动量方程公式
流体力学第三章(7)动量方程及其应用及动量矩方程
对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。
2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密度为
V
vdV
A
v(v
dA)
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。
动量方程式中，需注意
1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外
部流体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
制体的总动量。
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量
F
d( mv)
dt
lim
t 0
1 t
{[
V
v dV ]t t
t A
v(v dA)
[
V
v dV ]t }
t
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F
d ( mv)
dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。
动量和动量定理
【答案】 AC 【解析】 在直线运动中，物体速度增大，速度变化方向 与运动方向相同，动量的变化量的方向与运动方向相同，A项正 确．质点的速度大小不变时，若方向变化，则动量的变化不为 零，B项错误．质点做曲线运动时，速度方向一定变化，速度变 化，则动量的变化一定不为零，C项正确．小球做平抛运动，加 速度相同，所受合外力为重力，由mg＝Δ（Δmtv），可知相同时 间内，动量的变化一定相同，D项错误．
考点四 动量定理对多过程的应用
1．对多过程问题，动能定理可以对分过程应用，也可以对 全过程应用．
2．求多过程的合冲量时，要注意每个力对应的作用时间)一质量为 2 kg 的物块在合 外力 F 的作用下从静止开始沿直线运动．F 随时间变化的图线如图所示，则( )
考点二 冲量理解与计算
1．冲量与功比较
冲量
功
定义式
I＝Ft
W＝FLcosθ
标矢性 物理意义
矢量(与力的方向相同) 力在时间上的累积效果
标量(正负不表示方向) 力在空间上的累积效果
作用效果 合力的冲量等于动量变化 合力的功等于动能变化
2.冲量的计算方法 (1)公式法：I＝Ft 适用于求恒力的冲量． (2)动量定理法：适用于求变力的冲量或 F、t 未知的情况． (3)图像法：用 F-t 图线与时间轴围成的面积求变力的冲量．若 F-t 成线性关系，可直接用平均力求变力的冲量． (4)求合力的冲量方法：合力的冲量等于各个力冲量的矢量 和．也等于合力与作用时间的乘积．
如图所示，质量为 m 的物体放在水平地面上，在与水 平面成 θ 角的拉力 F 作用下由静止开始运动，经时间 t 速度达到 v，在这段时间内拉力 F 和重力 mg 和合外力的冲量分别是( )
A．Ftcosθ，0，mv C．Ft，0，mv
动量守恒与动量定理
例、质量为5kg的小球，从距地面高为20m处水平抛出，初速 度为10m／s，不计空气阻力，g=10m/s2，从抛出到落地过程 中，重力的冲量是（ C ） A、60N· s B、80N· s C、100N· s D、120N· s
牛顿第二定律推导动量的变化
设置物理情景：质量为m的物体，在合力F的 作用下，经过一段时间t，速度由v 变为v’，如 是图所示：
7.用20m/s的初速度将质量为1kg的物体竖直向上 抛出，不计空气阻力，取g=10m/s2,求： （1）抛出后3s末，物体动量多大？
（2）抛出后3s内，物体动量的变化大小、方向 如何？
8. 一个质量为2kg的小球，在离地面80m高处以 20m/s水平抛出，则抛出后3s的时间内小球动量 的变化大小、方向如何？ (取g=10m/s2 )
例、质量为2Kg的物体A，放在光滑的水平面上 ，受如图 F=10N 的力作用了 10 秒，则在此过 100N· s ，重力的冲量 程中 F 的冲量大小是 ________ 200 50 3N·s 200N· s，支持力的冲量是__________ 大小是______ 50N· s ，合力的冲量与各分 ，合力的冲量是______ 矢量和 。（g=10m/s2） 量的关系是 ___
