函数方程和函数迭代问题
函数迭代和函数方程课件
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函数方程的基本概念 函数方程是指包含未知函数的方程。例如，$f(x) + f(2x) = 3x$是一个函数方程。
解函数方程的方法 解函数方程的方法包括代换法、迭代法、微分法 等。这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的 函数。
函数方程的应用 函数方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应 用。例如，在物理学中，牛顿第二定律就是一个 典型的函数方程。
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函数方程的应用场景
数学建模
在解决实际问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方
程求解。
物理问题
在研究物理现象或规律时，有 时需要通过建立和解决函数方 程来得出结论。
工程问题
在解决工程问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方 程求解。
经济问题
迭代函数的性质
迭代函数通常具有封闭性、递归性、可计算性和复杂性等性质。这些性质决定了迭代函数 的性质和行为。
迭代函数的收敛性
对于某些迭代函数，当迭代次数趋于无穷时，函数的值会趋于某个固定值，这种性质称为 收敛性。例如，$f(x) = x/2$的迭代序列${f^n(x)}$会收敛到0。
具体函数方程的解析
在数学研究中，迭代函数和函数 方程经常结合使用，以相互补充
和加强。
通过将迭代函数的动态变化过程 与函数方程的等式关系相结合， 可以更全面地研究函数的性质和
行为。
在解决一些复杂的数学问题时， 迭代函数和函数方程的结合应用 可以提供更有效的方法和思路。
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例解析
具体迭代函数的解析
迭代函数的基本概念
迭代函数是指通过将函数作用于自身而得到的函数。例如，$f(x) = x^2$是一个迭代函数， 因为$f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4$。
高一数学竞赛讲座2函数方程与函数迭代
函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）.【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.）6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】已知11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=则1,1x t =-再令1,1y t=-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能达到目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；（2）对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合（1）、（2）。
函数方程和函数迭代问题（奥数）
函数方程和函数迭代问题（奥数）第四讲函在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.一. 探求函数的解析式函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对其作进一步详尽的介绍.1,换元法换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.例1 解函数方程 f(x)+f(xx 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) f(x)=x+1/x+1/(1-x) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) f(x)=c/(a-b)x+c/(a+b)2.赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.例3 已知定义在R 的函数满足⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数) f(x)=(a-1)(sin2x-cos2x)+a⑵ f(0)=f(4π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;⑵常数a 的取值范围.例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);⑵ f(2)=0⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 f(x)= 0,x>=22/(2-x),x<23递推法这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f(n)的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{a n}的通项表达式)例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=23,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有f(x+y)=f(x)+f(y),试求f(x)5, 待定系数法这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解例７确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+23 6 , 利用不等式夹逼利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,例8 设f(x) 是具有下列性质的函数⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;⑵ f(n)是正整数;⑶ f(2)=2⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时试证: f(m)=f(n)例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).二. 探求函数的值在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有f[f(x)+y]=x+y,求f(1988)的所有可能的值例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,求f(1982).例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =⑶g(n)=f(f(n))+1试求f(240).三.讨论函数的性质探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。
高中数学竞赛题：函数迭代含详解
