山西省太原市2020届高三年级数学文科模拟试题(三) (含答案)
．．'4已知等差数列｛αn｝的前h项和为S斗，且α2＝一2，α8= 10，则s9=太原市2020年高三年级模拟试题（三）B.42D. 36土豆J E；工1b=2b否C.3共60分）第I卷（选择题D.2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符•干棘7.已知sinα－cosα＝）豆，αε（0，τ），则ta nα＝合题目要求的．空斟半生，D. 1v2C.一－2B.( I'1)A. (-1, +oo)'lT8＇.已知向量e,,e2是夹角为一的两个单位向量，贝Ua=2e,+e2与b=-3e1 +2e2的夹角为3D. (I' +oo)c. (f,2)'lTB-3'lTA.-62.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们D.三主6c.主主3的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，'lT9.把函数f( x) = si r巾的图象向右平移一个单位后，得到函数y=g(x）的图象．则g（川的解12B. 10其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=A.9析式是D. 13c. 12B.g(x)= _..!_co s j2x -王\ 12A.g(x)＝圳市＋主123.设复数z满足I z -11 = I z -i IC i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（坷，y），则D.g(x）＝争巾1－2＋C仲）＝－±叫2x-iB.y = xD.(x + 1)2 +( y + 1)2 = 1高三数学（文｝第2页（共8页）第1页（共8页）高三数学（文）A. 455.''x>1”是“l o g2x＞。
”的c.25学试卷（文科）数.A.充分不必要条件c.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的α，b分别为3,1，则输出的n等于B.必要不充分条件A.5B.4注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第E卷5至8页。
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第E卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5: 00)（考试时间：下午3:00νzB.－一－2A.-11.已知集合A={ xl x2 -x -2 < 0 } , B = { xl2x -1 > 0 ｝，则A UB=，A. y=-xc. (x一1)2+(y-1)2=110.已知函数f(x ）是定义在R上的偶函数，且在区间［o,+IXl）单调递增．若实数α满足f (l og ρ） + f (log 1α）运2f(l），贝。
α的取值范围是。
‘B.[1,2] D.(0,2]A.I÷1C.I÷211.设F 1'F 2分别是双曲线主－i_ = 1（α＞0,b>O）的左、右焦点，若双曲线上存在点P,α2 b 2 使LF 1PF 2= 60。
，且J PF1J =2J PF 2J，则双曲线的离心率为B.v'王A.2D .v'612.在三棱锥P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=]_PB= 1,Q 是棱BC 上一个动点，若直线2 c.v'王〉王－A Q 与平面PBC 所成角的正切的最大值为一一，则该二棱锥外接球的表面积为2 B.7’rr D.9τA.61T c.8’π 第4页（共8页）高三数学（文）高三数学（文）第3页（共8页），，第 1 页 共 5 页太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14. 18 15. 112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 13(,)2-∞- , 132- 三、解答题（共70分）17. （本小题满分12分） （1）甲小区分数集中于60~90之间，乙小区分数集中于80~100之间，所以乙小区的平均分高. ………………3分（2）记分数为87的家庭为A 、B ，其他不低于80的家庭为C,D,E,F,则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ），（C,D ），（C,E ），（C,F ），（D,E ），（D,F ），（E,F ）共15个.“分数为87的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ）共9个，故所求概率. ………………8分 （3）因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关 .………………12分2240(3101710)20201327K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.584 5.204≈>.第 2 页 共 5 页18．(本小题满分12分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以B ＝π4． ...................................................................................6分 （2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ，所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925， 因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，sin θ＝ 1－cos 2θ＝45． 在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ ＝22×(35＋45)＝7 210． ············································· 7分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7 210× 2＝175． ······················· 8分 在△ABC 中，sin A ＝ 1－cos 2A ＝2425， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝ 22×(2425－725)＝17 250． ·············· 10分 由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175× 2217 250＝5． ············································· 12分 19(本小题满分12分)解（1）如图，连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE ，....................................................1分 因为四边形11AAC C 是矩形, 所以 点E 是1AC 的中点，........................................... 2分 因为D 是11B C 的中点，所以 DE ∥1AB ， ...............................................................3分第 3 页 共 5 页因为1AB ⊄平面1ACD ，DE ⊂平面1ACD ，所以 1AB ∥平面1ACD ., ...................................................4分 （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以 111AA AC ⊥， 因为1111111A B AC A A A B ⊥=，， 所以 111AC B C =，.................................................................................................. 5分 因为1AB 和BC，所以11cos AB C ∠=，........... 6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，，所以1AB .......................................7分 在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C ， ................................................................................................ 8分因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以11=3AC ，因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥⋂=，所以111C A A B ⊥平面， 同理111A B AC ⊥平面，.............................................................................................. 10分 所以 11111=A B DCA D A AB D AA CV V V --+， 113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯2= ， 所以 几何体11A B DCA 的体积为2. .................................................................12分20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b +=． ..................................................2分 解得24a =，23b =， .............................................................4分 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分 （2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分 E B 1C 1A 1D CB A第 4 页 共 5 页若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m 2|，即为1． 若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ． ......................................8分 故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n 2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2． 将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ..................................10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ...................................12分 21．(本小题满分12分)解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，当1k =-时，1()ln ,()1f x x x f x x'=-=-， ………………1分 令()0f x '=，得1x =，当()0,01;()0,1f x x f x x ''><<<>， ………………3分 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 有极大值点1x =，无极小值点． ………………6分（2）当0k =时，()ln b b f x a x a x x+-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-∈恒成立，则ln 0(,)b x a a b R x+-∈恒成立， 所以ln b a x x+恒成立， ………………7分 令ln b y x x =+，则2x b y x -'=， 由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增， ………………9分 所以ln 1a b +，所以1ln a b - ………………10分 所以1a e b -，111a e b --+， ………………11分第 5 页 共 5 页 故当且仅当1a e b -=时，11a e b --+的最大值为1． ………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分 直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,2x y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22329⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分 1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB⋅||21t t ==4, 所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ……………………………3分 解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分 （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集. 33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},若集合A={1,2,3,5}，B={2,3,4}则(C U A)∪B为()．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (0,1)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=26，a11=10，则a20=()A. 26B. 28C. 30D. 324.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是()A. 101102B. 100101C. 99100D. 98997.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.设变量x，y满足约束条件{2x+y≤2x+2y≤2x≥0 y≥0，则目标函数z=−2x+y的最大值是()A. 4B. 2C. 1D. −239.若对任意x∈R，都有cos(2x−5π6)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω,φ)的对数为A. 0B. 1C. 2D. 310.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，已知某“堑堵”和“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 5√36B. 7√36C. √36D. 3√3611.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=√3(x−1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=163，则p=()A. 8B. 4C. 2D. 112.函数f(x)是定义域在R的可导函数，满足：f(x)<f′(x)且f(0)=2，则f(x)e x>2的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是______，实轴长为______．14.