物体B的大
A B O
t
3、甲、乙两个质量相同的物体，以相同的初速度分别在 粗糙程度不同的水平面上运动，乙物体先停下来，甲物体 又经较长时间停下来，下面叙述中正确的是（ C ） A、甲物体受到的冲量大 B、乙物体受到的冲量大 C、两个物体受到的冲量大小相等 D、无法判断 4、玻璃杯从同一高度落下，掉在水泥地上比掉在草地上 容易碎，这是由于在玻璃杯与水泥地撞击过程中（ D ） A、玻璃杯的动量较大 B、玻璃杯受到的冲量较大 C、玻璃杯的动量变化较大 D、玻璃杯的动量变化较快
动量定理
动量定理动量定理是力对时间的积累效应，使物体的动量发生改变，是高中物理学科学习的重点。
下面就为大家介绍动量定理，希望对大家有所帮助。
【动量定理知识点】1、动量定理:物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化.Ft=mv/一mv或Ft=p/-p;该定理由牛顿第二定律推导出来:(质点m在短时间Δt内受合力为F合，合力的冲量是F合Δt;质点的初、未动量是mv0、mvt，动量的变化量是ΔP=Δ(mv)=mvt-mv0.根据动量定理得:F合=Δ(mv)/Δt)2.单位:牛·秒与千克米/秒统一:l千克米/秒=1千克米/秒2·秒=牛·秒;3.理解:(1)上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。
(2)动量定理中的冲量和动量都是矢量。
定理的表达式为一矢量式，等号的两边不但大小相同，而且方向相同，在高中阶段，动量定理的应用只限于一维的情况。
这时可规定一个正方向，注意力和速度的正负，这样就把大量运算转化为代数运算。
(3)动量定理的研究对象一般是单个质点。
求变力的冲量时，可借助动量定理求，不可直接用冲量定义式。
4.应用动量定理的思路:(1)明确研究对象和受力的时间(明确质量m和时间t);(2)分析对象受力和对象初、末速度(明确冲量I合，和初、未动量P0，Pt);(3)规定正方向，目的是将矢量运算转化为代数运算;(4)根据动量定理列方程(5)解方程。
【动量定理的内容】动量定理反应的是力在时间维度上的积累效果。
(1)基本概念描述:物体所受合外力的冲量，等于物体的动量变化量。
即F合t=I=Δp;(2)我们还可以这样来表述:对作用在物体上的各个力的冲量的代数和，等于动量的改变量。
在外力不恒定，或者各个力作用时间不同时，优先选择后者。
提醒:动量与冲量都是矢量，是有方向的，因此在解题时首先要规定好正方向。
【动量定理的表达式】基本表达式:F合t=I=Δp;当存在多个力做冲量时，还可以写成分力冲量代数和的形式: F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp【动量定理的表达式推广】当存在多个力做冲量时，动量定理的表达式还可以写成分力冲量代数和的形式:F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp这与动能定理的非常类似的。
ft=mv动量方程
ft=mv动量方程
ft=mv是动量定理的公式。
如以m表示物体的质量，v1、v2表示物体的初速度、末速度，L表示物体所受的冲量，则得mv2-mv1=L。
式中速度和冲量为矢量，应按矢量运算；只在三量同向或反向时，可按代数量运算，同向为正，反向为负，动量定理可由牛顿第二定律推出。
动量定理
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I 表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为FΔt=mΔv。
公式中的冲量为所有外力的冲量的矢量和。
动量定理是一个由实验观测总结的规律，也可由牛顿第二定律和运动学公式推导出来。
其物理实质也与牛顿第二定律相同，这也意味着它仅能在经典力学范围内适用。
而与动量定理相关的定律——动量守恒定律，大到接近光速的高速，小到分子原子的尺度，它依然成立。
动量守恒定律的定义为：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
工程流体力学公式
工程流体力学公式1.流体静力学公式：(1) 压强公式：P = ρgh，其中P为压强，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为液面高度。
