人教版初中数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (19)(含答案解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (19)一、单选题1．由世界知名建筑大师摩西·萨夫迪设计的重庆新地标“来福士广场”，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑—“朝天扬帆”．来福士广场T3N 塔楼核芯简于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线．小李为了测量T3N 塔楼的高度，他从塔楼底部B 出发，沿广场前进185米至点C ．继而沿坡度为1:2.4i =的斜坡向下走65米到达码头D ，然后在浮桥上继续前行110米至趸船E ，在E 处小李操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E 的正上方点F 时，测得码头D 的俯角为58°，楼项A 的仰角为30°，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 在同一平面内．则T3N 塔楼AB 的高度约为（ ）（结果精确到1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈ 1.73≈）A ．319米B ．335米C ．342米D ．356米2．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在AB 边上的点G ，点C 的对应点为点H ，连接BH 、DG 、GH 与BC 交于点M ，DG 与EF 交于点N ，若点G 为AB 中点，3sin 5AEG ∠=，EF =，则BH 的长为（ ）A B C D二、解答题3．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ，连接OF 交AD 于点G ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）设AB ＝a ，AF ＝b ，试用含a ，b 的代数式表示线段AD 的长；（3）若BE ＝5，sinB ＝38，求DG 的长．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象与反比例函数m y x=（m≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n)．线段OA ＝5，E 为x 轴上一点，且cos ∠AOE ＝35． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOC △的面积．（3）结合图象直接写出：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围．5．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D ，E ，分别在CA ，BC 的延长线上，且AD CE =．过点C 作CF DE ⊥，垂足为F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G ．（1）求证：BCG CDE ∠=∠；（2）①在图中找出与CG 相等的线段，并证明；②探究线段AG 、BG 、DE 之间的数量关系（直接写出）；（3）若AG kBG =．求DF EF的值（用含k 的代数式表示）． 6．问题探究：（1）如图（1），已知等边ABC ，边长为4，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使得点C 落在点D 处，AB 与AC 重合，连接BD ，则BD 的长为______．（2）如图（2），已知四边形ABCD ，AB BC =，60ABC ∠=︒，30ADC ∠=︒，CD =2AD =，则以对角线BD 为边长的等边三角形面积是多少？（3）如图（3），已知等边ABC 外存在一点M ，AM =2CM =，连接BM ，是否存在以BM 为边的等边三角形其面积有最大值？若存在，求其面积最大值；若不存在请说明理由．7．如图，已知锐角三角形ABC 内接于O ，⊥OD AB 于点D ，连接OC ．（1）若60ACB ∠=︒，求证：12OD OC =．（2）过点C 做O 的切线交AB 的延长线于点E ，若2sin 3E =，CE =OD =，求OC 的长．8．问题提出： 平面内有两点P 、Q ，以点P 或点Q 为圆心，PQ 长为半径的圆称为点P 、Q 的伴随圆，如图①②所示，P 、Q 均为点P 、Q 的伴随圆．初步思考：（1）若点P 的坐标是（1，4），点Q 的坐标是（-4，3），则点P 、Q 的伴随圆的面积是________．（2）点O 是坐标原点，若函数12y x b =-+的图象上有且只有一个点A ，使得O 、A 的伴随圆的面积为16π，求b 的值及点A 的坐标．推广运用：（3）点A 在以P （m ，0）为圆心，半径为1的圆上，点B 在函数334y x =+的图象上，若对于任意点A 、B ，均满足A 、B 的伴随圆的面积都不小于16π，则m 的取值范围是________． 9．请解答下列各题：（1245cos30tan 60sin 60+⋅-︒︒︒︒．（2）解直角三角形：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6a =，b =10．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，∠A ＝30°，O 为线段AC 上一点，以O 为圆心，线段OC 的长为半径画圆恰好经过点B ，与AC 的另一个交点为D ．（1）求证：AB 是圆O 的切线；（2）若⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．