2014-2015学年辽宁师大附中高一(下)期末数学试卷
辽宁省师大附中2014-2015学年高二上学期10月模块考试数学试卷(解析版)
辽宁省师大附中2014-2015学年高二上学期10月模块考试数学试卷（解析版）一、选择题1．若0<<b a ，则下列结论中不恒成立．．．．的是（ ） A ．a b > B ．11a b > C ．ab b a 222>+ D．a b +>-【答案】D 【解析】试题分析：由不等式的基本性质可知A 、B 是正确的；选项C 是重要不等式ab b a 222≥+，由于b a <，所以等号不成立，因此C 正确；D 选项中ab b a 2-<+恒成立，答案选D. 考点：不等式的性质2．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x 、y 、z ，则下列选项中能反映x 、y 、z 关系的是（ ） A ．65=++z y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧>>=++z y z x z y x 65 C ．⎪⎩⎪⎨⎧>>>>=++0065z y z x z y xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<=++65656565z y x z y x【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知年龄和为65，且父母的年龄比小孩大，小孩的年龄是正数，答案选C.考点：线性规划的约束条件3．等差数列}{n a 的前n 项和为2811,30n S a a a ++=若，那么13S 值的是 （ ） A ．130 B ．65 C ．70 D ．以上都不对 【答案】A 【解析】试题分析：因为71111823)6(3183a d a d a a a a =+=+=++，所以107=a ，因此130132)(13713113==+=a a a S ，答案选A.考点：等差数列的性质与求和4．设}{n a 是等差数列，}{n b 为等比数列，其公比q ≠1, 且0>i b （i=1、2、3 …n ）若11b a =,1111b a =则（ ）A ．66b a =B ．66b a >C ．66b a <D ．66b a >或 66b a < 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比数列的性质可知221111116b b a a a +=+=，1116b b b =，又0>i b ，由基本不等式可知66b a ≥，而q ≠1，所以等号不成立，因此答案选B. 考点：等差、等比数列的性质和基本不等式5．设等比数列{}n a 的公比2=q ， 前n 项和为n S ，则=45a S （ ） A ．2 B ．4 C ．831 D ．431 【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可知8312)21(21)1()1()1()1(35315145145=--=--=--=q a q q a a q q a a S ，答案选C.考点：等比数列的性质6．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知1110143215154321)(a q a q a a a a a a a m ====+++，答案选C. 考点：等比数列的性质7．数列n {a }中，对任意*N n ∈，n 12n a +a ++a =21⋅⋅⋅-，则22212n a +a ++a ⋅⋅⋅等于（ ） A ．()2n2-1B ．3)12(2-n C.14-nD ．314-n【答案】D【解析】试题分析：由1221-=+++n n a a a 得121121-=+++--n n a a a ，两式相减得11222--=-=n n n n a ，所以数列n {a }是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列}{2na 是首项为1，公比为4的等比数列，因此314414122221-=--=+++n n n a a a ，答案选D. 考点：等比数列的性质8．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（ ） A.97 B.78 C.2019 D.87【答案】D【解析】 试题分析：由等差数列的性质可知：87517521742/)(172/)(171717171171171171135135=-⨯+⨯==++=++=++B A b b a a b b a a b b a a ，答案选D.考点：等差数列的性质9．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（ ）A ．-76B ．76C ．46D ．13 【答案】A 【解析】试题分析：（并项求和法）由已知可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯--⨯+=为偶数为奇数n n n n S n 2)4(2141，所以2921154115=-⨯+=S ，6121314131=-⨯+=S ，44222)4(22-=⨯-=S ，因此76614429312215-=--=-+S S S ，答案选A.考点：并项求和10．设数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知99741=++a a a ,852a a a ++93=，若对任意*N n ∈，都有k n S S ≤成立，则k 的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．20 D ．19【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质可知：9934741==++a a a a ，9335852==++a a a a ，所以31,3354==a a ，因此数列的首项为39，公差为-2，所以412)1(239+-=--=n n a n ，令0>n a 得241<n ，从而有0,02120<>a a ，因此k 的值为20，答案选C. 考点：等差数列的性质11．设数列}{n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，}{n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则=+++1021b b b a a a （ ）A ．1033B ．2057C ．1034D ．2058 【答案】A 【解析】试题分析：（分组求和法）由已知得1+=n a n ，12-=n n b ，所以121+=-n b n a ，因此103310212110)222()12()12()12(1091911011=+--=++++=++++++=+++ b b b a a a ，故答案选A.考点：等差数列与等比数列的性质与求和 12．已知0,0>>b a ，4112=+b a ，若不等式m b a 42≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知可得1)12(4=+ba ，所以36)45(4)225(4)12(4)2(2=+≥++=+⋅+=+abb a b a b a b a ，所以364≤m 即9≤m ，答案选B.考点：基本不等式的应用二、填空题13．已知0<ab ，则||||||ab ab b b a a ++＝ . 【答案】-1 【解析】试题分析：由已知知a ，b 异号，所以0||||=+b ba a ，1||-=ab ab ，所以答案为-1. 考点：不等式的性质14．不等式0)12(1≥--x x 的解集为____________【答案】),21[+∞ 【解析】试题分析：去绝对值得⎩⎨⎧≥--≥0)12)(1(1x x x 或⎩⎨⎧≥--<0)12)(1(1x x x ，解得1≥x 或121<≤x ，故答案为),21[+∞. 考点：解不等式15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数=k ．【答案】4 【解析】试题分析：由已知可得181=++k k a a ，72)(2)(221212=+=+=k k k a a k a a k S ，而121++=+k k k a a a a ，所以k 1872=，解得k=4.考点：等差数列的性质16．关于数列有下列命题：①数列{n a }的前n 项和为n S ，且)(1R a a S n n ∈-=，则{n a }为等差或等比数列； ②数列{n a }为等差数列，且公差不为零，则数列{n a }中不会有)(n m a a n m ≠=， ③一个等差数列{n a }中，若存在)(0*1N k a a k k ∈>>+，则对于任意自然数k n >，都有0>n a ；④一个等比数列{n a }中，若存在自然数k ，使01<⋅+k k a a ，则对于任意*N n ∈，都有01<⋅+n n a a ，其中正确命题的序号是___ __。
吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷
吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．163．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣34．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D． {x|x＜0或x＞3}5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是．三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b 的大小．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．考点：一元二次不等式的应用；不等关系与不等式．专题：综合题．分析：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项解答：解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．点评：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．16考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的通项公式化简a1a3a11=8后，得到关于第5项的方程，求出方程的解即可得到第5项的值，然后根据等比数列的性质得到a2a8等于第5项的平方，把第5项的值代入即可求出所求式子的值．解答：解：a1•a3•a11=a13•q12=（a1q4）3=a53=8，∴a5=2，则a2•a8=a52=4．故选：A点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．3．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣3考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条直线垂直的条件，结合题意建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．解答：解：∵直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，∴m（m﹣1）+（1﹣m）（2m+3）=0，解之得m=﹣3或1故选：D点评：本题给出两条直线互相垂直，求实数m的值．着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识，属于基础题．4．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D． {x|x＜0或x＞3}考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：将“不等式＜0”转化为：“x（x+2）（x+3）＜0”，用穿根法求解．解答：解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）＜0解得：x＜﹣2或0＜x＜3故选A点评：本题主要考查分式不等式的解法，一般是转化为整式不等式，再用穿根法求解．5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定考点：点与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得x02+y02＞R2，从而圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离d＜R，由此推导出直线x0x+y0y=R2与圆相交．解答：解：∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，∴x02+y02＞R2，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离：d=＜R，∴直线x0x+y0y=R2与圆相交．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．解答：解：∵，，…∴=故选：A．点评：数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n ﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件的可行域，再利用几何意义求最值，z=kx+y表示直线在y轴上的截距，﹣k表示直线的斜率，只需求出k的取值范围时，直线z=kx+y在y轴上的截距取得最大值的一个最优解为（1，2）即可．解答：解：由可行域可知，直线AC的斜率=，直线BC的斜率=，当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时，C（1，2）是该目标函数z=kx+y的最优解，所以k∈[﹣1，1]，故选B．