应力和平衡方程
02讲-应力与平衡、位移与应变 PPT
用转轴公式能求得斜面上的 正应力和剪应力。
王正伟
主应力
Principal Stress
对于给定的应力状态，若改变斜面方向，则斜面应力的大小和 方向都会发生改变，因此是否存在一个面，使得只存在正应力 而无剪应力？
() g
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
1、2、3
、2、3
王正伟
主应力的性质 Principal Stress
在笛卡尔坐标系中，用六个平行于坐标面的截面在一点周 围截取一个正六面体微元。正六面体的六个面法向矢量与坐标 轴平行，同向的三个面称之为正面，反向的三个面称之为负面。 将作用在正面上的应力矢量沿坐标轴方向分解。
1 xxi xy j xzk
2 yxi yy j yzk
3 zxi zy j zzk
王正伟
外力、载荷 Load
面力是作用在物体表面上的 外力。
p lim F S 0 S
体积力是作用在物体内部体积 上的外力。
F f lim
V 0 V
王正伟
应力矢量(应力) Stress Vector
应力矢量(应力)
( )
lim S0
F S
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称 名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积，称真实应 力，简称真应力, 也称柯西应力。
四面体体积为：
V 1dhdS 3
王正伟
斜面应力公式 Cauchy Formula
四面体平衡条件为：
(1) dS1 (2) dS2 (3) dS3
()
dS
f
(1dhdS) 3
0
应变位移方程平衡方程协调方程应力函数和协调方程裂缝应力位移场
Inglis的理论 （1913）
A点应力分布：
Inglis C E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Transactions of the institute of naval architects, 1913, 55(219-241): 193-198.
Kirsh的研究 （1898）
The 2-D stress field in a large body under uniform remote tensile load and containing a circular hole is given by (Kirsch, 1898)
r
Kirsh的研究 （1898）
理论推导：一般情况
平面极坐标下的应力分量：
双调和函数：
Kirsch E G. Die Theorie der Elastizit t und die Bed rfnisse der Festigkeitslehre. Zeitshrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1898, 42: 797-807.
1. 基本假设与研究内容
• 基本假设
– 线弹性 – 小变形 – 均匀性 – 各项同性 – 连续性 – 无处应力（可省略）
• 研究内容：线弹性体的裂缝尖端应力
2. 材料强度与缺陷
为什么材料有强度?
使两个原子分开需要一定的拉应力 克服黏聚力或者翻越能量势垒：
将黏聚力与距离之间的关系简单假设为 满足三角函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
利用叠加原理，边界条件分解：
切应力互等定理的推导
切应力互等定理的推导摘要：I.引言- 介绍切应力互等定理- 说明推导的目的和方法II.切应力互等定理的推导- 基本假设和定义- 推导过程1.切应力的定义和分解2.应力平衡方程3.切应力互等定理的推导III.结论- 总结切应力互等定理的推导过程- 说明切应力互等定理的应用和意义正文：I.引言切应力互等定理是固体力学中的一个重要定理，它描述了在受力物体中，切应力在各个正交方向上的分量之间存在的关系。
为了更好地理解和应用该定理，我们首先需要了解其推导过程。
本文将详细介绍切应力互等定理的推导过程，并说明其应用和意义。
II.切应力互等定理的推导要推导切应力互等定理，我们首先需要了解一些基本假设和定义。
假设我们有一个均匀的弹性体，其内部受力平衡，即受力物体中的应力分布满足应力平衡方程。
接下来，我们开始推导切应力互等定理。
首先，我们定义切应力在x轴和y轴方向上的分量分别为τx和τy。
根据应力分解原理，我们可以将切应力分解为两个正交方向上的分量，即τx = τcosθ和τy = τsinθ，其中θ为切应力与x轴正半轴之间的夹角。
然后，我们考虑受力物体中一个正方形单元体的情况。
这个单元体受到四个力的作用，分别为FX、FY、FN和FT。
根据应力平衡方程，我们可以得到以下四个方程：1.ΣFX = 02.ΣFY = 03.ΣFN = 04.ΣFT = 0其中，ΣFX、ΣFY、ΣFN和ΣFT分别表示正方形单元体在x轴、y轴、法向和切向方向上的受力分量之和。
接下来，我们分别考虑正方形单元体在x轴和y轴方向上的受力情况。
在x轴方向上，正方形单元体受到FX和FN的作用，因此有：1.ΣFX = FX + FNcosθ = 02.ΣFN = FN - FXsinθ = 0将第二个方程代入第一个方程，可得：FX = FNcosθ在y轴方向上，正方形单元体受到FY和FN的作用，因此有：1.ΣFY = FY + FNsinθ = 02.ΣFN = FN - FYcosθ = 0将第二个方程代入第一个方程，可得：F Y = FNsinθ现在我们来考虑正方形单元体在切向方向上的受力情况。
应力协调方程
应力协调方程应力协调方程是固体力学中的重要理论基础之一，它描述了固体内部的应力分布与变形关系。
