相似三角形基本型
初中数学相似三角形的基本模型
微专题 相似三角形的判定及基本模型 A X AX K ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩相似三角形的相关概念相似三角形的判定相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型(型)相似三角形基本模型(母子型)相似三角形基本模型（旋转型）相似三角形基本模型(字型（一线三等角）)相似三角形常用辅助线基础知识点相似三角形的判定重难点题型（作平行线） 重难点题型题型1 相似三角形的判定【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
1．（2020·陕西西安·高新一中初三一模）如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ， ∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．2．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁，23；丙中的三角形的三边分别是：2，3只有甲与丙中的三角形的三边成比例：2==C ． 3．（2020·河南罗山·初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是 A ．EFB △B ．DEFC ．CFBD ．EFB △和DEF【解析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果.∵矩形ABCD ∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90° ∵EF BE ⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE ∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE ∴ABE ∽DEF 故选B.4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中） 如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，要使△AED △与ABC 相似，不能添加的条件是( )A ．DE ∥BCB ．AD•AC=AB•AEC ．AD ：AC=AE ：AB D ．AD ：AB=DE ：BC【解析】A 、当DE ∥BC ，则△AED ∽ACB ，所以A 选项错误；B 、当AD•AC=AB•AE ，即AD ：AB=AE ：AC ，而∠A 公共，则△AED ∽ACB ，所以B 选项错误； C 、当AD ：AC=AE ：AB ，而∠A 公共，则△AED ∽△ABC ，所以C 选项D 、AD ：AB=DE ：BC ，而它们的夹角∠ADE 和∠ABC 不确定相等，则不能判断△AED 与△ABC 相似，所以D 选项正确．故选D ．5．（2020·广西蒙山县二中初三月考）能判定ABC 与A B C '''相似的条件是（ ）A ．ABAC A B A C ='''' B ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ C ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠ D ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠【解析】解：Ａ．AB AC A B A C =''''，Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠， Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠，均不能判断ABC 与A B C '''相似，故错误； Ｃ．AB BCA B A C =''''且B A '∠=∠，能判定ABC 与A B C '''相似，本选项正确故选：C ． 6．（2020·合肥市第四十六中学月考）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，增加下列哪些条件：①AED B ∠=∠；②AE DE AB BC=；③AD AEAC AB =，使ADE ∆与ACB ∆一定相似（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解析】①∵A A ∠=∠ ,AED B ∠=∠ADEACB ∴,故正确；②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以ADE ∆与ACB ∆不一定相似，故错误； ③∵A A ∠=∠，AD AEAC AB=ADE ACB ∴,故正确；所以正确的是：①③故选：A ．7．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【解析】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．8．（2020·安徽初三月考）如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，则下列命题中，属于假命题的是（ ）A ．若ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽B ．若AD ABAE AC =，则ADE ABC △△∽ C ．若AD AECD BE =，则ADE ACB ∽ D ．若AD AB DE BC=，则ADE ABC △△∽ 【解析】解：A 、若ADE ABC =∠∠，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题；B 、若AD ABAE AC=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； C 、若AD AECD BE =，则AD AE AC AB =，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； D 、若AD AB DE BC=，由于条件不够，不能证明ADE ABC △△∽，故D 是假命题；故选：D.9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB =⋅，即AB ACAC AD=， 又A A ∠=∠，ABC ACD ~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．10．（2020·山西太原·初三期中）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点E ．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABC CBE ∆∆时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)【解析】解：ACD CBE ∆∆，证明：AD l ⊥于点,D BE l ⊥于点E 90ADC CEB ︒∴∠=∠=90ACB ︒∠=90DAC DCA BCE DCA ︒∴∠+∠=∠+∠=DAC ECB ∴∠=∠.ACD CBE ∴∆∆∽()2BAC BCE ∠=∠,,AC BC ABC CBE CE BE ⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭答案不唯一 ∵BE ⊥DE ∴∠BEC=90°=∠ACB ，再添加BAC BCE ∠=∠ 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到ABC CBE ∆∆；∵∠BEC=90°=∠ACB ，再添加AC BC CE BE= 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到ABCCBE ∆∆题型2相似三角形基本模型（A 字型）【方法点拨】基本模型：A 字型（平行） 反A 字型（不平行）1．（2020·江苏宝应·）如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE ABAF AC =．（1）求证：AEFABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FGBD CD=．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE ABAF AC=，∴△AEF ∽△ABC ； （2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ， ∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AGCD AD =，∴EG FG BD CD=．2.（2020•东明县模拟）如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3．（1）求CE 的长．