11．如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边延长线上的任一点，AE 交CD 于点G ，AEB ∠绕点E 逆时针旋转后点B 的对应点B ′落在AE 上，另一边EA '交CD 的延长线于点F ．（1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，30AEB ∠=︒，求线段DF 的长；（2）如图2，若点G 是CD 的中点时，过点G 作GH AF ⊥于点H ．求证：BC =． 12．中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米，某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C 的俯角为45，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B 点，此时测得海底沉船C 的俯角为60．沉船C 是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由 )1.414 1.732≈≈13．如图，海上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向，一艘船从A 岛出发，以20海里/时的速度向正北方向航行3小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°，求A ，B 两岛之间的距离，（结果精确到个位）（参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93︒=）14．如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一平面内，它们的海拔高度AA′、BB′、CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度11:2i=，钢缆BC的坡度21:1i=，景区因为改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？15．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，OE⊥AC于点E，ED//AB交BC于点F，且∠ECD＝∠CFD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CD2＝FD•ED；（3）若sinA＝35，BC＝6，求CD的长．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），OA＝OC，∠AOC＝60°，且//CB OA，OB平分∠AOC，点P是四边形OABC的内部一点，且点P到四边形OABC四条边的距离相等．（1）直接写出点P的坐标是_______________；（2）若一次函数y＝x+b的图象经过点P，求b的值；（3）若一次函数y＝x+m的图象与四边形OABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围．18．如图，点E在以AB为直径的O上，点C是BE的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE 的延长线于点D，连接BE交AC于点F．（1）求证：CD是O的切线；（2）若4cos,155CAD BF∠==，求AC的长．19．已知ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC上的动点（不与点B、C重合），将AD绕点A逆时针方向旋转60︒得到AE，连接DE，CE．（1）求证：ABD ACE ≅（2）当点D 运动到什么位置时DCE 的面积最大？请求出这个最大值．20．如图，线段AB 表示信号塔，DE 表示一斜坡，DC CE ⊥．且点,,B C E 三点在同一水平线上，点,,,,A B C D E 在同一平面内，斜坡DE 的坡比为42DE =米．某人站在坡顶D 处测得塔顶A 点的仰角为37°，站在坡底C 处测得塔顶A 点的仰角为48°（人的身高忽略不计），求信号塔的高度AB （结果精确到1米）．（参考数据：33sin 37,tan 3754︒≈︒≈，711sin 48,tan 481010︒≈︒≈）．21．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为O 上任意一点，如果,P Q 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“圆距”，记作()d M ．如图，已知点()2,0A ．（1）直接写出d （点A ）的值；（2）设T 是直线24y x =-+上一点，以为T 圆心，1长为半径作T ．若()d T 满足()612d O ≤≤，求圆心T 的横坐标x 的取值范围；（3）过点A 画直线2y kx k =-与y 轴交于点B ，当d (线段AB ）取最小值时，直接写出k 的取值范围．22．如图，某测量船位于海岛P 的北偏西60°方向，距离海岛60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P 的西南方向上的B 处．求测量船从A 处航行到B 处的路程（结果保留根号）．23．如图：以ABC 的边AB 为直径作⊙O ，点C 在OO 上，BD 是⊙O 的弦，∠A=∠CBD ，过点C 作CF ⊥AB 于点交于点G 过作C ∥BD 交AB 的延长线于点E（1）求证：CG=BG（2）∠BAD=30°，CG=4，求BE 的长24．如图，点F 在平行四边形ABCD 的对角线AC 上，过点F 、B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，已知ABF FBC DAC ∠=∠+∠．