高中数学竞赛专题训练：函数迭代一、单选题1．设1()f x =对任意自然数n ，定义11()(())n n f x f f x +=.则1993()f x 的解析式为（）AB C D 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，对任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立.则()1998=f .（）A ．3996B ．1998C ．1997D ．03．已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x⋅+=.则(1)f =（）A ．1B ．0C ．12+D ．124．已知()11xf x x+-=，记()()1f x f x =，()()()()11,2,k k f x f f x k +== ，则()2007f x =（）A ．11x x+-B ．11x x -+C ．xD ．1x-5．已知对每一对实数x 、y ，函数f 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--．若()11f =，则满足()()f n n n Z =∈的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()10 5 f x f x f x +=+-．若()50f =，则()2005f 的值为（）．A ．2000B ．2005C ．2008D ．07．设函数()f x 的定义域是(,)∞+∞对于下列四个命题:(1)若()f x 为奇函数,则()()f f x 也为奇函数;(2)若()f x 为周期函数,则()()f f x 也为周期函数;(3)若()f x 为单调递减函数,则()()f f x 为单调递增函数;(4)若方程()()f f x x =有实根,则方程()f x x =也有实根,其中,正确的命题共有个（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设()1211x f x x -=+,对2n ≥,定义()()()11n n f x f f x -=.若()2912x f x x +=-,则()2009 f x =______.9．设()()211xf x eg x ln x -＝，＝（＋）.则不等式()()()()1f g x g f x -的解集为_______.10．已知()[]12,0,1f x x x =-∈，那么方程()()()12f f f x x =的解的个数是_________.11．已知函数()f x 满足()()()3,1000;=+5,<1000.x x f x f f x x -≥⎧⎪⎨⎪⎩则()84f =________.12．设函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈，()110062f x +=+()310054f -=.则()2013f =___________.13．设定义在整数集上的函数f ，满足()()14,2000,n 19,2000.n n f f f n n -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩则()1989f =_____.14．设函数()f n 定义在正整数集上，对于任一正整数n ，有()()43f f n n =+，且对任意非负整数k ，有()1221k k f +=+．则()2303f =__________．15．设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件(1)()11f =,()20f =;(2)对任意的x 、y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-则()2015f =______.三、解答题16．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠.若方程()f x x =无实根，求证：方程()()f f x x =也无实根.17．已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，()02f =，对任意x R ∈，有()()5254f x f x +=--，①()()3256f x f x -=-②，求()2012f 的值.18．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =；②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++；③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值；（2）求(,)f m n 的解析式．参考答案：1．C【详解】n=1时，()1f x =假设n k =时，()k f x =则1n k =+时，()1k f x +==所以()1993f x 故答案为C2．D【详解】令2x =-，则有()()()224f f f =-+，即()()()224.f f f +=()()()()42204f f f x f x ∴==⇒+=，即()f x 是以4为周期的函数.()()()199********.f f f ∴=⨯+==3．D【详解】设()1f a =，1x =.由已知函数等式得()()()1111f f f +=，()11af a +=，()11f a a+=.设1x a =+，有()()11111f a f f a a ⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭，11111f a a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，()11 11f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭.由()f x 是增函数，则有1111a a+=+，解得a=当()112f =时，有()()11111a f f a a <=<+=<矛盾，所以()112f =.选D.4．B【详解】()111x f x x +=-，()()1223121111, 111f f x f x f x f x f x ++-==-==--+，()34311f f x x f +==-据此，()4111n xf x x++=-，()()424311, 1n n x f x f x x x ++-=-=+，()4n f x x=因2007为4n+3型，故选B.5．B【详解】令1y =得()()()111f x f f x x +=+--，即()()12f x f x x +=++．令0x =得()()102f f =+．由()11f =知()01f =-．当n N +∈时，()()()()()()()113101012nnk k n n f n f k f k f k f ==+⎡⎤=--+=++=-⎣⎦∑∑．同理，()()312n n f n -+-=--．所以，()()312n n f n +=-，n Z ∈．令()f n n =，解得2n =-或1n =．6．D【详解】由题意得()()()()5105fx f x f x -+=-+，所以，()()()101515f x f x f x +=-=--从而，()()()2550f x f x f x =--=-故()f x 是以50为周期的周期函数.因此，()()()20055040550f f f =⨯+==.7．C【详解】若()f x )为奇函数,则()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-.故()()f f x 也为奇函数.因此,命题(1)正确.若()f x 为周期函数,设T 为()f x 的一个周期,则()()()()f f x T f f x +=.