已知函数f(x)=ax−log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数，则a=________________．15.如图，四边形ABCD和ABEF均是边长为1的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF.M，N分别为对角线AC，BF上两点，则MN的最小值为________．16.已知首项为1的数列{a n}，满足a n+1=11+a n(n∈N∗)，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数6a24b(Ⅰ)求a、b、c的值；(Ⅱ)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；(Ⅲ)已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现在再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中恰有1人为“优秀”的概率．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若sin(A+π)=2cos A，求A的值；6(2)若cos A=1，b=3c，求sin C的值.319.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D−BCG的体积．20. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4√2y 的焦点，离心率等于√63.椭圆E 的左焦点为F ，过点M(−3,0)任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)求△MBC 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由题意，可得1+x<0，即可得解．解：∵复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1，∴x的取值范围是(−∞,−1)．故选A．3.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的性质求解即可．=13a7=26，所以a7=2，解：S13=13(a1+a13)2所以4d=a11−a7=8，解得d=2，所以a20=a11+9d=10+9×2=28．故选B．4.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：B解析：本题考查的知识要点：程序框图在数列中的应用，利用裂项相消法求数列的和的应用．属于基础题型．直接利用程序框图的循环结构，数列的求和和利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：根据程序框图：S=S+1i −1i+1，执行第一次循环时：S=0+1−12=12，执行第二次循环时，S =1−12+12−13=23，当n =100时，输出结果为：S =1−12+12−13+⋯−1101=1−1101=100101．故选：B ． 7.答案：B解析：本题主要考查函数图像的识别，考查学生思考推理的过程．解：因为f(−1)=|2−1−2|2−1+2=35，f(1)=|21−2|21+2=0，所以f (−1)≠f (1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ，又f (0)=13，排除D ．故选B ． 8.答案：C解析：本题考查利用简单线性规划求最值.由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z =y −2x 的最大值的位置，即可求出其最值．解：由题意，作出可行域，如图所示：由{x +2y =2x =0，得A(0,1)，由z=−2x+y得y=2x+z，平行移动直线y=2x+z，当直线过点A时，截距最大，则z的值最大，∴目标函数z=−2x+y的最大值是1.故选C．9.答案：C解析：本题考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．由诱导公式可得，cos (2x−5π6)=sin (2x−π3)，即可得ω=±2，从而可得ω=2时φ=−π3；ω=−2时，φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，即可得结果．解：cos(2x−5π6)=cos(2x−π3−π2)=sin(2x−π3)，由条件知ω=±2，若ω=2，由φ=−π3+2kπ(k∈Z)且|φ|<π，得φ=−π3；若ω=−2，sin(−2x+φ)=sin(2x+π−φ)，则π−φ=−π3+2kπ(k∈Z)，所以φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−2π3．故选C．10.答案：A解析：解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和√3，高为1，其体积V1=13×√3×1=√33左边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是√3和1的直角三角形，高为1，其体积V2=12×1×√3=√32∴该几何体的体积V=V1+V2=√33+√32=5√36．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：直线l：y=√3(x−1)与抛物线y2=2px联立，可得3x2+(−6−2p)x+3=0，Δ=(6+2p)2−36>0，x1+x2=6+2p3,x1x2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=2|x1−x2|，∴2√(6+2p3)2−4=163，∴p=2，故选：C．直线与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求出p．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)<f′(x)，∴F′(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增；∵f(0)=2，∴不等式f(x)e x>2等价为F(x)>F(0)，解得x>0，所求不等式的解集为(0,+∞)．故选：B．根据条件构造函数F(x)=f(x)e x，求函数F(x)的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．13.答案：√3x±2y=0 4解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．解：双曲线x24−y23=1，可得a=2，b=√3，所以双曲线的渐近线方程是：√3x±2y=0，实轴长为：4．故答案为：√3x±2y=0；4．14.答案：12解析：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．根据偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即可得−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+ 1)+cos x，整理即可求得a．解：因为f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cos x，∴2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=log22x+12−x+1=x，由x的任意性2a=1，可得a=12．故答案为12．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33． 16.答案：23解析：本题主要考查数列项的求解，属于基础题，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据数列的递推关系即可得到结论．解：∵首项为1，满足a n+1=11+a n ∴a 2=11+1=12，a 3=11+12=23，故答案为：2317.答案：解：(Ⅰ)由频率和为1，得(0.005+c +0.02+0.01)×20=1，解得c =0.015，由a 6=0.0150.005，解得a =18，由b 6=0.010.005，解得b =12；(Ⅱ)该校安全意识测试评定为“优秀”的频率是0.01×20=0.2，估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数为3000×0.2=600；(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人，抽取比例为12：24=1：2；“优秀”人数选2人，记为A、B，“良好”人数选4人，记为C、D、E、F，现再从这6人中任选2人，基本事件数是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，选取的2人中有1人为“优秀”的基本事件数是AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF共8种，故所求的概率为P=815．解析：本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值．(Ⅰ)由频率和为1求出c的值，根据频率与频数的比例关系求出a、b的值；(Ⅱ)计算评定为“优秀”的频率，求出对应的频数即可；(Ⅲ)采用分层抽样法，抽取优秀和良好的学生分别为2人和4人，18.答案：解：(1)由题意知sin Acosπ6+cos Asinπ6=2cos A，即sin A=√3cos A，且cos A≠0，所以tan A=√3，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由cos A=13，b=3c，及a2=b2+c2−2bccos A，可得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，所以sin C=cos A=13．解析：本题考查三角形的余弦定理、考查两角和的正弦公式，属于基础题．(1)利用两角和的正弦公式，即可求出角A的正弦，从而求出角A;(2)利用余弦定理得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，即可求解．19.答案：证明：(1)∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF//AD，∴EF⊥平面BCG．解：(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB⋅sin60°=2√3，∴三棱锥D−BCG的体积：V D−BCG=V G−BCD=13×12×BD×BC×sin120°×√3=4．解析：(1)推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF//AD，由此能证明EF⊥平面BCG．(2)作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D−BCG的体积V D−BCG=V G−BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)e x−1，∴f′(x)=(x−1)e x−1，∴k=f′(2)=e，∵f(2)=0，∴y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=e(x−2)；(2)g(x)=f(x)+alnx−x=(x−a−1)e x−1+alnx−x，x>0，∴g′(x)=(x−a)e x−1+ax−1，x>0，由g′(x)=(x−a)e x−1−x−ax=(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．21.答案：解：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，抛物线x 2=4√2y 的焦点为(0,√2)，由题意可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2， 解得a =√6，b =√2，c =2，∴椭圆E 的方程为x 26+y 22=1；(Ⅱ)证明：点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3)，联立{y =k(x +3)x 2+3y 2=6得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6=0， △=(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k ，x 1x 2=27k 2−61+3k ，y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，∵F(−2,0)，C(x 1,−y 1).∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)， ∵(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)=(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)=k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[2⋅27k 2−61+3k 2+5⋅(−18k 21+3k 2)+12]=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：k 2<23，由题意可知：S =12|MF||y 1|+12|MF||y 2|=12|MF||y 1+y 2|=12|k(x 1+x 2)+6k|=3|k|1+3k 2=31|k|+3|k|≤2√3=√32． 当且仅当k 2=13<23，“=”成立，∴k 2=13时，△MBC 面积S 取得最大值√32．解析：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意可知可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2，解方程即可得到所求；(Ⅱ)点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3).设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(−2,0)，C(x 1,−y 1)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，利用向量共线定理即可判断出； (Ⅲ)利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得：x无解或1≤x≤2或2<x≤4，故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]；(2)由(1)可知f(x)在(−∞,2]时单调递增，在[2,+∞)时单调递减，则f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13(2√2ab·2ba+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以2a +1b的最小值为3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)f(x)≥13(x−1)转化为{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，先求出每个不等式组的解集，再求它们的并集即可；(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，再由基本不等式即可求出．。
2020届山西省太原市一模数学(文科)试卷及答案
