小学生奥数等差数列练习题及答案
小学四年级数学奥数题100题附答案(完整版)
小学四年级数学奥数题100题附答案(完整版)题目1有一个数列：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。
求这个数列的和。
答案：这是一个等差数列，首项为1，末项为19，公差为2，项数为10。
根据等差数列求和公式：总和= （首项+ 末项）×项数÷2即：（1 + 19）×10 ÷2 = 100题目2小明从一楼走到三楼需要2 分钟，那么他从一楼走到六楼需要几分钟？答案：从一楼到三楼，实际上走了 2 层楼梯，用了2 分钟，所以走一层楼梯需要1 分钟。
从一楼到六楼需要走5 层楼梯，所以需要5 分钟。
题目3在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的5 倍，差是多少？答案：因为被减数= 减数+ 差，被减数+ 减数+ 差= 240，所以被减数= 240÷2 = 120。
又因为减数是差的5 倍，设差为x，则减数为5x，所以x + 5x = 120，解得x = 20，即差是20。
题目4两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10 倍，商是多少？余数是多少？答案：被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。
所以商还是8，余数是20×10 = 200。
题目5鸡兔同笼，共有头100 个，脚316 只，鸡兔各有多少只？答案：假设全是鸡，那么脚有100×2 = 200 只，比实际少316 - 200 = 116 只。
每把一只鸡换成一只兔，脚就多4 - 2 = 2 只。
所以兔有116÷2 = 58 只，鸡有100 - 58 = 42 只。
题目6一块长方形草地，长18 米，宽12 米，中间有一条宽2 米的小路，求草地（阴影部分）的面积。
答案：方法一：整个长方形的面积为18×12 = 216 平方米。
小路的面积为18×2 + 12×2 - 2×2 = 56 平方米。
小学奥数1-2-1-3 等差数列应用题.专项练习及答案解析
【例 1】 100以内的自然数中。
所有是3的倍数的数的平均数是 。
【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分 【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是()09934179916832+⨯=⨯=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。
【答案】49.5【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。
最后，每只小猴分得8个野果。
这群小猴一共有_________只。
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15⨯-只果，共有15只猴. 【答案】15只猴子【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有 位同学．【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，1年级【解析】 因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123-=（个），15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题 【答案】5位【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依例题精讲等差数列应用题次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 5】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550（）⨯⨯（方法二）根据12398991005050+++++的++++++=，从这个和中减去1357 (99)和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 6】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、……，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n项=首项+公差（），⨯-n1所以，第102项321021205（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1=+⨯=+”，999所处的项数是：（）-÷+=÷+=+=999321996214981499【答案】499【例 7】如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。
小学奥数等差数列练习及答案
小学奥数等差数列练习及答案【三篇】【篇一】知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项- 首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数【篇二】典例剖析：例（1在数列3、6、9……,201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+ 1,便可求出（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1 ）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3（201-1）=603答：共有67 个数，第201 个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案:第48项是286，508是第85项例（2）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从1 00~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。
