多自由度体系强迫振动
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§10-7 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动解析
m212 1 m2 22 2
m1 21
幅值方程的 系数行列式
m111
1 2
1P 2 P m212 D2 D0
m1 21 Y2 1 m111 2 m1 21
1 m2 22 2
5.求各个质量惯性力的幅值
惯性力：
I1 (t ) m1 y1 2m1Y1 sin t I 2 (t ) m2 y2 2m2Y2 sin t
2
F2 k12 k22 2m 2
D2 D0
k21
5.共振
当 ＝1 （或＝2）时， D0＝0
y1 则 y2
∞
6.求各个质量惯性力的幅值
惯性力：
y1 (t ) Y1 sin t y2 (t ) Y2 sin t
I1 (t ) m1 y1 2m1Y1 sin t I 2 (t ) m2 y2 2m2Y2 sin t
2
k21Y1 (k22 m2 )Y2 F2
2
—— 非齐次方程组， 有确定的非零解。
4.位移幅值
Y1
F1 k11 m 1
2
k12 k12 k22 2m 2 D1 D0
F2 k22 2 m 2 k21
幅值方程的 系数行列式
k11 2 m 1 F1 Y2 k21 k11 m 1
（5）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上， 按静力进行计算
P
1 .6 P
1 .2 P
0 .6 P
1 .2 P
0 .6 P 0 .3 P
1 .2 P
0.15 Ph
0 .3 P
0.45 Ph
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
多自由度系统的振动
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
返回首页
两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
自由度系统的强迫振动
建立振动方程
根据牛顿第二定律和系统运动学关系，建立系统 的振动方程，描述系统的振动行为。
考虑外部激励
考虑系统受到的外部激励，如力、力矩或位移等， 并将其作为已知条件或输入。
自由度系统强迫振动的求解方法
01
解析法
对于简单系统，可以使用解析法 求解振动方程，得到系统的振动 响应。
数值法
02
03
实验法
对于复杂系统，可以使用数值法 求解振动方程，如有限元法、有 限差分法等。
相位
阻尼
强迫振动的相位与外界激励源的相位有关 ，可以通过调整激励源的相位来控制结构 的振动相位。
结构在强迫振动过程中会受到阻尼力的作 用，阻尼力的大小与结构本身的阻尼系数 和外界激励频率有关。
04 自由度系统的强迫振动分 析
自由度系统强迫振动的模型建立
确定系统自由度数
根据系统动力学特性，确定系统的自由度数，以 便建立准确的振动模型。
通过实验测试系统的振动响应， 并利用测试数据进行分析和求解。
自由度系统强迫振动的特性分析
频率响应分析
01
分析系统在不同频率下的振动响应，了解系统的频率特性和共
振现象。
稳定性分析
02
分析系统的稳定性，判断系统是否处于稳定状态或发生失稳。
能耗分析
03
分析系统的能量耗散特性，了解系统能量损失的原因和程度。
研究相对较少。
在实际工程中，系统通常具有 非线性特性，而目前的研究主
要集中在线性系统。
未来的研究可以进一步探讨多 自由度系统的强迫振动行为， 以及非线性系统中的复杂动力 学行为。
同时，可以结合实验研究，对 理论分析和数值模拟的结果进 行验证和修正，以更好地应用 于实际工程中。
根据牛顿第二定律和系统运动学关系，建立系统 的振动方程，描述系统的振动行为。
考虑外部激励
考虑系统受到的外部激励，如力、力矩或位移等， 并将其作为已知条件或输入。
自由度系统强迫振动的求解方法
01
解析法
对于简单系统，可以使用解析法 求解振动方程，得到系统的振动 响应。
数值法
02
03
实验法
对于复杂系统，可以使用数值法 求解振动方程，如有限元法、有 限差分法等。
相位
阻尼
强迫振动的相位与外界激励源的相位有关 ，可以通过调整激励源的相位来控制结构 的振动相位。
结构在强迫振动过程中会受到阻尼力的作 用，阻尼力的大小与结构本身的阻尼系数 和外界激励频率有关。
04 自由度系统的强迫振动分 析
自由度系统强迫振动的模型建立
确定系统自由度数
根据系统动力学特性，确定系统的自由度数，以 便建立准确的振动模型。
通过实验测试系统的振动响应， 并利用测试数据进行分析和求解。
自由度系统强迫振动的特性分析
频率响应分析
01
分析系统在不同频率下的振动响应，了解系统的频率特性和共
振现象。
稳定性分析
02
分析系统的稳定性，判断系统是否处于稳定状态或发生失稳。
能耗分析
03
分析系统的能量耗散特性，了解系统能量损失的原因和程度。
研究相对较少。
在实际工程中，系统通常具有 非线性特性，而目前的研究主
要集中在线性系统。
未来的研究可以进一步探讨多 自由度系统的强迫振动行为， 以及非线性系统中的复杂动力 学行为。