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于基础题．8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项考点：等差数列的前n项和；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0，进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，可得答案．解答：解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，∴|a6|＞|a7|∴数列{a n}中绝对值最小的项是a7故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a7＞0，a7＜0，属中档题．9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：根据直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），求出圆心到直线的距离；再根据点到直线的距离公式即可求出k的值．解答：解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，所以∠POQ=120°（其中O为原点），如图可得∠OPE=30°；OE=OPsin30°=，即圆心O（0，0）到直线y=kx+1的距离d==，所以k=．故选：A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，求出圆心（0，0）到直线的距离是解题的关键．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．解答：解：选项A错误，因为x可能为负数；选项B错误，化简可得y=2（+）由基本不等式可得取等号的条件为=即x2=﹣1，显然没有实数满足x2=﹣1；选项C错误，由基本不等式可得取等号的条件为sinx=2，但由三角函数的值域可知sinx≤1；选项D，由基本不等式可得当e x=2即x=ln2时，y取最小值4．故选：D．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及基本不等式取等号的条件，属基础题．11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．解答：解：显然圆心C（﹣1，5）不在直线y=﹣x上．由对称性可知，只有直线y=﹣x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x，从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5=x+1即y=6+x，与y=﹣x联立，可求出该点坐标为（﹣3，3），所以该点到圆心的距离为=2，由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以两切线夹角的一半的正弦值为=，所以夹角∠APB=60°故选C．点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：因为a+b+c的平方与已知等式有关，现将（a+b+c）2用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于0得不等式，然后解不等式得范围．解答：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2﹣2bc=12+（b﹣c）2≥12，当且仅当b=c时取等号，∴a+b+c≥故选项为A点评：若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于25．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出三角形面积，即可求解解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC由由题意可得A（﹣2，2），B（3，7），C（3，﹣3）∴BC=10，A到直线BC的距离d=5∴S△ABC==25故答案为：25点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：根据基本不等式的性质进行计算即可．解答：解：∵x+3y﹣2=0，∴x+3y=2，∴z=2x+23y≥2=2=2=4，当且仅当x=3y，即x=1，y=时，“=”成立，故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，应用性质是注意满足条件；一正二定三相等，本题是一道基础题．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是40．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据题意求出S10=10，S30=130，再根据S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，得到S20=40，或者S20=﹣30，然后利用等比数列的求和公式得到答案．解答：解：因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130．∵数列{a n}为等比数列，∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，即S10，S20﹣S10，S30﹣S20也是等比数列，所以S20=40，或者S20=﹣30，因为S20=S10（1+q10），所以S20=40．故答案为40．点评：本题主要考查了等比数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等比数列中S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列的性质．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣3＜b≤3或．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径3求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成y2+x2=9（x≥0）要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况：如下图：（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为3，切于A点，d==3，因为b＜0，可得b=﹣3，满足题意；（2）直线过半圆的下顶点（0，﹣3）和过半圆的上顶点（3，0）之间的直线都满足，y=x+b过点（0，﹣3），可得b=﹣3，有两个交点，y=x+b过点（0，3），可得b=3，有一个交点，∴﹣3＜b＜3，此时直线y=x+b与曲线恰有一个公共点；综上：﹣3＜b≤3或；故答案为：﹣3＜b≤3或；点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用，是一道好题；三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用a5﹣a2=3d计算可得公差，进而可得结论；（2）通过对数的性质化简可知数列是以4为首项、4为公差的等差数列，进而计算可得结论．解答：解：（1）∵a2=9，a5=21，∴a5﹣a2=3d，∴d=4，∴a n=a2+（n﹣2）•d=4n+1；（2）∵a n=4n+1，∴，∴log2==4n，∴数列是以4为首项、4为公差的等差数列，∴．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则依题意可知ab=9000，代入广告的面积中，根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽．解答：解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000．①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．广告的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2．当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75．即当a=120，b=75时，S取得最小值24500．故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是2015届高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b 的大小．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式化为关于x的一元二次不等式，由不等式恒成立列出条件，求出a、b的大小关系．解答：解：不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）可变形为（a﹣b+1）x2+（a﹣b）x+a﹣b＞0，…又不等式对任意的实数x都成立，则，…即，解得a﹣b＞0；所以a＞b．…点评：本题考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．解答：解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．因为，所以圆心C到直线l的距离是，即=解得：b=﹣1．所以直线l的方程是：y=x﹣1．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；直线与圆．分析：先求出圆M的方程，再设过圆心M的任意一直线为x=my+1与圆的方程联立，利用向量的数量积公式，即可得出结论．解答：解：由题意，△AOB∽△BOC，∴=，∴|CO|=4 …∴C（4，0），AC中点为M（1，0），半径为3∴圆M的方程（△ABC的外接圆）为（x﹣1）2+y2=32…设过圆心M的任意一直线为x=my+1，…∴∴（m2+1）y2=9…设直线x=my+1与圆（x﹣1）2+y2=9的两个交点为D（x1，y1），E（x2，y2）则=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），∴•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+4…由（m2+1）y2=9，得代入上式•=﹣9+4=﹣5…当ED为横轴时，D（﹣2，0），E（4，0），=（﹣1，0），=（5，0）∴•=﹣5…点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过将点代入y=2x+k可知a n+1=2a n+k，利用b n+1=a n+2﹣a n+1计算即得结论；（2）通过b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n可知a2﹣a1=（k+a1）•20、a3﹣a2=（k+a1）•21、…、a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加整理得b n﹣a n=k，计算即得结论．解答：（1）证明：∵点都在一次函数y=2x+k图象上，∴a n+1=2a n+k，∴b n+1=a n+2﹣a n+1=（2a n+1+k）﹣（2a n+k）=2（a n+1﹣a n）=2b n，∴=2，故{b n}是以b1=a2﹣a1=2a1+k﹣a1=k+a1为首项、2为公比的等比数列；（2）解：∵b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n，∴a2﹣a1=（k+a1）•20，a3﹣a2=（k+a1）•21，…a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加得：a n﹣a1=（k+a1）•=（k+a1）•（2n﹣1﹣1），整理得：a n=（a1+k）•2n﹣1﹣k，∴b n﹣a n=[（a1+k）•2n﹣1]﹣[（a1+k）•2n﹣1﹣k]=k，又S6=T4，即a1+a2+…+a6=b1+b2+b3+b4，∴a5+a6=4k，即，∴，∴，又S5=﹣9，∴，∴k=8．点评：本题考查等比数列的判定以及数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