练一练：求从1 到2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案:1000例（3）求自然数中被10除余1 的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被1 0除余1最小的是1 1 ，的是91 。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9,我们可以根据求和公式来计算。
2022-2023学年小学五年级奥数(全国通用)测评卷02《等差数列》(解析版)
【五年级奥数举一反三—全国通用】测评卷02《等差数列》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（）A．47 B．49 C．51 D．53【分析】由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2．【解答】解：9+（20﹣1）×2＝9+19×2＝9+38＝47．答：第20个数是47．故选：A．2．（2分）下面一列数5、8、11、14、…、第（）个数为2015．A．667 B．668 C．669 D．671【分析】此题首项是5，末项是2015，公差是3，求第几个数为2015，即求项数，根据等差数列的通项公式进行求解即可．【解答】解：首项是5，末项是2015，公差是3，（2015﹣5）÷3+1＝2010÷3+1＝671答：第671个数为2015．故选：D．3．（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262，则这列数的第50个数为（）A．50 B．51 C．120 D．131【分析】因为一共有99个，所以正中间的一个数是50，这个数就是这个数列之和的平均数．第93个数是倒数第7个数，所以此题常采用画图的方法解决．【解答】解：262÷2＝131故选：D．4．（2分）（2014•迎春杯）一个12项的等差数列，公差是2，且前8项的和等于后4项的和，那么，这个数列的第二项是（）A．7 B．9 C．11 D．13【分析】找出前8项数字和与后4项数字和相等，列出关系式，求出其中一项即可．【解答】解：根据题意后4项和前8项数字和相等可知，这个数列是递增数列，（a1+a8）×8÷2＝（a9+a12）×4÷2，因为a8＝a1+14，a9＝a1+16，a12＝a1+22，所以代入得（a1+a1+14）×8÷2＝（a1+16+a1+22）×4÷2，解得a1＝5，所以a2＝a1+2＝7．故选：A．5．（2分）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）A．360 B．340 C．350 D．无法求出【分析】这些自然数是等差数列，紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和比315多5×5，然后进一步解答即可．【解答】解：315+5×5＝315+25＝340故选：B．6．（2分）（2011•其他模拟）有10只盒子，44只羽毛球．能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？（）A．能B．不能C．不确定【分析】这是一个等差数列的应用题，解题关键是由已知数列所有项的个数按最少量算出它们的总和，然后与题意中给的羽毛球的总数44相比较，如果相等，就说明能够将44只羽毛球放到10个盒子中去，且使各盒子里的羽毛球数不相等；否则就不能．【解答】解：由题意，要使10个盒子中羽毛球的数量不相等，最少的放法是：0，1，2…9．计算总和：0+1+2+…+9＝9×5＝45，因为45＞44，所以原题不能．答：不能使各个盒子里的羽毛球数不相等．故选：B．二．填空题（共12小题，满分31分）7．（2分）（2017•走美杯）一箱苹果60个，第一天大家一起吃了17个，以后我每天吃1个，过了几天发现只剩下16个，苹果怎么少这么快？有人告诉我，小张每天都去偷偷地拿2个．请你算一算：这几天小张共拿了18个苹果．【分析】可以先用总数减去大家吃的苹果数和剩下的苹果数，再除以我每天吃的苹果数和小张偷的苹果数之和，就能求得天数，就能知道小张偷了几天，不难求得小张偷拿了多少苹果．【解答】解：根据分析，先求得小张偷拿苹果的天数，故有：（60﹣17﹣16）÷（2+1）＝9（天），小张共偷了：9×2＝18个．故答案是：18．8．（2分）（2016•学而思杯）表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么m×n＝300．4 89 1512 nm25【分析】首先，确定第一行公差，填全第一行；从第二列确定公差，确定m；同样从第四列，确定n．【解答】解：第一行公差为（8﹣4）÷2＝2，第一行数字为：4、6、8、10；确定第二列确定公差为12﹣9＝3，确定m＝12+3＝15；同样确定n＝20．m×n＝300即：填3009．（2分）（2018•陈省身杯）小明去麦当当打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里他每一天所挣的钱都比前一天多6元．那么第1天小明挣了24元．【分析】根据等差数列的规律，第三天小明挣了180÷5＝36元，公差是6，所以第一天小明挣了36﹣6×2＝24元，据此解答即可．【解答】解：180÷5＝36（元）36﹣6×2＝24（元）故答案为：24．10．（2分）（2017•其他杯赛）小明希望通过做一些数学题目来巩固知识，他每天都会比前一天多做2道题目．如果小明第一天做了2道题目，那么前七天他共做了56道题目．【分析】首项是2，末项是2+（7﹣1）×2＝14，然后利用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2求出结果．【解答】解：2+（7﹣1）×2＝14（道）（2+14）×7÷2＝56（道）故填56．11．（2分）（2017•小机灵杯）从1，2，3，4，…，50中取5个不同的数，使这5个数构成一个等差数列，那么，可以得到不同的等差数列的个数为576．