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若6BE =，10AD =，1tan 2CBE ∠=，求AC 的长．25．如图，海中有两个岛C 、D ，某渔船在海中的A 处测得小岛D 位于东北方向上，且相距海里，该渔船自西向东航行一段时间到达B 处，此时测得小岛C 恰好在点B 的正北方向上，且相距75海里，又测得点B 与小岛D 相距（1）求sin ∠ABD 的值；（2）求小岛C 、D 之间的距离．三、填空题26．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2BC =，将Rt ABC △绕点C 顺时针旋转60°后得Rt DEC △，此时点B 恰好在线段DE 上，其中点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是_____．27．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC MNC △≌△，若60ACM ∠=°，连结BM ，则BM 的长是____________．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，D 是AB 的中点，DE AB ⊥，交AC 于E ，若53AE EC =，则tan A ∠=__________．29．如图，已知菱形ABCD的面积为60BAD∠=︒，对角线AC、BD交于点O，若点P为对角线AC上一点，则12AP BP+的最小值是_______．30．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠ABC＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则sin∠ABC =______ ，BD的最小值是_____．【答案与解析】1．D【解析】根据题意可知CD 的垂直高度和水平宽度，即知道了BO 和OD 的长，从而得出OE 的长度，再根据正切函数和DE 长度可求出EF 长度， 正切函数和OE 长度可求出A 到F 的垂直高度，即可求出AB 的长度，即：tan30AB EF OE BO =+⨯︒-．由题意得：185BC m =，65CD m =，110DE m =，根据斜坡CD 的坡度1:2.4i =得CD 的垂直高度为25m ，水平宽度为60m ，∴25BO m =，11060185355OE m =++=．根据tan tan58110 1.6110176EF EDF ED m =∠⨯=︒⨯=⨯=，所以176tan30176355 1.73325356AB OE BO m =+⨯︒-=+⨯÷-≈故选D本题考查解直角三角形，根据题意结合正切函数是解答本题的关键．2．A【解析】连接DF 、FG ，过点H 作HJ ⊥BC 于J ，根据锐角三角函数设AG=3x ，则EG=5x ，利用2EGD GD DEF DEGF S S S S ==+△△F △四边形，即可求出x 的值，从而求出12,18CD AB BC AD ====，然后设CF=y ，根据折叠的性质可得FD=FG ，利用勾股定理列出方程即可求出y ，从而求出6,18612FH CF BF ===-=，利用锐角三角函数和勾股定理求出HJ 和FJ ，即可求出BJ ，最后利用勾股定理即可求出结论．解：连接DF 、FG ，过点H 作HJ ⊥BC 于J ，如下图所示∵四边形ABCD 为矩形∴∠A=90° ∴3sin 5AG AEG EG ∠==设AG=3x ，则EG=5x ，4x =∵点G 为AB 中点，∴GB=AG=3x ，AB=2AG=6x由折叠的性质可得DE=EG=5x ，EF ⊥GD∴AD=AE ＋DE=9x ，∴DG ===∵2EGD GD DEF DEGF S S S S ==+△△F △四边形 ∴1112222EN DG FN DG DE AB ⋅+⋅=⨯⋅ ∴11222EF DG DE AB ⋅=⨯⋅即256x x =⨯⨯解得：122,0x x ==（不符合实际情况，舍去）∴12,18CD AB BC AD ====设CF=y ，则BF=BC －CF=18－y由折叠的性质可得FD=FG=解得：y=6∴6,18612FH CF BF ===-=∵//,//EA FB EG FH∴AEG BFH ∠=∠ ∴3sin sin 5BFH AEG ∠=∠=∴31824,555HJ FH FJ =⨯=== ∴BJ=BF －FJ=365∴.5BH === 故选A ．此题考查的是矩形与折叠问题和解直角三角形，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．3．（1）证明见解析；（2）（3）DG =【解析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB=90°，即可得出结论；（2）连接EF，证明△ABD∽△ADF，由相似三角形的性质得出AB ADAD AF=，即AD2=AB•AF=ab，则可得出答案；（3）设圆的半径为r，则OD=r，OB=r+5，得出358=+rr，解得：r=3，则AE=6，AB=11，求出AF，进而求出DG的长即可．证明：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODC=∠C=90°，∴OD⊥BC，即BC为⊙O的切线；（2）连接EF，∵AE为⊙O的直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF∥BC，∴∠B=∠AEF=∠ADF，∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴AB AD AD AF=，即AD2=AB•AF=ab，∴（3）设圆的半径为r，则OD=r，OB=r+5，在Rt△BOD中，3 sin8==ODBOB，即358=+rr，解得：r=3，∴AE=6，AB=11，在Rt△AEF中，39sin sin684 =⋅∠=⋅=⨯=AF AE AEF AE B，∴===AD∵AF∥OD，∴34934===DG DOAG AF，即47=DGAD，∴47==DG AD此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键．