福建师大附中高一数学上学期期末试卷(实验班,含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A．115°B．120°C．135°D．150°2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A． B． C． D．5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．下列命题正确的是（）A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=48．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B．C．D．﹣19．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值X围是（）A． B． C．D．10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．411．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）A．24 B．48 C．72 D．78二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．14．函数f（x）=的最小值为．15．设点P、Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则的取值X围为．16．如右图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．17．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165°其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．20．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．23．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；（2）当时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使=求点K的轨迹．2015-2016学年某某师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A．115°B．120°C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的X围，结合题意即可算出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线的斜率为﹣，∴直线倾斜角α满足tanα=﹣，结合α∈[0°，180°），可得α=150°故选：D．2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的【考点】棱锥的结构特征．【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．故答案选C．3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：作出△ABC的平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=2，AC=2A′C′=2，∴△ABC的面积为=2．故选：B．4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A． B． C． D．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．【解答】解：点P（﹣1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（﹣1，1，﹣1），一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光所走的路程是： =．故选D．5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，设母线与底面所成角为θ，则母线与底面所成角的余弦值cosθ==，∴母线与底面所成角是60°．故选：C．6．下列命题正确的是（）A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】逐个分析选项，举出反例即可．【解答】解：对于A，若l⊂α，则α内存在无数条直线与l平行，故A错误．对于B，若l⊂α，则α内存在无数条直线与l垂直，故B错误．对于C，若α∩β=l，则在α存在无数条直线与l平行，故这无数条直线都与平面β平行，故C错误．对于D，若β内存在直线l垂直于平面α，则α⊥β，即命题D的逆否命题成立，故命题D成立，故D正确．7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设BC的中点的坐标，由弦长公式和两点间的距离公式列出式子，化简后可得BC的中点的轨迹方程．【解答】解：设BC的中点P的坐标是（x，y），∵BC是圆x2+y2=25的动弦，|BC|=6，且圆心O（0，0），∴|PO|==4，即，化简得x2+y2=16，∴BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，故选：C．8．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B．C．D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直线l1的斜率一定存在，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于=≠=﹣1，解得m=﹣，故选：B．9．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值X围是（）A． B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出直线l：y=kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值X围．【解答】解：如图所示，直线y=kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y=0和圆（x﹣2）2+y2=1相交于B，C两点，，，，∵直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，∴0，故选A．10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．11．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．【考点】圆的切线方程．【分析】作出图象易得sin∠OMB，进而可得cos∠AMB和sin∠AMB=，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：如图，由题意可得|OM|==，由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，故sin∠OMB===，∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos2∠OMB﹣1=﹣，故sin∠AMB=，三角形面积S=×|MA|×|MB|×sin∠AMB=，故选：C．12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）A．24 B．48 C．72 D．78【考点】异面直线的判定．【分析】可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．【解答】解：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．分几种情况考虑第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有=24对第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有=6对第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对故选D二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知AC==，∴外接球的面积是，故答案为：3π14．函数f（x）=的最小值为2．【考点】两点间距离公式的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由配方可得函数表示f（x）表示P（x，0）到两点A（3，2），B（5，2）的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（3，﹣2），连接A'B，交x轴于P，运用两点之间线段最短，由两点的距离公式计算即可得到．【解答】解：函数f（x）+=+，设点P（x，0），A（3，2），B（5，2），则f（x）表示P到两点A，B的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（3，﹣2），连接A'B，交x轴于P，则||PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==2，则当A，P，B'三点共线，取得最小值2．故答案为：2．15．设点P、Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则的取值X围为[1，3）．【考点】中点坐标公式．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则3x1﹣y1﹣5=0，3x2﹣y2﹣13=0，两式相加得3（x1+x2）﹣（y1+y2）﹣8=0，设M（x0，y0），则由中点的坐标公式可得3x0﹣y0﹣4=0，又x0+y0＞4即点M在直线x+y=4上或者其右上方区域，画图得到M位于以（2，2）为端点向上的射线上，数形结合可得答案．【解答】解：设P，Q两点的坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2），∵点P，Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，∴3x1﹣y1﹣5=0，①3x2﹣y2﹣13=0，②两式相加得3（x1+x2）﹣（y1+y2）﹣8=0．设线段PQ的中点M（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．∴3x0﹣y0﹣4=0．即y0=3x0﹣4．又M点的坐标满足x0+y0＞4，即M恒在直线x+y=4上或者其右上方区域，∴线段PQ的中点M满足，如图．联立，解得M（2，2），∴M位于以（2，2）为端点向上的射线上，当M（2，2）时，k OM=1，∴直线OM斜率的取值X围是[1，3）．16．如右图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=，在△AOD中，AO=DO=，又AD=，∴=，则，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O 为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是．故答案为：．17．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°，故答案为：④或⑥．18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面B DD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】（I）列方程组求出A点坐标，根据两直线垂直的条件求出BC、AB所在的直线方程，然后解方程组得B的坐标；（II）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的C点，写出直线方程，求出△MON面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点A在BC边上的高x﹣2y+1=0上，又在∠A的角平分线y=0上，所以解方程组得A（﹣1，0）．∵BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∴k BC=﹣2，∵点C的坐标为（1，2），所以直线BC的方程为2x+y﹣4=0，∵k AC=﹣1，∴k AB=﹣k AC=1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，解方程组得B（5，﹣6），故点A和点B的坐标分别为（﹣1，0），（5，﹣6）．（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k＜0），则，所以，当且仅当k=﹣2时取等号，所以（S△MON）min=4，此时直线l的方程是2x+y﹣4=0．20．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证明G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．【解答】证明：（1）设G在平面SEF上的射影为点H，则GH⊥平面SEF．∵折前SG1⊥G1E、SG3⊥G3F，∴折后SG⊥GE、SG⊥GF，∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面GEF…∵，，SG∩GH=G，∴EF⊥平面SGH…∵SH⊂平面SGH，∴EF⊥SH，同理，EH⊥SF，∴H为△SEF的垂心．…（2）过G作GO⊥SE交SE于点O，连OH，则∠GOH即为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．…∵，又∵GO⊥SE，GH∩GO=G，∴SE⊥平面GHO∵OH⊂平面GHO，∴SE⊥OH，∴∠GOH为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．…设正方形SG1G2G3的边长为1，则在Rt△SEG中，∴…又，∴sin∠GOH==，∴二面角G﹣SE﹣F的正弦值为．…21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…因为|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，由此能证明BE∥平面ADP．（Ⅱ）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面ADP．解：（Ⅱ）连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，进而BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM===．∴直线BE与平面PDB所成角的正弦值为．23．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；（2）当时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使=求点K的轨迹．【考点】轨迹方程．【分析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出圆P、圆Q的方程，由圆系方程求得MN所在直线方程，再由直线系方程可得直线MN都通过一定点；（2）由题意求出M的坐标，得到圆Q的方程，设G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，由=，可得，整理后代入根与系数的关系可得点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系．设M（m，0），则：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F（m，a﹣m），，，⊙P方程为：，即：x2+y2﹣mx﹣my=0 ①，⊙Q方程为：即：x2+y2﹣（a+m）x﹣（a﹣m）y+am=0 ②．①﹣②得，公共弦MN所在直线方程：ax+（a﹣2m）y﹣am=0．整理得：（ax+ay）+m（﹣2y﹣a）=0，∴MN恒过定点；（2）解：当时，，⊙Q：，即：．设G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，则：，，，由题意，，即：．把y=kx代入⊙Q方程，得：，由韦达定理得：，，∴，将代入整理，得：2x+y﹣a=0．∴点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．。
