度近似呈线性分布，这一薄层就称为粘性底层。
紊流核心：粘性底层之外的液流统称为紊流核心。
图6-10 2. 粘性底层a.粘性底层的流速分布由牛顿内摩擦定律（1-6）式：得（6-22）则式中：——剪切流速，或称摩阻流速。
u* 结论：粘性底层中的流速随y 呈线性分布。
b.粘性底层厚度实验资料表明：当时, ，则粘性底层厚度为（6-23）式中：Re——管内流动雷诺数；——沿程阻力系数。
说明:（1）粘性底层厚度很薄，一般只有十分之几毫米。
（2）当管径d 相同时，随着液流的流动速度增大，雷诺数增大，粘性底层变薄。
c.圆管壁面水力特性根据粘性底层厚度δ1与管壁的粗糙度△的关系，在不同的Re流动状态下，任一圆管的壁面均可能呈现下列三种水力状态：水力光滑壁面（管）（hydraulic smooth wall）：当管内流动雷诺数较小时，粘性底层厚度δ1较大，以至于粘性底层足以覆盖全部粗糙，管壁的粗糙度△对紊流结构基本上没有影响，水
流就象在光滑的壁面上流动一样。
这种情况在水力学中称为水力光滑壁面（管）。
水力粗糙壁面（管）（hydraulic rough wall）：当粘性底层厚度δ1足够小，以致粗糙度△对紊流切应力起决定性作用，其粗糙突出高度伸入到紊流流核中，成为涡旋的策源地，从而加剧了紊流的脉动作用，水头损失也较大，这种情况在水力学中称为水力粗糙壁面（管）。
水力过渡区壁面（管）（transition region wall ）：介于水力光滑管区与水力粗糙管区之间的区域的紊流阻力受粘性和紊动同时作用，这个区域称为过渡区。
3.紊流核心区的流速分布a.对数规律分布普兰特假设: （1）切应力τ为一常量，且其值等于边壁处的切应力τ0，即τ=τ0；（2）混合长度l随着离边壁的距离y呈线性变化（6-18），即l=ky。
则：(6-24) 说明：在紊流核心区（y>dl），紊流流速呈对数规律分布。
b.圆管流速的指数规律分布普兰特—卡门根据实验资料得出了圆管紊流流速分布的指数公式：(6-25) 式中:n——随Re 增大而减小的指数。
对于光滑管：1.当Re<1.1×105时，称为紊流流速分布的七分之一定律。
2.若Re 增加，n值减小，例当Re≥2×106时，。