【分析】根据题意，分析当得到的等差数列公差为1、2、3时，可以得到的等差数列的数目，依此类推，发现其数目的变化规律，进而根据等差数列的前n项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，当得到的等差数列公差为1时，有1、2、3、4、5，…，46、47、48、49、50，共46种情况；当其公差为2时，有1、3、5、7、9，…，42、44、46、48、50，共42种情况；…当其公差为12时，有1、13、25、37、49，2、14、26、38、50，共2种情况；综上所述，共有2+6+…+46＝＝288种，考虑到等差数列也可以是从大到小，所以共有288×2＝576种不同的等差数列，故答案为576．12．（2017•春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2个桃子，摘得最多的一只猴子摘了25个桃子，那么这些猴子一共摘了153个桃子．【分析】九只小猴子摘桃子数，构成一个等差数列，公差是2，末项是25，那么首项是25﹣2×（9﹣1）＝9，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：25﹣2×（9﹣1）＝9（个）（9+25）×9÷2＝153（个）故答案为：153．13．（2016•迎春杯）帅帅背了7天单词，从第2天开始每天都比前一天多背1个单词，且前4天所背单词个数的和等于后3天所背单词个数的和，那么帅帅这7天一共背了单词84个．【分析】首先表示出这7天的数量关系，然后根据前4天等于后3天的数量列出等式，求出每天的数量相加即可．【解答】解：依题意可知：设帅帅背单词的数量为：a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6共7天a+a+1+a+2+a+3＝a+4+a+5+a+6解：a＝9．共背9+10+11+12+13+14+15＝84故答案为：8414．（2015•走美杯）梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，其中高是12，那么梯形的面积是144．【分析】首先根据梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，可得：上底+下底＝高×2，据此求出梯形的上底和下底的和是多少；然后根据：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，求出梯形的面积是多少即可．【解答】解：（12×2）×12÷2＝24×12÷2＝288÷2＝144答：梯形的面积是144．故答案为：144．15．（2018•迎春杯）四位同学一起讨论一个由无数个自然数组成的等差数列：小叶说：这个等差数列的第一项是个两位数．小刚说：数列中不大于215的数有20多个．小王说：数列的公差小于5．小红说：数列前两项的平均数是102．这四位同学的话中只有一句是错的，那么这个等差数列的第100项是496．【分析】如果小叶和小红说得对，那么前两项的和是102×2＝204，根据小叶说的，可以确定第一个数最大是99，那第二个数就是105，说明公差至少是105﹣99＝6，与小王说的相矛盾，因此可以判断出小叶、小红和小王三人之中肯定有一个是错的，那么小刚说的话肯定是对的．根据小刚说的，那说明公差一定不大于215÷20≈10，假设小王说的是错的，则说明公差大于或等于6，根据小叶和小红说的话可以确定公差是一个偶数，因此接下来验证公差是6、8、10的情况．如果公差是6，则第1项是99，第2项是105，那么第21项就是99+20×6＝219，大于215，所以公差不是6；如果公差是8，那么第1项就是98，第21项就是98+20×8＞215，所以公差也不是8，同样的道理公差也不是10，由此可以判断出小王说的话是对的．那只有小叶和小红两人有一个说错了．根据公差小于5，说明公差最大是4，那第一个数最大是215﹣28×4＝103，最小是215﹣28×4﹣3＝100，说明小叶说错了；同样根据公差是3、2、1，也能得出第一个数是三位数．根据前两项的和的平均数是102，说明这两个数可能是100和104，也可能是101和103，如果是100和104，那么第100项就是100+99×4＝496；如果前两项是101和103，那么215之前就不止20多个数，故不对．【解答】解：根据上面的推理可以知道是小叶说错了．102×2＝100+104＝101+103如果公差是104﹣100＝4，则第100项是100+99×4＝496；如果公差是103﹣101＝2，则第30项是101+29×2＝159＜215，与小刚说的话矛盾．故答案为：496．16．（2016•创新杯）已知数列a1，a2，…，a n为一等差数列，平均数为71，把相邻的4个数相加，其和为新的一列数，这新一列数的总和为28400，则n＝103．【分析】由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可以得到a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，依次利用①式进行变换最后得出a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可得a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，a2+a3+…+a n﹣2+a n﹣1＝71（n﹣2）④，③﹣④可得a3+2a4+2a5+…+2a n﹣4+2a n﹣3+a n﹣2＝28400﹣71（2n﹣2）⑤，a3+a4+…+a n﹣3+a n﹣2＝71（n﹣4）④，⑤﹣④可得a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，（n﹣3﹣4+1）×71＝28400﹣71（3n﹣6），解得n＝103，故答案为：103．17．（2014•其他模拟）艾丽斯工作5天后，共挣了65元，其中每一天所挣的都比前一天多2元．她第一天挣了9元．【分析】每天的钱数构成一个公差为“2”的等差数列，首项是要求的数，项数为5．因此本题根据高斯求和公式“S n＝na1+n（n﹣1）÷2”进行计算即可：【解答】解：设她第一天挣了x元，5x+5×（5﹣1）×2÷2＝655x+20＝655x＝45x＝9故答案为：9．18．一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有53个座位，这个电影院共有20排座位．【分析】把座位数可以看作是一个等差数列：首项是15，末项是53，公差是2，求这个电影院共有几排座位，就相当于等差数列的项数，列式是（53﹣15）÷2+1＝20，然后解答即可求出一共有的排数．