东北师大附中2014—2015学年度高一上学期期末考试数学试题
2014—2015学年上学期高一年级（数学）学科 期末测试题考试时间：100分钟 试卷满分:100分一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．1．设集合{1234}U =，，，，{13}A =，，{34}B =，，则C U ()A B = （ ）A ．{134}，，B ．{14}，C ．}2{D ．}3{2．函数()f x =（ ）A ．(1)-+∞，B ．(1)-∞，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．cos 2010=（ ）A ．12-B ．C ．12D 4．在ABC ∆中，若1sin 2A =，则A =（ ）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或1205．下列函数中是幂函数的为（ ）A ．21xy =B ．22x y =C ． x x y +=2D ．1=y6．已知函数2(3)log f x =(1)f 的值为 （ ）A ．21B ． 1C ．5log 2D ． 27．将函数x y 2sin =的图象先向左平行移动6π个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（ ）A ．1)62sin(+-=πx y B ．1)32sin(+-=πx y C ．1)62sin(++=πx yD ．1)32sin(++=πx y8．2sin31cos31a =和sin 28cos35cos 28sin35b =+之间的大小关系是 （ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．不能确定9．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log 2a p a =，则m n p ，，的大小关系是A ．n m p >>B ．m p n >>C ．m n p >>D ．p m n >>10．函数y ＝cos x ·|tan x | ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2 的大致图象是( )11．在锐角ABC ∆中，若31tan ,55sin ==B A ，则=+B A （ ） 434.ππ或A 4.πB 43.πC 22.D 12．下列不等式中，正确的是（ ）A ．tan513tan413ππ< B ．sin )7cos(5ππ-> C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．cos )52cos(57ππ-< 13．函数]0,[),3sin(2)(ππ-∈-=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．]65,[ππ-- B ．]6,65[ππ-- C ．]0,3[π- D ．]0,6[π- 14．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32 C ．1 D.1215．若10sin 3cos =-αα，则=αtan （ ） A ．3； B ．53-; C ．3-; D ．8316．定义在R 上的函数满足，当时，，则（*** ）A ．B ．C ．)45(tan)6(tanππf f < D ． 17．函数()tan f x x x =-在区间[22]ππ-，上的零点个数是 （ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．9个NMDCBA18．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图1，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时，水的体积为'V ，则函数'()V f h =的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题共4小题，每小题4分，共16分．11. 已知扇形的弧长和面积的数值都是2，则其圆心角的正的弧度数为________.12．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，则M ∩N =____. 13．如图,在正方形ABCD 中,M 是边BC 的中点,N 是边CD 的中点,设α=∠MAN ,那么αsin 的值等于_______***_____.14．若10≠>a a 且，则函数1)1(log +-=x y a 的图象恒过定点 .15．设()f x 是()-∞+∞，上的奇函数，()(3)0f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21x f x =-， 则=)5.5(f .16．在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-； ④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是5[2][2]33ππππ-- ，，. 其中正确结论的序号为 把所有正确结论的序号都．填上．. 三、解答题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题满分8分．已知集合{}|34A x x =-≤≤，{}22|132B x m x m =-≤≤-，且A B A = ，求实数m 的取值范围.图118．（本题满分10分）已知角α的终边经过点(3,4)P -，(1) 求sin()cos()tan()πααπα-+-+的值; （2）求1sin 2cos 212αα++的值．19．（本题满分10分）已知函数)sin()(φx ωA x f +=)22,0,0(πφπωA <<->>一个周期的图象如图所示。
2014-2015学年辽宁省师大附中高一(下)期末物理试卷
2014-2015学年辽宁省师大附中高一（下）期末物理试卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题4分，共48分．1到8题只有一个选项正确，对的得4分，9到12题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选的得0分）1．（4分）（2015春•辽宁校级期末）物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步．下列表述错误的是（）A．牛顿发现了万有引力定律B．卡文迪许通过实验测出了万有引力常量C．开普勒研究第谷的天文观测数据，发现了行星运动的规律D．伽利略发现地月间的引力满足距离平方反比规律考点：物理学史．分析：根据物理学史和常识解答，记住著名物理学家的主要贡献即可．解答：解：A、牛顿发现了万有引力定律，故A正确；B、卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量，故B正确；C、开普勒发现了行星的三大运动规律，故C正确；D、牛顿发现地月间的引力满足距离平方反比规律，故D错误；本题选错误的，故选：D点评：本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆，这也是考试内容之一．2．（4分）（2015•山东）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是（）A．a2＞a3＞a1B．a2＞a1＞a3C．a3＞a1＞a2 D．a3＞a2＞a1考点：同步卫星．专题：人造卫星问题．分析：由题意知，空间站在L1点能与月球同步绕地球运动，其绕地球运行的周期、角速度等于月球绕地球运行的周期、角速度，由a n=r，分析向心加速度a1、a2的大小关系．根据a=分析a3与a1、a2的关系．解答：解：在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，根据向心加速度a n=r，由于拉格朗日点L1的轨道半径小于月球轨道半径，所以a2＞a1，同步卫星离地高度约为36000公里，故同步卫星离地距离小于拉格朗日点L1的轨道半径，根据a=得a3＞a2＞a1，故选：D．点评：本题比较简单，对此类题目要注意掌握万有引力充当向心力和圆周运动向心加速度公式的联合应用．3．（4分）（2015春•辽宁校级期末）一质量为m的物体，从距地面高度为h处由静止开始做自由落体运动，则（）A．落地时重力的瞬时功率为mgB．落地时重力的瞬时功率为C．下落过程重力的平均功率为mgD．下落过程重力的平均功率为mg考点：功率、平均功率和瞬时功率；自由落体运动．专题：功率的计算专题．分析：物体做自由落体运动，应用匀变速直线运动的速度位移公式求出落地速度，然后应用功率公式求出落地时的瞬时功率与平均平均功率．解答：解：物体做自由落体运动，由速度位移公式得：v2=2gh，落地速度：v=；A、落地时重力的瞬时功率：P=mgv=mg，故AB错误；C、下落过程重力的平均功率：=mg=mg×=mg，故C正确，D错误；故选：C．点评：本题考查了求重力的平均功率与瞬时功率，分析清楚物体的运动过程，应用匀变速直线运动的速度位移功率、功率公式P=Fv即可解题，本题是一道基础题．4．（4分）（2015春•辽宁校级期末）物体做自由落体，E k代表动能，E P代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面，下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是（）A．B．C．D．考点：机械能守恒定律；自由落体运动．专题：机械能守恒定律应用专题．分析：物体做自由落体运动，机械能守恒，再根据动能势能的定义，逐个分析推导可以得出结论．解答：解：A、重力势能E P=E﹣mv2=E﹣mg2t2，重力势能E P与时间t的图象也为开口向下的抛物线，故A错误；B、E P=E﹣mv2，所以势能E P与速度v的图象为开口向下的抛物线，故B正确；C、由机械能守恒定律：E P=E﹣E K，故势能E P与动能E k的图象为倾斜的直线，故C错误；D、由动能定理：E K=mgh，则E P=E﹣mgh，故重力势能E P与h的图象也为倾斜的直线，故D 错误．故选B．点评：本题考查物体机械能守恒时，各个物理量之间的关系，要找物理量之间的关系一定要推导出它们的关系式在进一步的判断它们的关系．5．（4分）（2015春•辽宁校级期末）关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是（）A．电场强度的方向处处与等电势面垂直B．电场强度为零的地方，电势也为零C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落的方向考点：电势；电场强度．专题：电场力与电势的性质专题．分析：电场强度与电势没有直接关系；电场强度的方向与等势面垂直，电场强度的方向是电势降低最快的方向；根据这些知识进行解答．解答：解：A、电场线与等势面垂直，而电场强度的方向为电场线的方向，所以电场强度的方向与等势面垂直，故A正确；B、电场强度与电势没有直接关系，电场强度为零时，电势不一定为零；电势为零，电场强度不一定为零，故B错误；C、根据电势能E p=qφ可知，电势能与电场强度无直接关系，故C错误；D、顺着电场线方向电势降低，故D正确．故选：AD．点评：明确电场强度与电势无直接关系，知道电场强度的方向是电势降低最快的方向，属于基础题．6．（4分）（2015春•辽宁校级期末）如图所示的水平匀强电场中，将两个带电小球M和N分别沿图示路径移动到同一水平线上的不同位置．释放后，M、N保持静止，不计重力，则（）A．M的带电量比N大B．M带正电荷，N带负电荷C．移动过程中匀强电场对M做负功D．静止时M受到的合力比N大考点：带电粒子在匀强电场中的运动．专题：带电粒子在电场中的运动专题．分析：分别对MN两个小球进行受力分析，然后结合受力平衡的特点与库仑力的特点即可正确解答．解答：解：A、B、因为M、N在释放后保持静止，说明受到的合力为0，若M带正电，不论N带正电，还是带负电，都不可能同时静止，只有M带负电，N带正电才能满足同时静止．又M与N之间的库仑力是作用力与反作用力，总是大小相等方向相反，所以二者受到的电场力也必定是大小相等方向相反，由F=qE可知，二者所带的电量大小相等．故A错误，B错误；C、M带负电，受到的电场力的方向向左，所以移动过程中匀强电场对M做负功．故C正确．D、静止时，二者受到的合力都是0．故D错误．故选：C．点评：该题考查电场中物体的受力平衡问题，对于电场中的共点力作用下物体的平衡其解决方法和纯力学中共点力作用下物体的平衡适用完全相同的解决方法．