二次函数综合性问题——线段的最值教学设计(可编辑修改word版)

二次函数综合性问题——线段的最值教学设计

重庆一中唐小力

一、教材分析

本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。主要内容包括：利用二次函数的相关知识解决重庆中考压轴题26 题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值，争取让学生逐个解决问题，从而得分。

本节课的设计是从求水平或者竖直的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：

1、知识与技能

通过对二次函数综合性问题——线段的最值问题的探究，让学生掌握利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及将倾斜线段转化的方法。

2、过程与方法

通过层层递进，由浅入深的七个例子的学习，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。

3、情感态度价值观

（1）使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。

（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

本节课的教学重点是“探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决线段最值的方法”，教学难点是“如何将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而解

决最值问题”。

四、教学过程

（一）利用例题，复习引入

例:如图，已知二次函数y =-x2- 2x + 3 的图象交x 轴于A、B 两点（A 在B 左边）交y 轴于点C .

（1）求A、B、C 三点的坐标和直线AC 的解析式.

设计意图：这是重庆中考 26 题的第一小问，利用二次函数解析式求解点的坐标，

主要是提醒学生注意书写格式，为中考得分打下坚实的基础.

（2）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PQ//y 轴交直线AC 于点Q，求

线段PQ 的最大值.

分析：因为PQ//y 轴，所以点 P 与点Q 的横坐标相同，从而设出点 P，点Q 的坐标，PQ 的长

度即为 P，Q 两点的纵坐标之差的绝对值，从而转化为求二次函数的最值问题.

（3）P是直线AC上方抛物线上一动点(不与A,C重合)过P作PM//x轴交直线AC于点M，求线

段PM 的最大值.

分析：由（2）问的竖直方向的线段转化为水平方向的线段，线段 PM 的长度就转化为横坐标

之差的绝对值.

总结：以上的线段是水平和竖直方向的线段，均可通过设点坐标的方法，找到两点间的联系，从

而化为二次函数的最值问题.

问：如果是倾斜方向的线段呢？请看以下几个例题.

（4）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),求点P 到直线AC 距离PM 的最大值. 分析：过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q，则△PQM 为等腰直角三角形，于

是将求PM 最大值转化为求PQ 的最大值.

（5）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q, PH ⊥AC 于H,求?PQH 周长的最大值.

设计意图：第（5）问是第(4)问的延伸，主要是利用等腰直角三角形中

斜边与直角边的关系求解，通过讲解第（4）问，让学生独立完成第（5）

问，并邀请学生讲解.

（6）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),连接BC，过P 作PN//BC 交直线AC 于N，求线段PN 长度的最大值.

分析：将（4）问中垂直于AC 的一条直线改为平行于BC 的直线，线段不同，

方法类似，即：过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q，经探索发现：∠PQN = 45?，

∠QPN =∠OCB ，所以：△PQN 是一个形状不变的三角形，当PQ 最大时，PN 最大

（7）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q , 作PN //BC

交直线 AC 于 N ，求?PQN 周长的最大值.

设计意图：第（7）问是第(6)问的延伸，主要是利用△PQN 中∠PQN = 45? ，

tan ∠PQN = 1

，从而找到三边的关系，通过讲解第（6）问，让学生独立完成第（7）问，

并邀请学生讲解.

总结：通过这 7 个例子的学习，我们发现对于倾斜方向的线段解决起来比较困难，但是我们可以通过转化的方法，将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段进行求解，也就是我们这节课最重要的解决线段最值的基本方法：化斜为直。

（二）课后作业，巩固提升：

1.（15 年 B 卷 26 题）如图，抛物线 y = -x 2 + 2x + 3 与 x 轴交与 A ，B 两点（点 A 在点 B 的

左侧），与 y 轴交于点 C. 点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴相交于点 E .

（1）求直线 AD 的解析式；

（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F ，过点 F 作 F G⊥AD 于点 G ，作 FH 平行于 x

轴交直线 AD 于点 H ，求△FGH 的周长的最大值；

26图图 1

C D F

2.（15 年 A 卷 26 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = -

3 x 2 + 4

3x + 3 交 x

轴于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 W ，顶点为 C ，抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D .

