广东省河源市2012年中考数学试题(含解析)

2012年中考数学试题（广东河源卷）

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

1．

2

1

?

?

?

?

?

-

-＝【】

A．－2 B．2 C．1 D．－1 【答案】C。

答案：本题考察的是不为0的数的0次幂、实数的相反数。

2．下列图形中是轴对称图形的是【】

【答案】C。

答案：本题考察的是轴对称图形的性质。

3．为参加2012年“河源市初中毕业生升学体育考试”，小峰同学进行了刻苦训练，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩(单位：m)为：8、8.5、9、8.5、9.2．这组数据的众数和中位数依次是【】

A．8.64，9 B．8.5，9 C．8.5，8.75 D．8.5，8.5 【答案】D。

答案：本题考察的是数据的众数及中位数。

4．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．若∠A＝75o，则∠1＋∠2＝【】

A．150oB．210oC．105oD．75o

【答案】A。

答案：本题考察的是折叠的性质、三角形的内角和性质。

5．在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝1

x

的交点个数为【】

A．0个B．1个C．2个D．不能确定

【答案】A。

答案：本题考察的是一次函数的的性质、反比例函数的性质、解二元一次方程组。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

6．若代数式－4x6y与x2n y是同类项，则常数n的值为▲ ．

【答案】3。

答案：本题考察的是同类项的性质、解一元一次方程。

7．某市水资源十分丰富，水力资源的理论发电量约为775 000千瓦，这个数据用科学记数法表示为▲ 千瓦．

【答案】7.75×105。

答案：本题考察的是科学记数法表示大于10的实数。

8．正六边形的内角和为▲ 度．

【答案】720。

答案：本题考察的是多边形的内角和公式。

9．春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是▲ (写出符合题意的两个图形即可)．

【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。

答案：本题考察的是投影的意义。

10．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达点G时，微型机器人移动了▲ cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在▲ 点．

【答案】7；E。

答案：本题考察的是正方形的性质。

三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题6分，满分30分） 11．计算：1

3160sin 2123-?

?

? ??++-

-

．

【答案】解：原式

2

?-。

答案：本题考察的是二次根式的化简及计算、锐角三角函数的计算、不为0的数的负指数幂。 12．解不等式组：??

?x ＋3＞0，2(x －1)＋3≥3x ．

解不等式组：()x+30

2x 1+33x >???-≥??

，并判断﹣1

这两个数是否为该不等式组的解．

【答案】解：()x+302x 1+33x >???

-≥??①②

，

由①得x ＞﹣3；由②得x ≤1。 ∴原不等式组的解集为：﹣3＜x ≤1， 答案：本题考察的是解一元一次不等式组。

13．我市某中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、木棉树和柳树，为了解学生喜爱

的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如下统计图：

请呢根据统计图提供的信息，解答以下问题(直接填写答案)： (1)该中学一共随机调查了 人； (2)条形统计图中的m ＝ ，m ＝ ；

(3)如果在该校随机调查一位学生，那么该学生喜爱香樟树的概率是 ． 【答案】解：（1）200。 （2）70；30。

（3）7

。

20

答案：本题考察的是条形图的总数的计算、扇形统计图的计算。

14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B 的坐标分别为(3，2)、(1，3)．△AOB绕点O逆时针旋转90o后得到△A1OB1．

(1)点A关于O点中心对称的点的坐标为；

(2)点A1的坐标为；

(3)在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．

【答案】解：（1）（﹣3，﹣2）。

（2）（﹣2，3）。

。

（3

2

答案：本题考察的是中心对称图形的性质直角坐标系中求点的坐标。

15．如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE．

(1)求证：△AOD≌△DOC；

(2)求∠AEO的度数．

【答案】解：（1）证明：在△AOB和△COD中，∵∠B＝∠C，∠AOB=∠DOC，AB=DC，∴△AOB≌△COD（AAS）。

（2）∵△AOB≌△COD，∴AO=DO。

∵E是AD的中点，∴OE⊥AD。∴∠AEO=90°。

答案：本题考察的是三角形全等的判定、三角形全等的性质、等腰三角形的性质。

四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，满分28分）

16．如图所示的曲线是函数y＝m－5

x

(m为常数)图象的一支．

(1)求常数m的取值范围；

(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例

函数的解析式．

【答案】解：（1）∵函数y＝m－5

x

(m为常数)图象的一支在第一象限，

∴m－5＞0，解得m＞5。

（2）∵函数y＝m－5

x

的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的

交点为A(2，n)，

∴

m5

n=

2

n=4

-

?

?

?

?

?

，解得

n=4

m=13

?

?

?