7．（4分）（2015春•辽宁校级期末）如图所示，电路中R1、R2均为可变电阻，电源内阻不能忽略，平行板电容器C的极板水平放置．闭合电建S，电路达到稳定时，带电油滴悬浮在两板之间静止不动．如果仅改变下列某一个条件，油滴仍能静止不动的是（）A．增大R1的阻值B．断开电键SC．增大两板间的距离D．增大R2的阻值考点：闭合电路的欧姆定律；电容．专题：恒定电流专题．分析：电路稳定时，电容器的电压等于可变电阻R1的电压，改变R2，对电容器的电压没有影响．增大R1分担的电压增大，电容器的电压增大，油滴将向上运动．断开开关S，电容器放电，油滴将向下运动．减小平行板的正对面积，电容器的电压不变，油滴不动．解答：解：A、电路稳定时，电容器的电压等于可变电阻R1的电压，当增大R1的阻值，导致总电流减小，则外电压增大，因此电容器的电压增大，板间场强增强，油滴将向上运动．故A错误．B、断开开关S，电容器放电，板间场强逐渐减小，油滴将向下运动．故B错误．C、增大两板间的距离，因电容器的电压不变，则电场强度减小，导致油滴向下运动．故C错误．D、电路稳定时，当增大R2的阻值，不改变电路中的电流，因此电容器的电压不变，板间场强不变，油滴将不运动．故D正确．故选：D．点评：本题关键分析电容器的电压是否变化．当断开开关S，改变板间距离时，板间场强不变，油滴也保持不动．8．（4分）（2010•湖南）电源的效率η定义为外电路电阻消耗的功率与电源的总功率之比．在测电源电动势和内电阻的实验中得到的实验图线如图所示，图中u为路端电压，I为干路电流，a、b为图线上的两点，相应状态下电源的效率分别为ηa、ηb．由图可知ηa、ηb的值分别为（）A．、B．、C．、D．、考点：电源的电动势和内阻；测定电源的电动势和内阻．分析：电源的效率η定义为外电路电阻消耗的功率与电源的总功率之比．η===．所以电源的效率等于外电压与电动势之比．外电压和电动势可以从图象上读出．解答：解：电源的效率η定义为外电路电阻消耗的功率与电源的总功率之比．η===．E为电源的总电压（即电动势），在U﹣I图象中，纵轴截距表示电动势，根据图象可知U a=、U b=，则ηa=，ηb=．所以A、B、C错误，D正确．故选D．点评：解决本题的关键知道电源的效率也等于外电压与电动势之比以及会从U﹣I图象中读出电动势和外电压．9．（4分）（2015•天津）如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速地飘入电场线水平向右的加速电场E1，之后进入电场线竖直向下的匀强电场E2发生偏转，最后打在屏上．整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，那么（）A．偏转电场E2对三种粒子做功一样多B．三种粒子打到屏上时的速度一样大C．三种粒子运动到屏上所用时间相同D．三种粒子一定打到屏上的同一位置考点：带电粒子在匀强电场中的运动．专题：带电粒子在电场中的运动专题．分析：由动能定理定理可求得粒子进入偏转电场时的速度，再对运动的合成与分解可求得偏转电场中的位移；再由几何关系可明确粒子打在屏上的位置．解答：解：带电粒子在加速电场中加速度，由动能定理可知：E1qd=mv2；解得：v=；粒子在偏转电场中的时间t=；在偏转电场中的纵向速度v0=at=纵向位移x=at2=；即位移与比荷无关，与速度无关；由相似三角形可知，打在屏幕上的位置一定相同，到屏上的时间与横向速度成反比；故选：AD．点评：本题考查带电粒子在电场中的偏转，要注意偏转中的运动的合成与分解的正确应用．10．（4分）（2015•江苏）两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示，c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则（）A．a点的电场强度比b点的大B． a点的电势比b点的高C．c点的电场强度比d点的大D． c点的电势比d点的低考点：电势差与电场强度的关系；电势；电势能．专题：电场力与电势的性质专题．分析：根据电场线的疏密判断场强的大小．根据电场线的方向判断电荷的正负．顺着电场线电势逐渐降低，由电场线的方向可判断电势的正负．解答：解：A、由图看出，a点处电场线比b点处电场线密，则a点的场强大于b点的场强，故A正确．B、电场线从正电荷到负电荷，沿着电场线电势降低，所以b点的电势比a点的高，所以B错误；C、负电荷在c点的合场强为零，c点只有正电荷产生的电场强度，在d点电荷产生的场强向上，两个负电荷产生的场强向下，合场强是它们的差值，所以c点的电场强度比d点的大，所以C正确；D、正电荷到c点的平均场强大于正电荷到d点的平均场强，根据U=Ed可知，正电荷到c点电势降低的多，所以c点的电势比d点的低，所以D正确；故选：ACD点评：本题要掌握电场线的物理意义：电场线的疏密表示场强的大小，顺着电场线电势逐渐降低，知道等量异种电荷连线的垂直平分线是一个等势面．11．（4分）（2015春•辽宁校级期末）如图，电路中定值电阻阻值R大于电源内阻阻值r．将滑动变阻器滑片向下滑动，理想电压表V1、V2、V3示数变化量的绝对值分别为△V1、△V2、△V3，理想电流表A示数变化量的绝对值△I，则（）A．A的示数增大B． V2的示数增大C．△V3与△I的比值大于r D．△V1小于△V2考点：闭合电路的欧姆定律．专题：恒定电流专题．分析：理想电压表内阻无穷大，相当于断路．理想电流表内阻为零，相当短路．分析电路的连接关系，根据欧姆定律进行分析．解答：解：A、理想电压表内阻无穷大，相当于断路．理想电流表内阻为零，相当短路，所以R与变阻器串联，电压表V1、V2、V3分别测量R、路端电压和变阻器两端的电压．当滑动变阻器滑片向下滑动时，接入电路的电阻减小，电路中电流增大，则A的示数增大，故A正确；B、电路中电流增大，电源的内电压增大，则路端电压减小，所以V2的示数减小，故B错误；C、根据闭合电路欧姆定律得：U3=E﹣I（R+r），则得：=R+r＞r，即△V3与△I的比值大于r，故C正确；D、根据闭合电路欧姆定律得：U2=E﹣Ir，则得：=r；=R，据题：R＞r，则得△V1＞△V2．故D错误．故选：AC．点评：本题是电路的动态分析问题，关键要搞清电路的结构，明确电表各测量哪部分电路的电压或电流，根据闭合电路欧姆定律进行分析．12．（4分）（2015春•辽宁校级期末）如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g．则（）A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg考点：功能关系；功的计算．分析：a、b组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，通过b的动能变化，判断轻杆对b 的做功情况．根据系统机械能守恒求出a球运动到最低点时的速度大小．解答：解：A、当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中，先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功．故A错误．B、a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒定律得：m A gh=m A v A2，解得vA=．故B正确．C、b的速度在整个过程中，先增大后减小，所以a对b的作用力先是动力后是阻力，所以b 对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，b对a是向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，故C错误；D、a、b整体的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到a的推力为零，b只受到重力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，故D正确；故选：BD．点评：解决本题的关键知道a、b组成的系统机械能守恒，以及知道当a的机械能最小时，b 的动能最大．二、填空题（共18分，每空2分）13．（6分）（2015春•辽宁校级期末）某实验小组采用如图1所示的装置探究功与速度变化的关系，小车在橡皮筋的作用下弹出后，沿木板滑行．打点计时器的工作频率为50Hz．（1）实验中木板略微倾斜，这样做CD；A．是为了使释放小车后，小车能匀加速下滑B．是为了增大小车下滑的加速度C．可使得橡皮筋做的功等于合力对小车做的功D．可使得橡皮筋松弛后小车做匀速运动（2）实验中先后用同样的橡皮筋1条、2条、3条…合并起来挂在小车的前端进行多次实验，每次都要把小车拉到同一位置再释放．把第1次只挂1条橡皮筋时橡皮筋对小车做的功记为W1，第二次挂2条橡皮筋时橡皮筋对小车做的功为2W1…橡皮筋对小车做功后而使小车获得的速度可由打点计时器打出的纸带测出．根据第四次的纸带（如图2所示）求得小车获得的速度为 2.00m/s．（保留三位有效数字）（3）若根据多次测量数据画出的W﹣v图象如图3所示，根据图线形状，可知对W与v的关系符合实际的是图C．考点：探究功与速度变化的关系．专题：实验题；动能定理的应用专题．分析：（1）小车下滑时受到重力、细线的拉力、支持力和摩擦力，要使拉力等于合力，则应该用重力的下滑分量来平衡摩擦力，使得橡皮筋做的功等于合外力对小车做的功；纸带在橡皮条的作用下做加速运动，橡皮条做功完毕，则速度达到最大，此后做匀速运动．（2）明确实验原理以及实验目的即可知了解具体的实验操作；纸带上点距均匀时，表示小车已经做匀速直线运动，据此可求出小车做匀速运动时的速度大小，即为最终小车获得的速度大小；（3）根据图象特点，利用数学知识可正确得出结论．解答：解：（1）使木板倾斜，小车受到的摩擦力与小车所受重力的分量大小相等，在不施加拉力时，小车在斜面上受到的合力为零，小车可以在斜面上静止或做匀速直线运动；小车与橡皮筋连接后，小车所受到的合力等于橡皮筋的拉力，橡皮筋对小车做的功等于合外力对小车做的功，故AB错误，CD正确；故选：CD．（2）各点之间的距离相等的时候小车做直线运动，由图可知，两个相邻的点之间的距离是4.00cm时做匀速直线运动，，利用公式：可得：（3）由动能定理得：W=mv2，W与v是二次函数关系，由图示图象可知，C正确，故选：C．故答案为：（1）CD；（2）2.00；（3）C点评：本题关键要明确该实验的实验原理、实验目的，即可了解具体操作的含义，以及如何进行数据处理；数据处理时注意数学知识的应用，本题是考查应用数学知识解决物理问题的好题．14．（12分）（2015春•辽宁校级期末）图（a）为某同学改装和校准毫安表的电路图，其中虚线框内是毫安表的改装电路．（1）已知毫安表表头的内阻为100Ω，满偏电流为1mA，R1和R2为阻值固定的电阻．若使用a和b两个接线柱，电表量程为3mA：若使用a和c两个接线拄，电表量程为10mA．由题给条件和数据，可以求出R1=15Ω，R2=35Ω．（2）现用一量程为3mA，内阻为150Ω的标准电流表A对改装电表的3mA挡进行校准，校准时需选取的刻度为0.5.1.0、I.5、2.0.2.5、3.0mA．电池的电动势为1.5V，内阻忽略不计；定值电阻R0有两种规格，阻值分别为300Ω和1000Ω：滑动变阻器R有两种规格，最大阻值分别为750Ω和3000Ω，则R0应选用阻值为300Ω的电阻，R应选用最大阻值为3000Ω的滑动变阻器．（3）若电阻R1和R2中有一个因损坏而阻值变为无穷大，利用图（b）的电路可以判断出损坏的电阻，图（b）中的R′为保护电阻，虚线框内未画出的电路即为图（a）虚线框内的电路．则图中的d点应和接线柱c（填“b”或“c”）相连．判断依据是：闭合开关时，若电表指针偏转，则损坏的电阻是R1，若电表指针不动，则损坏的电阻是R2．考点：把电流表改装成电压表．专题：实验题；恒定电流专题．分析：（1）根据串并联电路特点与欧姆定律可以求出电阻阻值．（2）应用串联电路特点与欧姆定律求出定值电阻与滑动变阻器的阻值，然后作出选择．（3）有电流流过电表时电表指针发生偏转，没有电流流过电表时电表指针不偏转，根据电路图分析答题．解答：解：（1）使用a、b接线柱时，I ab=I g+=0.001A+=0.003A，使用a、c接线柱时，I ac=I g+=0.001A+=0.010A，解得：R1=15Ω，R2=35Ω；（2）改装后电流表内阻：r==≈33Ω，R0作为保护电阻，电流最大时，电路总电阻约为：R=r+R A+R0===500Ω，R0=R﹣r ﹣R A=500Ω﹣33Ω﹣150Ω=317Ω，则应R0选300Ω；电路电流最小时：R滑=﹣R=﹣500Ω=2500Ω＞750Ω，则滑动变阻器应选择3000Ω的．（3）由图示电路图可知，图中的d点与接线柱c相连时，闭合开关时，若电表指针偏转，则损坏的电阻是R1，若电表指针不动，则损坏的电阻是R2；故答案为：（1）15；35；（2）300；3000；（3）c；闭合开关时，若电表指针偏转，则损坏的电阻是R1，若电表指针不动，则损坏的电阻是R2．点评：本题考查了求电阻阻值、实验器材的选择、电路故障分析，知道电流表的改装原理、分析清楚电路结构、应用串并联电路特点与欧姆定律即可正确解题．三、计算题（其中15题12分，16题10分，17题12分）15．（12分）（2015•海南）如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc 组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h=2m，s=m．取重力加速度大小g=10m/s2．（1）一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．考点：向心力．专题：匀速圆周运动专题．分析：（1）当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则在bc上只受重力，做平抛运动，根据平抛运动基本公式求出b点速度，再根据动能定理求解R；（2）下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，b到c的过程中，根据动能定理列式，根据平抛运动基本公式求出c点速度方向与竖直方向的夹角，再结合运动的合成与分解求解．