(2)压力公式：P=F/A，其中P为压力，F为作用力，A为受力面积。
2.流体力学基本方程：(1)质量守恒方程：∂(ρ)/∂t+∇·(ρv)=0，其中ρ为密度，t为时间，v为速度矢量。
(2) 动量守恒方程：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇P + ∇·τ +ρg，其中P为压力，τ为应力张量，g为重力加速度。
(3) 能量守恒方程：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -P∇·v +∇·(k∇T) + ρg·v，其中e为单位质量的总能量，T为温度，k为热传导系数。
3.流体动力学方程：(1)欧拉方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g，其中v为速度矢量，P为压力，ρ为密度，g为重力加速度。
(2)再循环方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g+F/M，其中F为体积力，M为质量。
4.流体阻力公式：(1) 粘性流体的阻力公式：F = 6πμrv，其中F为阻力，μ为粘度，r为流体直径，v为速度。
(2)粘性流体在管道中的流量公式：Q=(π/8)ΔP(R^4)/(Lμ)，其中Q为流量，ΔP为压差，R为半径，L为管道长度，μ为粘度。
5.流体力学定律：(1) Pascal定律：在封闭的液体容器中，施加在液体上的外力将均匀传递到液体的每一个点。
(2) Bernoulli定律：沿着流体流动方向，速度增大则压力减小，速度减小则压力增大。
除了上述公式之外，还有许多与特定问题相关的公式，如雷诺数、流体阻力系数、泵和液力传动公式等。
这些公式是工程流体力学研究和设计的基础，可以帮助工程师分析和解决与流体运动和相互作用有关的问题。
流体力学基本方程
流体的本构关系
流体均匀各向同性 流体可承受正应力 静止流体不能承受剪切 运动流体不同速度层之间存在剪切力（粘性） 静止流体表面应力为
p ij
ij p ij dij
流体的本构关系
Resistentian, quae oritur ex defectu lubricitatis partuim fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fluidi separantur ab invicem. Isaac Newton, 1687, From Section IX of Book II of his Principia
流体的输运系数
粘性系数（动量输运）： 热传导率（能量输运）： k
( p, T ) k ( p, T )
n
幂函数公式：
T 0 T0
k T k0 T0
1.5
n
Sutherland公式：
T T0 Ts 0 T0 T T
0
Du p f Dt
Euler Equation
1 p U 2 C 2
Bernoulli’s Equation
涡量方程
u 0 : Du 2 p f u Dt
0:
Du p f Dt
Skk u
1 v u ( ) 2 x y v y 1 w v ( ) 2 y z
1 w u ( ) 2 x z 1 w v ( ) 2 y z w z
单位体积变化率（描述流体均匀膨胀，压缩）
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
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动量方程公式
一、概述
动量方程是物理学中的一个基本公式，它描述了物体的动量和力的关系。
在经典力学中，动量方程是一个基本的守恒定律，它表明一个孤立系统的总动量不会随着时间的推移而改变。
动量方程的公式是：P = mv，其中P是动量，m 是质量，v是速度。
这个公式表示物体的动量与其质量和速度成正比。
二、动量方程的应用
动量方程在物理学中有广泛的应用。
它可以用于分析物体的运动规律，解决各种动力学问题。
例如，在碰撞过程中，动量方程可以用于计算碰撞后的速度和方向。
此外，动量方程也可以用于分析力学系统的平衡状态和稳定性。
三、动量方程的发展历程
动量方程的公式是牛顿第二定律的特例。
牛顿第二定律指出，力等于质量乘以加速度，即F = ma。