（1）求直线 BC 的解析式.

（2）点 E （m ，0），F （m+2，0）为 x 轴上两点，其中(2 < m < 4) ， EE ' ， EE ' 分别垂直

于 x 轴，交抛物线与点 E ' ， F ' ，交 BC 于点 M ， N ，求

ME ' + NF ' 的最大值.

3.（16 年A 卷26 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -1 x2

2 3 x +3 与x

轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，抛物线的顶点为点E.

（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；

（2）经过B、C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，求P 点坐标；

4.（16 年B 卷26 题）如图，二次函数y=x2﹣2x+1 的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象

交于A，B 两点，点A 的坐标为（0，1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，

点M 是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x 轴的交点，过点B 作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO

：S 四边形AONB=1：48．

（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；

（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD// x 轴，射线PD 与抛物线交于点G，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PF⊥BC 于点F．当PF 与PE 的乘积最大时，求G 点坐标．

设计意图：这4 个习题都是近两年中考原题，保留了第（1）问和第（2）问的第一个最值，让学生在本堂课学完后，对所学内容的巩固提升，而第（2）问的第二个最值将在下一节课再进行讲解。

人教版数学九上《第二十二章二次函数复习(第1课时)》同课异构教案

本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。二次函数教学目标知识技能 1.通过回顾教材，说出二次函数的定义；能画出二次函数的图象；能从图象上认识二次函数的性质；掌握各类函数之间的平移规律. 2.通过练习，能够根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题. 过程方法通过让学生练习，进一步体会数学建模思想，进一步体验用配方法和数形结合思想等解决问题的方法. 情感态度 1．通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣； 2．让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣. 重点有关二次函数的基础知识及二次函数的实际应用. 难点灵活运用二次函数的有关知识解决实际问题. 环节教学问题设计教学活动设计知识回顾1.二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而 . 2.抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值 3．抛物线8 2 2- - =x x y的对称轴为直线____，顶点坐标为___，与 y轴的交点坐标为____； 4.如何平移3 )1 ( 3 1 2- + - =x y 的图象可得到函数2 3 1 2+ - =x y. 5.已知二次函数c bx ax y+ + =2的教师引入课题后利用学案出示问题组.学生自主完成填空，教师巡视学生完成情况，然后找学生说出答案，同时要求学生总结解决以上问题所运用的知识点、方法及规律. 3、4两题要指导学生画出草图，养成据图分析问题的习惯，教师指导学生利用数

1.二次函数与线段最值

第一讲二次函数与线段最值 1．如图，已知二次函数223y x x -=-+的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C 点．（1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），过点P 作y 轴平行线交直线AC 于Q 点，求线段PQ 的最大值；（3）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），过点P 作x 轴平行线交直线AC 于M 点，求线段P M 的最大值；（4）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），求P 点到直线AC 距离的最大值；（5）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），连接P A ，PC ，求△P AC 面积的最大值． y x A C O B 竖直线 y x B (x ,y 2) A (x ,y 1) O y x A (x 1,y ) B (x 2,y )O AB =|y 1-y 2|=y 1-y 2 (纵坐标相减)上减下水平线 AB =|x 1-x 2|=x 2-x 1 (横坐标相减)右减左

2．如图，抛物线223y x x -=-+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．

【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案

第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一.创设情境，导入新课问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．

二.合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到

二次函数线段最值问题

二次函数线段最值问题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

二次函数线段最值问题 ———几何类 “最短距离”经典问题汇总一、“两点之间线段最短”．【基本问题】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．【变式1】直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB ?的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．【变式2】直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点 P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B 、′′，连接A B ′′ 分别交12l l 、于P Q 、，即为所求．【变式3】从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ， O B A P 2P 1P l 2l 1

再回到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下． A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求．【变式5】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之差的绝对值最大，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与l 的交点即为P 点．二、“垂线段最短”．例题探究：【探究1】如图，抛物线42 12+--=x x y 与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．

(完整word版)第22章《二次函数》全章初备教案

第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．教学重点二次函数的概念和解析式．教学难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．教学过程一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式．板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数