（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DPBQ=PE QC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【解答】解：（1）由DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AD+BD=AE AE+EC，∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴CE ＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ=AP AQ，同理可得：EPCQ=AP AQ，∴DPBQ=EP CQ3.（2020•松江区一模）已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．【解答】证明：（1）∵DE ∥AB ，∴CD AC=CE CB，∵CD 2＝CF •CA ．∴CD AC=CF CD，∴CFCD=CE CB，∴EF ∥BD ；（2）∵EF ∥BD ，∴∠CEF ＝∠CBD ， ∵AC •CF ＝BC •CE ，∴AC BC=CE CF，且∠C ＝∠C ，∴△CEF ∽△CAB ，∴∠CEF ＝∠A ，∴∠DBE ＝∠A ，∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠DBA ，且∠DBE ＝∠A ， ∴△BAD ∽△DBE ，∴BA BD=BD DE∴BD 2＝BA •DE4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EFDF的值．【解析】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∴CD =．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∴BC =BD BC CD =-=． ∵//DE CA ，∴BDE BCA ∽∴23DE BD CA BC ==．∴4DE =． （2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM =．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DMAG AM=．∴DF AG =． ∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ===∴23EF DF =． 5．（2019·全国初三专题练习）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，8AB =，6AC =．若动点D 从点A 出发，沿射线AB 运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．（1）求出y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，BDE 的面积S 有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？【解析】（1）①如图，当D 点在线段AB 上时， ∴ADE ∽ABC ，∴AD AEAB AC=又2AD x =，8AB =，AE y =，6AC =，∴296x y =，∴32y x =． ②如图，当D 在AB 延长线上时，∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =，∴862x y =，∴32y x =． （2）①如图，当D 在线段AB 上时，()2223336626222DEB ABE ADE S S S x x x x x =-=-+=-+=--+△△△．∴当2x =时，6S =最大 ．∴当2x =时，S 有最小值，且最小值为6-．不符合题意舍去． ②如图，当D 在AB 延长线上时，()223362622DEB ADE ABE S S S x x x =-=-=--△△△． 综上所述：当2x =时，S 有最大值，且最大值为6．6.（2020•东莞市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC=DF CG．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC=37，求AF FG的值．【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵AD AC=DF CG，∴△ADF ∽△ACG ；（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC=AF AG，∵AD AC=37，∴AFAG=37，∴AF FG=34．7．（2020·广东华南师大附中初三零模）如图,在ABC 中，45B ∠=︒，5BC =，高4=AD ， 矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．(1)求证：AEF ABC ∽； (2)设EF x =，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求出最大面积； (3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线AD 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．【解析】解：（1）∵四边形EFPQ 为矩形，∴EF ∥BC ，∴AEF ABC ∽；（2）∵AEF ABC ∽∴AH EF AD BC =，即445HD x -=，∴HD=4-45x， ∴S 矩形EFPQ =EF•FQ=EF•HD=x （4-45x ）=-45x 2+4x ， 该函数为开口向下的二次函数，故当x=52时有最大值，最大值为5，即当x为52时，矩形的面积有最大值5；（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=52，FQ=2，①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB 、AC 分别交与点M 、N 、R 、S ，与AD 交于J 、L ，连接RS ，交AD 于K ，由题意可知LD=JK=t ，则AJ=AD -LD -JL=4-t -2=2-t ，又∵RS=52，∴R 、S 为AB 、AC 的中点，∴AK=12AD=2，ES=FR=JK=t ，又∵MN ∥RS ，∴AJ MN AK RS =，即2522t MN-=，∴MN=52-54t ， ∴EM+FN=EF -MN=52-（52-54t ）=54t ，∴S △EMS +S △FNR =12ES （EM+FN ）=12t•54t=258t ，∴S=S 矩形EFPQ -（S △EMS +S △FNR ）=5-258t ；②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB 、AC 、AD 分别交于点Q′、P′、D′，根据题意D′D=t ，则AD′=4-t ，∵PQ ∥BC ，∴Q D AD BC P A ='''，即445P Q t =''-，解得P′Q′=5-54t ， ∴S=S △AP′Q′=12P′Q′•AD′=12（4-t ）（5-54t ）=258t -5t+10； 综上可知S=()()22502855102485t t t t t ⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜．题型3相似三角形基本模型（X 字型）【方法点拨】基本模型：X 字型（平行） 反X 字型（不平行）1.（2020•黄浦区期中）如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ， ∵BA •BC ＝BD •BE ．即AB BC=BD BE，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ， ∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ， ∴△AED ∽△ABD ，∴AD BD=DE AD，即AD 2＝BD •DE ．2.（2020•朔城区期末）如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GEED的值【解答】解：∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AG BD=AF BF=12，∵BCCD =2，∴CD =13BD ，∴AG CD =32，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴GEED=AG CD=32．3.（2020•花都区期末）如图：已知▱ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ． （1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长；（2）证明：AF 2＝FG ×FE ．