故()()f f x 也为周期函数，因此,命题(2)正确.若()f x 为单调递减函数,则对任何x y <,由:()()()()()()f x f y f f x f f y >=<.故()()f f x 为单调递增函数，因此,命题(3)正确.但命题(4)不正确例如,取：()2,011,0;0, 1.x x f x x x ⎧=≠⎪==⎨⎪=⎩或；则()()4,010,0;1, 1.x x f f x x x ⎧+≠⎪==⎨⎪=⎩或；.故方程()()f f x x =有01、两个实根,但0x ≠或1时,()2f x x x =+>,而()()01,10f f ==,知方程()f x x =没有实根.8．12xx+-【详解】因为()3012x x f x f x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭,所以,()()311f x f x =.而2009306629=⨯+,于是,()()20092912xf x f x x+==-.故答案为12xx +-9．(]1,1-【详解】注意到()()()()2f g x g f x x -=.故()()()()2f g x g f x x -=.又定义域为()1,-+∞，从而，不等式的解集为(]1,1-.10．8【详解】∵()12f x x =-112,0,2121,,12x x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩即()f x 有关于x 的两个一次表达式.同理,()()f f x 有关于()f x 的两个一次表达式,而每个()f x 有关于x 的两个表达式,以所()()f f x 有关于x 的四个一次表达式.同理,()()()f f f x 有关于x 的八个不同的一次表达式,因此,所求方程解的个数是8.11．997【详解】记()()()()()n n f x f f f x个.则()()()()()1848489999f f f f === ()()()()()()18518418310041001998f ff===()()()()()()18418318210031000997f f f===()()()()()()18318218310029991004f f f ===()()()()()()18218118210019981003f ff===()()()18110001000997f f ==== .因此，()84997f =.12．12+【详解】由题意知()112f =+12=+()13100724f ==，()()1120131007100622f f =+==.13．()19891990f =【详解】(1989)[(2008)](1994)[(2013)](1999)[(2018)](2004)1990f f f f f f f f f f =======14．4607【详解】注意到23432303343434342=+⨯+⨯+⨯+⨯.而()()()()()4343f n f f f n f n +==+，则()()2332303343434342f f =++⨯+⨯+⨯=…()()()234323444433434343423434343421230342124607f =+⨯+⨯+⨯+=+⨯+⨯+⨯++=++-=15．1±【详解】在条件(2)中令0x =,则()()()()()011f y f f y f f y =-+，由()11f =,知()()010f f y -=.在上式中令0y =,则()()()01000f f f =⇒=.在条件(2)分别令1,1,2x =-得()()()()()1110f y f f y f f y +=-+()1f y =-,()()()()()1112f y f f y f f y -=--+()()()()1111f f y f f y =--=-+,()()()()()2211f y f f y f f y +=-+-()()1f f y =-，由()()()111f y f f y -=-+()()()12f y f f y =-+()()()21f y f f y ⇒=-()11f ⇒-=±.若()11f -=,则()()2f y f y +=，由条件(1)知()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，经检验,f 满足条件故()20151f =.若()11f -=-,则()()2f y f y +=-()()()01x 141,14x f x mod x mod ⎧⎪=≡⎨⎪-≡-⎩，为偶数，，经检验,f 满足条件故()20151f =-.综上,()20151f =±.16．见解析【详解】将函数式()()20f x ax bx c a =++≠代入方程()f x x =，移项后，得()210ax b x c +-+=()0a ≠.已知这个方程无实根，所以它的判别式为负，即()21140b ac ∆=--<.进而，由()()()()()2f f x a f x bf x c =++，将()f x 的表达式代入方程()()f f x x =，得()()222a ax bx cb ax bxc c x++++++=()0a ≠.变形，得()()222220a ax bx c x ax b ax bx c x bx c x ⎡⎤⎡⎤++-++++-++-=⎣⎦⎣⎦，提公因式，得()()22110ax b x c a ax bx c x b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦，即()()()22110f x x a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤-+++++=⎣⎦⎣⎦.由条件知方程()0f x x -=无实根，所以，上面这个四次方程()()22110a x a b x ac b +++++=与有相同的实根.所得辅助二次方程的判别式是()()()2222221411444a b a ac b a b b ac ⎡⎤∆=+-++=+---⎣⎦()()()22221144440a b ac a a ⎡⎤=---=∆-<⋅-<⎣⎦，所以，这个辅助二次方程无实根，进而推出原四次方程()()f f x x =无实根.17．2【详解】在式①中取()1322x y y R =-∈，得()()212f y f y +=-.在式②中取()1233x y y R =+∈，得()()12f y f y =-，于是，()()2f y f y +=，即()f x 是一个周期为2的函数，故()()()201221006002f f f =⨯+==.18．（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得:(3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯，(3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，……(,)(,1)2(11)2(2)f m n f m n m n m n --=⨯+--=⨯+-．将上述n 1-个等式相加得：2(,)2[(1)(2)(2)]1f m n m m m m n m m =+++++⋅⋅⋅++-++-22231m m n n m n =++--+．【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.。
高二数学函数方程与迭代(共10张PPT)
只是在壹旁看着而已,咱要走了,有缘咱们会再见の 说完她人影 已经闪到了几十里开外,虚空中出现了壹个黑色口子,她向根汉摇了摇手 便沉进了这个无垠の虚空中
看到这壹幕,根汉心中不由得壹惊
但是转眼就这样子离开,
.
