子空间的直和
等价的，也就与维(W) = 维(V1) + 维(V2) 等价. 这就
证明了定理.
证毕
三、直和的性质
定理 11 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间，
或者 U 与 W 是互补子空间.
证明 取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n . 令 W = L(m + 1 , … , n ) .
则 W 即满足要求.
证毕
例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直
线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图6-9 所示.
L2
例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线， 是过
原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U， 上的
点构成的空间为 W，如果 U ∩ W = { 0 } ， 即 L 不
上，则 V = U W . 如图 6-10 所示.
z
L
o
y
x
图 6-10
例例 33 设设VV==PP33，，UU==LL((11))，，11==(1(1, ,11, ,11)，)，
面( 直线不在平面上 ) 上的全体向量构成的
二、直和的充分必要条件
定理 9 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,
只有在1, 2全为零时才成立.
证明 定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面 来证这个条件的充分性.
2)ji
4) 维( W ) = 维( Vi ) .
证明略.
(i 1,2, , s) ;
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结本若节击想请本 本单若 若内请 请结本若节击想请本容单若束内请返结本若节击想请本容单若束节想内请返结单节节击想 想本容单单若束节想内请返结单节已击想本本容单若回束节想内请返结单节已击想本内结本容单若回束击内内请返结 结节已击击想本内结本容单若回束击内结请返结堂节已击想按本内结本 本容单若 若回束击内结请 请返结堂容束节已击想按本返本 本 本容容单若 若 若回束 束内结请 请 请返返结堂容束节已击想按本返本容束单若回束课内结请返结钮堂容束节 节已击想想按本返本容束单 单若回束课已本内结请返结钮堂回节 节 节已已击想想 想按本 本容束单 单单回回束课已本内结返结钮堂回节已击想按本,容束单回束课.已本内 内结!返结结钮堂回节已击 击想按本,结堂容束单回束课.按内 内 内结结!返结结 结钮堂 堂已击 击击按按本,结堂容束回束课.按内结!返结钮堂已击按本,结堂容 容束回束束课.按内结!返 返结钮堂束课已击按本,钮容 容 容束束回束 束束课 课.结!返返 返钮钮堂束课已按本,钮容束回束课.结!返钮堂束课已 已按本本,钮容束回 回束课.,结!返钮堂.已 已 已按本 本本,,!束回回回课..,结!!钮堂.已按本,!束回课.,结 结!钮堂堂.已按按本,!束回课.结 结 结!钮堂堂堂按按按,束课.结!钮堂按,束束课.课结!钮钮堂按,束束束课课.课!钮钮钮,束课.!钮,,束课..!!钮,,,...!!!,.!,.!
设 V1 + V2 ，它有两个分解式 = 1 + 2 = 1 + 2 ，1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
于是
( 1 - 1 ) + ( 2 - 2 ) = 0 , 其中1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 . 由定理的条件，有
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 . 这就是说，向量 的分解式是唯一的.
第七节 子空间的直和
主要内容
定义 直和的充分必要条件 直和的性质 多个子空间的直和
一、定义
子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊 情形.
定义 17 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，
如果和 V1 + V2 中每个向量 的分解式 = 1 + 2 ， 1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和，记为 V1 V2 . 在第六节的例 2 设中V的1和, V就2 分是别直是和.R3 过原点的
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
1 = - 2 V1 ∩ V2 .
由假设 V1 ∩ V2 = { 0 } ，得
1 = - 2 = 0 .
这就证明了 V1 + V2 是直和.
= 1 + 2 + … + s , i Vi ( i = 1,2,…,s )
是唯一的，这个和就称为直和. 记为
V1 V2 … Vs . 和两个子空间的直和一样，我们有
定理 12 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
再证必要性. 任取向量 V1 ∩ V2 . 于是零
向量可以表示成
0 = + ( - ) ， V1 , - V2 . 因为是直和，所以 = - = 0 . 这就证明了
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证毕
定理 10 设 V1 , V2 是 V 的子空间，令 W = V1
+ V2 ，则 W = V1 V2
的充分必要条件为 维( W ) = 维( V1 ) + 维( V2 ) .