【解答】解：根据分析可得，（53﹣15）÷2+1，＝38÷2+1，＝20（排），答：这个电影院共有20排座位．故答案为：20．三．计算题（共1小题，满分3分，每小题3分）19．92+90+88+ (2)【分析】根据等差数列通项公式：项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，（首数+尾数）×项数÷2＝和解答即可．【解答】解：（2+92）×[（92﹣2）÷2+1]÷2＝94×46÷2＝2162四．解答题（共12小题，满分54分）20．（4分）（2012•其他模拟）把一堆苹果分给8个朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？【分析】由题意可知，要使8个人中的每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同，则分到苹果最少的应为1个，而其他人至少分别分到2，3…8个苹果．那么这堆苹果应有的个数为：1+2+3+…+8．计算这个公差为1的等差数列的和即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8＝（1+8）×8÷2＝9×8÷2＝72÷2＝36（个）．答：这堆苹果至少应有36个．21．（4分）小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好看完，这本故事书一共有多少页？【分析】根据题意，可得小红每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的首项是25，末项是55，公差是5，所以求出等差数列的项数，即可求出这本故事书共多少页．【解答】解：（55﹣25）÷5+1＝30÷5+1＝7（25+55）×7÷2＝80×7÷2＝280（页）答：这本故事书一共有280页．22．（4分）已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【分析】由题可知，本题是一个公差为137﹣131＝6的等差数列，因此本题根据高斯求和的有关公式解答即可：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．【解答】解：公差：137﹣131＝6第1项：131﹣（9﹣1）×6＝131﹣48＝83第19项：83+（19﹣1）×6＝83+18×6＝83+108＝191答：这个数列的第1项是83，第19项是191．23．（4分）某电影院有26排座位，后一排比前一排多1个座位，最后一排有45个座位，求这个影院一共有多少个座位？【分析】因后一排在比前一排多1个座位，可看作是看作一个等差数列，末项是45，所以首项是45﹣26+1＝20，本题可根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：45﹣26+1＝20（个）（20+45）×26÷2＝845（个）答：这个影院一共有845个座位．24．（4分）有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，如果最下面一层有98根，那么共堆了多少层？【分析】每层的根数构成了一个等差数列，首项是6，公差是1，末项是98，求项数，根据“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”解答即可．【解答】解：（98﹣6）÷1+1＝92+1＝93（层）答：共堆了93层．25．（4分）求1，5，9，13，…，这个等差数列的第30项．【分析】首先求出1，5，9，13，…，这个等差数列的公差，然后根据：a n＝a1+（n﹣1）d（a1、a n、d 分别是等差数列的第1项、第n项、公差），求出这个等差数列的第30项即可．【解答】解：1+（30﹣1）×（5﹣1）＝1+29×4＝1+116＝117答：这个等差数列的第30项是117．26．（5分）（2012•其他杯赛）把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段都比前一段多3米．三段绳子的长度各是多少？【分析】设第一段绳子长x米，那么第二段，第三段绳子的长度分别是：（x+3）米，（x+3+3）米，根据三段绳子的长度是90米列方程，依据等式的性质即可解答．【解答】解：设第一段绳子长x米，x+（x+3）+（x+3+3）＝90，3x+9＝90，3x+9﹣9＝90﹣9，3x＝81，3x÷3＝81÷3，x＝27，27+3＝30（米），27+3+3，＝30+3，＝33（米），答：第一段绳子长27米，第二段绳子长30米，第三段绳子长33米．27．（5分）（2009•两岸四地）张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第30天做了78个，正好做完．这批零件共有几个？【分析】第一天20个，根据“以后每天都比前一天多做2个”，求得第二天是22个，第三天为24个，第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20 ）＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20）＝98×30，求得问题的答案．【解答】解：因为第一天20个，第二天是22个，第三天为24个，•，则第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20），＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20），＝98×30，＝2940，所以s＝1470．答：这批零件共有1470个．28．（5分）（2016•学而思杯）若一个三位数的三个数字a、b、c按从小到大排列后，怡好可组成一个等差数列（公差可以为0），这我们将这样的三位数叫做“和谐数”，如375，102，…．（1）100至199之间，有多少个“和谐数”？（2）总共有多少个“和谐数”？（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？【分析】将公差分类，求出相应的“和谐数”，即可得出结论．