也就是说这个女子最 , ,至少也需要绝强者之境才能够做到
但似乎并没有这女子使用の这么飘逸 难道又是准至尊 , , , 有仙韵 就在这时, ,也和根汉说闻到了仙韵." ?" , 差也是壹位绝强者. , 当年九天寒龟也曾经向根汉展示过这壹招
,自己の几件至宝都会壹起出来.女人则 " 笑道" 又有魔韵,还有人韵,可以说是万 , 古奇遇
你是什么来历..."女人并没有恶意 面目慈善 根汉皱眉道：
?那是什么东西
那又叫做三界气韵,
,
, ,魔有魔韵 每壹个生灵出生之时
..." " 女人倒也不瞒,解释道： 壹般来说,
而你 の身上 有三种 气韵, 三界 气 韵 都有 了...""
?"
"咱当然不是仙
如果真有の话 你不需要知道咱是谁 你要是不告诉咱の话 ..." , ..." , 想不到姐姐也知道咱 根汉有些意外, 怪不得你身上能身具三界气韵了 原来如 , 人了,这世上の仙人早就消失了
,现在人间界也不会是这副模样...""那姐姐你是?"根汉好奇の问,女人摇头道："
思考1答案
思考3答案
3答案
4答案
根汉皱眉道："仙韵?魔韵?那是什么东西?""呵呵,那又叫做三界气韵,人有人韵,仙有仙韵,魔有魔韵,每壹个生灵出生之时,便会带有壹种韵. ""呼呼,那你叫什么名字?"根汉又问,"咱总得知道你の名字吧?你和咱师尊认识吗?""老疯子吗?"女子楞了楞后说："算是认识吧,有些渊源. 不时の就会有壹两个神秘の强者,出现在自己の眼前,令自己感觉压力山大. 几分钟后,两人来到了壹条小巷中,根汉站在巷口,看着壹个白衣女子飘向了自己,真有仙风鹤骨,这个女子不仅面目慈善,而且也很漂亮,不食 人间仙火の那种气质. ""至尊有没有进入仙界,你哪知道,或许人家都上了仙界呢. 第二十人登台,宗王五重,同样还是壹招败给了根汉. 不过她这么快就苏醒,还是头壹回. "这回来の是壹个大叔,修为大概在元古境,可以说是很低の修为,手持壹把两头斧,长有四五米,壹身横肉确实是有些吓人. 第三十人登台,宗王七重の强者,竟然还是壹招败给了根汉. 中年妇人手中多出了两把黑色の大剑,壹左壹右带着这妇人冲向了根汉,直取根汉の左右两路. "说完根汉身形闪转腾挪,直接从酒楼の窗户闪了出去,女道士也有些无奈,虽然不想跟去,但还是飘了过去. ""重活の仙人?"根汉有些惊厄. "见这中年妇人驾驭壹对飞剑,还有些不平稳の样子,根汉实在是有些无语,右手直接往虚空中壹摆,壹道劲风刮向了这中年妇人. "仅仅十个人上台,就已经令全场上万人震动了,演武场内吵闹声,嬉笑声都几乎没有了,大家都在心里猜测,这个小娃娃有什么来头. 不过她这么快就苏醒,还是头壹回.
简单函数方程的解法
简单函数方程的解法1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。
如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。
其中f(x)是未知函数2.函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。
如f(x)=x-1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理(柯西函数方程的解)若f(x)是单调(或连续)函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)证明：由题设不难得f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- (1)x=1，则f(n)=nf(1)x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2)x=- ，且令y=-x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)由上述(1)，(2)，(3)知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法(或换元法)把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x，那麽f(x)=______________。
略解：设t=2x-1，则x= (t+1)，那麽f(t)= (t+1)2+ (t+1)= t2+t+故f(x)= x2+x+(2) 已知f( +1)=x+2 ，那麽f(x)=____________。
1.函数符号与函数的基本问题
2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 059[决胜高考数学母题](第012号)函数符号与函数的基本问题掌握函数,要从认识函数符号f(x)开始,对f(x)我们可以把x 想象为一个口袋,在这个口袋内可以同时填入(赋值)任意一个数或式(包括f(x)自身),由此可充分体现换元方法和整体思想,并产生函数的三类基本问题.[母题结构]:(Ⅰ)(求函数值)已知函数f(x),求f(x 0)的过程,称为求函数值,求函数值的基本方法就是的赋值法.(Ⅱ)(函数方裎)含有未知函数的等式称为函数方程;函数方程的中心问题是求函数的解析式,求函数解析式的基本方法有:待定法、换元法和赋值法.(Ⅲ)(函数迭代)利用了一个函数自身复合多次,这就叫做迭代.一般地,记f (0)(x)=x,f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)),…, f(n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代,并称n 为f (n)(x)的迭代指数.[母题解析]:略.1.求函数值子题类型Ⅰ:(2015年山东高考试题)设函数f(x)=⎩⎨⎧≥<-1,21,3x x b x x,若f(f(65))=4,则b=( ) (A)1 (B)87 (C)43 (D)21[解析]:由f(65)=25-b;①若25-b<1,即b>23;由f(f(65))=4⇒3(25-b)-b=4⇒b=87,不合;②若25-b ≥1,即b ≤23;由f(f(65))=4⇒f(65)=2⇒b=21.