证明 因为
维(W) + 维(V1 ∩ V2 )= 维(V1) + 维(V2) ,
而由前面 定理 9 和的V推1 论+ V知2 是V1直+和V2的为充直分和必的要充条件
要条件等是式V1 ∩ V2 = { 0 } ，这是与维(V1 ∩ V2 ) = 0
求求 UU 的的补补空空间间 WW..
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U四的、基多扩充个为子P空3 的间基的. 直取 和
基因的的，为分子定于向解空义是量式间组.1e81,如ee121果,设是=e和1(V,W1e1,V2,0的1线V,+02一性)V,,组…无2e2+基关=,…V，(，s0+都即所, V1是以,sW0中线它)=,每性即L个(空为e1向间, Pe量2V3)的.
子空间的直和
§6.7 子空间的直和
再证 Pn V1 V2 .
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
（3）Vi Vj 0,i 1,2,
ji
§6.7 子空间的直和
s
, s （4）dimW dimVi
i 1
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设 1, 2 , , n 是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L(1, 2 , , n ) L(1 ) L( 2 ) L( n )
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
s
（1）W Vi 是直和
i 1
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
§6.7 子空间的直和
A(k ) kA k0 0 V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
（2）先证 P n V1 V2 .
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0 A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ”
若 1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
子空间的直和
设 V1 + V2 ，它有两个分解式
1 , 1 V1 , 2 , 2 V2. = 1 + 2 = 1 + 2 ，
于是
( 1 - 1 ) + ( 2 - 2 ) = 0 ,
其中1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 . 由定理的条件，有
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
1) W Vi 是直和； 2) 零向量的表法唯一；
3) Vi
V
j i ;
4) 维( W ) = 维( Vi ) .
证明略.
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子空间的直和的充要条件
子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。
直和则是子空间的一个重要性质。
本文将介绍子空间的直和以及充要条件。
二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。
2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。
3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。
四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。
4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。
4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。
这说明V = W1 + W2。
另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。
由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。
因此，W1与W2的交集只有零向量。
必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
《子空间的直和》课件
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子空间的定义与性质子空间的直和子空间直和的应用子空间直和的扩展总结与展望
子空间的定义与性质
PART
01
子空间是线性空间的一个非空子集，它也是一个线性空间。
子空间
一种是基于向量的线性组合和数乘，另一种是基于子集和加法封闭性。
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2023-2026
2023-2026
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解释
解释
在矩阵表示中，我们可以使用增广矩阵来表示子空间直和，其中每一列代表一个子空间的向量。
解释
通过在几何图形中绘制子空间的向量，我们可以直观地理解子空间直和的概念。
表示方法3
通过线性变换表示。
通过矩阵表示。
表示方法1
表示方法2