4．（1）反比例函数解析式为12yx=-，一次函数解析式为y＝−23x＋2；（2）6；（3）−3＜x＜0或x＞6．【解析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（−3，4），再把A点坐标代入myx=可求得m＝−12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y＝kx＋b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 解：（1）作AD ⊥x 轴于D ，如图，在Rt △OAD 中，∵cos ∠AOE ＝OD OA ＝35， ∴OD ＝35OA ＝3， ∴AD4，∴A （−3，4），把A （−3，4）代入m y x=得m ＝−4×3＝−12， 所以反比例函数解析式为12y x=-； 把B （6，n ）代入12y x =-得6n ＝−12，解得n ＝−2， 把A （−3，4）、B （6，−2）分别代入y ＝kx ＋b 得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以一次函数解析式为y ＝−23x ＋2； （2）当y ＝0时，−23x ＋2＝0，解得x ＝3，则C （3，0）， 所以S △AOC ＝12×4×3＝6； （3）当−3＜x ＜0或x ＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值．本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题以及解直角三角形，熟练掌握反比例函数与一次函数的解析式和解直角三角形的方法是解题的关键，也考查了观察函数图象的能力．5．（1）见解析；（2）①DE CG =，证明见解析；②2222AG BG DE +=；（3）2=DF k EF【解析】（1）由余角的性质可求解；（2）①过点D 作HD AC ⊥，交BA 的延长线于H ，连接HE ，HC 交DE 于点O ，先证四边形ECDH 是矩形，可得HC DE =，由“ASA ”可证CBG CAH ∆≅∆，可得CG CH =，可得结论；②由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得AG BH =，AH BG ==，BH ，由勾股定理可求解；（3）设EC HD AD x ===，由勾股定理和锐角三角函数可求DF ，EF 的值，即可求解． 解：（1）证明： CF DE ⊥，90DFC ACB ∴∠=∠=︒，90CDE DCF DCF GCB ∴∠+∠=︒=∠+∠，BCG CDE ∴∠=∠；（2）①DE CG =，理由如下：如图1，过点D 作HD AC ⊥，交BA 的延长线于H ，连接HE ，HC 交DE 于点O ，90ACB ∠=︒，AC BC =，45CAB CBA DAH ∴∠=∠=︒=∠，135CAH CBG ∴∠=∠=︒，HD AC ⊥，45DHA DAH ∴∠=∠=︒，HD DA ∴=，AD CE =，HD CE ∴=，又HD AC ⊥，EC AC ⊥，//HD EC ∴，∴四边形ECDH 是平行四边形，又HD DC ⊥，∴四边形ECDH 是矩形，DE HC ∴=，OC OD =，ODC OCD ∴∠=∠，BCG OCD ∴∠=∠，又135CAH CBG ∠=∠=︒，CA CB =，()CBG CAH ASA ∴∆≅∆，CG CH ∴=，CG DE ∴=；②2222AG BG DE +=；理由如下：CBG CAH ∆≅∆，AH BG ∴=，AG BH ∴=，AH BG ===，四边形ECDH 是矩形，90HEB ∴∠=︒，45EHB EBH ∴∠=∠=︒，BH ∴=，222BH HE ∴=，2222()BH CH EC ∴=-，2222[)]AG DE ∴=-， 2222AG BG DE ∴+=；（3）设EC HD AD x ===，AH BG ∴==，AG BH k BG k ∴==⋅=，HE DC kx ∴==，222222DE k x x ∴=⋅+，DE ∴，sin sin EF EC ECF EDC EC DE∠=∠==， ∴EF x =，EF ∴=cos DF DC FDC DC DE∠==， ∴DF kx =， 2DF ∴=， ∴2DF k EF= ． 本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．6．（1）（2）4；（3）存在，34+． 【解析】（1）如图1，证明四边形ABCD 是菱形，利用菱形的性质可得：cos30OB AB =︒，从而即可解决问题．（2）如图2，以AD 为边向上作等边△ADM ，连接,AC CM ．证明△MAC ≌△DAB （SAS ），推出CM=BD ，由∠ADC=30°，∠ADM=60°，推出∠CDM=90°，再利用勾股定理证明：222AD CD BD +=，求解,BD 即可解决问题．（3）如图4，以CM 为边向右作等边△CMH ，连接AH ．利用全等三角形的性质证明BM=AH ，求出AH 的最大值即可解决问题．解：（1）如图1中，设AC 交BD 于O ．由题意AB=BC=AD=DC ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD ，1302ABO ABC =∠=∠︒，∴cos304=︒==OB AB∴2BD OB==，故答案为：AC CM．