拉普拉斯变换
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。
留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。
2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s) 存在的条件：。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
1 - e-s F (s) s
Re(s) -
2)展缩特性（time scaling） f (t ) L F ( s ) Re( s ) s 0 若 1 s L F ( ) a 0, Re( s ) as 0 则有 f (at ) a a
L[ f (t )] - f (at)e-st dt 0
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
- st
L[ f1 (t ) f 2 (t )]
0
0
(
0
f1 ( ) f 2 (t - )d )e dt
f1 ( )(
0
f 2 (t - )e -st dt) d
- s
0
f1 ( ) F2 ( s)e
d F1 ( s) F2 ( s)
- skT
F1 ( s ) F1 ( s) 1 - e - sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1 0 t
1
2
3 4 Ü Ú ½ ¨Å Å Ö Æ ·² Ð º
5
1 - e-s L[u (t ) - u (t - 1)] s 1 - e- s 1 1 F ( s) -2 s -s s 1- e s(1 e )
2
-
-
例： L[u (t )] 1 / s
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换一． 拉普拉斯变换的定义设f （t ）是变量t 的函数，定义：F(s)=⎰∞-0)(dt e t f st 为f ( t )的拉普拉斯变换。
记为£[f(t)]=F(s).ｆ(t)=⎰∞+∞-j j st dt e s F jσσπ)(21 称逆拉普拉斯变换，记为 f （t ）=£-1[F(s)]。
二． 一些常用函数的拉普拉斯变换1． 阶跃函数 1（t ）£[f (t)]=⎰∞)(e t f -st dt =⎰∞1e -stdt=–se st- t 2.指数函数 e - at £[ate-]=⎰∞--0dt e e st at =as +1 3.冲击函数 δ(t)£[δ(t)]=⎰∞-0)(dt e t stδ=1三． 拉普拉斯变换的性质1． 线性(叠加)f 1(t) F 1(s) f 2(t) F 2(s) K 1，K 2是常数， 则K 1f 1(t) +K 2f 2(t) K 1F 1(s) +K 2F 2(s)例。
F(t)=sinwt ,求拉式变换：∵sinwt=je e jwtjwt 2--jwt ejw s -1 , jwte - jws +1∴ sinwt22ws w+ 2． 原函数微分 f(t) F(s) 则dtt df )( sF(s) –f(0) nn dt t f d )( )0()()(11r n r r n n f s s F s ∑-=---式中)0()(r f表示)()(t f r 在-0处的值。
3． 原函数的积分 f(t) F(s) 则⎰∞-tdx x f )( sf s s F )0()()1(-+ 式中⎰∞--=0)1()()0(dx x f f4． 延时(时域平移 )f(t) F(s ) 则f(t-t 0)1(t-t 0) )(0s F e st -5． S 域平移 f(t) F(s) f(t)ate- F(s+a)例。
拉普拉斯变换
d f (t ) s n F (s) s n1 f (0 ) f ( n1) (0 ) L[ ] n dt
n
返 回
上 页
下 页
若初始条件为零
3.积分定理 若
f (t ) F ( s)
则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
返 回
pn t
上 页 下 页
待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 2、 、 n 、 3
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s pn 2
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
上 页 下 页
返 回
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s Fra bibliotek bn 3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s)] s 1 d [ s 4 ] s 1 4 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
返 回
上 页
下 页
小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
0
t
6.衰减定理 若 f (t ) F ( s) 则
返 回 上 页 下 页
F1 ( s) F2 ( s)
7.初值定理
若
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平移函数的拉氏变换
L[ f (t T )] f (t T )est dt esT F (s)
0
拉普拉斯变换的性质
5.初值定理 若 L[ f (t )] F (s) 则
t 0 s
且
lim sF ( s ) 存在 s
lim f (t ) lim sF ( s )
五. 拉普拉斯逆变换
例7.
s3 1 F ( s) 求 f (t ) L [ F (s)] ( s 1)(s 2) 2 解： F ( s) A1 2 A2 A3 ( s 2) s 2 s 1
s3 A1 ( s 2) 2 s 2 1 ( s 1)(s 2) 2 d s3 A2 { [ ( s 2) 2 ]} s 2 2 ds ( s 1)(s 2) 2 s3 A3 ( s 1) s 1 2 2 ( s 1)(s 2) 1 2 2 F ( s) 2 ( s 2) s 2 s 1
拉普拉斯变换
三、一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位阶跃函数 u t 的拉氏变换 解
0 t 0 u (t ) 1 t 0
根据定义
L[ f (t )] f (t )e st dt
0
st 0 1 s st 0
L[u(t )] 1 e dt e
1 s 1 s 0.5 0.5 F ( s) 2 2 3 2 s s s 1 s (s 0.5) ( 2 ) (s 0.5)2 ( 23 )2
f (t ) 1 e 0.5t cos 3 3 0.5t 3 t e sin( t ) 2 3 2
五. 拉普拉斯逆变换
上式中，
A01 {( s p0 ) r F ( s )} s p0 d A02 { [(s p0 ) r F ( s)]} s p0 ds 1 d r 1 A0 r { r 1 [(s p0 ) r F ( s)]} s p0 (r 1)! ds
L[ f 2 (t )] F2 (s)
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s)
拉普拉斯变换的性质
2.微分定理 设
L[ f (t )] F (s)
可得各阶导数的拉氏变换为
df (t ) L[ ] sF ( s) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f (0) dt 2 d n f (t ) L[ ] s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0) dt n
j
j
F s e s t ds
t 0
右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函 数的积分,但计算比较麻烦.