【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ， ∴△EGC ∽△EAB ，∴CG AB=EC EB，即CG 3=22+4，解得，CG ＝1；（2）证明：∴AB ∥CD ，∴△DFG ∽△BF A ，∴FG FA=DF FB，∴AD ∥CB ，∴△AFD ∽△EFB ，∴AF FE=DF FB，∴FG FA=AF FE，即AF 2＝FG ×FE ．4.（2020•滨江区期末）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OB OC=AO DO，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ． （2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴AE DF=OE OF，BE CF=OE OF，∴AEDF=BE CF．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．5．（2020·江苏如皋·初三二模）已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）连接CD ，交AB 于点M ．①若6AB =，求BM 的长；②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN+=．【解析】（1）∵ABD △是等边三角形 ∴AD AB BD ==，60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒ 在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒∴60ABC ∠=︒ ∵点E 是线段AB 的中点∴12CE BE AE AB ===∴BCE 是等边三角形 ∴60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，BC CE =∴60ABD CEB ∠=∠=︒∴//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴//BC FD ∴四边形BCFD 为平行四边形；（2）①如图，连接CD ，交AB 于点M ∵//BC FD ∴BCM ADM ~∴BM BCAM AD= ∵12BC CE AB ==，AB AD =∴12BM BC AM AD == ∵6AB BM AM =+=∴123BM AB ==； ②如图，作MN AC ⊥，垂足为N∵90ACB ∠=︒，306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MN AC ⊥∴////BC MN DA ∴AMNABC ，C CMN DA ~∴MN AN BC AC =，MN CNDA CA = ∴1MN MN AN CN AN CN ACBC DA AC CA AC AC ++=+=== ∴111BC AD MN+=．6．（2020·苏州市吴中区光福中学初二期末）如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【解析】解：（1）∵PC DR ∥，∴PCQ RDQ ∠=∠． 又∵PQC RQD ∠=∠．∴PCQ RDQ △∽△．（2）∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形， ∴BC AD CE ==，//AC DE ．∴PB PR =，12PC RE =． 又∵点R 是DE 中点，∴DR RE =．由（1）知PCQ RDQ △∽△，∴12PQ PC PC QR DR RE ===，∴2QR PQ =． 又∵3BP PR PQ QR PQ ==+=，∴::3:1:2BP PQ QR =．7．（2020·山东乐陵·初三期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在ABC ∆中，点O 在线段BC 上，30BAO ∠=︒，75OAC ∠=︒，AO =:2:1BO CO =，求AB 的长．经过数学小组成员讨论发现，过点 B 作//BD AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造ABD ∆就可以解决问题（如图2）请回答：____ADB ∠=︒，______AB =．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，AC AD ⊥，AO =75ABC ACB ∠=∠=︒，:2:1BO OD =．求DC 的长．【解析】解: (1)//BD AC ，75ADB OAC ∴∠=∠=︒.BOD COA ∠=∠BOD COA ∴∆∆2OD OBOA OC∴==又3AO =2OD AO ∴==AD AO OD ∴=+=30,75,BAD ADB ∠=︒∠=︒18075,ABD BAD ADB ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠AB AD ∴==75；(2)过点B 作//BE AD 交AC 于点E ，如图所示.AC AD ⊥，//BE AD 90DAC BEA ∴∠=∠=︒. AOD EOB ∠=∠AOD EOB ∴∆∆==OB OE BEOD OA DA∴ :2:1BO OD ==2OE BEOA DA∴=3AO =,EO ∴=AE =75ABC ACB ∠=∠=︒30,BAC AB AC ∴∠=︒=2AB BE ∴=在Rt AEB ∆中，222BE AE AB +=，即(()2222BE BE +=，解得：3BE =6,6AB AC AD ∴===32AC ∴=在Rt CAD ∆中，CD ===CD = 题型4相似三角形基本模型（AX 型）【方法点拨】A 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化.1．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【解析】如图，延长BQ 交射线EF 于点M、分别是、的中点ABC ∆6BC =E F AB AC P EF BP CE D CBP ∠CE Q 13CQ CE =EP BP+=E F AB AC //EF BC ∴M CBM ∴∠=∠平分 由得 即故答案为：12．2.（2020•丛台区三模）如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ． （1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若DF ＝2，求FC 的长度．【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AD AB=AE AC=13，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ； （2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC=AD AB=13，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DF CF=DE CB，即2CF=13，∴FC ＝6．3.（2020•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE=23，求FEEG的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ． ∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF=BE DA ．又∵BC ＝BE +CE ，CEBE =23，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =83EF ．∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴GE GA=CE DA=22+3，∴GE =25GA ，BQ CBP ∠CBM PBM ∴∠=∠PBM B ∴∠=∠BP MP ∴=EP BP EP M P EM ∴+=+=13CQ CE =2EQ CQ ∴=//EF BC EMQ CBQ ∆~∆2EM EQ BC CQ ∴==22612EM BC ∴==⨯=12EPBP +=∴GE =25−2AE =23×83EF =169EF ，∴FE EG =916．4．（2020·广东高州·初三其他）如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME ，若CE BE ＝CDCE，AF ＝2，求ME 的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ， 又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF 和△CDE 中，ADF CDFAD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵CE BE ＝CDCE，AF ＝2，∴222x x +=，解得x1，∴BE ＝BF1，∵CE BE ＝CD CE ，且CE ＝AF ，∴CE BE ＝CD CE ＝CD AF， ∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴CD CMAF AM=， ∴CD CM CEAF AM BE==，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．