二次函数有关线段和差面积最值问题-doc

二次函数之最值问题 ◆ 线段和或差（或三角形周长）最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最短距离,这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题． ◆ 最短距离和找法:以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结另一个已知点和对称点的线段，与对称轴交于一点,这一点即为所求点.线段长即为最短距离和. ◆ 线段长最值问题：根据两点间距离公式12x x -把线段长用二次函数关系式表示出来求最值. 几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积ｙ与边长x 之间的二次函数关系,其顶点的纵坐标即为面积最值．例１、已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()3,0A -和点()1,0B ，且与y 轴交于点C ，D 点在抛物线上且横坐标是2-．(1)求抛物线的解析式;(２)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA PD +的最小值．? ? ?例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中,直线3 2y x =- +分别交ｘ轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点Ａ顺时针旋转4５°得到射线AN.点D 为ＡＭ上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1)求线段A Ｃ的长； (２）求△BC Ｄ周长的最小值；（3)当△BCD 的周长取得最小值,且52 BD =时,△BCD 的面积为＿＿__＿___. ? ?????1、已知抛物线21y ax bx =++经过点()1,3A 和点()2,1B ．（１）求此抛物线解析式； (２)点Ｃ、D 分别是ｘ轴和y 轴上的动点,求四边形ABCD 周长的最小值;?(3)过点Ｂ作x 轴的垂线,垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置,使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．????

二次函数线段、周长、面积最值问题

二次函数线段、周长、面积最值问题 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．（变式）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x 轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知：抛物线l1：y=-x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，- 5/2）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

第1套人教版初中数学九年级上册22.1.1二次函数教学设计

22.1 二次函数的图象和性质一、内容和内容解析 1．内容二次函数的概念． 2．内容解析本章是在学习了一次函数的基础上，继续进行函数的学习，是对函数知识的完善与提高，为高中继续学习函数作准备．学习一种函数包括以下基本内容：(1)通过具体实例认识这种函数；(2)探索这种函数的图象和性质；(3)利用这种函数解决实际问题；(4)探索这种函数与相应方程等的关系．本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的．二次函数的概念是通过具体问题引入的，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立函数中的数量关系和变化规律．这些内容的学习有助于学生初步形成建模思想，提高学习数学的兴趣和应用意识．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解二次函数的定义．二、目标和目标解析 1．目标 (1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． (2)通过探索实际问题中两个变量之间的关系的过程，向学生渗透类比思想、建模思想，让学生体会数学与生活之间的联系． 2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能够通过实例列出函数解析式，通过观察解析式的共同点归纳出二次函数的定义，并知道表示二次函数的解析式中字母的意义，能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数．目标(2)体现在学生达成目标(1)的活动的过程中，达成的标志是：学生在正确描述出函数解析式的过程中，积极类比、思考，以自身的实际经验为基础，体会二次函数与生活之间的联系．三、教学问题诊断分析学生在思考y ＝6x 2，m ＝221n －n 2 1，y ＝20x 2＋40x ＋20的共同特征时，发现函数的特征不容易统一，所以引导学生先回忆一次函数的定义，对比一次函数与以上等式的异同，发现以上等式右边为自变量的二次式，并发现二次项系数a ≠0是必要条件，而b ，c 为常数即可．基于以上分析，本节课的教学难点是：从实例中归纳出二次函数的定义及二次函数的辨析．四、教学过程设计 1．由实际生活引入二次函数多媒体显示第二十二章章前图等图片．问题1 花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？师生活动：学生观察图片，并阅读章引言的内容．这些都是实际生活中经常见到的，这些都将在本章——二次函数中学习．设计意图：通过实际问题说明二次函数存在于生活中以及学习二次函数的必要性． 2．通过实例，归纳二次函数的定义问题2 正方体的棱长为x ，那么正方体的表面积y 与x 之间有什么关系？师生活动：学生独立思考，正方体共有六个面，它们都是全等的正方形，边长为x ，一个面