在物理学和工程领域中，研究应力协调方程可以帮助我们理解和解决许多与力学有关的问题。
我们来了解一下什么是应力。
在固体力学中，应力是指单位面积上的力。
当外力作用于一个物体时，物体内部会产生应力，这些应力会导致物体发生变形。
根据牛顿第三定律，物体内部的应力是相互平衡的，即任何一个体积元素内部的应力都是相等且相反的。
应力协调方程正是基于这一原理建立起来的。
应力协调方程的一般形式可以表示为：∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + fx = ρa∂τyx/∂x + ∂σy/∂y + ∂τyz/∂z + fy = ρb∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂σz/∂z + fz = ρc其中，σx、σy、σz分别表示x、y、z方向上的正应力；τxy、τxz、τyz分别表示x、y、z方向上的剪应力；fx、fy、fz分别表示x、y、z方向上的体积力；ρa、ρb、ρc分别表示x、y、z方向上的体积密度。
应力协调方程的含义是，对于一个体积元素来说，其受到的外力与其内部应力之和应该等于体积元素的质量与加速度之积。
这个方程描述了物体内部应力的平衡关系，可以帮助我们计算物体在外力作用下的变形情况。
应力协调方程在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在工程结构设计中，我们可以利用应力协调方程来计算各个构件的应力分布，从而确定结构的稳定性和安全性。
在地震工程中，应力协调方程可以用来分析地震作用下建筑物的应力分布，进而评估其抗震性能。
在材料科学中，应力协调方程可以用来研究材料的力学性能和变形行为。
为了解决应力协调方程，我们通常需要结合边界条件和材料特性进行求解。
例如，对于一个受到均匀外力作用的长方体，我们可以利用应力协调方程求解出其内部应力分布，并根据材料的弹性模量和泊松比等参数来计算其变形情况。
这样的分析可以帮助我们更好地理解和预测材料和结构的行为。
由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程
由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程薄板弯曲是指在薄板材上施加外力或载荷时，薄板产生的弯曲变形现象。
在薄板弯曲平衡的分析中，我们可以利用应力平衡方程来推导出薄板的弯曲平衡方程。
首先，我们先来了解一下薄板上的应力分布情况。
当薄板弯曲时，沿板的厚度方向，各点的应力不再均匀，而是变化的。
典型的薄板弯曲示意图如下：________=======+y-y=======_______________________(-z)/\(+z)在这个示意图中，x、y、z分别表示三个坐标轴方向，板材由原始平面发生了位移，形成了一个弯曲的曲面。
我们可以假设，板材上各点的应力沿曲面垂直方向，并且沿板材厚度方向的应力相对于板面来说可以忽略不计。
根据这个假设，我们可以得到以下应力方程：σx=σ0+zE(κ-η)σy=0σz=0其中，σx、σy、σz分别表示薄板上各点的应力；σ0表示沿曲面方向的平均应力，称为弯曲应力；E表示薄板材料的弹性模量；κ表示曲率；η表示薄板法线的倾角。
下面我们来推导薄板的弯曲平衡方程。
根据力的平衡原理，薄板的弯矩M必须满足以下条件：dM/dy + q = 0其中，M表示弯矩，q为单位面积上的荷载。
表示单位面积上的荷载，我们可以用物理量p来表示，即：q = p*dz将上述等式代入弯矩方程中，可以得到：dM/dy + p*dz = 0将p替换为σx，则有：dM/dy + σx*dz = 0根据应力平衡方程，我们可以得到：σx=σ0+zE(κ-η)将其代入上式，得到：dM/dy + (σ0 + zE(κ-η))*dz = 0对上式两边同时积分，得到：∫dM + ∫(σ0 + zE(κ-η))*dz = 0即：M+σ0z+E(κ-η)z^2/2=C其中，C是常数。
这就是薄板的弯曲平衡方程。
通过这个方程，我们可以分析薄板弯曲时各点的位移和应力分布情况，从而在设计过程中进行合理的选择和优化。
总结起来，由空间问题应力平衡方程推导薄板弯曲平衡方程，涉及到薄板的应力分布、弯矩方程和力的平衡等内容。
材料力学控制方程
材料力学的基本控制方程通常包括平衡方程、本构方程和边界条件。
1. 平衡方程：描述了结构在受力后的静力平衡状态。
对于一个连续体，这些方程可以表述为：
-力的平移平衡：∑F_x = 0, ∑F_y = 0, ∑F_z = 0 （力的三个分量的总和为零）
-弯矩的旋转平衡：∑M_α = 0 （在某一点或某一片段关于任意轴的力矩之和为零）这些平衡方程适用于线性弹性问题，也适用于塑性问题和粘弹性问题。
2. 本构方程：定义了材料的应力-应变关系。
对于线弹性材料，本构方程可以表示为胡克定律：
σ_ij = C_ijkl ε_kl
其中，σ_ij 是应力张量，ε_kl 是应变张量，C_ijkl 是材料弹性常数的第四阶张量。
对于塑性材料，本构方程更加复杂，通常涉及流动函数和硬化模型。
3. 边界条件：描述结构边界上的约束情况。
边界条件分为两类：
- Dirichlet条件：也称为固定条件，指定位移边界条件，例如u_x(边界) = 0。
- Neumann条件：也称为载荷条件，指定力边界条件，例如F_x(边界) = 0。
对于非齐次边界条件，可能需要指定特定的位移分布或载荷分布。
将这些方程结合起来，就可以求解出结构在给定载荷作用下的应力、应变和位移分布。
在实际应用中，还需要考虑初始条件（例如初始应变或初始速度）和材料的损伤、疲劳以及其他复杂因素。
第1章应力分析及应力平衡微分方程