【解答】解：（1）公差为0：111；公差为1：102，120，123，132；公差为2：135，153；公差为3：147，174；公差为4：159，195，所以100至199之间，有11个“和谐数”；（2）公差为0：111，222， (999)公差为1，（0，1，2），（1，2，3），…，（7，8，9），共8组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+7×6＝46个；公差为2，（0，2，4），（1，3，5），…，（5，7，9），共6组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+5×6＝34个；公差为3，（0，3，6），（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），共4组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+3×6＝22个；公差为4，（0，4，8），（1，5，9），共2组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+1×6＝10个；总共有9+46+34+22+10＝121个“和谐数”；（3）将所有的“和谐数”排成一列，100～199：11个；200～299：公差为0：222；公差为1：201，210，213，231，234，243；公差为2：204，240，246，264；公差为3：258，285，共13个；300～399：公差为0：333；公差为1：312，321，324，342，345，354；公差为2：315，351，357，375；公差为3：306，360，369，396，共15个；400～499：公差为0：444；公差为1：423，432，435，453，456，465；公差为2：402，420，426，462，468，486；公差为3：417，471；公差为4：408，480，共17个；500～599：公差为0：555；公差为1：534，543，546，564，567，576；公差为2：513，531，537，573，579，597；公差为3：528，582；公差为4：519，591，共17个；11+13+15+17+8＝64，所以546排在第64位．29．（5分）从一列数1，5，9，13，…，93，97中，任取14个数．证明：其中必有两个数的和等于102．【分析】首先根据题意可知这列数是一组公差是4等差数列，根据项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，求出这组等差数列一共有几项，据此分析解答即可．【解答】解：（97﹣1）÷4+1＝25（个）将这25个组分成13组：{1}，{5，97}，{9，93}，{13，89}，…，{45，57}，{49，53}．在这25个数中任取14个数来，必有二数属于上述13组中的同一组，故这一组二数之和是102．30．（5分）一个项数是偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别是240和300．若最后一项超过第一项105，那么，该等差数列有多少项？【分析】设给出的数列有2n项，由偶数项的和减去奇数项的和等于n倍的公差，再根据最后一项比第一项多105得到一个关于项数和公差的式子，联立后可求项数．【解答】解：假设数列有2n项，公差为d，因为奇数项之和与偶数项之和分别是240与300所以S偶﹣S奇＝300﹣240＝nd，即nd＝60①．又因为a2n﹣a1＝105即a1+（2n﹣1）d﹣a1＝105所以（2n﹣1）d＝105②．联立①②得：n＝4．则这个数列一共有2n项，即8项．答：该等差数列有8项．31．（5分）一堆电线杆，共有5层，第一层有8根，下面每层比上层多一根，这堆电线杆一共有多少根？【分析】根据题意，把第一层的根数看作梯形的上底，最下层的根数看作梯形的下底，层数看作梯形的高，由梯形的面积公式就可以求出结果．【解答】解：根据题意可得最下面的一层的根数是：8+5﹣1＝12（根），由梯形的面积公式可得：这垛电线杆的总数为：（12+8）×5÷2＝100÷2＝50（根）；答：这一堆电线杆共有50根．。
小学奥数1-2-1-2 等差数列计算题.专项练习及答案解析-精品
等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505=+⨯÷=⨯= (2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；知识点拨等差数列计算题② 65636153116533233331089（），++++++=+⨯÷=⨯=题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲【例 1】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778+++++++=⑵13578799++++++=⑶471013404346+++++++=【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列一共有76项，所以：（）34567677783787623078+++++++=+⨯÷=⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：13578799(199)5022500++++++=+⨯÷=⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：（）471013404346446152375+++++++=+⨯÷=【答案】⑴3078⑵2500⑶375【巩固】1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。
小学奥数培优等差数列含答案
第四讲等差数列（一）解题方法若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
【引例】:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:（1）通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差（2）项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1（3）求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2注：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。