（2）如图2，以AD为边向上作等边△ADM，连接,∵△ADM是等边三角形，∴∠MAD=∠ADM=60°，AM=AD=DM，∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠=∠=︒，,60BAC BCA=AB AC∴∠MAD=∠BAC，∴∠MAC=∠DAB，∴△MAC≌△DAB（SAS），∴CM=BD，∵∠ADC=30°，∠ADM=60°，∴∠CDM=90°，∴222=+，CM DM CD∵BD=CM，AD=DM，∴222+=，AD CD BD∵2，==AD CD∴27BD=，⊥于P，如图3，以BD为边作等边三角形BDF，过F作FP BD,60,BD BF B ∴=∠=︒ 由sin ,FP B AB= sin 60sin 60,FP AB BD =︒=︒211373sin 60,2224BPF S BD BD BD ∴=︒=⨯=∴以BD 为边构成的等边三角形的面积为4 （3）如图4，以CM 为边向右作等边△CMH ，连接AH ．∵△ABC ，△CMH 都是等边三角形，∴CB=CA ，CM=CH ，∠BCA=∠MCH=60°，∴∠BCM=∠ACH ，∴△BCM ≌△ACH （SAS ），∴BM=AH ，∵2,AM CM MH ===∴AH AM MH ≤+，∴2AH ≤，∴AH 2，∴BM 2，同理可得：以BM 为边构成的等边三角形的面积的最大值为)2211S ?·sin 60222BM =︒=⨯(7344=+=+ 本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．（1）证明见解析；（2）92． 【解析】（1）连接OA ，OB ，根据圆周角定理可得∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，再根据等腰三角形的性质可得∠AOD ＝∠BOD ＝60°，根据30度角所对直角边等于斜边一半即可得结论；（2）如图，延长CO 交AB 与点H ，作CF ⊥AB 于点F ，根据已知条件可得CF ＝EC 是⊙O 的切线，可得OC ⊥CE ，进而可推出∠HOD ＝∠E ，设HD ＝2x ，则OH ＝3x ，再根据勾股定理求出x 的值，再根据平行线分线段成比例定理即可得OC 的长．解：（1）证明：如图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝60°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝120°．∵OA ＝OB ，OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝∠BOD ＝60°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ， ∴OD ＝12OC ． （2）如图，延长CO 交AB 与点H ，作CF ⊥AB 于点F ，在Rt△CEF中，sinE＝23，CE＝∴CF＝∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODE＝90°，∴∠COD＋∠E＝180°，∵∠COD＋∠HOD＝180°，∴∠HOD＝∠E，∴sin∠HOD＝sinE＝23，设HD＝2x，则OH＝3x，在Rt△OHD中，OD，根据勾股定理，得（3x）2−（2x）2＝54，解得x＝12，∴DH＝1，OH＝32，∵OD∥CF，∴OH OD OH OC=+，即3232OC=+，解得OC＝92．本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理及解直角三角形等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识点并能灵活运用所学知识是解答此题的关键．8．（1）26π；（2）b1，A1（，）或b2=-A2（-，-2）；（3）m≤37 3 -或m≥133．【解析】（1）根据两点间距离公式求出PQ的长，利用圆面积公式计算即可；（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，推出OA=4，因为直线y=-x+b有且尽有一个点A满足OA=4，推出点O到直线y=-x+b的距离为4，由y=-x+b与直线y=-x平行，推出直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，如图1中所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b1交y轴于M，另一条直线交y轴于N，则M（0，b1），N（0，b2），解直角三角形即可解决问题；（3）由题意：AB≥4，则点P到直线y=x-4的距离大于等于5，如图设到直线y=x-4的距离等于5的点为P1，P2，根据P1，P2的坐标，结合图象可得结论；解：（1）∵点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（-4，3），∴=∴S=π•PQ2=26π，故答案为：26π．（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，∴OA=4，∵直线y=-x+b有且尽有一个点A满足OA=4，∴点O到直线y=-x+b的距离为4，∵y=-x+b与直线y=-x平行，∴直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，如图所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b1交y轴于M，另一条直线交y轴于N，则M（0，b1），N（0，b2），∵∠OA1M=90°，∠OMA1=45°，∴△OMA1是等腰直角三角形，∴OA1，∴b1A1（，同理可得：b2=-，A2（-，-），综上所述，b1A1（，）或b2=-，A2（-，-2）．