5．（2019·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．ABCD CD AB AD BC E AC BD O EO AB M CD N AM BM【解析】相等．理由如下：∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴．∴． ∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴． ∴．∴．∴．∴． 6.（2019•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）求证：△AFG ∽△CMG ；（2）求证：GF GM=EF EM．【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠F AG ＝∠MCG ，∵∠AGF ＝∠CGM ，∴△AFG ∽△CMG ； （2）证明：∵△AFG ∽△CMG ，∴GF GM=AF CM，∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△BEM ，∴AFBM=EF EM又∵CM ＝BM ，∴AFCM=EF EM，∴GFGM=EFEM．7.如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长；（2）求FG 的长．【解答】解：（1）∵EG ∥AD ，∴△BAD ∽△BEF ，∴BE BA=EF AD，即BEBE+6=26，∴EB ＝3．（2）∵EG ∥∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC=AE AB，即EG 8=66+3，∴EG =163，∴FG ＝EG ﹣EF =103．CD AB EDN △EAM △△ENC EM B △EDC △EAB DN DE AM AE =CN CE BM BE =DE CE AE BE =DN CN AM BM =BM CNAM DN=CD AB OND △OMB △ONC △OMA OCD OAB DN OD BM OB =CN OC AM OA =OD OC OB OA =DN CNBM AM =AM CN BM DN =BM AMAM BM=22AM BM =AM BM=题型5相似三角形基本模型（母子型）【方法点拨】图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠， ∴ADC CDB ∽，∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =． 2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠． （1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【解析】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠． ∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠， ∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽，∴BP ABCD CP=，∴AB CD CP BP ⋅=⋅． ∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽，∴BA BPBC BA=． ∵10,12AB BC ==，∴101210BP =，∴253BP =．3.（2019•越城区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：√13D ．2：√13．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AC BC=CD BD=64=32∴BC AC=23，故选：B ．4．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD AB=A′D′A′B′，∴AD A′D′=AB A′B′，∵CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′，∴CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∴△ADC ∽△A ′D ′C ，∴∠A ＝∠A ′，∵AC A′C′=AB A′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．故答案为：CDC′D′=AC A′C′=ADA′D′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB=DE BC =AE AC，同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′，∵AD AB=A′D′A′B′，∴DE BC=D′E′B′C′，∴DE D′E′=BC B′C′，同理，AE AC=A′E′A′C′，∴AC−AE AC =A′C′−A′E′A′C′，即ECAC=E′C′A′C′，∴EC E′C′=ACA′C′，∵CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′，∴CDC′D′=DED′E′=ECE′C′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝90°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′B ′C ′， ∵AC A′C′=CB C′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．5.（2019•张家口模拟）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB=12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB=12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =√5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC ∴a 2＝CE •√5a ，4a 2＝AE •√5a ，∴CE =√5a5，AE =4√5a5，∴CE AE =14， ∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CEAE）2=116，故选：A ． 6.（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP ，由AB=AC 即可得到AC•CD=CP•BP ；（2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ． ∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，∴∠BAP=∠DPC ， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP ABCD CP=，∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ； （2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ． ∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BP BC BA =．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253． 7、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽， ∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．题型6相似三角形基本模型（旋转型（手拉手））【方法点拨】基本模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1.