通过几何图形表示。
通过线性变换，我们可以将一个子空间的向量映射到另一个子空间，从而形成子空间直和。
子空间的直和
PART
02
子空间直和是一种数学概念，用于描述两个或多个子空间在更高维度空间中的合成。
定义
子空间直和可以看作是两个或多个子空间的“加法”，它们在更高维度的空间中形成一个新的子空间。
解释
考虑二维平面上的两个线性子空间，它们可以通过子空间直和的方式合成一个更高维度的子空间。
例子
性质1
子空间直和是封闭的。
矩阵分解
在奇异值分解中，子空间的直和可以用于理解和构造奇异值，这对于处理大规模数据和复杂矩阵非常有用。
矩阵的奇异值分解
信号的频谱分析
7.子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
6[1].7 子空间的直和
![6[1].7 子空间的直和](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/4f06861652d380eb62946d74.webp)
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
51-子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
§7子空间的直和
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S
A A P nn , A A ,
T A A P nn , A A
证明:
S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量 的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若
子空间的和不是直和的例子
子空间的和不是直和的例子
以下是 9 条关于子空间的和不是直和的例子：
1. 想一想平面上两条相交的直线所张成的子空间，这可不是直和呀！比如房间里的两面墙，它们有一个共同的交界线，这就像子空间的和不是直和一样。
2. 音乐中的不同音符组合，有时候几个音符凑在一起形成的子空间可就不是直和呀！难道不是很像不同乐器发出的声音混合起来，不是简单的直和那样单纯。
3. 再看看调色板上的几种颜色混合，哎呀，那混合出的颜色所对应的子空间可不是直和呀！就如同把红色和蓝色混在一起得到紫色，这可不是红色子空间和蓝色子空间的直和呢。
4. 你瞧那复杂的人际关系网，每个人的圈子叠加起来形成的子空间绝不是直和呀！这和几个人的小团体交织在一起的情况不是很相似吗？
5. 回忆一下化学反应中各种物质的作用，产生的新物质对应的子空间可不是直和哦！就好比几种物质搅和在一起发生奇妙变化，可不是直和那么简单明了。
6. 观察一下车水马龙的街道上各种车辆的行驶轨迹，那形成的子空间可不是直和呀！这多像各种车辆的路线交织在一起，复杂得很呢。
7. 想想大脑中不同的思维模式拼凑起来的子空间，可不是直和呀！这不就如同各种思绪在脑子里混战，哪那么容易是直和。
8. 看看拼图游戏中那些拼图碎片组成的画面，这其中的子空间就不是直和嘛！不就类似于把各种形状的碎片凑在一起形成一幅复杂的图。
9. 思考一下星空里那些相互交织的星系，它们形成的子空间绝对不是直和呀！这难道不像宇宙中各种力量相互作用，不是简单相加能说清楚的。
我的观点结论就是：子空间的和不是直和的情况在生活中真是无处不在呀，得仔细去体会和感受呢！。
子空间的直和与因子空间
子空间的直和与因子空间子空间是线性代数中的重要概念，它在研究向量空间时起着关键的作用。
子空间的直和和因子空间是子空间的重要衍生概念，它们在向量空间的分割和表示上发挥着重要的作用。
一、子空间的直和子空间的直和是指由两个或多个子空间组成的全新子空间。
设V是向量空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果V中的任意一个向量既可以表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1和W2的直和，记作V=W1⊕W2。
例如，若V=R3，W1是R3中所有满足x1+x2+x3=0的向量构成的子空间，W2是R3中所有满足2x1-3x2+x3=0的向量构成的子空间。
则V是W1和W2的直和。
直和的概念可以推广到多个子空间的情况。
设V是向量空间，W1、W2、...、Wn是V的n个子空间。
如果V中的任意一个向量既可以表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1、W2、...、Wn的直和，记作V=W1⊕W2⊕...⊕Wn。
子空间的直和具有以下性质：1. 若V=W1⊕W2，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和。
2. 若V=W1⊕W2⊕...⊕Wn，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和。
二、因子空间因子空间（也称为商空间）是指用一个向量空间V的子空间W对V进行分割而得到的新的向量空间。
设V是向量空间，W是V的子空间，我们记为V/W。
在V/W中，等价类[x]代表了所有形如x+w的向量的集合，其中x属于V，w属于W。
换言之，[x]是由W平移x得到的平行于W的子空间。
因子空间的概念可以理解为对子空间的一种降维运算。
通过因子空间，我们可以将原始向量空间V映射到一个低维的向量空间，而这个低维空间的维度就是原始向量空间V中子空间W的维度。
因子空间在理论研究和实际计算中都有广泛的应用和意义。
三、子空间的直和与因子空间的关系子空间的直和与因子空间之间存在着密切的关系。