（3）由题意：∵A、B的伴随圆的面积都不小于16π，∴216ABππ•≥∴AB≥4，则点P到直线334y x=+的距离大于等于5，如图设到直线334y x=+的距离等于5的点为P1，P2，由题意，在直线334y x=+上，令x=0，则y=3，∴点D 为（0，3），令y=0，则x=-4，∴点C 为（-4，0），∴5CD =，由题意可知，11CPB ∆∽CDO ∆， ∴111PB PC DO CD=， ∵5CD =，3OD =，115PB =， ∴1535PC =， ∴1253PC =， 同理可得2253P C =； ∴P 1（373-，0），P 2（133，0）， 结合图象可知：满足条件的m 的值为：m≤373-或m≥133． 故答案为：m≤373-或m≥133． 本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，两直线平行的性质、解直角三角形、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．9．（1）74；（2）60A ∠=︒，30B ∠=︒，c = 【解析】（1）先求特殊角三角函数值，再进行实数计算；（2）先用勾股定理求出斜边，再用三角函数求锐角．解：（1245cos30tan 60sin 60+⋅-︒︒︒︒2222⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 33124=+-74=．（2）Rt ABC 中，6a =，b =90C ∠=︒，∴c ==sin2a A c ===， 故60A ∠=︒，906030B ∠=︒-︒=︒．本题考查了包含特殊角三角函数值的实数运算和解直角三角形，解题关键是熟记特殊角三角函数值，灵活运用勾股定理和三角函数解直角三角形．10．（1）见解析；（26π- 【解析】（1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案．（2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．解：（1）连接OB ，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠C ＝30°，∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴AB 是圆O 的切线；（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1，∴AB ＝tan 30OB =，∴S △ABO ＝12× ∵∠AOB =2∠C=60°，∴S 扇形OBD ＝601360π︒︒⨯＝6π，∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD 6π．本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．11．（1）4-；（2）证明见详解【解析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质，再利用三角函数解直角三角形，线段的和差，根据DF=CF-CD ，求出CF 的长即可求得DF 的长；（2）如详解图：作AM EF ⊥与点M ，HN CF ⊥与N ，HJ AD ⊥于J ，首先证明∠HAG=45°,四边形HJDN 是正方形,设其边长为b,正方形ABCD 的边长为2a ,则DG=a ,AJ=GN=+a b =2a b -,推出2a b =,求出CE 、DH 用b 表示,即可解决问题，即可求得答案．（1）四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=AD=2，∠B=∠BCD=∠DCE=90︒∠AEB=∠AEF=30°60BEF ∴∠=︒30EFC ∴∠=︒∴在Rt ABE △中，tan 30AB BE︒=BE ∴=∴2CE BE BC =-=在Rt FCE 中，tan 30CE CF︒=6CF ∴=-∴DF= CF-DC=624-=-（2）如图：作AM EF ⊥与点M ，HN CF ⊥与N ，HJ AD ⊥于J ，90AJH GNH ∴∠=∠=︒∵AD ∥BE,∴∠DAG=∠BEG=∠AEF,∵AB ⊥BE,AM ⊥EM∴AB=AM=AD,在Rt △AFM 和Rt △AFD 中AF AF AM AD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △AFM ≌Rt △AFD(HL)∠MAF=∠FAD,∵∠MAE+∠MEA=90°,∴2∠FAD+2∠DAG=90°,∴∠FAD+∠DAG=45°,∠HAG=45°∵GH ⊥AF,∠HAG=∠HGA=45︒∴AH=GH,∴∠FAD+∠AFD=90°,∠HGF+∠HFG=90°∴∠HAJ=∠HGN,∴在AHJ △和GHN △中HAJ HGN AJH GNH AH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AHJ △≌△GHN(AAS)∴JH=HN四边形HJDN 是矩形∴四边形HJDN 为正方形，设正方形HJDN 边长为b ，正方形ABCD 的边长为2a ，点G 为CD 中点∴DG a =2AJ GN a b a b ∴==+=-2a b ∴=//AD CEAD DG CE GC∴=2442DG GCAD CE a bDH b CE DH BC AD CE BC =∴=====∴=∴=⨯===∴= 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,学会利用参数,构建方程解决问题.12．沉船C 在“蛟龙”号深潜极限范围内，理由见解析【解析】过点C 作CD 垂直AB 延长线于点D ，设CD 为x 米，在Rt △ACD 和Rt △BCD 中，分别表示出AD 和BD 的长度，然后根据AB=2000米，求出x 的值，求出点C 距离海面的距离，判断是否在极限范围内．