如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB 与DE 交于点O ，AB ＝4，AC ＝3，F 是DE 的中点，连接BD ，BF ，若点E 是射线CB 上的动点，下列结论：①△AOD ∽△FOB ，②△BOD ∽△EOA ，③∠FDB +∠FBE ＝90°，④BF =56AE ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④【解答】解：∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADO ＝∠OBE ， ∵∠AOD ＝∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ，∴OD OB=OA OE，∴OD OA=OB OE，∵∠BOD ＝∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确，∵△AOD ∽△EOB ，△BOD ∽△EOA ，∴∠ADO ＝∠EBO ，∠AEO ＝∠DBO ， ∵∠ADO +∠AEO ＝90°，∴∠DBE ＝∠DBO +∠EBO ＝90°，∵DF ＝EF ，∴FD ＝FB ＝FE ，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴∠FDB +∠FBE ＝∠FBD +∠FBE ＝90°，故③正确， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴BC =√32+42=5，∵△ABC ∽△ADE ，∴DE AE=BC AC=53，∵BF =12DE ，∴2BF AE=53，∴BF =56AE ，故④正确，∵∠ADO ＝∠OBE ，∴∠ADO ≠∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．故选：D ．2.（2019•福田区校级期末）如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ）A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【解答】解：∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，AC AB=AE AD，∵∠BAC +∠BAE ＝∠DAE +∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ， ∵AC AB=AE AD，∴△ACE ∽△ABD ，∴BD CE=AB AC，∵AC ：BC ＝3：4，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5， ∴BD ：CE ＝5：3，故选：A ．3.（2020•昭平县期末）如图，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，AE ＝3，AD ＝4.5，DE ＝6，∠BAD ＝20°，则∠CAE 的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．40°D ．无法确定【解答】解：AC AE=23，AB AD=34.5=23，BC DE=46=23，∴AC AE=AB AD=BC DE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ， ∴∠CAE ＝∠BAD ＝20°，故选：B ．4．（2020·全国初三专题练习）在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．Rt ABC Rt DEF △30ABC EDF ∠=∠=︒90BAC DEC ∠=∠=︒BC DF C F 2AC =CED C 30BD AE 12EF AC =BDC AEC【解析】解：如图所示，过点D 作DM BC 于点M ，∵AC=2，，∴，又∵，， ∴在BAC 和DEC 中，，，由旋转性质知，，，∴BDC ∽AEC ，故， 在DMC 中，，，∴，∴， ∵BDC ∽AEC ，∴，∴，∴BDC 和AEC 的面积分别为2和． 5.（2020•亳州模拟）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【解答】证明：（1）∵AD ＝AF ，∴∠ADF ＝∠F ，∵AE •CE ＝DE •EF ，∴AE DE=EF CE，又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ，∴∠F ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ． （2）∵AE •BD ＝EF •AF ，∴AE AF=EF BD，∵AD ＝AF ，∴AEAD=EF BD，∵∠AEF ＝∠EAD +∠ADE ，∠ADB ＝∠EAD +∠C ，∴∠AEF ＝∠ADB ， ∴△AEF ∽△ADB ，∴∠F ＝∠B ，∴∠C ＝∠B ，∴AB ＝AC ．⊥1EF=AC 2EC=1ABC=30∠︒EDC=30∠︒Rt △Rt △BC=2AC=4DC=2EC=2BCD ACE 30∠=∠=︒BC CD ==2AC EF BD BC==2AE ACRt △BCD=30∠︒DC=2DM=1BDC BC DM 41222S ⋅⨯===△2AEC BDC1124SS⎛⎫== ⎪⎝⎭AEC 11242S ⨯==△127．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ． （1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；【解析】（1）连接BF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵线段CE 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EC ＝EF ，∠CEF ＝60°，∴△EFC 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，EC ＝CF ，∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCF ， ∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ，∴＝1． （2）不成立，结论：＝．证明：连接BF ， ∵AB ＝AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠BAC ＝∠CEF ＝90°， ∴△ABC 和△CEF 为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，BFAEBFAEAEBF 2∴＝，∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴＝题型7相似基本模型（K 字型（一线三等角））【方法点拨】基本模型：如图1，∠B =∠C =∠EDF 推出△BDE ∽△CFD （一线三等角） 如图2，∠B =∠C =∠ADE 推出△ABD ∽△DC E （一线三等角）如图3，特别地，当D 时BC 中点时：△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ，FD 平分∠EFC. 1．（2020·广西平桂·期末）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，点P 为BC 边上一动点，若AP ⊥DP ，则BP 的长为_____．【解析】设BP=x ，则PC=3-x ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C ， ∵AP ⊥DP ，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB ，∴△CDP ∽△BPA ，∴， ∵AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，∴，解得：x 1=1，x 2=2， ∴BP 的长为1或2，故答案为：1或22．（2020·湖北保康·初三其他）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos ∠α＝，下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或；④0＜CE ≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上）AC BC CE CF AE BF AC BC AB PBPC CD=132xx =-45258【解析】解：①∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵∠ADE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ，故①正确； ②作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cosα＝，∴BG ＝ABcosB ，∴BC ＝2BG ＝2ABcosB ＝2×10×＝16， ∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC ，在△ABD 与△DCE 中，∴△ABD ≌△DCE （ASA ），故②正确；③当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED ， ∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，BD ＝8， 当∠CDE ＝90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°， ∵∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，∴cosB ＝＝，∴BD ＝，故③错误； ④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ，∴，∴， 整理得：y 2−16y ＋64＝64−10x ，即（y−8）2＝64−10x ，∴0＜x≤6.4，故④正确；故答案为：①②④． 