解答：解：（1）当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则在bc上只受重力，做平抛运动，则有：=①则在b点的速度②，从a到b的过程中，根据动能定理得：③解得：R=0.25m，（2）从b点下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，b到c的过程中，根据动能定理得：④因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于（1）问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角相等，设为θ，则根据平抛运动规律可知⑤，根据运动的合成与分解可得⑥由①②③④⑤⑥解得：=m/s答：（1）圆弧轨道的半径为0.25m；（2）环到达c点时速度的水平分量的大小为m/s．点评：本题主要考查了平抛运动基本公式、动能定理以及运动的合成与分解的应用，解题的关键是能正确分析物体的受力情况和运动情况，特别抓住当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力这句话，难度适中．16．（10分）（2006•四川）如图所示的电路中，两平行金属板A、B水平放置，两板间的距离d=40cm．电源电动势E=24V，内电阻r=1Ω，电阻R=15Ω．闭合开关S，待电路稳定后，将一带正电的小球从B板小孔以初速度v0=4m/s竖直向上射入板间．若小球带电量为q=1×10﹣2C，质量为m=2×10﹣2kg，不考虑空气阻力．那么（1）滑动变阻器接入电路的阻值为多大时，小球恰能到达A板？（2）此时，电源的输出功率是多大？（取g=10m/s2）考点：带电粒子在匀强电场中的运动；动能定理的应用；欧姆定律；电功、电功率．专题：压轴题；带电粒子在电场中的运动专题．分析：小球恰好运动到A板，根据动能定理列式求解两板间的电压；然后根据欧姆定律求解滑动变阻器的电阻值；最后根据电功率表达式求解电源的输出功率．解答：解：（1）小球进入板间后，受重力和电场力作用，且到A板时速度为零．设两板间电压为U AB由动能定理得﹣mgd﹣qU AB=0﹣①∴滑动变阻器两端电压U滑=U AB=8 V ②设通过滑动变阻器电流为I，由欧姆定律得I==1A ③滑动变阻器接入电路的电阻R滑==8Ω④即滑动变阻器接入电路的阻值为8Ω时，小球恰能到达A板．（2）电源的输出功率P出=I2（R+R滑）=23 W ⑤故电源的输出功率是23W．点评：本题关键是分析清楚电路结构和运动情况后，根据动能定理、欧姆定律联立列式求解．17．（12分）（2015春•辽宁校级期末）如图1所示，在xoy坐标系中，两平行金属板如图放置，OD与x轴重合，板的左端与原点O重合，板长L=2m，板间距离d=1m，紧靠极板右侧有一荧光屏．两金属板间电压U AO变化规律如图2所示，变化周期为T=2×10﹣3s，U0=103V，t=0时刻一带正电的粒子从左上角A点，以平行于AB边v0=1000m/s的速度射入板间，粒子电量q=1×10﹣5C，质量m=1×10﹣7kg．不计粒子所受重力．求：（1）粒子在板间运动的时间；（2）粒子打到荧光屏上的纵坐标；（3）粒子打到屏上的动能．考点：带电粒子在匀强电场中的运动；动能定理．专题：带电粒子在电场中的运动专题．分析：1、粒子在板间沿x轴匀速运动，运动时间为t，则L=v0t，可计算出时间t．2、根据牛顿第二定律，0时刻射入的粒子在板间偏转量最大为，代入数据计算可得y1，粒子向下偏转，故纵坐标为y=d﹣y1．。
湖南省师大附中高一数学下学期入学试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某师大附中2014-2015学年高一（下）入学数学试卷一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15考点：指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：直接利用指数函数的单调性判断a、b的大小，通过幂函数的单调性判断b、c的大小即可．解答：解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调性．5．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，得到24=×a×3×4，∴a=6，故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为上是减函数，则实数b的取值X围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．上的解析式可以变为f（x）=x2﹣bx，再由二次函数的性质结合函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数即可得到关于参数b的不等式，解不等式得到参数的取值X围即可选出正确选项．解答：解：∵函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数，∴函数f（x）=x2﹣bx在上是减函数，∴，解得b≥4故选D点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，且能根据题设条件及二次函数的性质进行等价转化得到参数所满足的不等式．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）8．函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a= 4 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．解答：解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a所以a=4．故答案为：4点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．9．已知4a=2，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值X围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分45分）12．已知直线l：x﹣y+m=0绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后过点（2，﹣3）（1）求m的值；（2）求经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心在直线l上的圆的方程．考点：圆的标准方程；待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）通过设直线l与x轴交点P（﹣m，0），利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为﹣1可得m=1；（2）通过中点坐标公式可得线段AB的中点C（，﹣），利用斜率乘积为﹣1可得直线AB 的中垂线的斜率为，进而可得直线AB的中垂线的方程为：x﹣3y﹣3=0，利用所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，所求圆的半径为|EB|，计算即得结论．解答：解：（1）∵直线l：x﹣y+m=0，∴k l=1，直线l与x轴交点为P（﹣m，0），又∵直线l旋转后过点Q（2，﹣3），∴k PQ=﹣1，即=﹣1，解得m=1；（2）∵m=1，∴直线l方程为：x﹣y+1=0，∵所求圆经过点A（1，1）、B（2，﹣2）且圆心在直线l上，∴所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，记线段AB的中点为C（x，y），则，∴C点坐标为：C（，﹣），∵k AB==﹣3，∴直线AB的中垂线的斜率为，又直线AB的中垂线过C（，﹣），∴直线AB的中垂线的方程为：y+=（x﹣），整理得：x﹣3y﹣3=0，联立，解得，即圆心为E（﹣3，﹣2），半径为|EB|=2+3=5，∴所求圆的方程为：（x+3）2+（x+2）2=25．点评：本题是一道直线与圆的综合题，涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．13．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C的直二面角，D是AB的中点．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明平面COD中的直线CO⊥平面AOB即可；（2）作出异面直线AO与CD所成的角，利用直角三角形的边角关系即可求出异面直线AO与CD所成角的正切值．解答：解：（1）如图所示，Rt△AOC是通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，∴CO⊥AO，BO⊥AO；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角，即∠BOC=90°，∴CO⊥BO；又AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB；又∵CO⊂面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（2）作DE⊥OB于点E，连接CE，∴DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角；在Rt△COE中，CO=BO=AB=2，OE=BO=1，∴CE==；又DE=AO=，∴tan∠CDE==，即异面直线AO与CD所成角的正切值是．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直角三角形边角关系的应用问题，是综合性题目．14．已知圆心为C的圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0与直线2x+y﹣3=0相交于A、B两点（1）若△ABC为正三角形，求m的值；（2）是否存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）求得圆的圆心和半径，由正三角形的性质，可得C到AB的距离d=r，计算可得m的值；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由直线垂直的条件，由直线的交点可得M的坐标，运用两点的距离公式，解方程可得m，进而判断存在．解答：解：（1）圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0的圆心C（﹣1，2），半径为r=，由△ABC为正三角形，可得C到AB的距离d=r，即为=•，解得m=；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由CM⊥AB，可得CM的方程为y﹣2=（x+1），联立直线2x+y﹣3=0，可得M（，），即有=，解得m=﹣．则存在常数m=﹣，使以AB为直径的圆经过坐标原点．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和正三角形的性质，以及直角三角形的性质，属于中档题．15．已知f（x）=ax2+bx+2，x∈R（1）若b=1，且3∉{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值X围（2）若a=1，且方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，求b的取值X围，并证明2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由3∉{y|y=f（x），x∈R}，讨论a的取值，利用二次函数的最值，求出a的取值X围；（2）把方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解化为函数g（x）=x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上有2个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调函数，求出g（x）在（0，2）上存在两个零点时b的取值X围，得出所求证明．解答：解：（1）∵b=1时，f（x）=ax2+x+2，又3∉{y|y=f（x），x∈R}，∴a＞0时，＞3，解得a＜﹣，不合题意，舍去；a=0时，也不合题意，应舍去；a＜0时，＜3，解得a＜﹣，∴a的取值X围是{a|a＜﹣}；（2）a=1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，即x2+bx+|x2﹣1|=0在（0，2）上有两个解x1，x2；由题意知b≠0，不妨设0＜x1＜x2＜2，令g（x）=x2+bx+|x2﹣1|=；因为g（x）在（0，1]上是单调函数，所以g（x）=0在（0，1]上至多有一个解；若x1，x2∈（1，2），即x1、x2就是2x2+bx﹣1=0的解，则x1x2=﹣，这与题设矛盾；因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2），由g（x1）=0得b=﹣，所以b≤﹣1；由g（x2）=0得b=﹣2x2，所以﹣＜b＜﹣1；故当﹣＜b＜﹣1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解；由b=﹣与b=﹣2x2，消去b，得+=2x2；又x2∈（1，2），得2＜+＜4．点评：本题考查了二次函数的综合应用问题，构造函数，将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键．。
辽宁师大附中14—15学年下学期高一第一次模块考试数学(附答案)