当物体保持匀速直线运动时，加速度为零，因此力F 也为零，此时动量方程可以简化为P = mv。
动量方程的发展历程可以追溯到17世纪，当时科学家们开始使用数学模型描述自然现象。
牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》中提出了三个基本的运动定律，其中第三个定律就是动量守恒定律的表述。
自那时以来，动量方程一直是物理学中的基本公式之一，广泛应用于各个领域。
四、动量方程的扩展形式
除了基本的动量方程公式P = mv之外，还有许多扩展形式。
例如，角动量方程描述了物体绕固定点旋转时的动量和力的关系，形式为L = mvr。
此外，在相对论中，动量方程的形式也会发生变化。
在相对论中，物体的质量不再是常
数，而是与速度有关，因此动量方程也需要考虑物体的质量和速度的相对论效应。
五、总结
动量方程公式是物理学中的基本公式之一，它描述了物体的动量和力的关系。
这个公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律和解决各种动力学问题。
尽管现代物理学的发展已经超出了经典力学的范畴，但动量方程作为经典力学的基本原理之一，仍然具有重要意义和应用价值。
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六、动量方程在各领域的应用
1.航空航天：在航空航天领域中，飞行器的设计和操作都需要考虑到动量方程的影响。
例如，在火箭发射过程中，燃烧的推进剂会产生向后的力，使火箭获得向前的速度。
通过动量方程的计算和分析，可以确定所需的推进剂量和发射角度，实现有效和安全的发射。
2.体育运动：动量方程在许多体育运动中也有应用。
例如，在棒球比赛中，击球手通过挥棒将球击出，其速度和方向的变化可以通过动量方程进行解释和分析。
同样地，在滑冰比赛中，运动员通过改变速度和方向来展示技巧和表现力，这些动作的力学原理也可以用动量方程来描述。
3.交通工程：在交通工程领域中，车辆的运动和动力学特性涉及到动量方程的应用。
例如，车辆的制动和加速过程中需要考虑动量的变化和力的作用。
通过理解和利用动量方程，工程师可以设计和改进车辆的性能和安全性。
4.生物医学：在生物医学领域中，动量方程也可以发挥重要作用。
例如，在医学成像技术中，运动物体的图像可以通过利用动量方程进行校正和优化。
此外，在研究生物体的运动和动力学特性时，也可以使用动量方程进行分析和建模。
5.机器人技术：在机器人技术领域中，机器人的移动和操作需要考虑到动量的影响。
通过使用动量方程进行计算和控制，可以使机器人实现更加灵活和自主的运动表现。
例如，在无人驾驶汽车中，利用动量方程可以优化车辆的轨迹规划和控制算法。
6.军事应用：在军事领域中，武器系统和战斗行动需要考虑动量的影响。
例如，炮弹的射程和精度可以通过使用动量方程进行计算和分析。
此外，战斗机的机动性能也可以通过利用动量方程进行评估和优化。
通过深入理解和应用动量方程，军事科技人员可以设计和改进武器系统和战斗行动的效能和优势。
7.环保与节能：在环保与节能领域中，利用动量方程可以帮助我们更好地理解和优化能源的使用和排放。
例如，在风能发电中，风力发电机叶片的设计和使用可以通过利用动量方程进行优化和改进；在水能发电中大坝和水轮机的设计和使用也可以通过利用动量方程进行优化和改进；此外在节能减排方面通过利用回收能量等方式实现节能减排的目标也需要应用到动量方程的相关七、动量方程的未来发展
随着科学技术的发展，动量方程的应用范围将不断扩大。
未来，动量方程将与新的科技领域相结合，产生更多的应用和创新。
例如，在人工智能领域，利用动量方程可以帮助机器更好地学习和模拟自然界的运动规律；在量子力学
领域，动量方程也将发挥重要作用，帮助我们更好地理解微观粒子的运动和相互作用。
此外，随着数值计算技术的发展，动量方程的应用也将更加精确和高效。
通过数值模拟和计算，我们可以更加准确地预测和分析各种复杂系统的运动规律和动力学行为。
这将为工程设计、科学研究、经济预测等领域提供更加可靠和精确的工具和方法。
总之，动量方程作为物理学中的基本公式之一，将继续在各个领域发挥重要作用。
未来，随着科学技术的发展和进步，动量方程的应用范围将不断扩大和创新，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。