引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
答：这个数列共有27项2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?答: 这个数列共有19项3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。
例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
引申 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
答案：第30项是117。
2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
答案: 第100项是299。
3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?答案：末项是49。
例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。
四年级奥数等差数列练习题含答案
四年级奥数等差数列练习题-含答案求项数.末项练习题1.在等差数列2.4.6.8中.48是第几项？168是第几项？24；842.已知等差数列5,8,11….求出它的第15项和第20项。
47；623.按照1.4.7.10.13….排列的一列数中.第51个数是多少？1514.数列3.12.21.30.39.48.57.66……1）第12个数是多少？1022）912是第几个数？1025.已知数列2.5.8.11.14…….53应该是其中的第几项？186.在等差数列5.10.15.20中.155是第几项？350是第几项？31；707.在等差数列1.5.9.13.17……401中.401是第几项？第60项是多少？101；2378.在等差数列6.13.20.27……中.第几个数是1994？285求和练习题9.6＋7＋8＋9＋……＋74＋75+76＝（）291110.2＋6＋10＋14＋……＋122＋126+128＝（）416011.1＋2＋3＋4＋……＋2016＋2017＝（）203515312.有一个数列：6.10.14.18.22…….这个数列前100项的和是多少？2040013.3＋7＋11＋ (99)168314.有从小到大排列的一列数.共有100项.末项为2003.公差为3.求这个数列的和。
18545015.求首项是5.末项是93.公差是4的等差数列的和。
112716.（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝（）100017.1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝57018.求1~99个连续自然数的所有数字的和。
90019.一个剧场设置了22排座位.第一排有36个座位.往后没排都比前一排多2个座位.这个剧场共有多少个座位？125420.求所有除以4余1的两位数的和是多少？121021.工人体育馆的12区共有20排座位.呈梯形.第1排有10个座位.第2排有11个座位.第3排有12个座位……这个体育馆的12区共有多少个座位？390。
小学奥数等差数列求和习题及答案
等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前〃项的和为这个数列的和.二、表达方式：常用S.来表示.三：求和公式：和=(首项+末项)X项数+2, = (%+%)x/? + 2.对于这个公式的得到可以从两个方而入手：(思路1) 1 + 2+3 +…+98 + 99 + 100= (14-100)+(2 + 99)+(3 + 98) + ... + (50 + 51) =101x50 = 5050共50个1.1(思路2)这道题目,还可以这样理解：和=1 + 2 + 3 + 4 +・・・+ 98 + 99 +100+ 和=ioo+ 99 + 98 + 97+…+ 3 + 2+12 倍和= 101+ 101+ 101+ 101+…+ 101+ 101+ 101即,和=(100 + 1)x100 + 2=101x50=5050.四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半：或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数.譬如：① 4+8 + 12+…+ 32 + 36 = (4 + 36)x9 + 2 = 20x9 = 1800,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20x9；②65 + 63 + 61+…+5 + 3 + 1 = (1 + 65)x33 + 2 = 33x33=1089,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33x33 o例题精讲：例1:求和：(1) 1+2+3+4+5+6 = (2) 1+4+7+11+13=(3) 1+4+7+11+13+-+85=分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和.例如(3)式项数二(85-1) 4-3+1=29和二(1+85) X294-2=1247答案：(1) 21 (2) 36 (3) 1247例2：求以下各等差数列的和.(1)1+2+3+4+…+199(2)2+4+6+…+78(3)3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和.例如⑴式二(1+199) X 1994-2=19900答案：(1) 19900 (2) 1160 (3) 5355例3: 一个等差数列2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,这个数列的和是多少？