辽师大附中2014-2015学年下学期第一次模块考试高一数学试卷考试时间：90分钟第Ⅰ卷（共 60 分）一.选择题（每小题5分，共60分） 1. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于 ( ) A. 21 B. 21- C. 23 D. 23- 2. 已知扇形AOB 的周长是6cm ，其圆心角是1rad ，则该扇形的面积为（ ）A.2 2cmB.3 2cmC. 292cm D.52cm 3. 如果21)sin(-=+A π,那么)23cos(A -π等于 ( ) A. 21 B. 21- C.23 D.23- 4. 若α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形是 ( ) A.正三角形 B.直角三角形 C. 锐角三角形 D.钝角三角形5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是34， 则①处应填（ ） A ．k<3B ．k<4C ．k>3 ．D ．k>46. 函数 1sin 22-=x y 的值域是 （ ） A.),2[]32,(+∞--∞ B.]2,32[- C.]2,0()0,32[ - D.),0()0,(+∞-∞ 7．执行如图所示的算法框图，输出的k 值是( )A ． 4 B. 5 C ． 6 D ．78.已知51cos sin =-x x )0(π<<x , 则tanx 的值等于 ( ) A.43 B. 34 C. 43 或 34 D.43- 或34- 9.在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与812cm 之间的概率（） A ．56 B ．12 C ．13 D ．1610. 若απcos 21)21lg(sin ,0-+-=<<x y x 则函数的定义域是 （ ） A [ππ32,3) B )65,6(ππ C )65,3[ππ D ),65(ππ 11.如果sin m θ=，1m <，180270θ︒<<︒，那么tan θ的值为 （ ）A.B.C.D. m - 12. 若关于x 的方程04sin co s 42=-++m x x 恒有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A. ]8,0[B. ]8,1[-C. ]5,0[D. ),1[+∞-第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 14.已知53)6sin(-=+x π，则)65sin()3(sin 2x x ---ππ的值 15. 在区间[]1,1- 内随机取一个数k ，则直线)2(+=x k y 与圆122=+y x 有公共点的概率为16.若以连续掷两枚骰子，分别得到的点数,m n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=外的概率是____________三、解答题（共4道小题，共40分）17. (本小题满分10分)对某个品牌的U 盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示.（1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个U 盘，寿命为1030万次之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”的概率.(第17题图)频率/40 10 20 30 50 60 y 万次18．(10分)某外语学校英语班有A 1、A 2两位同学，日语班有B 1、B 2、B 3、B 4四位同学，俄语班有C 1、C 2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．(1)写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B 4被选中的概率；(2)求A 1和C 1不全被选中的概率．19．（10分) 已知关于x 的方程20)13(2=++-m x x 的两个根分别为)2,0(,cos sin πθθθ∈和.求：（1）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-的值； （2）m 的值；（3）方程的两个根及此时θ的值。
2014--2015学年高一数学必修4期末测试卷
高一上学期数学期末考试《必修4》试题姓名： 分数：一、选择题（每小题4分,共40分）1、与463-︒终边相同的角可以表示为(k Z)∈ （ ）A 、k 360463⋅︒+︒B 、k 360103⋅︒+︒C 、k 360257⋅︒+︒D 、k 360257⋅︒-︒2、如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）A 、AB OC = B 、AB ∥DE C 、AD BE = D 、AD FC =3、α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ）A 、513B 、513-C 、512D 、512-4、2255log sin log cos 1212π+π的值是（ ） A 、4 B 、1 C 、4- D 、1-5、设()sin()cos()f x a x b x =π+α+π+β+4，其中a b 、、、αβ均为非零的常数，若(1988)3f =， 则(2008)f 的值为（ ）A 、1B 、3C 、5D 、不确定6、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A 、1B 2C 3D 、27、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A 、向左平移5π12个长度单位 B 、向右平移5π12个长度单位 C 、向左平移5π6个长度单位 D 、向右平移5π6个长度单位8、函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） A 、)48sin(4π-π-=x y B 、)48sin(4π-π=x yC 、)48sin(4π+π=x yD 、)48sin(4π+π-=x yE DBAO9、设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x =（ ）A 、在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B 、在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C 、在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数 D 、在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数10、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( )A 、互相垂直B 、同向平行C 、反向平行D ．既不平行也不垂直二、填空题（每小题4分，共16分）11、23sin 702cos 10-=-12、已知函数()2sin 5f x x π⎛⎫=ω- ⎪⎝⎭的图象与直线1y =-的交点中最近的两个交点的距离为3π，则函数()f x 的最小正周期为 。
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2014-2015学年辽宁师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．某扇形的半径为1cm，它的周长为4cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2°B．4 C．4°D．22．若向量=（1，1），=（﹣1，1），=（4，2），则=（）A．3+B．3﹣C．﹣+3D．+33．若等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r，则r=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣14．如图，正六边形ABCDEF中，++=（）A．B．C．D．5．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项6．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（）A．无解B．只有一解C．有两解D．不能确定7．tan70°+tan50°﹣的值等于（）A．B．C．D．8．等比数列{a n}中，S10=10，S20=40，则S30=（）A．70 B．90 C．130 D．1609．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．10．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时11．有四种变换：①向左平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的②向右平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的③各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度④各点横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度其中能使y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④12．在△ABC中，若对任意的m∈R，|﹣m|≥||恒成立，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．向量||=5，||=3，＜，＞=120°，则在上的正射影的数量为．14．等差数列{a b}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．15．化简等于．16．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．18．函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．（1）求ω；（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求函数y=g （x）的单调增区间．19．已和AD是△ABC的角平分线，且AC=2，AB=3，A=60°，（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．20．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{}的前n项和为S n，求证：S n ＜．21．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．22．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=，试判断并说明数列{c n}的单调性；（3）求数列{c n}的前n项和S n．2014-2015学年辽宁师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．某扇形的半径为1cm，它的周长为4cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2°B．4 C．4°D．2考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由已知得到l=2，r=1代入扇形的弧长公式：l=r|α|，得到答案．解答：解：∵扇形的半径为1cm，它的周长为4cm，∴扇形的弧长为4﹣1×2=2cm，∵扇形的弧长公式为l=r|α|，l=2，r=1，∴α==2弧度故选：D．点评：本题考查扇形的弧长公式：l=r|α|，但注意弧长公式中角的单位是弧度，属于基础题．2．若向量=（1，1），=（﹣1，1），=（4，2），则=（）A．3+B．3﹣C．﹣+3D．+3考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．专题：计算题；待定系数法．分析：设=λ+μ，由=（4，2），用待定系数法求出λ和μ，可得结果．解答：解：设=λ+μ=（λ，λ）+（﹣μ，μ）=（λ﹣μ，λ+μ）=（4，2），∴λ﹣μ=4，λ+μ=2，∴λ=3，μ=﹣1，可得，故选B．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算．3．若等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r，则r=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据a n=S n﹣S n﹣1求得数列的通项公式，进而求得a1，根据a1=S1求得r．解答：解：∵S n=2n+r，S n﹣1=2n﹣1+r，（n≥2，n∈N+），∴a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，又a1=S1=2+r，由通项得：a2=2，公比为2，∴a1=1，∴r=﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式．解题的关键是求出数列的通项公式．4．如图，正六边形ABCDEF中，++=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意，结合正六边形的性质和向量的加法运算法则，进行计算即可．解答：解：正六边形ABCDEF中，∵=，=；∴++=++=++=．故选：D．点评：本题考查了平面向量的运算问题，解题时应根据平面向量的加法法则，直接计算即可，是基础题．5．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意求出a1+a n的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．解答：解：依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2∴a1+a n==60∴S n===390∴n=13故选A点评：本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a1•n+这两个公式的灵活运用．