解：过点C 作CD 垂直AB 延长线于点D ，设CD=x 米，在Rt △ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AD=x ，在Rt △BCD 中，∵∠CBD=60°，∴CD=BD•tan60º，∴x ，∴x =2000， 解得：x≈4732，∴船C 距离海平面为4732+1800=6532米＜7062．68米，∴沉船C 在“蛟龙”号深潜极限范围内．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．掌握仰角俯角定义，利用仰角俯角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数构造方程是解题关键．13．A 、B 两岛之间的距离约为56海里．【解析】根据路程=速度×时间，可得20360AC =⨯=，在Rt ABC 中，利用正切的定义即可求解； 由题可知：20360AC =⨯=（海里），43ACB ∠=︒，∴在Rt ABC 中，90A ∠=︒， ∴tan 43AB AC=︒， ∴tan43600.9356AB AC =⋅︒=⨯≈（海里），∴A 、B 两岛之间的距离约为56海里．本题主要考查了解直角三角形方位角问题，准确计算是解题的关键．14．1000米【解析】过点A 作AD CC '⊥，交BB '于点E ，过点B 作BF CC '⊥于点F ，然后由题意易得BE=200米，CF=400米，CD=600米，然后由坡比可得AE 与BF 的长，最后利用勾股定理可求解．解：过点A 作AD CC '⊥，交BB '于点E ，过点B 作BF CC '⊥于点F ，如图所示：∴四边形AA B E BB C F BEDF ''''、、都是矩形，∴,,,AA EB BF ED B C BB FC AA C D ''''''''=====，∵110,310,710AA m BB m CC m '''===，∴BE=200米，CF=400米，CD=600米，∵钢缆AB 的坡度11:2i =，钢缆BC 的坡度21:1i =， ∴400,400tan tan BE CF AE m BF m BAE CBF====∠∠， ∴AD=800米，在Rt △ADC 中，1000AC m =．答：钢缆AC 的长度为1000米．本题主要考查勾股定理及坡比，熟练掌握勾股定理及坡比是解题的关键．15．（1）75°；（2）树高3222⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭米．【解析】（1）延长BA 交EF 于点G ，利用平角的定义、直角三角形的性质即可得；（2）过A 作CD 的垂线，垂足为H ，在直角三角形ADH 中，求出∠DAH ＝30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DH 与AH 的长，确定出三角形ACH 为等腰直角三角形，求出CH ，AC 的长，由AC +CH +HD 求出大树高即可．解：（1）延长BA 交EF 于一点G ，如图所示，则∠DAC ＝180°－∠BAC －∠GAE ＝180°－38°－（90°－23°）＝75°；（2）过点A 作CD 的垂线，设垂足为H ，在Rt △ADH 中，∠ADC ＝60°，∠AHD ＝90°，∴∠DAH ＝30°，∵AD ＝3，∴DH ＝32，AH ＝2， 在Rt △ACH 中，∠CAH ＝∠CAD －∠DAH ＝75°－30°＝45°，∴∠C ＝45°，∴CH ＝AH AC ，32++（米）． 此题属于解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）607． 【解析】（1）由直径AB ，得∠ACB ＝90°，再证明△DCF ∽△DEC ，得∠DCF ＝∠DFC ，进而得∠OCD ＝90°，便可得结论；（2）△DCF ∽△DEC 的比例线段得结论；（3）解直角三角形求得AC 、AB ，再由垂径定理得E 为AC 的中点，再证明EF 为△ABC 的中位线，进而求得CE 、CF 、EF ，再由△DCF ∽△DEC 的比例线段列出方程求得CD ．解：（1）证明：连接OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠OCA+∠OCB ＝90°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC+∠BCO ＝90°，∵∠ECD ＝∠CFD ，∠D ＝∠D ，∴△DCF ∽△DEC ，∴∠DCF ＝∠DEC ，∵ED//AB ，∴∠DEC ＝∠CAO ，∴∠DCF+∠BCO ＝90°，即DC ⊥OC ，∴CD 是⊙的切线；（2）∵△DCF ∽△DEC ， ∴CD FD ED CD=， ∴CD 2＝FD•ED ； （3）∵sinA ＝35，BC ＝6， ∴10si BC A nA B ==，∴8AC ==，∵OE ⊥AC ，∴EC ＝12AC=4， ∵ED//AB ， ∴CF ＝12CB ＝3，EF ＝12AB=5， ∵△DCF ∽△DEC ， ∴34CD CF ED CE ==， ∴设CD ＝3x ，则ED ＝4x ，∴FD ＝4x ﹣5，∵CD 2＝FD•ED ，∴()23x ＝（4x ﹣5）•4x ，解得，x ＝207，∴CD=607．本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，解直角三角形，三角形的中位线定理，相似三角形的性质与判定，关键在于运用相似三角形解决问题．17．（1）(3P；（2）3b=；（3）﹣4＜m＜2-．【解析】（1）证明CA是∠BCO的平分线，又根据OB是∠AOC的平分线，即可证明P是AC的中点，首先求得C的坐标，则P的坐标即可求解；（2）把P的坐标代入解析式即可求得b的值；（3）首先求得一次函数y=x+m经过A和C时m的值，则m的取值范围即可求解．解：（1）∵OB平分∠AOC，OA＝OC，∴AC⊥OB，∵OA∥BC，∴∠OBC＝∠AOB，又∵∠AOB＝∠BOC，∴∠BOC＝∠OBC，∴CO＝CB，又∵AC⊥OB，∴CA平分∠BCO，又∵点P到四边形OABC四条边的距离相等．