分析：根据中项定理,这个数列一共有7项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：8x7 = 56答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少.分析：这个数列的首项是1,末项是401,项数是(401-1) =4+1=101,所以根据求和公式, 可有：和二(1+401) X101-？ 2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……,问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是2,公差是3,项数是61的等差数列的和,根据末项公式:末项=2+ (61-1) X3=182根据求和公式:和二(2+182) X614-2=5612例6：把自然数依次排成“三角形阵",如图.第一排1个数；第二排3个数：第三排5个数：…求：1(1)第十二排第一个数是几？最后一个数是几？ 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16(2) 207排在第几排第几个数？...................(3)第13排各数的和是多少?分析：整体看就是自然数列,每排的个数的规律是1,3, 5, 7...即为奇数数列假设排数为n(n>2de自然数),那么这排之前的数共有(n-1) (n-1)个.(1)第十二排共有23个数.前而共有(1+21) Xll+2=121个数,所以第十二排的第一个数为122,最后一个数为122+ (23-1) X 1=144(2)前十四排共有196个数,前十五排共有225个数,所以207在第十五排,第十五排的第一个数是197,所以207是第(207-197=10)个数(3)前十二排共有144个数,所以第十三排的第一个数是145,而第十三排共有25 个数,所以最后一个数是145+ (25-1) X 1=169,所以和二(145+169) X25^-2=3925答案：(1) 122； 144 (2)第十五排第10个数(3) 3925例7: 15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理,中间的数即第8个数为：1995 - 15 = 133,所以这个数列最大的奇数即第15个数是：133 + 2x(15-8) = 147 0答案：147.例8:把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列,那么中间一个数为210 + 7=30,所以, 这7 个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.答案：第1个数：15：第6个数：40.例9:等差数列15, 19, 23,……443,求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差二19T5=4项数二(443-15) 4-4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为:15, 23, 31……439,公差为8,和为(15+439) X 544-2=12258 偶数项组成的数列为：19, 27, 35……443,公差为8,和为(19+443) X544-2=12474 差为12474-12258=216答案：216例10：在1〜100这一百个自然数中,所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数,在1〜100中,我们很容易知道能被9整除的最小的数是9 = 9x1,最大的数是99 = 9x11,这些数构成公差为9的等差数列,这个数列一共有：11 — 1 + 1 = 11 项,所以,所求数的和是：9 + 18 + 27 +…+99 = (9 +99)x11+2 = 594. 也可以从找规律角度分析.答案：594例11: 一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起,前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律,但是如果3个一组,会发现这样一个数列：6, 9,12, 15 ............即求首项是6,公差是3,项数是105+3=35的和末项末+3* (35-1) =108和二(6+108) *35+2=1995例12：在下而12个方框中各填入一个数,使这12个数从左到右构成等差数列,其中10、16 已经填好,这12个数的和为.□ □□ □□画□□画□□□分析：由题意知：这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数10和16知：公差为2, 那么第一个方格填26 ,最后一个方格是4 ,由等差数列求和公式知和为：(4 + 26)x12 + 2 = 180.答案：180.本讲小结：L 一个数列的前〃项的和为这个数列的和,我们称为.2.求和公式：和=(首项+末项)x项数+2 , = (% + %)x〃 +2.3.对于任意一个奇数项的等差数列,各项和等于中间项乘以项数.练习：1.求和：(1) 1+3+5+7+9= (2) 1+2+3+4+・・・+21 二(3) 1+3+5+7+94-- + 39=分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和. 答案：(1) 25 (2) 231 (3) 4002.求以下各等差数列的和.(1)1+2+3+…+100(2)3+6+9+…+39分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和. 答案：(1) 5050 (2) 2733. 一个等差数列4, 8, 12,16, 20, 24, 28, 32, 36这个数列的和是多少？分析：根据中项定理,这个数列一共有9项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：20X9=180答案：1804.所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是11,末项是99的奇数数列的和为多少.和二(11+99) X 45+2=2475答案：24755.