对于绝大多数控制系统，是按照下面方法求拉氏 逆变换的。
五. 拉普拉斯逆变换
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm , nm 设 F ( s) n n 1 a0 s a1s an 1s an K ( s zi )
L[ (t )]
1
[ (1 e
即
)]
1 s
(1 (1 s )) 1
L[ (t )] 1
拉普拉斯变换
例3 求指数函数 f (t ) e 的拉氏变换
kt
解：根据定义 L[ f (t )]
kt st
0
f (t )e dt
( s k )t
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,称为原函数,
f (t ) = ℒ 1F (s)
拉普拉斯变换
二、拉普拉斯变换存在定理
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是
（1） t 0 时,
f (t ) 0
（2） 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续； （3）
0
f (t )est dt
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的概念
以时间t为自变量的函数 f (t ) ，它的定义域是 t 0 则积分式 F (s)
0
f (t ) e dt （
st
s 是一个复变量）
称上式为函数 f (t )的拉普拉斯变换式
F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,称为象函数.
F ( s ) ℒ f (t )
[ F ( s ) ( s p1 )( s p2 )] s p1 ( A1s A2 ) s p1
五. 拉普拉斯逆变换
例6.
F ( s)
s 1 s( s 2 s 1)
1 求 f (t ) L [ F (s)]
解： F (s)
A0 A1s A2 s 1 2 2 s( s s 1) s s s 1
式中， Ai 为常数，称为 s pi 的留数。
Ai lim ( s pi ) F ( s) 即 Ai [ F ( s )( s pi )] s pi s p
i
各项系数求出后，可按下式求原函数 f (t )
An A1 A2 1 1 f (t ) L [ F ( s)] L [ ] L [ ] L [ ] s p1 s p2 s pn
i 1 m
zi 称为F ( s)的零点 p j 称为F ( s)的极点
(s p )
j j 1
n
（1）只包含不相同极点时的逆变换 f (t ) 因为各极点均互不相同，因此 F (s) 可分解成为诸分 式之和
五. 拉普拉斯逆变换
An A1 A2 F ( s) s p1 s p2 s pn
st
L[ f (t )] e k )t e 0 sk (s k )
即
1 L[e ] sk
kt
拉普拉斯变换的性质
四、拉普拉斯变换的性质
1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性 齐次性：设 L[ f (t )] F (s) 叠加性：设 L[ f1 (t )] F1 (s) 则 则 L[af (t )] aF(s)
五. 拉普拉斯逆变换
（2）包含共轭复极点时的逆变换 f (t )
如果F (s)有一对共轭复极点，则可以利用下面的 展开式简化运算。
设 p1 , p2 为共轭复极点
A3 An A1s A2 F ( s) ( s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
式中，A1 , A2 的计算可根据
拉普拉斯变换的性质
3.积分定理 设
L[ f (t )] F (s)
原函数 f (t ) 积分的拉氏变换为:
F (s) f (t )dt t 0 L[ f (t )dt] s s
拉普拉斯变换的性质
4.时滞定理
f (t )
f (t T )
T
设
L[ f (t )] F (s)
s 3 (s 1) 2 式中， A1 s 1 (s 1)(s 2) A2 s3 (s 2) 1 s 2 ( s 1)(s 2)
2 1 ] 2e t e 2t s 1 s 2 t0
f (t ) L1[ F ( s)] L1[
应用
拉普拉斯变换的性质
特别地,当 f (0) f (0) f (0) f (n1) (0) 0 时,
df (t ) L[ ] sF ( s ) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F (s) dt 2 d n f (t ) L[ ] s n F (s) dt n
确定各待定系数
A0 F ( s) s
s 0
s 1 2 s s 1
3 j 2
s 0
1
s 1 ( s 2 s 1) 1 s s( s 2 s 1) 2
( A1s A2 )
1 3 s j 2 2
得 A1 1 A2 0
五. 拉普拉斯逆变换
拉普拉斯变换(Laplace变换)
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的应用
在数学中，为了把较复杂的运算转化 为较简单的运算，常常采用一种变换手段. 所谓积分变换，就是通过积分运算把 一个函数变成另一个函数的变换。积分变 换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶 （Fourier）变换。这里只研究Laplace变换， 讨论他的定义、性质及其应用。
f (t ) L1[ F (s)] te2t 2e2t 2et
应用
六.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换 解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本 步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质, 对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把 微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程 （或方程组）的解.
（3）包含有 r 个重极点时的逆变换 f (t )
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) F ( s) ( s p0 ) r ( s pr 1 )(s pr 2 ) ( s pn )
将上式展开成部分分式
A01 A02 A0 r An Ar 1 F ( s) r r 1 ( s p0 ) ( s p0 ) s p0 s pr 1 s pn
的初始值 f (0) , f (0)