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．194．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+ 与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．15．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13326．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．1377．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为()A ．3B ．5C ．8D ．119．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A 3B ．3C 3D ．411．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()x xx f x f x e-'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是．14．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆，求11a b+的值．19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}【解答】解：{0U A = ð，4}，(){0U A B ∴= ð，2，4}；故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞【解答】解： 复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1020m m +<⎧⎨->⎩，解得1m <-．∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：525S = ，23a =，53255S a ∴==，则35a =，则公差322d a a =-=，11a =，则918217a =+⨯=．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．1【解答】解： 平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，(∴2)46100a b b a b b λλλ+=+=++=，求得1λ=-，故选：C ．5．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为222222232=，故概率716P =．故选：C ．6．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．137【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列1{}(1)n n +前四项的和再加上1．111(1)1n n n n =-++，11111111(1)()()(2233445S ∴=+-+-+-+-95=．故选：B ．7．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C．D ．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．5C．8D．11【解答】解：作出可行域如图，由2z x y=+知，1122y x z =-+，所以动直线1122y x z=-+的纵截距12z取得最大值时，目标函数取得最大值．由16xx y=⎧⎨+=⎩得(1,5)A．结合可行域可知当动直线经过点(1,5)A 时，目标函数取得最大值12511z =+⨯=．故选：D ．9．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解： 对于任意实数x 都有sin(3sin()3x ax b π-=+，则函数的周期相同，若3a =，此时sin(3sin(3)3x x b π-=+，此时5233b πππ=-+=，若3a =-，则方程等价为sin(3)sin(3)sin(3)sin(3)3x x b x b x b ππ-=-+=--=-+，则3b ππ-=-+，则43b π=，综上满足条件的有序实数组(,)a b 为5(3,3π，4(3,)3π-，共有2组，故选：B ．10．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A B ．3C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以r ==．故选：C ．11．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定【解答】解：120k k +=，231k k =- 可得设1l d 的斜率为k ，则2l ，3l 的斜率分别为：k -，1k，设直线1l 的方程为：(1)2y k x =-+，则2l 的方程为(1)2y k x =--+，3l 的方程为1(1)2y x k=-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立直线1l 与抛物线的方程：2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4](2)0k x k k x k +--+-=，所以22(2)1A k x k -=，所以22(2)A k x k -=，代入直线1l 中可得22(2)44(1)2[1]2A k k y k x k k k --=-+=-+=，即22(2)(k A k -，42kk -；联立直线2l 与抛物线的方程可得2(1)24y k x y x =--+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4(2)0k x k k x k -++++=，所以22(2)1B k x k +=，可得22(2)B k x k +=，代入2l 中可得22(2)24(1)2[1]2B k k y k x k k k ++=--+=--+=-，即22(2)(k B k +，24k k +-；联立直线3l 与抛物线的方程：21(1)24y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理可得24840y ky k -+-=，284C y k =- ，所以42C y k =-，代入抛物线的方程可得2(21)C x k =-，可得2((21)C k -，42)k -；所以222224224818(2)(2)ABk k k k k k k k k k k k -++===---+-为定值；故选：B ．12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()xxx f x f x e -'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令()(2)()g x x f x =-，2x <，由题意可得，1()xxg x e -'=，当1x >时，()0g x '<，函数单调递减，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，又(0)0g =，2x →时，()0g x →，由()0f x <可得()02g x x <-即()0g x >，结合函数图象可知，02x <<．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是4．【解答】解：双曲线2228x y -=化为标准方程为22148x y -=24a ∴=2a ∴=24a ∴=即双曲线2228x y -=的实轴长是4故答案为：414．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为12-．【解答】解：（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-即441log 241x xkx -+=-+，4log 42x kx=-2x kx ∴=-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-故答案为12-．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+= ，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||3min MN ==．MN ∴．故答案为：3．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =1m +．【解答】解：11a = ，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，123a a a ∴+=，234a a a +=，345a a a +=，⋯⋯201920202021a a a +=，202020212022a a a +=，以上累加得：12342020202134202120222222a a a a a a a a a a ++++⋯⋯++=++⋯⋯++，123202020222a a a a a a m ∴+++⋯⋯+=-=，20221a m ∴=+，故答案为：1m +．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：0.002200.00620200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008a =，设中位数是110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=，解得15x =，∴中位数是125．（Ⅱ）由175(0.002200.006200.00820)98⨯⨯+⨯+⨯=，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间(150，170]中有28人，在区间(170，190]中有7人，在区间(190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]和(190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数2615n C ==，这两人均来自区间(150，170]包含的基本事件个数246m C ==，∴这两人均来自区间(150，170]的概率62155m p n ===．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆的面积为2，求11a b+的值．【解答】解：（Ⅰ）212cos sin()cos 362C c C ππ++=-，1sin()cos 62C C π∴+-=，∴11cos cos 222C C C +-=，∴11cos 222C C -=，1sin(62C π∴-=，而C 为三角形的内角，3C π∴=；（Ⅱ）ABC ∆，及3C π=，得1sin 23ab π=化简可得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得2215a b +=，a b ∴+=，∴11a b a b ab ++==19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===，∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1A C BC =，G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DG CG G = ，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A D BD D = ，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112A G AB ==，DG =，∴11111222A DG S A G DG =⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥1G A DC -的体积：1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．【解答】解：（1）(0)0f =．∴切点为(0,0)．()sin x f x e x '=+．(0)1f ∴'=，()f x ∴在点(0，(0))f 处的切线方程为：00y x -=-，化为：0x y -=．证明：（2）()sin x f x e x '=+．0x 时，1x e ，()0f x ∴' ，∴函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，而(0)0f =，∴函数()f x 在[0，)+∞上只有一个零点0．(2x π∈-，0)时，()cos 0x f x e x ''=+>．∴函数()f x '在(2x π∈-，0)上单调递增，而21(102f eππ'-=-<，(0)10f '=>，∴存在唯一实数0(2x π∈-，0)，使得000()sin 0x f x e x '=+=，且函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上单调递减，0(x x ∈，0)上单调递增．又21()02f eππ-=>，00000()cos sin cos 0x f x e x x x =-=--<，(0)0f =．∴函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上存在唯一零点，而在0[x x ∈，0)上无零点．综上可得：()f x 在(2π-，)+∞上仅有2个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，1||||AB BF = ，1||3BF m ∴=，由椭圆定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，故此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b -，从而由已知条件可得3(2B ，)2b，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为：22132x y +=；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆22236x y +=中，得：22(23)440m y my ++-=，∴122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，∴1212y y m y y +=，由题设知(2,0)H ，直线BH 斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，∴直线BH 的方程为：1(2)y y x =-，而直线2l 方程为：1y y =，代入1(2)y y x =-，得3x =，故点C 的横坐标是定值3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos 16θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ==．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a-<且1a->，∴312a-<<-．实数a的取值范围：3(2-，1)-．。
2020年山西省高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
的一个零点是 ，且在
内有且只有两个极值点，则
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知向量 ， 满足| |=2| |=1， ⊥（ - ），则|2 + |=______．
14. 若 x，y 满足约束条件
，则 z=2x+y 的最小值为______．
15. 已知直线 l：xcosα+ysinα=1（α∈R）与圆 C：x2+y2=r2（r＞0）相交，则 r 的取值范围是______． 16. 函数 f（x）为偶函数，当 x≥0 时，f（x）=ex，则线 y=f（x）在 x=-1 处的切线方程为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
在
内为增函数，无极值点；
在
内有一个极值点 ；
在
内有极大值点 ，极小值点为 ，满足题意；
在
内有三个极值点 ， ， 不满足题意．
故选：C． 利用正弦函数的图象与性质，判断函数的极值的个数，推出选项即可． 本题考查函数的极值的求法，正弦函数的图象与性质的应用，是基本知识的考查．
6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A. 12π B. 16π
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C. D.
7. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三 角形较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦．如图，现将一 个勾 3 股 4 弦 5 的三角形放入平面直角坐标系 xOy 中，在坐标平面中 任取一点 M（x，y），其中 x∈{0，1，2，3，4}，y∈{0，1，2，3}， 则点 M 落在该三角形内（含边界）的概率为（ ）
5.答案：D
太原市2020年高三三模试题数学文科答案
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14. 18 15. 112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 13(,)2-∞-, 132- 三、解答题（共70分） 17. （本小题满分12分）（1）甲小区分数集中于60~90之间，乙小区分数集中于80~100之间，所以乙小区的平均分高. ………………3分 （2）记分数为87的家庭为A 、B ，其他不低于80的家庭为C,D,E,F, 则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ），（C,D ），（C,E ），（C,F ），（D,E ），（D,F ），（E,F ）共15个.“分数为87的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ）共9个， 故所求概率. ………………8分（3）因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关 .………………12分2240(3101710)20201327K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.584 5.204≈>.18．(本小题满分12分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以B ＝π4． ...................................................................................6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ， 所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，sin θ＝ 1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 7分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7 210× 2＝175． ······················· 8分 在△ABC 中，sin A ＝ 1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 10分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ············································· 12分 19(本小题满分12分)解（1）如图，连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE ，....................................................1分 因为四边形11AAC C 是矩形, 所以 点E 是1AC 的中点，........................................... 2分 因为D 是11B C 的中点，所以 DE ∥1AB ，...............................................................3分因为1AB ⊄平面1ACD ，DE ⊂平面1ACD ，所以 1AB ∥平面1ACD ., ...................................................4分 （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以 111AA AC ⊥，因为1111111A B AC A A A B ⊥=，，所以 111AC B C =，.................................................................................................. 5分 因为1AB 和BC，所以11cos AB C ∠=，........... 6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，，所以1AB .......................................7分 在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C ，................................................................................................ 8分 因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以11=3AC ， 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥⋂=，所以111C A A B⊥平面，同理111A B AC ⊥平面，.............................................................................................. 10分所以 11111=A B DCA D A AB D AA CV V V --+，113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯2= ， 所以 几何体11A B DCA 的体积为2. .................................................................12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分EB 1C 1A 1DCBA若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ......................................8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ..................................10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ...................................12分 21．(本小题满分12分)解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞， 当1k =-时，1()ln ,()1f x x x f x x'=-=-， ………………1分 令()0f x '=，得1x =，当()0,01;()0,1f x x f x x ''><<<>， ………………3分 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 有极大值点1x =，无极小值点． ………………6分（2）当0k =时，()ln b bf x a x a x x+-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-∈恒成立，则ln 0(,)bx a a b R x+-∈恒成立，所以ln ba x x +恒成立， ………………7分令ln b y x x =+，则2x by x-'=，由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增， ………………9分 所以ln 1a b +，所以1ln a b - ………………10分 所以1a e b -，111a e b --+， ………………11分故当且仅当1a e b -=时，11a e b --+的最大值为1． ………………12分 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,2x y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22329⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ……………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。
2020年山西太原高三三模文科数学试卷-学生用卷
2020年山西太原高三三模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第1题5分2020年安徽合肥高三一模理科第1题5分已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|2x−1>0}，则A∪B=（）．A. (−1,+∞),1)B. (12,2)C. (12,+∞)D. (122、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第2题5分某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=（）．A. 9B. 10C. 12D. 133、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第3题5分2020年安徽合肥高三一模理科第2题5分设复数z满足|z−1|=|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x,y)，则（）．A. y=−xB. y=xC. (x−1)2+(y−1)2=1D. (x+1)2+(y+1)2=14、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第4题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第3题5分已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=−2，a8=10，则S9=（）．A. 45B. 42C. 25D. 365、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第5题5分2020年四川高三二模文科第3题5分2020年四川眉山高三三模文科第3题5分“实数x>1”是“log2x>0”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第6题5分2020年河南郑州高三一模理科第7题5分2020年山西太原高三三模理科第5题5分宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）．A. 5B. 4C. 3D. 27、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第7题5分2017~2018学年河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期期中第9题5分2018~2019学年天津和平区高一上学期期末第6题2016~2017学年辽宁沈阳和平区沈阳铁路实验中学高一下学期期中理科第2题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高一下学期期中第4题已知sinα−cosα=√2，α∈(0,π)，则tanα=（ ）．A. −1B. −√22C. √22D. 18、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第8题5分已知向量e 1→，e 2→是夹角为π3的两个单位向量，则a →=2e 1→+e 2→与b →=−3e 1→+2e 2→的夹角为（ ）． A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第9题5分2020年山西太原高三三模理科第9题5分把函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数y =g (x )的图象．则g (x )的解析式是（ ）．A. g (x )=sin 2(x +π12) B. g (x )=−12cos(2x −π12)C. g(x)=−12cos(2x−π6)+12D. g(x)=12sin(2x−π6)+1210、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第10题5分2020年山西太原高三三模理科第10题5分已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增．若实数a满足f(log2a)+ f(log12a)⩽2f(1)，则a的取值范围是（）．A. [12,1]B. [1,2]C. [12,2]D. (0,2]11、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第11题5分设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，若双曲线上存在点P，使∠F1PF2=60°，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）．A. 2B. √3C. √5D. √612、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第12题5分2020~2021学年12月重庆沙坪坝区重庆市第七中学高二上学期月考第9题2020年四川德阳高三一模理科第8题5分在三棱锥P−ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=12PB=1，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为√52，则该三棱锥外接球的表面积为（）．A. 6πB. 7πC. 8πD. 9π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第13题5分2020年山西太原高三三模理科第13题5分已知函数f(x)={log12x(0<x⩽1)x2−1(x>1)，则f(f(18))=．14、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第14题5分抛物线y=px2经过点(1,4)，则抛物线的焦点到准线的距离等于．15、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第15题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第14题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+a n=−2，则数列{a n}的通项a n=．16、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第16题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第15题5分对任意正整数n，函数f(n)=2n3−7n2cosnπ−λn−1，若f(2)⩾0，则λ的取值范围是；若不等式f(n)⩾0恒成立，则λ的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第17题12分垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．