∴P就是AC和OB的交点．作CD⊥OA于点D．在直角△OCD中，CD＝OC sin∠AOC＝，OD＝CO•cos60°＝4×12＝2，则C 的坐标是（2，．∴P 的坐标是（242），即（3．故答案是：（3；（2）把（3y ＝x +b 得3+b解得b ﹣3；（3）当y ＝x +m 经过点A 时，把（4，0）代入得4+m ＝0，解得m ＝﹣4，当y ＝x +m 经过点C （2，2+m ＝m ＝2．则当﹣4＜m ＜2．本题考查了待定系数法求函数解析式与角平分线的性质，利用三角函数求得C 的坐标，正确证明P 是AC 的中点是关键．18．（1）见解析；（2）AC 的长为16．【解析】（1）连接OC ，由点C 是BE 的中点，利用垂径定理可得出OC ⊥BE ，由AB 是⊙O 的直径可得出AD ⊥BE ，进而可得出AD ∥OC ，再根据AD ⊥CD 可得出OC ⊥CD ，由此即可证出CD 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，由cos ∠CAB=AC AB =45，设AC=4k ，AB=5k ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求得BC 3k =，再由cos ∠CBF=45BC BF =，即可得出AC 的长度． （1）连结OC ，如图：∵C 是BE 的中点，∴OC BE ⊥，又∵AB 是直径，∴90AEB ∠=︒，∴//OC AD ，∴90OCM D ︒∠=∠=，∴OC CD ⊥，∴CD 是O 的切线；（2）如图，连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵C 是BE 的中点，∴∠CAD=∠CAB ，又∵∠CAD=∠CBE ，∴∠CBE=∠CAB=∠CAD ，∴cos ∠CBE=cos ∠CAB=cos ∠CAD=45， 由cos ∠CAB=AC AB =45，设AC=4k ，AB=5k ，∴3k ==，由cos ∠CBF=45BC BF =，得：34155k =， ∴4k =，∴AC=16． ∴AC 的长为16．本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出OC ⊥CD ；（2）根据圆周角定理得出∠CBE=∠CAB=∠CAD ，由三角函数的定义解题．19．（1）见详解；（2）当2x =时，即点D 为BC 中点时，DCE ．【解析】（1）根据题目条件可得AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒；由此可证明ABD ACE ≌；（2）作EH BC ⊥的延长线于点H ，设BD x =，由ABD ACE ≌可分别表示出CD 、CE 的长，解Rt CEH 可得EH 的长，根据三角形的面积公式将面积用含x 的代数式表示出来并配方即可求解.证明：由题意可得：∵ABC 是边长为4的等边三角形∴AB AC =，60BAC ∠=︒，∵将AD 绕点A 逆时针方向旋转60︒得到AE∴AD AE =，60DAE ∠=︒∴60BAC DAE ∠=∠=︒()ABD ACE SAS ∴≌；（2）解： 作EH BC ⊥的延长线于点H ，设BD x =，∵ABC 是边长为4的等边三角形∴4CD x =-∵ABD ACE ≌CE BD x ∴==∴60ACE ABC ACB ∠=∠=∠=︒60ECH ∴∠=︒在Rt CEH 中，EH =()114222DCE S DC EH x ∆∴=⋅=-⋅)224x =--+当2x =时，即点D 为BC 中点时，DCE 本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，配方法等知识点；理解题目条件，合理做出辅助线是解题的关键.20．66米【解析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，可知四边形BCDF 是矩形，则DF BC =，CD BF =，根据斜坡DE的坡比为可求得CD 的长，设AF x =，则(21)AB x =+，再由锐角三角函数3tan 374︒≈，11tan 4810︒≈分别表示出DF 、BC 的长，通过列方程即可求得AF 的长，则塔高=AF BF +． 如图，过点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴四边形BCDF 是矩形，,DF BC CD BF ∴==，42DE =米，斜坡DE 的坡比为21CD BF ∴==米，设AF x =米，则(21)AB x =+米，4tan 373AF DF x ︒∴=≈（米）， 10(21)tan 4811AB BC x ︒=≈+（米）， 410(21)311x x ∴=+， 解得45x =，452166AB ∴=+=（米）． 本题考查的是解直角三角形的应用、锐角三角函数的应用、仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形并运用方程的思想方法是解答此题的关键．21．（1）3；（2）圆心T 的横坐标x 的取值范围1405x -≤≤或1665x ≤≤；（3）≤≤k ． 【解析】（1）根据“圆距”的定义求解即可；（2）先确定OT 的取值范围，求出T 坐标，根据勾股定理列方程求出x ，进一步确定x 的取值； （3）先求出d (线段AB ）的最小值，再求出点B 坐标，代入2y kx k =-求出k 的值，从而确定k 的取值．解：（1）∵A （2，0），O 的半径为1，∴d （点A ）=1+2=3； ()2如图1，由题意可知，410OT ≤≤．过T 作TH y ⊥轴于H ，∵24y x =-+，O 的半径为1∴(),24T x x -+，由222TH OH OT +=得，①当4OT =时，()222244x x +-+=， 解得12160,5x x == ②当10OT =时，()2222410x x +-+=， 解得12146,5x x ==-。