二次函数线段最值问题

次函数线段最值问题 —几何类 “最短距离”经典问题汇总一、 “两点之间线段最短”. 【基本问题】在直线I 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小，如图所示?作点 A （或B ）关于直线I 的对称点，再连接另一点与对称点，与I 的交点即为P 点. 【变式1】直线爪I 2交于O ，P 是两直线间的一点，在直线11、12上分别找一点 A 、B ，使得PAB 的周长最短?如图所示，作P 点关于h 、J 的对称点P 、P 2，连接PP ，与h 、J 分别交于A 、B 两点，即为所求. 【变式2】直线l i 、I 2交于O ，A 、B 是两直线间的两点，从点A 出发，先到I i 上一点P ，再从P 点到I 2上一点Q ，再回至U B 点，求作P 、Q 两点，使AP PQ QB 最小?如图所示，作A 、B 两点分别关于直线h 、I 2的对称点A 、B ：连接AB 分别交I i 、12于P 、Q ，即为所求. 【变式3】从A 点出发，先到直线I 上的一点P ，再在I 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ，求作P 点使移动的距离最短，轴交于点C,顶点为D. E （1, 2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G. 在直线EF 上求一点H ,使A CDH 的周长最小，并求出最小周长；【探究2】已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴交于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C 。若一个动点 P 自点C 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点C .求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长. 【探究3】已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ,在线段 BC 上是否存在一点P ，使得B 、C 两点到直线AP 的距离之和最大？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。【探究4】已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。若一个动点P 自OC 的中点M 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F ），最后运动到点C .求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的如图所示?先将A 点向右平移到A ，点，使AA 等于PQ 的长，作点B 关于I 的对称点B ，,连接AB ,与直线I 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点. 【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式 4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下. A 、 B 是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从 A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短.如图所示，将点 A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ，点，连接AB 交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求. 【变式5】在直线I 上找一点P ，使得其到直线异侧两点 A 、B 的距离之差的绝对值最大，如图所示.作点A 交点即为P 点. 二、 “垂线段最短”. 例题探究：【探究1】如图，抛物线y （或B ）关于直线I 的对称点，再连接另一点与对称点, 'P A' d Q 卄 B 其延长线与I 的 x 4与x 轴的两个交点分别为 A （-4, 0）、B （2, 0），与y 2 F O B x

201x-201x学年九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第2课时教案新人教

第2课时实际问题与二次函数（2） ※教学目标※ 【知识与技能】将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 【过程与方法】通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 【情感态度】感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 【教学重点】利用二次函数解决有关拱桥问题. 【教学难点】建立二次函数的数学模型. ※教学过程※ 一、问题导入问题为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案解：（1）由题意，得() 7002045201600 y x x =--=-+. （2）P=()()()2 2 402016002024006400020608000 x x x x x --+=-+-=--+，∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元. （3）由题意，得()2 206080006000 x --+=.解得 150 x=，270 x=． ∵抛物线()2 20608000 P x =--+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x≤58，∴50≤x≤58.∵在201600 y x =-+中，20 k=-＜0，∴y随x的增大而减小.∴当x=58时，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知探究图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？提问（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？（2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？（3）题中“水面下降1m的含义是什么？”水面下降的同

新人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试含答案

第二十二章二次函数单元测试一、单选题(共10题；共30分) 1、西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是() A、y＝－(x－)2＋3 B、y＝－3(x＋)2＋3 C、y＝－12(x－)2＋3 D、y＝－12(x＋)2＋3 2、抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是( ) A、B、C、D、 3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A、2 B、4 C、8 D、16 4、抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为 A、 B、C、D、 5、下列关系式中，属于二次函数的是(x是自变量)()

A、y= B、y= C、y= D、y=ax2+bx+c 6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是() A、y=3x﹣1 B、y=ax2+bx+c C、s=2t2﹣2t+1 D、y=x2+ 7、抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为( ) A、(4，0) B、(0，4) C、(4，2) D、(4，﹣2) 8、已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x的函数关系式为( ) A、y=﹣2πx2+18πx B、y=2πx2﹣18πx C、y=﹣2πx2+36πx D、y=2πx2﹣36πx 9、已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5，则b，c的值为( ) A、b=0，c=6 B、b=0，c=﹣5 C、b=0，c=﹣6 D、b=0．c=5 10、(2020?梧州)2020年5月22日﹣29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣ x2+bx+c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( ) A、y=﹣ x2+ x+1 B、y=﹣ x2+ x﹣1 C、y=﹣ x2﹣ x+1 D、y=﹣ x2﹣ x﹣1 二、填空题(共8题；共30分) 11、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数________和________的图象交点的横坐标来求得．