同时，可以结合实验研究，对 理论分析和数值模拟的结果进 行验证和修正，以更好地应用 于实际工程中。
强迫振动资料
强迫振动，振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称为受迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。
受迫振动也称强迫振动．在外来周期性力的持续作用下，振动系统发生的振动称为受迫振动．这个“外来的周期性力”叫驱动力（或强迫力）。
中文名
强迫振动
要求
周期性的外力
含义
外力下振动系统发生的振动
发生对象
振动系统
分为两大类：单自由度强迫振动多自由度强迫振动
1,单自由度系统强迫振动
1）旋转时恒英气的强迫振动：在旋转机械中，旋转失衡是使系统振动的外界激励的主要来源，如：发动机的曲轴，飞轮，车轮，车辆传动系统的齿轮，机床的主轴，洗衣机，空调和冰箱的压缩机，风扇等等。
旋转失衡的主要原因是高速旋转机械中转动部分的质量中心和转轴中心不重合造成的。
2）支撑运动引起的强迫振动：强迫振动不一定都是由激扰力引起的，振动系统支座的周期运动同样可以引发强迫振动。
例如精密仪表受到基座振动的影响而振动，如果支撑的运动可以用简谐函数来描述，则系统的振动也可以用简谐强迫振动理论来分析。
支撑运动的运动和受力简图
单自由度强迫振动的运用实例。
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
高等结构振动学-第5章-结构的强迫振动响应分析
（5－42）
由最初的两个假定式（5-40）（5-41），求出用{Utt} 表示的{Utt} 和{Utt}
的表达式，代入上方程求出{Utt} ，然后回代求出{Utt} 和{Utt} 。
,
a2 2a0 ,
a3
1 a2
（5－5）
4． 计算
{Ut} {U0} t{U0} a3{U0}
（5－6）
5． 形成
[Mˆ ] a0[M ] a1[C]
（5－7）
6． 分解
[Mˆ ] [L][D][L]T
（5－8）
对每一步长，进行如下计算：
1． 求 t 时刻的有效载荷 {Pˆt} {Pt} ([K ] a2[M ]){Ut} (a0[M ] a1[C]){Utt} （5－9）
（5－18）
7． 对每一步长，求
（1）
（2） （3）
{Pˆt t} {Pt t} [M ](a2{Ut} a4{Ut t} a6{Ut 2t} [C](a3{Ut} a5{Utt} a7{Ut2t}) [L][D][L]T {Utt} {Pˆtt}
显然，要求解{Ut t} 必须知道{Ut}, {Ut t}, {Ut 2t}
在使用 Houbolt 方法时，不是用此格式求初始两个时间步上的位移响应
{Ut}, {U2t}，而是用其它方法如中心差分法，步长取 t 的几分之一来求得。
Houbolt 方法是一个隐式差分格式，其步长可以取得比中心差分法大一些，
第五章 结构的强迫振动响应分析
§5.1 概述
如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作 用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。求解多自由度系统 强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。考虑到实际结构的高维数（自由度 数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。直接积分 法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有 其特点。
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
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如何调整 m 及 KN 使得上质点不振动？
例题5
m2
P2 t EI
EI1
EI
L
m1
P1t EI1
EI
EI
L
K 21 K11
y2 t y1 t
K 22 K12
K 21 K11
K 22 K12
12EI K11 4 L3 k1 k2
K12
K21
2 12EI L3
k2
K 22
2
12EI L3
yn (t)
y j (t)
y2 (t ) y1(t)
二、振动方程的解
当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。 其形式为
y(t) Asint
三、振型叠加法
1. 主振型的正交性
刚度法表示的振型方程 K 2 M A 0
考虑第
j
振型方程
[K
]
2 j
[M
]
Aj
0
[K
]
Aj
2 j
M
Aj
即，my1t
24EI 5L3
y1(t)
EA L
2
y2
(t
)
y1t
0
my2 t
L 2
6EI L3
2
y2 t
2L
EA L
2 y2
t
y1t
L
Pt
L
运用之妙，存乎于心 正确的受力分析，是解决问题的前提
你能画出下列结构的变形图吗？
q
EI
平衡方程：