，可以把σij（Stress tensor ）分解成与体积变化有关 的量和形状变化有关的量。前者称为应力球张量
(Spherical stress tensor) ，后者称为应力偏张量
(Deviatoric stress tensor) 。设σm为平均应力，则有
m
1 3
(
x
y
z)
按照应力叠加原理，σij具有可分解性。因此有
整理后可得S：zdA xzdAx yzdAy zdAz
求和约定： 全应力：
Sx xl yxm zxn S y xyl ym zyn Sz xzl yzm zn
S j ijli
S2
S
2 x
Sy2
Sz2
很重要！ （１－１）
（１－２）
沈阳工业大学
1.1.２ 点的应力状态
由于微元体处于静力平衡状态，所以，绕其各轴 的合力矩为零，因此可以得到
xy= yx, yz= zy zx= xz 称为剪应变互等定律
沈阳工业大学
1.1.２ 点的应力状态
一，一点的应力状态：是指通过变形体内某点的 单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等 情况。
一点的应力状态的描述
（１） 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa （２） 图示表达：在单元体的三个正交面上标
第1章 应力分析
沈阳工业大学
第 1 章 应力分析
1.1 点的应力状态 1.2特殊应力状态 1.3应力平衡微分方程
沈阳工业大学
1.1 点的应力状态
1.1 .1应力 1.1.2 点的应力状态 1.1.3主应力及应力张量不变量 1.1.4主切应力和最大切应力 1.1.5应力偏张量和应力球张量 1.1.6八面体应力和等效应力 1.1.7应力莫尔圆
3-1-4 应力分析_应力莫尔圆及应力平衡微分方程
10 3 10
l1=
10 1
m2= 10
最大切应力τmax=500MPa
金属塑性成形原理
解析法验证：
2 3 0
三个不变量： J1 x y z 4
J2
(x y
yz
zx )
2 xy
2 yz
2 zx
21
ij 3
0
6 0(100MPa) 0 0
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
金属塑性成形原理
练习题1： 应用莫尔圆分析单向拉伸时的各横截面上的应力变化状态。
y B（ σy＝40 τyx＝0 ） θ
τ C (0,20)
2θ
A
A
（ σx＝0 τxy＝0 ）
Bσ
(40,0)
x
当2θ＝90°（θ＝45°）时，截面的剪切力 达到最大值20MPa
金属塑性成形原理
练习题2：物体中某点为平面应力状态，应力张量为：
试利用莫尔圆图解主应力,主方向和最大切应力
τ
τmax (0,5)
2 3 0
ij 3 6 0(100MPa)
0 0 0
2α2
B(6,3)
σ2 (-3,0) 2β2
A(-2,-3) σ2＝－3
2α1 σ1(7,0)
O(2,0) D
σ
2β1 σ1＝7
OD的长度＝1/2（6+2）＝4；R＝5；
y
B
以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向
余弦为l，m，n，则有 :
金属塑性成形原理
l2 m2 n2 1
S1 1 l S2 2 m S3 3 n S 2 S12 S22 S32 12l 2 22m2 32n2
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Chapter 3
Page 16
3.5 Principal stress (主应力)
Chapter 3
Page 17
Through the Indicial Notation（由指标记法）：
ij l lii jj ij
Chapter 3
Page 13
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
ij l lii jj ij
The state of stress at point P can be successfully described by (P点的应力ij 状态可以由 完整的描述ij ) ijis a two order tensor ( 是一ij 个二阶张量)
y
B
y yx
A
py
x
px
xy C
x
(2-D) Mechanics of Materials
(材料力学)
px x cos xy sin
py xy cos y sin
p1 11n1 12n2 p2 21n1 22n2
x
11 21
Байду номын сангаас
12 22
13
23
Positive Directions
zx zy z 31 32 33
Von Karman Notations
Chapter 3
Page 8
3.4 State of stress at a point (一点应力状态)
pi ijn j
Chapter 3
Page 10
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
3D: through equation condition:
(由平衡条件得如下公式)
px l1 x l2 yx l3 zx py l1 zx l2 y l3 xy pz l1 xz l2 yz l3 z
The stress on z plane z面的应力
Chapter 3
Page 7
•3.3 Stress Tensor(应力张量)
σij : stress tensor (应 力张量)
Notation and Sign
ij yxx
xy y
xz yz
(3) Normal and shearing stress(正应力、剪应力)
Chapter 3
Page 6