太原市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动．现有甲、乙两个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自小区居民进行了有关垃圾分类知识的培训，并参加了评比活动，评委会随机从两个小区各选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图．(1) 依茎叶图判断哪个小区的平均分高？(2) 现从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户，求分数为87的家庭至少有一户被抽中的概率．(3) 如果规定分数不低于85分的家庭为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关？”参考公式和数据：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，其中n =a +b +c +d ．18、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第18题12分2020年江苏南京高三二模理科第16题14分在△ABC 中，已知角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a =bcosC +csinB ．(1) 求B 的值．(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD =177，cosA =−725，求b 的值．19、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第19题12分2019~2020学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期期末文科第18题12分 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B 1⊥A 1C 1，D 是B 1C 1的中点，A 1A =A 1B 1=2．(1) 求证：AB1//平面A1CD．(2) 异面直线AB1和BC所成角的余弦值为√2613，求几何体A1B1DCA的体积．20、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第20题12分2020年山西太原高三三模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1,32)．(1) 求椭圆C的方程．(2) 已知△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点O到直线MN距离的最小值．21、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第21题12分2020年四川南充高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=lnx+kx．(1) 当k=−1时，求函数f(x)的极值点．(2) 当k=0时，若f(x)+bx−a⩾0(a,b∈R)恒成立，求e a−1−b+1的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第22题10分2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期末理科第22题10分2020年山西太原高三三模理科第22题10分已知曲线C的极坐标方程是ρ−6cosθ=0，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M(0,2)，倾斜角为34π．(1) 求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程．(2) 设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第23题10分2020年山西太原高三三模理科第23题10分2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期末理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|+|x−2a|．(1) 若a=1，解不等式f(x)<4；(2) 对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2−2m+4=f(x)，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 A;13 、【答案】8;14 、【答案】18;15 、【答案】−(12)n−1，(n∈N∗);16 、【答案】(−∞,−132];−132;17 、【答案】 (1) 乙小区的平均分高．;(2) 35．;(3)有关．;18 、【答案】 (1) B=π4．;(2) b=5．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) √32．;21 、【答案】 (1) f(x)有唯一的极大值点x=1，无极小值点．;(2) 1．;22 、【答案】 (1) (x−3)2+y2=9；{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．;(2) 5√24．;23 、【答案】 (1) (−32,52 )．;(2) [−2,1]．;。
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试 (三)数学(文)试题 (PDF版含答案)
因为 D 是 B1C1 的中点，所以 DE ∥ AB1 ， ...............................................................3 分
有关 .
………………12 分
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5
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为 a＝bcosC＋csinB， 由sianA＝sibnB＝sincC，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．·····································2 分 又因为 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
第2页共5页
6
因为 AB1 平面 A1CD ， DE 平面 A1CD ，
所以 AB1 ∥平面 A1CD ., ...................................................4 分
C1
D
A1
E
B1
（2）因为棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 A1C1 ，
由sAinDB＝sin∠ABADB，得 AB＝AD·ssinin∠BADB＝177×7102× 2＝157． ·······················8 分 在△ABC 中，sinA＝ 1－cos2A＝2254， 所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 22×(2254－275)＝1750 2． ··············10 分
1
2
2020届山西省太原五中高三(文科)数学模拟试卷3月(解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）2．已知复数，则|z|＝（）A．1B．2C．D．3．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．4．若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0 5．已知函数f（x）＝x3+x+1+sin x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A．B．C．D．8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（，），则输入的n 的值为（）A．7B．6C．5D．49．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．11．若，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]内，有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是．14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝．15．在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab＝16．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD 的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C，F两点，则．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C＝2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．18．如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：全额分组[1，5）[5，9）[9，13）[13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．20．已知椭圆C：的离心率为，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4­4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．[选修4­5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0＜x＜e}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．1B．2C．D．【分析】利用复数模的运算性质即可得出．解：复数，则|z|1．故选：A．【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】根据向量在方向上的投影，带入数值即可．解：∵向量，向量；∴•（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）×4＝3﹣8＝﹣5；∴向量在方向上的投影．故选：B．【点评】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题．4．若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0【分析】设出A、B坐标，利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程．解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），P为AB中点，A，B在椭圆上，，，两式相减得：，x1+x2＝4，y1+y2＝2，可得：，则k，且过点P（2，1），有y﹣1（x﹣2），整理得8x+9y﹣25＝0．故选：A．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）＝x3+x+1+sin x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x+sin x，x∈R．利用函数的定义判断奇偶性，利用导数判断函数的单调性即可转化求解实数a的取值范围．解：令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x+sin x，x∈R．则g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）在R上为奇函数．g′（x）＝3x2+1+cos x≥0，∴函数g（x）在R上单调递增．f（a﹣1）+f（2a2）≤2，化为：f（a﹣1）﹣1+f（2a2）﹣1≤0，即g（a﹣1）+g（2a2）≤0，化为：g（2a2）≤﹣g（a﹣1）＝g（1﹣a），∴2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得﹣1≤a．∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故选：C．【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断．解：命题p：∀x∈R，x2＞0，为假命题，故￢p为真命题；命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，当α＝﹣β成立，所以命题q为真命题，￢q为假命题，则p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，￢p∧q为真命题，p∧￢q为假命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p＝3p＝1，解得p，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为，②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为，则概率为，故选：A．【点评】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键．8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（，），则输入的n 的值为（）A．7B．6C．5D．4【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，k的值，由题意，说明当算出的值S∈（，）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行循环体，S，k＝1+1＝2；判断2＞n不成立，执行循环体，S，k＝2+1＝3；判断3＞n不成立，执行循环体，S，k＝3+1＝4；判断4＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝5．判断5＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝6．判断6＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝7．…由于输出的S∈（，），可得：当S，k＝6时，应该满足条件6＞n，即：5≤n ＜6，可得输入的正整数n的值为5．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．