3．（2020·江苏宝应·）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ． （1）求证：ABEDEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABE EBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由．4545BAD CDEB C AB DC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝4545AB BD 45252AB BDDC CE=10y 16y x =-【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，ABE DEFA D∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△ABE∽△DEF ；（2）∵△ABE∽△DEF，∴AB BE DE EF=，∵△ABE∽△EBF，∴AB BEAE EF=，∴AB ABDE AE=，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．4．（2020·浙江上城·初三一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE 为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．【解析】解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE为正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，B CBDP CPEPD EP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴BD BPPC CE=，即8BD BPBP BD=-整理得，BD，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值为4．5．（2020·全国初三专题练习）如图，//AB CD ，CD BD ⊥且6AB =，4CD =，14BD =，在BD 上是否存在一点P ，使得以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似，若存在，求BP 的长，若不存在，请说明理由．【解析】解：存在．∵//AB CD ，CD BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，设BP x =，则14PD x =-． ①ABP PDC △△∽时，AB BPPD CD =，即6144x x =-，解得12x =，212x =， ∴当2BP =或12时，ABP PDC △△∽； ②当ABP CDP △△∽时，AB BPCD PD =，即6414x x=-，解得8.4x =， ∴当8.4BP =时，ABP CDP △△∽．综上所述，当2BP =或12或8.4时，以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似． 6．（2020·全国初三专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．【解析】（1）①证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠=∠=︒．∴135BAD ADB ∠+∠=︒． 又∵135ADB EDC ∠+∠=︒，∴BAD EDC ∠=∠．∴ABD DCE △△∽；②解：分三种情况：（i ）当AD AE =，45ADE AED ∠=∠=︒时，得到90DAE ∠=︒，点,D E 分别与,B C 重合，∴2AE AC ==．（ii ）当AD DE =时，在△ABD 和△DCE 中，B C ADB CED AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE △△≌，∴2AB CD ==， ∵=2BD CE ==，∴4AE AC CE =-=- （iii ）当AE DE =时，有45EAD ADE C ∠=∠=︒=∠， ∴90ADC AED ∠=∠=︒，AD=CD ，AE=CE=DE ，∴112DE AE AC ===． 综上所述，当ADE 是等腰三角形时，AE 的长为2，4-1． （2）解：存在．∵45ACB ∠=︒，∴CAD ADC 45∠+∠=︒．∵45ADE ∠=︒，∴45DAC DE A '∠+∠=︒．∴ADC DE A '∠=∠，∴ADC AE D '△△∽，∴AC ADDC E D='，当AD DE '=，2DC AC ==． （3）解：不存在．理由如下：如图，∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED ＝∠B ，则CE 的长为（ ）A ．152B ．223C ．365D ．649【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝∠B +∠BAE ，∠AED ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠BAE ，∴△BAE ∽△CED ，∴BA CE=BE CD，∵AB ＝AC ＝6，AD ＝DC ＝3，BE =52，∴6CE =523，∴CE =365，故选：C ．题型8 相似三角形常用辅助线（作平行线）【方法点拨】解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题.基本模型：1．（2020·湖北武汉·初三一模）如图，在中，，，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，AE 交于点F ．若，，则__________．【答案】2【解析】解：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点， 在直角三角形ABC 中，，∴又，∴AD=，∴在等腰直角三角形AHD 中，AH=DH=2，∴CH=6－2=4， 在Rt △CHD 中，∵AE ∥DG ，∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，∴∠CDG=∠B ，又∠DCG=∠BCD ，∴△CDG ∽△CBD ，∴，∴ ， 即20=6CG ，∴CG= ，∴BG=BC －CG=6－=，又DG ∥AE ，∴△BDG ∽△BAE ，又，∴， 又BG=，∴BE=BG×=4，∴CE=6－4=2，故答案为：2．2．（2019·全国初三专题练习）如图，在中，是边上的中线，是上的一点，且Rt ABC 90ACB ∠=︒6AC BC ==45CFE ∠=︒2BD AD =CE =6AC BC ==2BD AD =CD CGCB CD=2CD CG CB =•103103832BD AD =23BD BG BA BE ==8332ABC △AD BC F AD，连结并延长交于点，则等于（______）．【解析】解：过点D 作GD ∥EC 交AB 于G ，∵AD 是BC 边上中线，，即BG=GE ， 又∵GD ∥EC ， 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE 、EB 、EG 之间的关系3．（2020·全国初三课时练习）已知：如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AB=4AE ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D ，求证：BC=2CD ．【解析】证明:（方法一）过点C 作CF ∥AB 交DE 于点F ，∴CDF ∆∽BDE ∆ ∴CF CDBE BD=∵点M 为AC 的中点，∴AM CM = ∵CFAB ∴BAC MCF ∠=∠又∵AME CMF ∠=∠ ∴AME ∆ ≌ CMF ∆ ∴AE CF = ∵4AB AE = ，BE AB AE =-，∴3BE AE = ∴13AE BE = :1:5AF FD =CF AB E :AEEB 1BG BDGE DC∴==15AE AF EG FD ∴==5EG AE ∴=::21:105EGAE EB EG ∴==。
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
相似基本型
AD E相似【知识梳理】一、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．补充：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．二、相似三角形中的基本图形：1. “A”型（1）如图1，当时，（2）如图2，当时，。
（3）如图3，当时，。
2. “X”型如图4，如图1，当AB∥ED时，则△∽△。