FEK1 m1y1t 0
FEK2 m2 y2 t P sint
m1
FEK1 m1y1t
m2
FEK2 m2y2t P sint
恢复力FEK1及FEK2都是刚架提供的
求恢复力
2个质点分别有不同的位移，不容 易确定各自恢复力的大小。为此， 仍然采用叠加法。
1 2
1 3 i /L
K11 K21
y1(t y1(t
) )
m12 y2 (t) m22 y2 (t)
1P 2P
s in t s in t
4）求方程中各系数
P=1
P=1
2
y2 t
m
y1t
P=1
2
MP图
M1
2
M2
求出各系数
11
32 3EI
12
21
4 EI
1P
4 EI
4.4444104
22
8 3EI
2P
8 3EI
2.9629104
K12
1
3 i /L
K22
6 i /L
支杆 1 单位位移
6 i /L
6 i /L
支杆 2 单位位移
❖ 求恢复力
当质点各有位移 y1t ，y2t 时，由叠加原理
FEK1 K11 y1(t) K12 y2 (t)
FEK 2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
3i 式中 K11 L2
K12
5） 解方程
y1 y2
(t (t
) )
A1 sint A2 sint
代入振动方程
m(m211122A1 1)
A1 m m 22 2
2
12
1
A2 A2
1P 2P
解得两质点的位移幅值（最大动位移）：
A1 1.7391 10 4 米 A2 1.5459 10 4 米
6）作最大动力弯矩图
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
M1
2
M2
M max M P M1 I1 max M 2 I2 max
❖ 最大惯性力 I my(t) m 2 Asint
I1 max 0.7826
I
2
max
0.6957
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
1.5652
M1
2
M2
1.5652
1.8261
动载向右
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
由（1），（3）两式相减，得
2 i
2 j
Ai
T
M
Aj
0
由于 i ≠ j ，所以有
Ai T M Aj 0 振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性
Ai T [K] Aj 0 振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第二正交性
整理后得
y1 (t) 10 4 (1.67 sint 0.302 cost)
y2 (t) 10 4 (0.8573 sint 0.4233 cost)
y1 (t)max 1.697 10 4
y2 (t) max 0.956 10 4
与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的 作用减小了2.4%；水平位移减小了38.0%。
A1 1.7391 10 4 米 不考虑阻尼影响结果 A2 1.5459 10 4 米
例题4
L
P sin t
K12
m K
m
K11 m
K m
m K
m
K22
K11
K 22
3EI L3
KN
K21 KN
K21
P sin t
m y1t
K m
y2 t
L
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P sint m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) 0
动载向左 2.1738
例题3
用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，
ξ1=ξ2=0.10 ，动力荷载幅值为1KN ，
4E，I
mL3
EI=9×103kN·m2
1sinθt
解：1)求自振频率和振型
1 0.285
EI m
EI EI
m 2m
2 0.995
EI m
2m
A1 1.0 0.414 T
A2 1.0 2.414T
4EI mL3
1sinθt
1sinθt
y2 t
m
EI EI
m 2m
y1t
2m
解：1 ) 2个动力自由度，用柔度法 2）任意时刻 t 质点的位置如图
3）振动方程的形式
建立方程的依据：
y1t , y2 t 由2 个方向的惯性力
及动力荷载共同产生
1sinθt
y1(t) y2 (t)
m11 m 21
n
❖ 又可写作 y(t) q j (t) Aj
j 1
现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：
M y(t) Cy(t) K y(t) P(t)
C11 C12 C1n
C C21
C22
C2n
Cn1
Cn2
Cnn
n
FDi Cij yj (t) j 1
称为阻尼矩阵。其意义如下
i =1，2，...，n 。它是由各质 点的速度引起的在 i 质点的阻 尼力的叠加