数列1、5、9、13、……,这串数列中,前91个数和是多少?分析：首项是1,公差是4,项数是91,根据重要公式,可得：末项= 1+ (91-1) X4=361和二(1+361) X914-2=16471答案：164716.如图,把边长为1的小正方形叠成“金字塔形〞图,其中黑白相间染色,如果最底层有15个正方形,问：“金字塔〞中有多少个染白色的正方形,有多少个染黑色的正方于分析：由题意可知,从上到下每层的正方形个数组成等差数列, 厂其中4=1, 〞 = 2,?=15,所以〃 = (15-D+2 + l=8,所以,白色方格数是：1 + 2 + 3 +…+ 8=(l + 8)x8 + 2 = 36黑色方格数是：1 + 2 + 3 +…+7=(l + 7)x7 + 2 = 28.答案：287. (2005 + 2006 + 2007 + 2021 + 2021 + 2021 + 2021^ 2021 =.分析：根据中项定理知：2005 + 2006 + 2007 + 2021 + 2021 + 2021 + 2021=2021 x 7,所以原式= 2021x7^2021 = 7 o答案：7.8.把248分成8个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列.平均数：248 ・ 8=31,第4 个数：31-1=30：首项：30-6=24：末项：24+ (8-1) X2=38O即：最大的数为38.答案：389.求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差.分析：解法1：可以看出,2, 4, 6, 2000是一个公差为2的等差数列,1, 3, 5,…,1999也是一个公差为2的等差数列,且项数均为1000.所以：原式二(2+2000)X10004-2- (1+1999) X1000-？2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等,且对应项差1,所以1000项就差了1000个1,即原式二1000X1=100010.在1~ 100这一百个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算1~ 100的自然数和,再减去能被9整除的自然数和,就是所有不能被9整除的自然数和了^ 1 + 2 +…+100 = (1 + 100)x100 +2 = 5050 ,9 + 18 + 27 +…+99 = (9 + 99)x11+2 = 594 ,所有不能被9整除的自然数和：5050-594 = 4456.如果直接计算不能被9整除的自然数和,是很麻烦的,所以先计算所有1~100的自然数和,再排除掉能被9整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了.答案：59411.一个建筑工地旁,堆着一些钢管(如图),聪明的小朋友,你能算出这堆钢管一共有多少根吗？分析：观察发现,这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3,公差是1 ,末项是10, 项数是8根据求和公式,和二(3+10)根+2=52 (根)所以这堆钢管共有52根.答案：52根.12.求100以内除以3余2的所有数的和.解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列,首先求出一共有多少项,(98-2)+3+1 = 33 ,再利用公式求和(2+98)x 33 + 2 = 1650 0。
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小学生奥数等差数列练习题及答案
1. 对于下列等差数列，求出其公差并继续列出下一个项：
a) 3, 5, 7, 9, ...
解答：
a) 公差为2。
下一个项为11。
2. 给定等差数列的首项和公差，求出前n项的和。
a) 首项为2，公差为3，求前5项的和。
解答：
a) 首项为2，公差为3。
前5项的和为2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40。
3. 给定等差数列的前n项和以及首项，求公差。
a) 前6项的和为42，首项为3，求公差。
解答：
a) 前6项的和为42，首项为3。
根据等差数列求和公式，可得到以下方程：
(6/2) * (2 * 3 + (6 - 1) * d) = 42
18 + 15d = 42
15d = 24
d = 24/15
公差为8/5。
4. 在下列等差数列中，求第n项：
a) 1, 4, 7, 10, ...
解答：
a) 第n项可表示为1 + (n - 1) * 3。
例如，第5项为1 + (5 - 1) * 3 = 13。
5. 已知等差数列的首项和第n项，求公差。
a) 首项为5，第6项为20，求公差。
解答：
a) 第n项可表示为首项加上公差乘以(n - 1)。
根据已知条件，可得到以下方程：
5 + 5(n - 1) = 20
5n - 5 = 20
5n = 25
n = 5
公差为5。
6. 在下列等差数列中，求第n项的值：
a) -2, -5, -8, -11, ...
解答：
a) 第n项可表示为-2 - (n - 1) * 3。
例如，第6项为-2 - (6 - 1) * 3 = -17。
7. 对于下列等差数列，求出给定的项：
a) 2, 5, 8, 11, ...
求第10项。
求第20项。
解答：
a) 第n项可表示为首项加上公差乘以(n - 1)。
例如，第10项为2 + 3 * (10 - 1) = 29。
第20项为2 + 3 * (20 - 1) = 59。
8. 已知等差数列的首项和公差，求出前n项中大于m的项的个数。
a) 首项为2，公差为4，求前10项中大于15的项的个数。
解答：
a) 首项为2，公差为4。
首先确定等差数列中第一个大于15的项的索引。
可得到以下不等式：
2 + 4 * (k - 1) > 15
4k - 2 > 15
4k > 17
最小整数k为5，因此前10项中大于15的项的个数为10 - 5 + 1 = 6。
这些练习题旨在帮助小学生练习等差数列的应用。
通过掌握等差数
列的概念和求解方法，小学生可以更好地理解数列的规律，并且提升
数学解题能力。
希望本文提供的练习题和答案能对小学生的学习有所
帮助。