如图5，当时，则△∽△。
3. 旋转型已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC．B CABC D4. 射影型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．AC2＝AD ·AB ，BC 2=BD ·AB ，CD 2=AD ·DB ．5. “K ”型矩形ABCD ，AM ⊥MN,则△ABM ∽△MCN【试题练习】题型一 A 型1. （2013•新疆）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是2. （2013•新疆）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ． 2B ． 2.5或3.5C ． 3.5或4.5D ． 2或3.5或4.53. （2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．4. （2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD 于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．75. （2013•娄底压轴题）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC 重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．题型二 X 型1. （2013•内江）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）A ． 2：5B ． 2：3C ． 3：5D ． 3：22. （2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG=，则△EFC 的周长为（ ）A ． 11B ． 10C ． 9D ． 83. （2013•雅安）如图，在▱ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF= ..4. 已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AEAC的值；（2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．5. 已知：在三角形ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且ECAE=2，BE 、CD 相交于点F ，求EFBF的值6. （2013绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。
【初中数学】初中数学相似三角形的判定知识点总结
【初中数学】初中数学相似三角形的判定知识点总结
【—相似三角形总结】知识要点：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上。
相似三角形判定方法
方法一(预备定理)
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)
方法二
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,
那么这两个三角形相似。
方法三
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,
那么这两个三角形相似
方法四
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
方法五(定义)
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
三个基本型
Z型 A型反A型
方法六
两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
一定相似的三角形1.两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1)
2.两个等腰三角形
(两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
)
3.两个等边三角形
(两个等边三角形，三角都是60度，且边边相等，所以相似)
4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形(母子三角形)
知识要领总结：如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
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九年级数学相似三角形中常见基本图形及应用教学课件
∴ AC2 AD AB 即 62 AD10
∴AD= 18
5
典例分析
②若CF：CE=3：4，如图2所示． ∵△CEF∽△CBA， ∴∠CEF=∠B． 由折叠性质可知， ∠CEF+∠ECD=90°， 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠ECD， ∴AD=CD． 同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD， ∴D点为AB的中点， ∴AD=BD=5．
相似三角形中常见的 基本图形及应用
相似三角形中常见的基本图形
1.A字型及其变形
平行
2.x字型及其变形
不平行
子母型
平行
蝴蝶形
相似三角形中常见的基本图形
3.双垂直型
4.一线三等角型
直角形
非直角形
1.A字型及其变形
① DE//BC,则△ADE∽△ABC ② DE和BC不平行，∠B=∠ADE,则△ADE∽△ABC ③ D为线段AB上一点，∠B=∠ACD,则△ADC∽△ACB
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【解析】设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3， ∴AD＝3x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝3x， ∵点F是BC的中点， ∴CF＝BC＝x， ∵AD∥BC， ∴△DEG∽△CFG，
∴
＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
故选：D．
变式训练
所以,∠CEF=∠BDE
所以△BDE∽△CEF； （2）因为△BDE∽△CEF，所以,
BE DE CF EF
因为点E是BC的中点，所以BE=CE,即, CE DE
又, C DEF 故△CEF∽△EDF,
CF EF
所以, CFE EFD 即FE平分∠DFC．
相似三角形的基本图形及其运用
复习指津
相似三角形的基本图形及其运用
） 江苏江阴市要塞中学 （ ２ １ ４ ４ ３ ２ 蒋丽萍
是中考中的 相似三角形是初中几何 中 的 核 心 模 块 ， 重要考点 ， 也是考查学生分析 问 题 和 解 决 问 题 的 综 合 能 相 似 三 角 形 中 有 一 些 基 本 图 形， 如果能 力的 重 要 载 体． 掌握这些 基 本 图 形 ， 并把它们从复杂的图形中挖掘出 构 成 几 何 问 题 中 的 核 心 结 构， 问题的解决也就水到 来， 渠成 ． 首先我们来扫描一下相似三角形的基本图形 ． 一、 常规基本图形 平行型 １． 此类型有两种基本图形 ： 简称 “ 型图和 “ 型图 ． Ａ” Ｘ” ， 、 、 如图 １， 中 点 分 别 在 若 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ａ Ｂ Ａ Ｃ 上， △Ａ 则 △ＡＤ Ｄ Ｅ∥Ｂ Ｃ， Ｅ∽△Ａ Ｂ Ｃ； 如图 ２， 线段 ＡＤ、 相 若Ａ 则 Ｂ Ｃ 交 于 点 Ｅ， Ｂ ∥Ｃ Ｄ， Ｂ Ｅ∽△Ｄ Ｃ Ｅ． △Ａ
D
Ａ Ｅ Ｄ Ｅ 利 用 △Ａ 得 Ｂ Ｃ ∽ △ＤＡ Ｅ， ＝ ＝ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ B ＡＤ ３ 设Ａ 则Ｂ ＝ ． Ｅ＝３ ｋ， Ｃ＝４ ｋ， Ａ Ｃ＝ Ａ Ｂ ４
Ｂ Ｃ １， ５ ７ 得到 求出 Ｂ 再求出 Ｏ 由 １· Ｃ＝ ， Ｃ＝ ， ｔ ＝ ＝ ４ １ ２ ３ ３ ５
７ ７ ； 就可求出ｔ 秒） ＝ （ ′的 位 置 在 点 Ｂ 的 上 方 ②当点 Ｃ ３ ３ 时， 过点 Ｃ 则 得 到 基 本 图 形 ２， ′作 Ｃ ′ Ｇ ′⊥ 直线ｌ于点 Ｇ ′， 利用 △Ｂ 同 ① 得到 Ｂ Ｃ ′ Ｇ ′∽△Ｂ ＯＨ ， Ｃ ′＝ １ ７ １ ７ ） 求出ｔ 秒 ． ＝ ， ＝ （ ３ ３ ５， 再求出 Ｏ Ｃ ′ ３
相似三角形分类整理(超全)