解：∵，∴函数f（x）为奇函数，又∵，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴DD1为z轴，D为坐标原点，由题意知A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0），设D（0，0，a），则C1（0，8，a），∴（6，8，0），（﹣6，8，a），∴cos，由题意可得：，解得：a2＝96，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为R，则（2R）2＝82+62+a2＝196，所以该长方体的外接球的表面积S＝4πR2＝196π，故选：B．【点评】考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题．11．若，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]内，有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1，所以f （x），故f（x），题目问题等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合法即可求出m的取值范围．解：依题意，，又当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1，所以f（x），故f（x），由在区间（﹣1，1]内有两个零点，得方程f（x）＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个根，等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个交点，而函数y＝m（x）恒过定点（，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：，当y＝m（x）过点（1，1）时，斜率m，当y＝m（x）过点（1，0）时，斜率m＝0，由图象可知，当0＜m时，两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，是中档题．12．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A．B．C．D．【分析】依题意，的两根为x1，x2，设，利用导数可知0＜x1＜1，x2＞1，则可得，．解：f′（x）＝x﹣ae x，则f′（x）＝0的两根为x1，x2，即的两根为x1，x2，设，则，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数g（x）的图象如下，由图可知，0＜x1＜1，x2＞1，且当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值，又x1∈（0，1），故，f（x）极大值，又x2∈（1，+∞），故．故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是﹣8．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过M时，z取得最小值．解：画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示．⇒M（﹣3，1）平移直线3x+y＝0，易知当直线z＝3x+y经过点M（﹣3，1）时，目标函数z＝3x+y取得最小值，且z min＝3×（﹣3）+1＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题．14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝3．【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．15．在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab＝【分析】由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cos C，结合范围C∈（0，π），可求C，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．解：∵（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，∴（a+b）b＝c2﹣a2，可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C，∵C∈（0，π），∴C，∵△ABC的面积记为S，2，当且仅当S，即S ab sin C ab时等号成立，解得此时ab．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD 的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C，F两点，则．【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．解：由题意可得，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2＝2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2＝0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C＝2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cos B，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cos B的最小值．解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，利用正弦定理化简得：2sin B＝sin A+sin C，∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴sin A+sin C＝2sin B＝2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴cos B，当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18．如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，推导出GF∥AB ∥CD，EG∥DP，从而平面GEF∥平面PDC，进而当点F为BP中点时，使得直线EF ∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面PBC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，∵AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，∴GF∥AB∥CD，EG∥DP，∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC，∵EF⊂平面GEF，∴当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．∴cos120°，解得CD＝6，A（0，0，3），B（6，0，3），P（﹣2，2，0），C（6，0，0），设F（a，b，c），由PB＝3BF，得，即（a﹣6，b，c﹣3）（﹣8，2，﹣3），解得a，b，c＝2，∴F（，，2），（，﹣1），（0，0，3），（﹣8，2，0），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，0），设直线AF与平面PBC所成角为θ，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：sinθ．【点评】本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：全额分组[1，5）[5，9）[9，13）[13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．【分析】（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．（Ⅱ）先求出手气红包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，在[21，25]内有2人，由此能求出事件“|m﹣n|＞16“的概率P（|m﹣n|＞16）．解：（Ⅰ）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：p，∴产生的手气红包的金额不小于9元的频率为．（Ⅱ）手气红包在[1，5）内的频率为0.06，手气红包在[5，9）内的频率为0.18，手气红包在[9，13）内的频率为0.34，手气红包在[13，17）内的频率为0.22，手气红包在[17，21）内的频率为0.16，手气红包在[21，25]内的频率为0.04，则手气红包金额的平均数为：3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04＝12.44．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率p．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人，设红包金额分别为x，y，若m，n均在[1，5）内，有3种情况：（a，b），（a，c），（b，c），若m，n均在[21，25]内只有一种情况：（x，y），若m，n分别在[1，5）和[21，25）内，有6种情况，即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），∴基本事件总数n＝10，而事件“|m﹣n|＞16“所包含的基本事件有6种，∴P（|m﹣n|＞16）．【点评】本题考查频率的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用．20．已知椭圆C：的离心率为，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）过P的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点A，B的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程，与椭圆联立．由判别式等于0可得参数的关系，进而可得PA，PB的斜率之积，由直线PA，PB互相垂直可得斜率之积等于﹣1，进而可得m，n之间的关系，即P的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P也在轨迹方程上；因为PA，PB互相垂直，所以三角形PAB 的面积为S△ABP|PA|•|PB|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，可得球切线PA的斜率为1，求出直线PA的方程，与椭圆联立求出A的坐标，进而求出|PA|的值，再求|AB|的值，即求出三角形PAB面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意可得e，1，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的方程为：1；（Ⅱ）设两个切点分别为A，B，①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A，B两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P的坐标为：（±2，±），②当两条切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线的方程为：y﹣n＝k（x﹣m），联立直线y﹣n＝k（x﹣m）和椭圆的方程，整理可得（1+2k2）x2﹣4k （km﹣n）x+2（km﹣n）2﹣4＝0，由题意可得△＝16k2（km﹣n）2﹣4（1+2k2）[2（km﹣n）2﹣4]＝0，整理可得（m2﹣4）k2﹣2kmn+n2﹣2＝0，所以k1•k2，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1•k2，而PA，PB互相垂直，所以1，即m2+n2＝6，（m≠±2），又因为P（±2，）在m2+n2＝6上，所以点P在圆x2+y2＝6上．因为l1⊥l2，所以S△ABP|PA|•|PB|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，即P在椭圆的短轴所在的直线上时即P（0，），由圆及椭圆的对称性设P（0，），则直线PA的斜率为1，可得直线PA的方程为：y ＝x，代入椭圆的方程可得3x2+4x+8＝0，解得x，y，即A（，），所以|PA|，所以AB2＝2|PA|2，所以（S△ABP）max．【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，和求轨迹方程，属于中难题．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈一、选择题）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；（2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），则函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点等价于g（x）在区间（0，+∞）内至少有两个不同的零点，由可知，当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去．当a＞0时，由g'（x）＞0得，，即函数g（x）在区间上单调递增；由g'（x）＜0得，，即函数g（x）在区间上单调递减；故要满足题意，必有，解得：a＞2e；（2）证明：由（1）可知，，故要证：，只需证明：，即证：不妨设0＜x1＜x2，即证，构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，由，所以函数h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h（t）＜h （1）＝0得证，或证：即证：，只需证明：，而由（1）可知，故上式成立，即可得：．【点评】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4­4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．解：（1），消去参数可得x﹣y＝1直线l的极坐标方程为．由．得ρcos2θ＝sinθ⇒ρ2cos2θ＝ρsinθ得y＝x2（x≠0）…..（2）设P（x0，y0），则点P到直线l的距离为当..当P到直线l的距离最小，最小．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．[选修4­5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|．【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．解：（Ⅰ）由已知可得：，由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
2020年4月山西省太原市普通高中2020届高三年级下学期高考模拟(一)文科数学试题
绝密★启用前山西省太原市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(文)试题2020年4月（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效。