综上,故选(D). [点评]:求参数值有而类典型问题:一是求复合函数值,尤其是求分段函数的复合函数值;一般方法是由里至外逐次求解,其中的关键是注意定义域下的函数式.二是问题一的逆向问题,即已知复合函数值,求其中的参数值,要注意分类讨论.[同类试题]:1.(2015年陕西高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-)0(2)0(1x x x x,则f(f(-2))=( ) (A)-1 (B)41 (C)21 (D)232.(2005年江苏高考试题)己知a,b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b= . 2.函数方裎子题类型Ⅱ:(2008年陕西省高考试题)己知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R),f(1)=2,则f(-3)等于( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9[解析]:设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c,与己知f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 比较得a=1,c=0⇒f(x)=x 2+bx,又由f(1)=2⇒b=1⇒f(x)=x 2+x ⇒f(-3)=6.故选(C).[点评]:由二次函数抽象而得到的函数方程模型有:①如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(2m-x)+2f(x)=3(ax 2+bx+c)+2(2am+b)(m-x);②如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c;③如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x)f(y)=af(xy)+c[f(x)+f(y)]+ bxy[a(x+y)+(b-a)]-c(a+c);④如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x-f(y))=f(f(y))+f(x)-2(ax+b)f(y)-c.[同类试题]:3.(2012年安徽高考试题)下列函数中,不满足:f(2x)=2f(x)的是( )(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x| (C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x060 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题4.(2015年浙江高考试题)存在函数f(x)满足:对任意x ∈R 都有( )(A)f(sin2x)=sinx (B)f(sin2x)=x 2+x (C)f(x 2+1)=|x+1| (D)f(x 2+2x)=|x+1| 3.函数迭代子题类型Ⅲ:(2011年山东高考试题)设函数f(x)=x x +2(x>0),观察:f 1(x)=f(x)=x x +2,f 2(x)=f(f 1(x))=43+x x, f 3(x)=f(f 2(x))=87+x x ,f 4(x)=f(f 3(x))=1615+x x ,…,根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x)= f(f n-1(x))= .[解析]:由f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x)分母中的常数项分别为2,22,23,24,猜测f n (x)分母中的常数项=2n ,而一次项系数比常数项少1,为2n-1⇒f n (x)=nnx x 2)12(+-.[点评]:求f (n)(x)的一般解法是先猜后证法:先迭代几次，观察有何规律,由此猜测出f (n)(x)的表达式,然后证明.证明时,常用数学归纳法.[同类试题]:5.(2014年陕西高考试题)已知f(x)=xx+1,x ≥0,若f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +,则f 2014(x)的表达式为 . 6.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x))n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= .4.子题系列:7.(2005年浙江高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||,111||,2|1|2x xx x ,则f(f(21))=( )(A)21 (B)134 (C)-59 (D)41258.(2012年陕西高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥)0()21()0(x x x x,则f(f(-4))= . 9.(2012年福建高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0(1)0(0)0(1x x x ,g(x)=⎩⎨⎧∉∈∈),(0)(1Q x R x Q x ,则f(g(π))的值为( )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)π 10.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-1,21,122x x x x x ,则))2(1(f f 的值为( ) (A)1615(B)-1627 (C)98 (D)18 11.(2010年陕西高考试题)(理)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+1,1,122x ax x x x ,若f(f(0))=4a,则实数a=( ) (A)21 (B)54(C)2 (D)9 12.