6．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（）A．无解B．只有一解C．有两解D．不能确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理结合三角形有解的条件进行判断即可．解答：解：C到AB边的高h=bsinA=4×sin60°=4×=，∵＜＜4，∴h＜a＜b，∴对应的三角形有两个，法2：由正弦定理得，则sinB===，∵b＞a，∴B＞60°，故B有一个为锐角，一个为钝角，故选：C点评：本题主要考查三角形个数的判断，根据a与h=bsinA的关系是解决本题的关键．7．tan70°+tan50°﹣的值等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：由50°+70°=120°，利用两角和的正切函数公式表示出tan（70°+50°），且其值等于tan120°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得到tan120°的值，化简后即可得到所求式子的值．解答：解：由tan120°=tan（70°+50°）==﹣tan60°=﹣，得到tan70°+tan50°=﹣+tan70°tan50°，则tan70°+tan50°﹣tan70°tan50°=﹣．故选D点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及诱导公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的变换．8．等比数列{a n}中，S10=10，S20=40，则S30=（）A．70 B．90 C．130 D．160考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的前n项和的性质进行求解．解答：解：∵S10=10≠0，S20=40≠0，∴由等比数列的性质可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍成等比数列，即10，30，S30﹣40成等比数列，∴302=10（S30﹣40），解得S30=130，故选：C点评：本题考查等比数列的性质，利用S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列是解决问题的关键，属中档题．9．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．解答：解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．故选A．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．10．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案．解答：解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x≥0），而点B到射线y=x的距离d==20＜30，故l=2=20，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决．11．有四种变换：①向左平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的②向右平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的③各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度④各点横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度其中能使y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：把y=sinx的图象上向左平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的，可得函数y=sin（2x+）的图象，故①满足条件．把y=sinx的图象向左平移个单位长度，再各点的横坐标缩短为原来的，可得函数y=sin （2x+）的图象，故②不满足条件．把y=sinx的图象上各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，可得函数y=sin （2x+）的图象，故③满足条件．把y=sinx的图象上各点横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度，可得函数y=sin （2x﹣）的图象，故④不满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．在△ABC中，若对任意的m∈R，|﹣m|≥||恒成立，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：能够分析出表示直线BC上的点到点A的最短距离为向量的长度，从而得到AB应与BC垂直，从而便得出了△ABC的形状．解答：解：向量m的终点在直线BC上，如图，表示起点是直线BC上一点，而指向A点的向量，∴表示直线BC上的一点到点A的距离，该距离最小值为；∴AB⊥BC；∴△ABC为直角三角形．故选A．点评：考查向量数乘、减法的几何意义，向量长度的概念，清楚直线外一点到直线上哪点的距离最短．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．向量||=5，||=3，＜，＞=120°，则在上的正射影的数量为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据射影的定义，便有在方向上的射影为||cos120°．解答：解：=；∴在上的正射影的数量为．故答案为：．点评：考查射影的定义，以及计算射影的公式，在方向上的射影为：．14．等差数列{a b}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和性质可得=，代值计算可得．解答：解：由等差数列的求和公式和性质可得：======故答案为：点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．15．化简等于1．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：综合题．分析：利用二倍角公式将将三角函数化简，即可得到结论．解答：解：====1故答案为：1点评：本题考查三角函数的化简，解题的关键是正确利用二倍角公式，属于中档题．16．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．考点：数列递推式．专题：创新题型；等差数列与等比数列．分析：通过a n+1=S n+1﹣S n=S n S n+1，并变形可得数列{}是以首项和公差均为﹣1的等差数列，进而可得结论．解答：解：∵a n+1=S n S n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=S n S n+1，∴=﹣=1，即﹣=﹣1，又a1=﹣1，即==﹣1，∴数列{}是以首项和公差均为﹣1的等差数列，∴=﹣1﹣1（n﹣1）=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…），设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．点评：本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．18．函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．（1）求ω；（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求函数y=g （x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2ωx+）+1，（1）由题意和周期公式可得=，解方程可得；（2）由图象变换可得y=g（x）=2sin（3x﹣）+1，解不等式2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+可得函数的单调递增区间．解答：解：由三角函数公式化简可得f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2cos2ωx=1+2sinωxcosωx+2cos2ωx=1+sin2ωx+2•=sin2ωx+cos2ωx+1=2（sin2ωx+cos2ωx）+1=2sin（2ωx+）+1；（1）由题意和周期公式可得=，解得ω=；（2）由（1）可知f（x）=2sin（3x+）+1，由图象变换可得y=g（x）=2sin[3（x﹣）+]+1=2sin（3x﹣）+1，由2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数g（x）的单调递增区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）．点评：本题考查三角恒等变换，涉及函数的周期性和单调性，化解析式为最简是解决问题的关键，属基础题．19．已和AD是△ABC的角平分线，且AC=2，AB=3，A=60°，（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用三角形面积公式即可得解．（2）由余弦定理可得BC的值，在△ABC中用正弦定理计算可得sinB，用角平分线定理可得BD，在△ABD中用正弦定理即可得AD的值．解答：解：（1）∵AC=2，AB=3，A=60°，∴S===．…（4分）（2）由余弦定理可得：BC===．…（6分）在△ABC中用正弦定理计算sinB===，…（8分）用角平分线定理可得：BD=BC=，…（10分）在△ABD中用正弦定理得AD===，…（12分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，角平分线定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{}的前n项和为S n，求证：S n ＜．考点：数列的求和；余弦定理．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；解三角形．分析：（1）过点C作AB边上的高交AB与D，通过acosB+b=c，可知∠A=60°；（2）通过（1）及a1=2cosA、a5=9可知公差d=2，进而可得通项a n=2n﹣1，分离分母得=（﹣），并项相加即可．解答：（1）解：过点C作AB边上的高交AB与D，则△ACD、△BCD均为直角三角形，∵acosB+b=c．∴AD=AB﹣BD=c﹣acosB=b，∴∠A=60°；（2）证明：由（1）知a1=2cosA=2cos60°=1，设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=a1+（5﹣1）d=9，∴d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==（﹣），∴S n=（++…+﹣）=（1﹣）＜．点评：本题考查等差数列的性质，考查三角形的角的大小，利用并项法是解决本题的关键，属于中档题．21．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．考点：解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）由可得，从而可求tanx，而（2）由正弦定理得，可求A=代入可得，结合已知x可求函数的值域解答：解：（1）∵∴∴（2分）（6分）（2）由正弦定理得，所以A=（9分）∵∴所以（12分）点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，利用1=sin2x+cos2x的代换，求解含有sinx，cosx的齐次式，向量的数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的值域的求解．22．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=，试判断并说明数列{c n}的单调性；（3）求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）易知数列{a n}的前n项S n=n2+2n，利用S n﹣S n﹣1可知当n≥2时的通项公式，进而可得结论；（2）通过a n=2n+1可知c n=，利用作差法计算即得结论；（3）通过c n=，写出S n、3S n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．解答：解：（1）设数列{a n}的前n项为S n，依题意有S n=n2+2n，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1；综上，a n=2n+1；（2）∵a n=2n+1，∴c n==，c n+1=，∵c n+1﹣c n=﹣=﹣＜0，∴数列{c n}是递减数列；（3）∵c n=，∴S n=3•+5•+7•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，3S n=3•+5•+7•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：2S n=3+2（++…++）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=4﹣，∴S n=2﹣．点评：本题考查数列的通项及前n项和、数列的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。