y1 y2
t t
P
0
s in t
L2
以 y(t) Asint 代入方程中
3i
m
0
0 m
2 2
A1 A2
LL32 i2
3i L2
27i
L2
A1 A2
0 P
PL2
A1 A2
2
39i P L2
此就是最大动位移
39i
❖ 4)最大动力弯矩图
1 K11
6EI
1.0 0.414
0.095EI
7
P1* (t) A1T P(t) 1.0
0.414
P
0 sin
t
1
M
* 1
0.3534 sint
m
q1 (t)
21
1q1 (t)
2 1
q(t
)
P1* (t)
-------（1）
M
* 2
6.827 m
K
* 2
6.761 EI
P2*
(t)
0.3536 m
2. 振型叠加法
n个质点的振动具有n个振型，这n个振型是线性无关的，在
数学上构成n维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位
移反应可写作 y(t) Aq(t)
A11 A12 A1n
A
A21
An1
A22 An2
A2n
Ann
A1
A2 An
------称为振型矩阵
q(t) q1(t) q2(t) qn (t)T 称为广义坐标
0
在上式中左乘 Ai T
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
再考虑第 i 振型 [K ]Aii2M Ai 0
在上式中左乘 Aj T Aj T [K]Aii2 Aj T M Ai 0 ----------(2)
求（2）式的转置
AiT [K] Aj i2AiT M Aj 0 -----------（3）
k2
k1, k2为底层刚度和上层刚度
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P1t
m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) P2 t
例题6
m
EI
EI
A
L
m
EI
EI1=∞
Pt
L
L/2 L/2
y1 t
y2 t
y1 t
例题5
m2
P2 t EI
EI1
EI
L
m1
P1t EI1
EI
EI
L
K 21 K11
y2 t y1 t
K 22 K12
K 21 K11
K 22 K12
12EI K11 4 L3 k1 k2
K12
K21
2 12EI L3
k2
K 22
2
12EI L3
yn (t)
y j (t)
y2 (t ) y1(t)
二、振动方程的解
当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。 其形式为
y(t) Asint
三、振型叠加法
1. 主振型的正交性
刚度法表示的振型方程 K 2 M A 0
考虑第
j
振型方程
[K
]
2 j
[M
]
Aj
0
[K
]
Aj
2 j
M
Aj
即，my1t
24EI 5L3
y1(t)
EA L
2
y2
(t
)
y1t
0
my2 t
L 2
6EI L3
2
y2 t
2L
EA L
2 y2
t
y1t
L
Pt
L
运用之妙，存乎于心 正确的受力分析，是解决问题的前提
你能画出下列结构的变形图吗？
q
EI
平衡方程：
FEK1 m1y1t 0
FEK2 m2 y2 t P sint
m1
FEK1 m1y1t
m2
FEK2 m2y2t P sint
恢复力FEK1及FEK2都是刚架提供的
求恢复力
2个质点分别有不同的位移，不容 易确定各自恢复力的大小。为此， 仍然采用叠加法。
1 2
1 3 i /L
K11 K21
y1(t y1(t
) )
m12 y2 (t) m22 y2 (t)
1P 2P
s in t s in t
4）求方程中各系数
P=1
P=1
2
y2 t
m
y1t
P=1
2
MP图
M1
2
M2
求出各系数
11
32 3EI
12
21
4 EI
1P
4 EI
4.4444104
22
8 3EI
2P
8 3EI
2.9629104
K12
1
3 i /L
K22
6 i /L
支杆 1 单位位移
6 i /L
6 i /L
支杆 2 单位位移
❖ 求恢复力
当质点各有位移 y1t ，y2t 时，由叠加原理
FEK1 K11 y1(t) K12 y2 (t)
FEK 2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
3i 式中 K11 L2
K12
5） 解方程
y1 y2
(t (t
) )
A1 sint A2 sint
代入振动方程
m(m211122A1 1)
A1 m m 22 2
2
12
1
A2 A2
1P 2P
解得两质点的位移幅值（最大动位移）：
A1 1.7391 10 4 米 A2 1.5459 10 4 米
6）作最大动力弯矩图
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
M1
2
M2
M max M P M1 I1 max M 2 I2 max
❖ 最大惯性力 I my(t) m 2 Asint
I1 max 0.7826
I