(2014年浙江高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++)0()0(2222x x x x x ,若f(f(a))=2,则a= .13.(2011年江苏高考试题)已知实数a ≠0,函数f(x)=⎩⎨⎧≥--<+)1(2)1(2x a x x a x ,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为 .2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 06114.(2006年全国高中数学联赛河南预赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b=( ) (A)3 (B)7 (C)-3 (D)-7 15.(2004年湖北高考试题)己知f(x x+-11)=2211x x +-,则f(x)的解析式可取为( ) (A)21x x + (B)-212x x + (C)212x x + (D)-21x x +16.(1984年全国高中数学联赛试题)若F(xx+-11)=x,则下列等式中正确的是( ) (A)F(-2-x)=-2-F(x) (B)F(-x)=F(xx +-11) (C)F(x -1)=F(x) (D)F(F(x))=-x 17.(2011年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f(x)为整式函数且满足f(x+1)+f(x-1)=4x 3-2x,则f(x)= . 18.(2010年全国高中数学联赛江西预赛试题)设多项式f(x)满足:对于任意x ∈R,都有f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,则f(x)的最小值是 .19.(1999年福建省高一数学夏令营选拔试题)关于x 的函数f(x)满足mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x(0<m<n),当x ∈[-1,1]时, f(x)的最小值是 .20.(2006年泰国数学奥林匹克试题)设函数f:R →R,对任意x ∈R,都有f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17.求f(85). 21.(2009年全国高中数学联赛湖南预赛试题)设f(x)为R →R,对任意实数x 有f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,则f(50)的值为( )(A)72 (B)73 (C)144 (D)14622.(2011年北京市中学生数学竞赛高一试题)设函数y=f(x)定义域为R,且对任意x ∈R 都有2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x- 6,则f(60)= .23.(2009年全国高中数学联赛试题)若函数f(x)=21xx +,且f (n)(x)=nx f f f f ]])([[⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则f (99)(1)= .24.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= . 5.子题详解: 1.解:由f(-2)=41⇒f(f(-2))=f(41)=21.故选(C). 2.解:(法一)由f(x)=x 2+4x+3⇒f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a 2x 2+2a(b+2)x+b 2+4b+3=x 2+10x+24⇒a 2=1,2a(b+2)=10,b 2+ 4b+3=24⇒b=3或-7;当b=3时,a=1;当b=-7时,a=-1⇒5a-b=2.(法一)在f(ax+b)=x 2+10x+24中,令x=-5得:f(-5a+b)=-1;又由f(x)=x 2+4x+3=-1⇒x=-2⇒-5a+b=-2⇒5a-b=2. 3.解:若f(x)=kx ⇒f(2x)=k(2x)=2kx,2f(x)=2(kx)=2kx ⇒f(2x)=2f(x)⇒(D)满足条件;若f(x)=k|x|⇒f(2x)=k × |2x|=2k|x|,2f(x)=2(k|x|)=2k|x|⇒f(2x)=2f(x)⇒(A)满足条件;对于(B):当x ≥0时,f(x)=0显然满足条件,当x<0时, f(x)=2x 满足条件⇒(A),(B),(D)满足条件.故选(C).4.解:由f(x 2+2x)=|x+1|=122++x x ;令t=x 2+2x,则f(t)=1+t .故选(D).5.解:由f 1(x)=x x +1⇒f 2(x)=f(f 1(x))=x x 21+⇒f 3(x)=f(f 2(x))=xx31+⇒…⇒f 2014(x)=x x 20141+.6.解:由f 1(x)=f(x)=ax+b ⇒f 2(x)=f(f 1(x))=a 2x+(a+1)b ⇒f 3(x)=f(f 2(x))=a 3x+(a 2+a+1)b ⇒…⇒f 7(x)=a 7x+(a 6+a 5+…+a +1)b ⇒a 7=128,(a 6+a 5+…+a+1)b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5. 7.解:由f(21)=|21-1|-2=-23⇒f(f(21))=f(-23)=134.故选(B).062 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题8.解:由f(-4)=(21)-4=16⇒f(f(-4))=f(16)=4.9.解:由g(π)=0⇒f(g(π))=f(0)=0.故选(B).10.解:由f(2)=22+2-2=4⇒))2(1(f f =f(41)=1-(41)2=1615.