5．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.若全集{}4,3,2,1,0=U ,集合{}3,2,1=A ,{}4,2=B ,则A C B U Y =（ ） A.{}4,2,0 B.{}4,3,1 C.{}4,3,2 D.{}4,3,2,0 2.已知i 是虚数单位,复数i m m )2(1-++在复平面内对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是（ ）A.)1,(--∞B.)21(，- C.),2(+∞ D.)1,(--∞),2(+∞Y 3.已知等差数列{}n a 中,前5项和3,2525==a S ,则=9a （ ）A.16B.17C.18D.194.已知平面向量)3,1(),2,4(-=-=,若b a λ+与b 垂直,则=λ（ ）A.2-B.2C.1-D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.3213 6.某程序框图如图所示,若4=a ,则该程序运行后输出的结果是（ ）A.47B.59C.611D.713 7.函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）。
2020届山西省高考3月联考数学模拟试题(文)有答案(加精)
山西省下学期高三级联考数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知{}[]2|20,0,4A x x x B =->=，则A B =IA. [)4,1--B. (]2,4C. [)(]4,12,4--UD.[]2,42.已知2sin7a π=，22cos ,tan 77b c ππ==，则 A. b a c << B. c b a << C. b c a << D.a b c <<3.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为A. 2222 D.424. 过双曲线()22210y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E,O 为坐标原点，若2OFE EOF ∠=∠，则b =A. 123335.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=，当10x -≤<时，()()2log 31f x x =-+，则()2017f 的值为A. -1B. -2C. 1D. 26.将函数()()1sin 04,f x x z ωωω=+<<∈的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的一条对称轴方程为2x π=，则()f x 的最小正周期为A.6π B. 3πC. 23πD.56π7.如图，网格上小正方形边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，切削该毛坯得到一个表面积最大的长方体，则该长方体的表面积为 A. 24 B. 16322+1682+8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A. 12 B. 11 C. 10 D. 99. 已知实数,x y 满足2001x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，且z x y =+的最大值为6，则()225x y ++的最小值为5310. 已知ABC ∆所在平面内有两点P,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若24,2,3APQ AB AC S ∆===u u u r u u u r ,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为A. 4B. 4±C. 433±11.已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点（A 在第一象限内），3AF FB =u u u r u u u r,过AB 中点且垂直于l 的直线交x 轴于点G ，则三角形ABG 的面积为8316332364312.已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是A.(),1ln 2-∞-B.(],1ln 2-∞-C. ()1ln 2,-+∞D.[)1ln 2,-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知[]0,6a ∈，使得函数()()2lg !f x ax ax =-+的定义域为R 的概率为 .14.古代数学家杨辉在沈括的瞭积术的基础上想到，若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯各球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层（即下底）由b b ⨯各球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下2232n b a S a b ab -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，根据以上材料，我们可以得到22212n +++=L .15. 设函数()21cos ,12,01x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩，函数()()10g x x a x x =++>，若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围是 .16. 已知ABC ∆中，2223sin 7sin 2sin sin sin 2sin B C A B C A +=+则sin 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==，数列{}n b 的前项和为21.33n n S b =+ （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家京剧艺术大师梅兰芳先生，某市电视台举办《我爱京剧》的比赛，并随机抽取100名参与《我爱京剧》比赛节目的票友年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在[]30.80内），样本数据分组为[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80，由此得到如图所示的频率分布直方图.（1）若抽取的这100位参加节目的票友的平均年龄为53，据此估计表中,a b 的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在（1）的条件下，若按分层抽样的方式从中再抽取20人参加有关京剧知识的回答，分别求抽取的年龄在[)60,70和[]70,80的票友的人数；（3）根据（2）中抽取的人数，从年龄在[]60,80的票友中任选2人，求这两人的年龄都在[)60,70内的概率.19.（本题满分12分）如图，平面ABEF⊥平面CBED，四边形ABEF为直角梯形，90AFE FEB∠=∠=o,四边形CBED为等腰梯形，//CD BE,且2222 4.BE AF CD BC EF=====，（1）若梯形CBED内有一点G，使得//FG平面ABC，求点G的轨迹；（2）求多面体ABCDEF的体积.20.（本题满分12分）已知O为坐标原点，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，上顶点为P,右顶点为Q,以12F F为直径的圆O与椭圆C相切，，直线PQ与圆O23.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与以12F F为直径的圆O相切,并且与椭圆C交于不同的两点A,B，求OAB∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()21ln.2f x x a x bx=+-（1）若曲线()y f x=在点31,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线平行与x轴，求()f x；（2）若()f x存在极大值点x，且()3 2.71828a e e<=L，求证：()00.f x<请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省太原市高考数学三模试卷(文科)Word版含解析
一、选择题1．已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅2．已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第二象限3．已知数列{a n}中，a1=3，a n+1﹣3a n=0，b n=log3a n，则数列{b n}的通项公式b n=（）A．3n+1B．3n C．n D．n﹣14．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．15．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角6．若用如图的程序框图求数列{}的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）A．S=S+，i≥100？B．S=S+，i≥101？C．S=S+，i≥100？D．S=S+，i≥101？7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．8．设实数x，y满足约束条件，则23x+2y的最大值是（）A．64 B．32 C．2D．19．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=（）A ．B ．C ．D ．10．设F 1、F 2是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足（+）•=0（O 为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．C ．D ．511．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足f （x+2）=f （x ）．当x ∈[0，1]时，f （x ）=2x ．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a ﹣f （x ）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，2）D ．（1，2）12．数列{a n }满足a 1=1，且对任意的n ∈N +都有a n +1=a 1+a n +n ，则{}的前100项和为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知向量、满足||=2，||=3，、的夹角为60°，则|2﹣|= ．14．已知函数f （x ）=，且f （a ）=﹣3，则f （5﹣a ）= ．15．曲线f （x ）=xlnx 在点P （1，0）处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．16．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若与D1B平行的平面截正方体所得的截面面积为S，则S的取值范围是．三、解答题17．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I i（i=1，2…，10）数据作了初步处理，得到如表的散点图及一些统计量的值．表中W i=lgI i，=．（Ⅰ）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI；（Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且+=1010，已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据（Ⅰ）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，v n），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．19．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G，H分别是CE和CF的中点．（1）求证：AF∥平面BDGH；（2）求V E﹣B F H．20．已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N 两点．（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．21．函数f（x）=+ax+2lnx，（a∈R）在x=2处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）单调区间；（Ⅱ）方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求证：x3﹣x1＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB 的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．（1）求证：AC=2AB；（2）求AD•DE的值．[选讲4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4，}，∴A∩B={1}．故选：C．2．已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为4iB．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第二象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵=，∴z的共轭复数为1﹣4i．故选：B．3．已知数列{a n}中，a1=3，a n+1﹣3a n=0，b n=log3a n，则数列{b n}的通项公式b n=（）A．3n+1B．3n C．n D．n﹣1【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{a n}是以3为首项，以3为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式，代入b n=log3a n，利用对数的运算性质得答案．【解答】解：由a n+1﹣3a n=0，得a n+1=3a n，又a1=3，∴数列{a n}是以3为首项，以3为公比的等比数列，则，∴b n=log3a n=．故选：C．4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．5．下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断，B．根据含有量词的命题的否定进行判断，C．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，D．根据向量数量积以及夹角关系进行判断．【解答】解：A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，正确为真命题，B．若命题p：∃x0∈R，x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x+1＞0，命题为真命题，C．△ABC中，sinA＞sinB等价为a＞b，等价为A＞B，则△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件为真命题．D．