弹性力学中平衡微分方程推导方法的一点小改进

２结语
以微 元 体 中心 点 为 具 体 展 开 点 ，应 用一 阶泰 勒 公 式 得 到 其 各 个 面上 的应 力分 量 ，从 而 推 导 得 到 了 弹性 力学 平面 问题 的平 衡 微 分方 程 ．解 决 了原 有 教 材 中泰 勒 公 式 展 开 点 （ 下转 ５ ６ 页）
５ ６｛ 南Ｉ
２ ０ １ ７ 年 ． 第６ 期
根 据 以上 分 析 ，虚 拟 样 机 技 术 应 用 于 课 堂 教 学 能够 较好 地
的 计 算 及 稳 态 、动 态 性 能 的 形 象 表 达 。Ｇ ａ ｓ Ｔ ｕ ｒ ｂ是 德 国Ｊ ｏ ａ ｃ ｈ ｉ ｍ
Ｋ ｕ ｒ ｚ ｋ ｅ 博士开发的燃气轮机 （ 航空发动机和地面燃气轮机 ） 总
璺 矗
Ａ Ｄ 面 上 的应 力 ：
Ｏ＇ ｘ ４ Ｏ ＂ ｘ
＋
２ ， ｘ
小 的 ，故 认 为 它 的 各面 上 所受 应
力 是均 匀 分 布 的 ，体 力 也 是 均 匀
分 布的 ” 一 。 通过 列 其在 ｘ 、ｙ 方 向
图１ 微 小的正 平 行 六面 体
力的投影方程并忽略掉高阶微量而得出平衡微分方程。
量。
图 ２改 进 后 的 微 小 的 正 平 行 六 面 体
首 先 ，推导 切 应 力互 等 定理 ，将 所有 力对 单 元体 形 心 Ｅ 取矩
列 平衡 方程 ，得 ３ ｘ ） Ｏ ｒ ｄ：
（ ２）大 多数 教 材应 用 泰 勒 公式 对 应 力 分量 展 开 时没 有 说 明
８ ８
耘
２ ０ １ ７ 年・ 第６ 期
单 性 学中平衡 微分方程 推 导
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◇安 徽理 工 大 学力 学与光 电 物理 学 院 卢 小雨
许多 《 弹性 力学 》教材在 应用泰 勒公 式推 导平衡 微分 方
程 的 过 程 中表 述 不 够 清 楚 ， 让 学 生感 到 困 惑 。 本 文 明 确 了泰 勒 公 式 展 开 点 ，对 平 衡 微 分 方 程 进 行 了重 新 推 导 。 平衡微分方程是 《 弹 性 力学 》的 三 大 基 本 方 程 之 一 。 《 弹 性 力学 》教 材 推 导 平 衡 微 分 方程 的过 程 都 是 ： （ 以直 角 坐 标 系
ｄ ｙ
化 简 ，得 ： ＝Ｔ ｙ 。 其 次 ，推导 平衡 微 分方 程 ，列 出ｘ 方 向 力的投 影 方程 ：
ａ ＜ ｄ
是从 Ａ Ｂ 的 中点 展开 的 。
苏 少卿 等 也指出 《 弹性 力学 》教材 推 导平 衡 微 分方 程 的 过
ｘ ￣ ａ
：
ａ ｘ ２） ＋
在 教 学过 程 中发 现 以下 两 个问 题难 以解 释 清楚 。 （ １ ）图 １ 中ＡＢ 面 上 的 应 力分 量 为 和 ，Ａ Ｄ 面 上 的应 力
分 量 为 和 … 它 们 到底 是 不 是 同 一个 点 的 应 力分 量 ？ 它 们 的 坐 标 显 然 是 不 同 的 ，因此 它 们 应 该 不 是 同一 个 点 的 应 力 ；既然 不 是 一 个 点 的 应 力 ，可 是 表 述 上 又 像 是 同 一 个 点 的 应 力 分
程在数学上不够严密 ，并利用多元 函数偏导数的定义和积分中
值 定 理 给 出了 逻 辑 严 密 的 推导 ，但 其 推 导 方 法 对 高 等 数 学 要 求 较 高 ，对 现 在 大 部 分 数 学 基础 薄 弱 的大 学 生 来 说 则 难 以消 化 理
解。 １改进 的推 导 方法
十 一 譬
警
具 体 针 对哪 个 点 进 行 泰勒 公 式 展 开 的 ，显 然 不 是 从Ａ点或 Ｅ 点 展
开 的 ；总 止 人感觉 Ｂ ｃ 面上 的 应 力分 量 ＋ ！ ｄ ｘ
，
＋ ｄ ｘ 是
：
ｖ Ｉ
＋ 等 出
３ ｙ ２ ）
从Ａ Ｄ的 中点展 开得 到 的 ；而Ｃ Ｄ面上 的应 力 分量 总 让人 感 觉 ｄ ｖ ， ＋
下 的 平 面 问题 为例 ）取 图 １ 所 示
Ｂ Ｃ 面 上的 应 力 ：
Ｃ Ｄ面上 的 应 力 ：
磊 ～ 鬻 露
ａ ｄ
， － ，
ａｆ ｄ ｘ
０ｘ
０ ｘ ｚ
￣ Ｏ ＇ ｖ ｄ ｙ
＝ Ｏ＂ ＋ ｖ
＾ ＋ ’ ｔ ¨ 鲁警 — 专
体 性 能 计 算 软 件 ，是 当前 全 世 界范 围 内最 好 的 燃气 轮机 性 能 分 析 商 业 软 件 ，可 实现 涡 喷 、涡 扇 、涡 桨 、涡 轴 和 冲压 发 动 机 ， 以及 地 面 燃 气 轮机 的整 机 热 力学 设 计 或 性 能 分 析 ，获得 各个 部 件 性 能 参 数 ，方 便 向学 生 演 示 发 动 机 热 力 学 性 能 计 算 、特 性 计
ａ ｆ —ｄ ｖ
Ａ Ｂ 面 上的 应 力 ：
ａ ｄ ｖ
Ｏ ＇ ｙ
ｄ
一 ｊ，
ａ （ ｄ ｘ
一
“ 一 专
ａ ， ｄ
ｘ ｙ一
微 小 的 正 平行 六 面 体 ，它 在 ｘ方
向为 ｄ ｘ ，在 Ｙ 方 向的 尺寸 为 ｄ ｙ ， 为 汁算 简 便 ，取 其 厚 度 方 向 的 尺 寸 为单 位 长 度 ，由于 单 元体 是微
化 简 ，得 ： ＋
＝ 。
＋ ： ０
同理 ，在 ｙ 方 向 列出 力的投 影 方 程 ，可 得 ：
＋
塑 ＋，：０
ａ ｙ
与 教材 相 同 的是 仍 然取 在 ｘ方 向为 ｄ ｘ ，在 Ｙ方 向为 ｄ ｙ ，ｚ 方 向 为单 位 厚 度 的 微 小 正 平 行 六 面体 ，认 为它 的 各面 上 所 受 应 力 是 均 匀 分 布 的 ，体 力 也 是 均 匀 分 布 的 。假 设 微 元 体 中 心 Ｅ 点 （ ｘ ，Ｙ ）的 应 力 分量 为 ， ， ， 彳 ，则 微 元体 四个 面 上 的应 力则 可 以用 泰勒 公 式在 Ｅ 点 展开 而 得到 ：