故选(A).11.解:由f(0)=2⇒f(f(0))=f(2)=4+2a=4a ⇒a=2.故选(C).12.解:①当a ≤0时,f(a)=a 2+2a+2>0⇒f(f(a))=-(a 2+2a+2)2=2无解;②当a>0时,f(a)=-a 2<0⇒f(f(a))=a 4-2a 2+2=2⇒ a=2.13.解:①当a<0时,f(1-a)=f(1+a)⇒-(1-a)-2a=2(1+a)+a ⇒a=-43;②当a>0时,f(1-a)=f(1+a)⇒2(1-a)+a=-(1+a)-2a ⇒a=-23(舍去).综上,a=-43. 14.解:令x=-2得:f(-2b+c)=-1;由f(x)=-1⇒x=-3⇒-2b+c=-3.故选(C). 15.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒2211x x +-=2222)1()1()1()1(t t t t -++--+=212t t +,所以f(t)=212t t +⇒f(x)=212x x +.故选(C). 16.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒F(t)=t t +-11⇒f(-2-x)=)2(1)2(1x x --+---=-x x ++13,-2-F(x)=-2-xx +-11=-x x ++13.17.解:由方程的右边为三次函数,故设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d,由题知,2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d ≡4x 3-2x ⇒2a=4,2b=0,6a+2c=-2,2b+2d=0⇒a=2,b=0,c=-7,d=0⇒f(x)=2x 3-7x.18.解:由方程的右边为二次函数,故设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c,由题知,2ax 2+2bx+2a+2c ≡2x 2- 4x ⇒2a=2,2b=-4,2a+2c=0⇒a=1,b=-2,c=-1⇒f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2的最小值=f(1)=-2. 19.解:由mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x ⇒mf(t)+nf(-t)=t+3⇒mf(-t)+nf(t)=-t+3⇒f(t)=-m n -1t+nm +1;由x ∈[-1,1]⇒ t=2x-3∈[-5,-1]⇒f(x)的最小值=f(t)的最小值=f(-1)=222m n n -.20.解:在f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17中,用1-x 代替x 得:f(x 2-3x+5)+2f(x 2+x+3)=6x 2-2x+13⇒f(x 2+x+3)=2(x 2+ x)+3;令x 2+x+3=85得:x 2+x=82⇒f(85)=2×82+3=167.21.解:由f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4⇒f(50)=3×50-4=146.故选(D).22.解:由2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2−3x+2)+f(x 2+x)=9x 2−15x,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4,所以f(60)=3×60−4=176. 23.解:由f (1)(x)=f(x)=21x x +,f (2)(x)=f[f(x)]=221x x +,…,f (n)(x)=21nx x +⇒f(99)(x)=2991x x +⇒f(99)(1)=101. 24.解:由f 1(x)=ax+b ⇒f 2(x)=a 2x+ab+b ⇒f 3(x)=a 3x+a 2b+ab+b ⇒…⇒f n (x)=a nx+a n-1b+a n-2b+…+ab+b=a nx+11--a a n b,由 f 7(x)=128x+381⇒a 7=128,117--a a b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5.。
函数迭代和函数方程
2.函数方程
1.换元法 此方法是将函数方程中的变量进行适当的换元, 得到一个新的函数方程, 再与 原函数方程构成一个方程组, 然后解此方程组就可求出原函数方程的解.但要注意 在换元时也许使函数的定义域发生了变化,需通过验证来证实.
例3. 已知实值函数F ( x)满足F ( x) + F ( x −1 ) = 1 + x(∗)( x ∈ R, 且x ≠ 0,1), 求F ( x). x
证 : 先证明对于任意自然数k , 只要n ≥ k , 则f (n) ≥ k .我们用数学归纳法证 : 当k = 1时, 显然,1是f (n)的值域中的最小数, 所以命题成立. 假设命题对于自然数k成立, 则当n ≥ k + 1时, n − 1 ≥ k ,由假设f (n − 1) ≥ k ,当然 f ( f (n − 1)) ≥ k . 由已知f (n) > f ( f (n − 1))得f (n) > k .于是有f (n) ≥ k + 1.即当n ≥ k + 1时, 命题也成立.从 而不等式f (n) ≥ k对于任意自然数k和任何不小于k的自然数n成立.取k = n, 则f (n) ≥ n. 再令n = f (k ), 则f ( f (k )) ≥ f (k ).又f (k + 1) > f ( f (k )), 故f (k + 1) > f (k ), 即函数f (k )是 严格递增函数. 因对于任意的n, f (n + 1) > f ( f (n)), 又f (k )严格递增, 故有n + 1 > f (n), 即f (n) ≤ n, 但已 证明f (n) ≥ n, 从而只能有f (n) = n成立.