当向量，反向共线时，夹角为180°，满足•＜0，但与的夹角为钝角错误，故D错误，故选：D6．若用如图的程序框图求数列{}的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（）A．S=S+，i≥100？B．S=S+，i≥101？C．S=S+，i≥100？D．S=S+，i≥101？【考点】程序框图．【分析】程序框图的功能是求数列{}的前100项和，数列{}的通项应为的形式，从而可得赋值框内应填的内容，又最后一次进行循环时i的值为100，结合框图即可得解判断框中的条件．【解答】解：程序框图的功能是求数列{}的前100项和S=+++…+的运算，数列{}的通项应为的形式，则赋值框内应填：S=S+，又由框图可知，计数变量i的初值为1，步长值为1，故最后一次进行循环时i的值为100，即当i≥101时，满足判断框中的条件，退出循环，故判断框中的条件应为i≥101．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．8．设实数x，y满足约束条件，则23x+2y的最大值是（）A．64 B．32 C．2D．1【考点】简单线性规划．【分析】设z=3x+2y，利用线性规划的知识求z的最大值即可．【解答】解：设z=3x+2y，由z=3x+2y得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解，即B（1，1）代入z=3x+2y，得z=3×1+2×1=5．则23x+2y的最大值是25=32，故选：B．9．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=﹣，故选：A．10．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（+）•=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据（+）•=0得到△F1PF2是直角三角形，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设PF2的中点为A，则+=2，若（+）•=0∴2•=0，即⊥，∵OA是△F1PF2的中位线，∴OA∥PF1，且PF1⊥PF1，∵3||=4||，∴||=||，∵||﹣||=||﹣||=2a，即||=6a，则∴||=||=8a，∵在直角△F1PF2中，||2+||2=|F1F2|2，∴36a2+64a2=4c2，即100a2=4c2，则c=5a，则离心率e==5，故选：D11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，由ax+2a﹣f（x）=0等价为f（x）=a（x+2），利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价为f（x）=a（x+2）有四个不相等的实数根，即函数y=f（x）和g（x）=a（x+2），有四个不相同的交点，∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=﹣2x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=﹣2x=f（x），即f（x）=﹣2x，﹣1≤x≤0，作出函数f（x）和g（x）的图象，当g（x）经过A（1，2）时，两个图象有3个交点，此时g（1）=3a=，解得a=当g（x）经过B（3，2）时，两个图象有5个交点，此时g（3）=5a=2，解得a=，要使在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则，故选：A12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+1=a1+a n+n，则{}的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】先根据累加法求数列的通项公式a n=，再裂项==2（﹣），即可求前100项和．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+1=a1+a n+n，∴a n+1﹣a n=1+n，∴a n﹣a n﹣1=n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，∴==2（﹣），∴{}的前100项和2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，故选：D．二、填空题13．已知向量、满足||=2，||=3，、的夹角为60°，则|2﹣|= ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】把已知条件代入向量的模长公式计算可得．【解答】解：∵向量、满足||=2，||=3，、的夹角θ=60°，∴|2﹣|====故答案为：14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（5﹣a）= ﹣．【考点】函数的值．【分析】根据函数f（x）的解析式，求出a的值，再求f（5﹣a）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，且f（a）=﹣3，∴当a≤1时，2a﹣2=﹣3，即2a=﹣1，不合题意，舍去；当a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7；∴f（5﹣a）=f（﹣2）=2﹣2﹣2=﹣．故答案为：﹣．15．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，求得f′（1），写出切线方程的点斜式，求得l与坐标轴围成的三角形，数形结合求得三角形的外接圆方程．【解答】解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，∴f′（1）=1，则曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线方程为y=x﹣1．如图，切线l与坐标轴围成的三角形为AOB，其外接圆的圆心为，半径为．∴三角形的外接圆方程是：．故答案为：．16．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若与D1B平行的平面截正方体所得的截面面积为S，则S的取值范围是（0，）．【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据题意，取AA1与CC1的中点M和N，得出四边形MBND1的面积S，从而得出与D1B平行的平面截正方体所得截面面积S的取值范围．【解答】解：根据题意，取AA1的中点M，CC1的中点N，连接D1M、MB、BN、ND1，如图所示；则MN⊥BD1，又AB=a，∴MN=，BD1=，∴四边形MBND1的面积为S=•MN•BD1=×a×a=．∴与D1B平行的平面截正方体所得截面面积S的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题17．已知△A BC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a （1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I i（i=1，2…，10）数据作了初步处理，得到如表的散点图及一些统计量的值．表中Wi=lgI i，=．（Ⅰ）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI；（Ⅱ）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且+=1010，已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据（Ⅰ）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，v n），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．【考点】线性回归方程．【分析】（I）利用回归系数公式先求出D关于w的回归方程，再转化为D关于I的回归方程；（Ⅱ）利用对数的运算性质和基本不等式求出I的最小值，计算的最小值．【解答】解：（I）==，=﹣=45.7﹣10×（﹣11.5）=160.7．∴D关于w的线性回归方程为=10w+160.7，∴D关于I的回归方程为=10lgI+160.7．（II）∵+=1010，∴I=I1+I2=10﹣10（）（I1+I2）=10﹣10（5++）≥9×10﹣10．∴=10lg（9×10﹣10）+160.7=10lg9+60.7≥60．∴点P会受到噪声污染的干扰．19．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G，H分别是CE和CF的中点．（1）求证：AF∥平面BDGH；（2）求V E﹣B F H．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设AC∩BD=O，连接OH，证明OH∥AF，即可证明AF∥平面BDGH；（2）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直，可得H到平面BDEF 的距离为CO的一半，再利用等体积转换，即可得出结论．【解答】（1）证明：设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，所以OH∥AF，又因为OH⊂平面BDGH，AF⊄平面BDGH，所以OH∥平面BDGH．…（2）解：因为四边形是正方形，所以AC⊥BD．又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF…则H到平面BDEF的距离为CO的一半又因为AO=，三角形BEF的面积=3，所以V E﹣B F H=V H﹣B E F==1…20．已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N 两点．（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．【分析】（I）先确定F1、F2的坐标，再根据线段PF2的中垂线与与PF1、PF2交于M点，结合椭圆的定义，可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，从而可得点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|．【解答】解：（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，…∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，椭圆方程为：…（Ⅱ）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件．…当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1）由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（﹣1，0）所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，…由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k≠0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4==2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．…21．函数f（x）=+ax+2lnx，（a∈R）在x=2处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）单调区间；（Ⅱ）方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求证：x3﹣x1＜2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，在x=2处取得极值，可得f′（2）=2+a+1=0，利用导数求单调区间；（2）利用导数求出原函数的单调区间和极值，模拟函数图象；方程f （x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），等价于函数y=f（x）与直线y=m有三个交点，根据函数图象得出x的范围．【解答】解：（1）f′（x）=x+a+，∵在x=2处取得极值，∴f′（2）=2+a+1=0，∴a=﹣3，∴f′（x）=x﹣3+=，当x∈（0，1）和（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）可知：f（1）=是函数f（x）的极大值；f（2）=ln4﹣4是函数f（x）的极小值，∵方程f（x）=m有三个实数x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）；∴函数y=f（x）与直线y=m有三个交点，画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示：由图可知：ln4﹣4＜m＜；则＜x1＜1；2＜x3＜∴x3﹣x1＜﹣=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB 的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．（1）求证：AC=2AB；（2）求AD•DE的值．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；（2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．【解答】（1）证明：∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角∴△ABP∽△CAP…∴=2，∴AC=2AB…（2）解：由切割线定理得：PA2=PB•PC，∴PC=20又PB=5，∴BC=15…又∵AD是∠BAC的平分线，∴=2，∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5…又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…[选讲4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y ﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可；（Ⅱ）利用分析法进行证明不等式．【解答】解：（I）∵f（x）=|x﹣1|．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6，若当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x+2≥6，即2x≥6，解得x≥3．当﹣2＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x+2≥6，即4≥6，此时不成立．当x≤﹣2时，不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6，即2x≤﹣6，即x≤﹣3．综上不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（II）要证，只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2＜1，b2＜1，即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，从而原不等式成立．。