nih的相似比，当且仅当它们全等时，才有e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，过点E 作一条直线交AB 于D 点，与AC 的延长线将于F 点，且FD=3ED ，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，则△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*ABCD 2=AD*BDBC 2=BD*ABgnihtlt he i rb ee an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o例5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC ∆于F ，FG AB 于G ，求证：FG =CF BF ⊥2∙四、作中线例6 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。
相似三角形的基本图形PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
12
A
△ABE∽ △ECF （（2）1）点点E为E为BCB上C上任任意意一一点点若，∠若B=∠∠BC== α, ∠A∠ECF==60∠°C,,则∠A△EAFB=E∠与C△,则E△CAFB的E关与系△还ECF 成的立关吗系？还成立吗？说明理由
B
（2）∠ADE=∠ABC
D
或∠AED=∠ACB
（3）AD：AB=AE：AC
第六种作法：
B
（1） ∠ADE=∠ACB
或∠AED=∠ABC D
（2）AE：AB=AD：AC
A
C E A C
E
9
相似的基本图形
(1)
A
DEEຫໍສະໝຸດ D(2) AB
C
DE∥BC
A (4)
B
C
DE∥BC
C
(5)
B D
∠BAD=∠C
AB2=BD·BC
CA
D
∠ACB=90°， CD⊥AB
A (3)
D
E
B
C
E D
(6) A
B C
B ∠D=∠C
10
11
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合） ∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相A似F,图？中并有证哪明些你相的似结三论角。形？
相似三角形的基本图形
1
(1)
A
D
E
B
C
DE∥BC
E
D
(2) A
《相似三角形的基本型》教学设计
《相似三角形的基本型》教学设计一、教学内容分析《相似三角形》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》（五四学制）第二十七章的内容，是全等变换之后的又一种图形变换.全等是相似的一种特殊情况，从这个意义上讲，相似比全等更具一般性.本节课主要复习了相似基本型，通过对相似基本型的归纳总结和习题的变换训练，加深了学生对变换思想的认识，熟练了相似基本型的综合运用.二、教学对象分析九年级学生已经学习了相似三角形的性质和判定，并进行了简单的练习，但是在解决稍复杂的问题时，不会灵活运用相似基本型解决问题.针对此情况，我设计了这节复习课，加强学生对相似基本型的理解和应用.三、教学目标及教学重难点1. 教学目标知识与技能理解相似基本型的区别和联系，能灵活运用相似基本型解决相关问题.过程与方法经历观察、思考、小组探究等活动，进一步体会转化的思想.情感、态度与价值观通过学生观察、思考、小组探究等活动，提高学生合作交流能力、主动参与意识.通过小组合作交流活动，提高学生语言表达能力和逻辑思维能力.2. 教学重点相似三角形的基本型.3. 教学难点相似基本型的综合应用.四、教学方法、过程及整合点1. 教学方法依据学生认知规律，遵循“学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，采用以启发引导为主，直观演示法为辅的教学方法.适时运用多媒体教学，充分发挥现代教学手段的优越性.2.学习方法根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“思考―操作―交流―归纳”的实践探索中自主参与知识的产生、发展、形成与应用的过程，引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题、拓展问题，指导学生用观察、抽象、自主探究为主、合作交流为辅的方法进行学习.3.教学过程及整合点（1）“忆”――复习相似基本型主要有哪些师生活动总结相似基本型主要有三种A型、X型、M型.（设计意图回忆相似基本型的三种类型，加深对知识的整体认识.）整合点与软件几何画板演示三种图形，形象直观.（2）“清”――理清相似基本型的区别和联系师生活动1观察A型、X型、M型这三种相似基本型的区别，再思考它们之间有什么联系.师生活动2小组交流三种相似基本型的区别和联系.师生活动3归纳相似基本型的区别和联系，突出本节课重点.（设计意图经历教师的演示、学生的探究过程，体会相似基本型之间的联系和区别，为解决综合题埋下伏笔.）整合点与软件此环节是信息技术与课程整合点之一.几何画板的充分使用，解决了传统教学中教师难以讲述，学生难以理解的内容.（3）“析”――分析如何选择相似基本型解决问题师生活动1相似基本型的应用如下图，等边△ABC中，D为BC中点，∠EDF=60°，当∠EDF旋转一个角度时，观察探索△BED和△CDF有什么关系.师生活动2找出△BED和△CDF相似，是M型相似.师生活动3如下图，将等边三角形变为等腰三角形，将中点D变为一般点D，结论还成立吗？师生活动4总结解决问题的关键是找出相似基本型，为解决相似基本型的综合应用这一难点打下基础.（设计意图此题是探索题，通过对等边三角形中相似基本型M型的探索，发散学生的思维，锻炼学生的毅力，同时也体现了团队合作精神.总结图形相似的有关特征并自觉应用到变式中，进一步丰富数学活动经验，培养应用数学知识解决问题的能力.）整合点与软件此环节是信息技术与课程整合点之二，这是一个动态图形，从中找出静态图形，利用几何画板将相似三角形拖拽出来，使学生看得更清晰.（4）“练”――变式训练，一题多解师生活动1提出动点问题.已知菱形ABCD，AB=4cm，∠B=60°，点P、Q分别从点B、C同时出发，沿线段BC，CD以1cm/s的速度向终点C，D 运动，运动时间为t秒.连AP，AQ，PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由.学生观看演示，独立思考，体会动点问题中哪些图形全等，老师总结动中的不变.师生活动2如何解决动点问题和相似基本型的综合题.连接AC，与PQ相交于K，当t=1秒时，求AK的长.学生探究后派代表演示找出的相似基本型.师生活动3由于学生表述得不够完整，教师将找到的基本型进行演示，突破本节课难点.（设计意图此题是探索结论题，体现了层次性，呈阶梯逐步加深、加难，通过对结论的探索，复习相似三角形中的基本型.通过一题多变，培养学生的发散思维，拓展学生的解题思路.）整合点与软件此环节是信息技术与课程整合点之三.几何画板的充分使用，变抽象为形象，变复杂为简单，动中有静，静中有动，形象具体.几何画板呈现相似基本型，并从复杂的图形中抽象出来，寻找题中的变量和不变量.（5）“评”――对复习结果评价和反馈师生活动用“问卷星”的形式小结反馈.（设计意图用此形式，可以灵活掌握学生对所学内容的掌握情况，以便对个性问题个别辅导，对共性问题集中讲评.）五、教学环境根据教学内容、学生情况以及学校的实际情况，利用几何画板可以图文并茂、声像并举、形象直观地为学生创设各种情境，激起学生的各种感官参与，激发学生学习动机和兴趣.数学科学的特点是逻辑性强、抽象思维要求高，尤其是空间问题、动态过程问题等学生不易理解的问题，通过这种方式可以使复杂的问题转化为直观、形象、生动的感性情景，大大降低了学生的理解难度和教师的教学难度.。
相似三角形的八大基本模型
相似三角形的八大基本模型1、等腰三角形：等腰三角形是一种三角形，它的两条边长相等，称为等腰三角形。
它的三个角也是等角，每个角度都是60度，是一个等边三角形。
它也有着金字塔形状。
2、等边三角形：等边三角形是三角形中最常见的一种，它的三个边长都是相等的，因此得名等边三角形。
由于边长是相等的，因此三个角也是等角，每个角度都是60度。
此外，它也有着正三角形的特性。
3、直角三角形：直角三角形是一种三角形，它的一个角是90度，成为直角三角形。
直角三角形一般分为狭角三角形和钝角三角形两种，其中，狭角三角形的两个直角边都要大于第三条斜边，而钝角三角形则相反，其两个直角边都要小于第三条斜边。
4、相似三角形：相似三角形是指三角形中，由一条射线形成的两个三角形，三条边长的比值相等的三角形。
它的内角和外角相似，但是边长和面积都不同。
由此可以知道，如果两个三角形边长比值相同，则该两个三角形为相似三角形。
5、等分直角三角形：等分直角三角形是指一个直角三角形中，由底边一个端点引分出来的两条斜边上的各个点，连接起来后形成的直角三角形。
由于它的特点，两个边长和底边的面积比例也是相同的，每个等分点也和其他两个等分点是相等的。
6、正交三角形：正交三角形是指两个直角三角形中的一类，由其相似的三条边构成，两个斜边互相垂直相交，而三条边长分别是直角三角形中底边和邻边之和。
正交三角形属于相似三角形，具有和相似三角形一样的特性。
7、正三角形：正三角形是一种特殊的三角形，它的三个角都是60度，每个角度都相同，其三条边长也相等，为了符合这种特性，它也有其称之为正三角形的原因。
它有着明显的金字塔形状，但是每个角度都是60度，因此可以说它的金字塔形状是平行的。
8、稜角三角形：稜角三角形是一种特殊的三角形，它的其中一个角是60度，另外两个角都小于60度，一般不会大于60度，这种三角形因此也有着金字塔形状，但是由于角度上的不同，边长也不同。
其中，由三角形的垂足作为原点，内角和外角大小关系也要满足，且两个内角和一个外角和要等于180度。