。

∴点A的坐标为(2，4)；反比例函数的解析式为y＝8

x

。

答案：本题考察的是反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数解析式。

17．解方程：

4

x2－1

＋

x＋2

1－x

＝－1．

【答案】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得4﹣（x+1）（x+2）=﹣（x2﹣1），

整理，得，3x=1，解得

1

x=

3

。

经检验，

1

x=

3

是原方程的根。

∴原方程的解是

1

x=

3

。

答案：本题考察的是分式方程。

18．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．

(1)求证：△ADE∽△BCE；

(2)若AD2＝AC·AE，求证：BC＝CD．

【答案】证明：（1）∵∠A 与∠B 都是弧 C

D 所对的圆周角， ∴∠A =∠B ， 又∵∠AED =∠BEC ，∴△AD

E ∽△BCE 。

（2）∵AD 2

=AE ?AC ，∴

AE AD =

AD

AC

。

又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACD 。∴∠AED =∠ADC 。 又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC =90°。∴∠AED =90°。 ∴直径AC ⊥BD ，∴CD =CB 。

答案：本题考察的是圆周角的性质、三角形相似的判定、三角形相似的性质。 19．一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y (升)与行驶的时间x (小时)的函数关系的图象是如图所示的直线l 的一部分．

(1)求直线l 的函数表达式；

(2)如果警车要回到A 处，且要求警车的余油量不能少于10升，那么警车可以以行驶到离A 处的最远 距离是多少？

【答案】解：（1）设直线l 的解析式是y =kx +b ，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得

k +b =45

3k +b =42

??

?，解得k=6b=60

-??

?。

∴直线l 的解析式是：y =﹣6x +60。

（2）由题意得：y =﹣6x +60≥10，解得x ≤253

。

∴警车最远的距离可以到：25160=25032

?

?千米。

答案：本题考察的是待定系数法求一次函数解析式、解一元一次不等式。 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，满分27分）

20．如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A 、C 为圆心，以大于 1

2AC 的长为半

径在AC 的两边作弧，交于点M 、N ；②连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ；③过点C 作CE ∥AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ． (1)求证：四边形ADEC 是菱形；

(2)当∠ACB ＝90o，BC ＝6，△ACD 的周长为18时，求四边形ADEC 的面积．

【答案】（1）证明：由作法可知：直线DE 是线段AC 的垂直平分线， ∴AC ⊥DE ，即∠AOD =∠COE =90°，且AD =CD ，AO =CO 。 又∵CE ∥AB ，∴∠ADO =∠CEO 。

∴△AOD ≌△COE （AAS ）。∴OD =OE 。∴四边形ADCE 是菱形。 （2）解：当∠ACB =90°时，

由（1）知AC ⊥DE ，∴OD ∥BC 。 ∴△ADO ∽△ABC 。∴O D AO 1C B

AC

2

=

=

。

又∵BC =6，∴OD =3。

又∵△ADC 的周长为18，∴AD +AO =9， 即AD =9﹣AO 。

∴O D 3=，解得AO =4

∴ADC E ADO 11S 4S 4O D AO =434242

2

?==?

???

??=。

答案：本题考察的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定、菱形的判定、三角形相似的判定、三角形相似的性质、勾股定理的计算、三角形面积的计算。

21．(1)已知方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0)的两根为x 1、x 2，求证：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ．

(2)已知抛物线y ＝x 2

＋px ＋q 与x 轴交于点A 、B ，且过点(―1，―1)，设线段AB 的长为d ，当p 为何值时，d 2取得最小值并求出该最小值． 【答案】（1）证明：∵a =1，b =p ，c =q ，p 2﹣4q ≥0， ∴1212b c x x =p x x =q a

a +=-

-?=

，。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y =x 2

+px +q 得p ﹣q =2，即q =p ﹣2。

设抛物线y =x 2

+px +q 与x 轴交于A 、B 的坐标分别为（x 1，0）、（x 2，0）。 ∵d =|x 1﹣x 2|，

∴d 2=（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4 x 1?x 2=p 2﹣4q =p 2﹣4p +8=（p ﹣2）2+4。 ∴当p =2时，d 2的最小值是4。

答案：本题考察的是一元二次方程根与系数的关系、求抛物线上点的坐标。

22．如图，矩形OABC 中，A (6，0)、C (0，23)、D (0，33)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60o．

(1)点B 的坐标是 ，∠CAO ＝ o，当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标为 ；

(2)设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．

【答案】解：（1）（6，。 30。（3，。 （2）当0≤x ≤3时，

如图1，OI =x ，IQ =PI ?tan 60°=3，OQ =OI +IQ =3+x ； 由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，

可得

EF PE D C 1==OQ

PO

DO

3

=

=，∴EF =1

3

（3+x ），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

EFQ O 1S S EF O Q O C 3x 233

==+?=++梯形（））=当3＜x ≤5时，如图2，

)

H AQ EFQ O EFQ O 2

2

1S S S S AH AQ 2x 33

2

2

3

2

?=-=-??=

+-+

-

=梯形梯形

当5＜x ≤9时，如图3，

1

2S BE O A O C x 23=3

=+?=

-

-

+ （））

当x ＞9时，如图4，

11S O A A H 62

2x

x

=

?=

??

综上所述，S 与x 的函数关系式为：

)

)

))20x 333x 5232

S 5x 93x 9x

<<>+≤≤??-

+-≤??=??-+≤??。

答案：本题考察的是直角坐标系中点的坐标、平行线的性质、梯形面积的计算、三角形的面积的计算。