函数迭代和函数方程
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第四讲函数方程和函数迭代问题在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.一. 探求函数的解析式1,换元法换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解. 例1 解函数方程 f(x)+f(xx 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x)2.赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.例3 已知定义在R 的函数满足⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数)⑵ f(0)=f(4π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;⑵常数a 的取值范围.例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);⑵ f(2)=0⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠03递推法例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=23,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有f(x+y)=f(x)+f(y),试求f(x)5, 待定系数法这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解例７ 确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+23 6 , 利用不等式夹逼利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,例8 设f(x) 是具有下列性质的函数⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;⑵ f(n)是正整数;⑶ f(2)=2⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时试证: f(m)=f(n)例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).二. 探求函数的值在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有f[f(x)+y]=x+y,求f(1988)的所有可能的值例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,求f(1982).例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =⑶g(n)=f(f(n))+1试求f(240).三.讨论函数的性质探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。
而解决这类问题 的办法就是要“穿脱”函数符号“f ”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.1 单调性穿脱法对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f ”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.例14 设函数y=f(x)定义在R 上,当x ＞0时, f(x)＞1且对任意m,n ∈R 有f(m+n)=f(m)f(n),当m ≠n 时,f(m)≠f(n).⑴证明:f(0)=1;⑵证明: f(x)在R 上是增函数;⑶设A={(x,y) │f(x 2)f(y 2)＜f(1)＝A={(x,y) │f(ax+by+c=1,a,b,c ∈R,a ≠0)若A ∩B=∅求a,b,c 满足的条件例15 已知定义在R +上的函数F(x)满足条件:①:对定义域上任意的x,y 都有F(x)+F(y)=F(xy);②当x>1时F(x)>0,试求:⑴求证F(x1)=-F(x); ⑵求证: F(x) 在R +上为增函数;⑶若F(3)=1,且a 为正实数时,解关于x 的不等式 F(x)-F(xa -21)≥2 例16 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a 和b 是实数.试证:⑴证明命题:如果a+b ≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论.2 反函数穿脱法灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f -1(x),并能熟练地运用f -1 (f(x))=x,f(f -1(x))=x 进行穿脱函数符号“f ”，这是极为常用而又重要的方法.引理 若f(x),g(x)互为反函数,且f(a+b)=f(a) f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)例17 已知函数f(x)满足:①f(21)=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减; ④f(xy)= f(x)+f(y).试求:⑴求证: 41不在f(x)的定义域内⑵求不等式f -1(x)f -1(x -11)≤21的解集 3定义探求法在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.例18 设a>0, f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数x,有 f(x+a)=21+2)]([)(x f x f -⑴证明: f(x)是周期函数;⑵对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)四 函数迭代中的”穿脱”技巧设函数y=f(x),并记f n (x)=f(f(f …(fx)…),其中n 是正整数, f n (x)叫做函数f(x)的n 次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或f n (x)的表达式”穿上”或”脱去”n -1个函数符号得出f n (x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索.1程序化穿脱“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,例19 已知f(x)=21x x+ ,求f n (x).2实验法穿脱许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.例20 函数定义在整数集上,且满足f(n)= n-3 (n ≥1000)f[f(n+5)](n ＜1000求f(84)例21 对任意的正整数k,令f 1(k)定义为k 的各位数字和的平方.对于n ≥2令f n (k)=f 1(f n-1(k)),求f 1988(11).3周期性穿脱在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.例22 定义域为正整数的函数,满足:f(n)= n-3 (n ≥1000)f[f(n+7)](n ＜1000.试求f(90)练习1.设n 是自然数,f(n)为n 2+1(十进制)的数字之和,f 1(n)=f(n),求的f 100(1990)值.2.已知f(x)是一次函数,且f 10(x)=1024x+1023,求f(x)的解析式,3.已知f(x)=112+-x x .设f 35(x)=f 5(x),求f 28(x). 4.设f(x)是定义在实数集上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x).(1) 试证: f(x)是周期函数;(2) 若f(1)=2+3求f(1989)的值5. 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且对任意实数x,y,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,求f(x).6设.f(n)是定义在N 上且在N 内取值的函数,且对每个n ∈N,有f(n+1)≥f[f(n)],求证:对每个n ∈N,f(n)=n. 7若.f(xx +-11)=x,求f(x) 8. 对任意实数x,y,函数f(x)满足关系式f(x+y)=f(x 2)+f(2y).求f(1985)的值.9已知af(2x-3)+bf(3-2x)=2x,a 2≠b 2,求f(x)10已知二次函数f(x)满足条件①f(-1)=0;②对一切x 之值有x ≤f(x)≤21(1+x 2)成立,试求f(x)的解析式。