二次函数线段最值问题

二次函数线段最值问题 ———几何类 “最短距离”经典问题汇总一、“两点之间线段最短”．【基本问题】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．【变式1】直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB ?的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接 12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．【变式2】直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B 、′′，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求．【变式3】从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′ ，与直线O B A P 2P 1P l 2l 1

l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下． A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求．【变式5】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之差的绝对值最大，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与l 的交点即为P 点．二、“垂线段最短”．例题探究：【探究1】如图，抛物线42 12+--=x x y 与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2， 0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；

二次函数的线段最值问题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

例１:如图，抛物线经过了点Ａ(4，0），B(-4，-4）,C(０,2)，连接AB,ＢC,ＡC, （１）求抛物线解析式。 (2）点P是抛物线对称轴上的一点,求△ＰBC周长的最小值及此时P点的坐标。 2．已知如图，抛物线y=x2+bx+ｃ过点Ａ（3,0）,B(1,0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合）,过点P 作PD∥y轴交直线ＡＣ于点D． (1)求抛物线的解析式; （2）求点Ｐ在运动的过程中线段PＤ长度的最大值; (3)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MＡ﹣MＣ｜最大？若存在请求出点Ｍ的坐标，若不存在请说明理由. y F O B C A D E

3.如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点Ａ,B 是ＯＡ的中点.一个动点G 从点B 出发,先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点Ａ.如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．４.如图，菱形ＡB ＣD 的边长为6且∠DAB=60°,以点A 为原点、边AB 所在的直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系.动点P 从点D 出发沿折线D ＣB 向终点B 以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q 从点Ａ出发沿ｘ轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点Ｐ到达终点时停止运动,运动时间为t,直线PQ 交边AD 于点E ．（1)求出经过Ａ、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）若F 、G 为ＤC 边上两点，且点ＤＦ=ＦＧ=１，试在对角线D Ｂ上找一点M 、抛物线ＡDC 对称轴上找一点N,使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．

九年级数学上册第二十二章二次函数22.1.3二次函数y=ax_h2+k的图象和性质2教案新版新人教版

二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质课题： 22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质（2）． 1 课时教学设计课标要求 1、让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质． 2、理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系．教材及学情分析 1、教材分析：二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。 2、学情分析九年级的学生，在讲本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图像和性质，从知识结构上看他们已经具备了继续探究二次函数的图像和性质的基础。学生自主探究和合作交流的能力较强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有较大提高。但也有一些问题，求函数的解析式、由函数图象得出有用的信息的能力有待提高。课时教学目标 1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象． 2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质． 3．理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系．重点理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系难点理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系．教法学法指导启发法发现法练习法教具准备课件教学过程提要

初中数学人教版九年级上册：第22章《二次函数》全章教案

初中数学人教版九年级上册实用资料第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a

二次函数中线段最值问题

二次函数中线段最值问题（一）例1.已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；y＝x2﹣2x﹣3 （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；练习1.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；y＝﹣x2+2x+3，（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；练习2.如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；y＝x2﹣2x﹣3，（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

例2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3 （2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为．练习3.在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y 轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；y＝＝2x2﹣6x﹣8．（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥ OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；y＝﹣x2+x+2；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

二次函数综合性问题——线段的最值教学设计(可编辑修改word版)

人教版数学九上《第二十二章二次函数复习(第1课时)》同课异构教案

1.二次函数与线段最值

【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

二次函数线段最值问题

(完整word版)第22章《二次函数》全章初备教案

二次函数有关线段和差面积最值问题-doc

最新人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》教案

二次函数线段、周长、面积最值问题

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二次函数线段最值问题

201x-201x学年九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第2课时教案新人教

最新人教版九年级上册数学二十二章二次函数单元教学计划

新人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试含答案

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九年级数学上册第二十二章二次函数22.1.3二次函数y=ax_h2+k的图象和性质2教案新版新人教版

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