2
max
0.6957
P=1
P=1
2
P=1
2
MP图
1.5652
M1
2
M2
1.5652
1.8261
动载向右
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
由（1），（3）两式相减，得
2 i
2 j
Ai
T
M
Aj
0
由于 i ≠ j ，所以有
Ai T M Aj 0 振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性
Ai T [K] Aj 0 振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第二正交性
整理后得
y1 (t) 10 4 (1.67 sint 0.302 cost)
y2 (t) 10 4 (0.8573 sint 0.4233 cost)
y1 (t)max 1.697 10 4
y2 (t) max 0.956 10 4
与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的 作用减小了2.4%；水平位移减小了38.0%。
A1 1.7391 10 4 米 不考虑阻尼影响结果 A2 1.5459 10 4 米
例题4
L
P sin t
K12
m K
m
K11 m
K m
m K
m
K22
K11
K 22
3EI L3
KN
K21 KN
K21
P sin t
m y1t
K m
y2 t
L
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P sint m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) 0
动载向左 2.1738
例题3
用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，
ξ1=ξ2=0.10 ，动力荷载幅值为1KN ，
4E，I
mL3
EI=9×103kN·m2
1sinθt
解：1)求自振频率和振型
1 0.285
EI m
EI EI
m 2m
2 0.995
EI m
2m
A1 1.0 0.414 T
A2 1.0 2.414T
4EI mL3
1sinθt
1sinθt
y2 t
m
EI EI
m 2m
y1t
2m
解：1 ) 2个动力自由度，用柔度法 2）任意时刻 t 质点的位置如图
3）振动方程的形式
建立方程的依据：
y1t , y2 t 由2 个方向的惯性力
及动力荷载共同产生
1sinθt
y1(t) y2 (t)
m11 m 21
n
❖ 又可写作 y(t) q j (t) Aj
j 1
现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：
M y(t) Cy(t) K y(t) P(t)
C11 C12 C1n
C C21
C22
C2n
Cn1
Cn2
Cnn
n
FDi Cij yj (t) j 1
称为阻尼矩阵。其意义如下
i =1，2，...，n 。它是由各质 点的速度引起的在 i 质点的阻 尼力的叠加
y1 y2
t t
P
0
s in t
L2
以 y(t) Asint 代入方程中
3i
m
0
0 m
2 2
A1 A2
LL32 i2
3i L2
27i
L2
A1 A2
0 P
PL2
A1 A2
2
39i P L2
此就是最大动位移
39i
❖ 4)最大动力弯矩图
1 K11
6EI
1.0 0.414
0.095EI
7
P1* (t) A1T P(t) 1.0
0.414
P
0 sin
t
1
M
* 1
0.3534 sint
m
q1 (t)
21
1q1 (t)
2 1
q(t
)
P1* (t)
-------（1）
M
* 2
6.827 m
K
* 2
6.761 EI
P2*
(t)
0.3536 m
2. 振型叠加法
n个质点的振动具有n个振型，这n个振型是线性无关的，在
数学上构成n维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位
移反应可写作 y(t) Aq(t)
A11 A12 A1n
A
A21
An1
A22 An2
A2n
Ann
A1
A2 An
------称为振型矩阵
q(t) q1(t) q2(t) qn (t)T 称为广义坐标
0
在上式中左乘 Ai T
AiT [K]
Aj
2 j
Ai
T
M
Aj
0
-----------（1）
再考虑第 i 振型 [K ]Aii2M Ai 0
在上式中左乘 Aj T Aj T [K]Aii2 Aj T M Ai 0 ----------(2)
求（2）式的转置
AiT [K] Aj i2AiT M Aj 0 -----------（3）
k2
k1, k2为底层刚度和上层刚度
m1y1t K11 y1(t) K12 y2 (t) P1t
m2 y2 t K21 y1(t) K22 y2 (t) P2 t
例题6
m
EI
EI
A
L
m
EI
EI1=∞
Pt
L
L/2 L/2
y1 t
y2 t
y1 t