3.3 Stress Tensor(应力张量)
Stress Tensor at a point(一点的应力张量)
The stress on x
The stress on y
plane x面的应力 plane y面的应力
1
2 2
2
3 2
3
1 2
1 3
1 2 3 2 61 2 23 31
1 3
2I12 6I2
8
2 3
rd
4
其中 rd 4为第四强度理论的等效应 力
Chapter 3
Page 20
3.7 Spherical and Deviatoric Stresses （应力球张量和应力偏张量）
应力偏张量） • 3.8 Equilibrium Equations（平衡方程）
Chapter 3
Page 2
3.1 Body and Surface Forces（体力和面力）
External loadings（外力）
Body forces（体力） Surface forces.（面力）
z
Q
Z
lim Q
F S0 S
F Xi Yj Zk
z
Q
Z
X
k i Oj
x
S Y
y
Chapter 3
Page 4
3.2 Stress Vector （应力矢量）
Stress Vector （应力矢量）
Chapter 3
Page 5
lim p
S0 S
Δp n
P
(法线)
ij yxx
xy y
xz yz
m
0
Theory of Elasticity
Chapter 3 Stress and Equilibrium
(应力和平衡方程)
Content（内容）
1. Introduction（概述） 2. Mathematical Preliminaries （数学基础） 3. Stress and Equilibrium（应力与平衡） 4. Displacements and Strains （位移与应变） 5. Material Behavior- Linear Elastic Solids（弹性应力应变关系) 6. Formulation and Solution Strategies（弹性力学问题求解） 7. Two-Dimensional Formulation （平面问题基本理论） 8. Two-Dimensional Solution （平面问题的直角坐标求解） 9. Two-Dimensional Solution （平面问题的极坐标求解） 10. Three-Dimensional Problems（三维空间问题） 11. Bending of Thin Plates （薄板弯曲） 12. Plastic deformation – Introduction（塑性力学基础） 13. Introduction to Finite Element Mechod（有限元方法介绍）
Three dimensional(三维)：
ij l lii jj ij
l1 m1 n1
lij l2
m2
n2
l3 m3 n3
x xl12 ym12 zn12 2 xyl1m1 yzm1n1 zxn1l1 y xl22 ym22 zn22 2 xyl2m2 yzm2n2 zxn2l2 z xl32 ym32 zn32 2 xyl3m3 yzm3n3 zxn3l3
Chapter 3
Page 19
3.6 Octahedral strains(八面体应力)
Octahedral plane（八面体平面）
principal stress 1, 2, 3
8
ini2
1 3
1
2
3
1 3
x
y
z
1 3
I1
8
1 3
x
y x sin2 y cos2 2 xy sin cos
xy x sin cos y sin cos xy cos2 sin2
Chapter 3
Page 15
•3.4 State of stress at a point (一点应力状态的描述)
px nl1
py nl1
pz nl3
(ij ij n )l j 0
det ij ij 3 I1 2 I2 I3 0
Chapter 3
Page 18
3.5 Principal stress (主应力)
The general characteristic equation for the stress tensor （应力张量特征方程）
det ij ij 3 I1 2 I2 I3 0
Invariants of the stress tensor
I1 x y z I2 1 2 2 3 31 I3 1 2 3
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3
1 0 0
ij
0
2
0
0 0 3
3.5 Principal stress (主应力)
pi ijn j
px l1 x l2 yx l3 zx py l1 zx l2 y l3 xy
pz l1 xz l2 yz l3 z
Notation and Sign
lim F
Q
V 0 V
F Xi Yj Zk
k
X V Y
i Oj
y
x
Chapter 3
Page 3
3.1 Body and Surface Forces （体力和面力）
Surface forces（面力）：
Notation and Sign
lim p
S0 S
ij
Stress Vector （矢量）
? Pxi Py j Pzk
Chapter 3
Page 9
stress tensor (张量)
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
3.4 State of stress at a point (一点应力状态)
cos(n, x) l1, cos(n, y) l2, cos(n, z) l
pi ijl j
Chapter 3