力对点之矩和轴之矩汇编
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理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
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2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
力对点之矩的概念.
§3-2 力对轴的矩
Mz (F) Mo (Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对 该轴的矩为零。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：取工件为研究对象，平面力偶系。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
M rAB F
M 2BAC
§3-4 力偶的等效条件和性质
如力偶矩矢相等，则两力偶等效。
性质：
(1) 力偶可在自己的作用平面内 任意移动，对刚体的作用不变。
(2) 力偶可以改变F、d的大小，
只要力偶矩不变，对刚体的作用 不变。 (3) 力偶可以从一个平面移至另 一平面，只要力偶矩不变，对 刚体的作用不变。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
Mo (F) r F Mo (F) OAB Mo(F) 2OAB
2.合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力
理论力学 chap4
M y M iy M 2 80 N m
M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m
M M ix i M iy j M iz k
例 已知: F1 = 10kN，F2 = 16kN， F3 = 20kN，a=10cm .求力系的合力偶。
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦：
Mx cos( M O , i ) 0.845 MO
My cos( M O , j ) 0.531 MO Mz cos( M O , k ) 0.064 MO
M O M x M y M z 124 .3 N m
§4-3 空间力偶系 1 空间力偶的概念
F Fx Fy Fz
2 2 2
cos( F , i )
Fx F
解题时究竟用哪种 方法求力的投影？
例1 半径r的斜齿轮，其上作用力F，如图所示。求力在坐标 轴上的投影。
解： Fx Ft F cos sin
FY Fa F cos cos
Fz Fr F sin
Fxy Fxy
F
o d
M z ( F ) M O ( Fxy )
(1)定义
M z dFxy
力对轴之矩的绝对值等于该力在与轴垂直的 平面上的投影对轴与平面交点之矩。
如何求力对轴之矩？
力对轴之矩是代数量，并按右手规则 确定其正负号。
力与轴平行或相交时力对该轴的矩等于零
（1）合力之矩定理
合力对任一点之矩矢等于力系中各力 对该点之矩矢的矢量和；合力对任一轴之 矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
力对点之矩
Qd
h
xqdx
h
x2dx
1
h3
0
0
3
kN·m
Q
h
qdx
h
xdx
1 h2
0
0
2
Qd
h
xqdx
h
x2dx
1
h3
0
0
3
所以
h
d 0 xqdx 2 h
Q
3
m
此d值确定了合力Q
作用线的位置。
A
即
FR ＝ F1＋F2＋…＋ Fn
FR ＝ F1＋F2＋…＋ Fn
• 以 r 对上式两端作矢积，有
• r×FR ＝r×F1 ＋ r×F2 ＋ … ＋r×Fn • 由于力F1，F2,…,Fn与点共面， • 上式各矢积平行，因此上式
• 矢量和可按代数和计算。而
• 各矢量积的大小就是力对点
• 之矩，于是证得合力矩定理
MA(F )＝ MA(F x)＋ MA(F y) ＝－ Fx b + Fy a ＝－ F b cosa＋ F a sin a ＝ F a sin a－ F b cosa
• 例2、设水深为h，水的容重（单位容积的
• 重量）为g，求单位长度的坝面所承受的静水压 • 力的合力。 • 解：作用于坝面的静水压力可简化为沿坝面 • 中心线OA分布的水平荷载，且在水面下x处的的 • 线荷载集度为
矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
2、力对点之矩矢MO (F)的三要素 力矩矢的三要素为大小、方位和指向。
（1）、MO (F)的大小即它的模
MO(F ) = r F Fr sin Fh
力矩 力偶系
M （ F） rAO F x O
i
j y
k z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
结论：力矩矢在坐标轴上的投影 M 0 (F ) x M x (F ) M 0 (F ) y M y (F ) M 0 (F ) z M z (F )
§ 3-2 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 一、力偶( F , F)
由大小相等,方向相反而不共线 的两个平行力组成的力系。
F d
B A
F= - F
F´
力偶只能使物体发生转动， 不引起移动。
二、力偶矩
F
1、平面力系：
d
A
B
m = ±Fd
正负号的规定： 力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为– 2、空间力系：力偶矩是一个矢量
m
F´
M
A F
M rBA F
rBA
F´
B
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，也不能
用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效,也只能与力 偶平衡。
2、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和） 等于该力偶矩 ,而与矩心的选择无关。
m mo(F) +mo(F´) = rB0×F + rA0× F´ = rBA×F
d
a
Fxy b
z
结论:
F
B
(a) 当力的作用线与轴平行或相交，
A
即力与轴位于同一平面时力对轴
之矩等于零；
o
(b) 当力沿其作用线移动时力 矩不变。
3.2.1力对点之矩
第三章
§3-2-2 §3-3 §3-4 §3-5
力系的简化
§3-2-1 力对点之矩
力对轴之矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 力的平移定理
一、力对点之矩
1、力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空 间任意一点O的力矩定义 间任意一点 的力矩定义 为:
M O(F ) = r × F
式中O点称为矩心， 为矩心 引向力F的作用点 的矢径， 式中 点称为矩心，r为矩心 引向力 的作用点 的矢径， 点称为矩心 为矩心O引向力 的作用点A的矢径 力对点之矩定义为： 力对点之矩定义为： 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
q=
γ x (1× d x )
dx
=γx
kN/m /
A
• • • • •
可见荷载集度与水的 深度成正比， 深度成正比，按此绘出的 荷载图为图示的三角形。 荷载图为图示的三角形。 坝面所受的静水压力的 合力Q的大小为 合力 的大小为
Q=
∫
h 0
qdx =
∫
h 0
1 γx d x = γh 2
A
2
kN
必须指明矩心，力对点之矩才有意义。 必须指明矩心，力对点之矩才有意义。
• 2、力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 • 3、当力的作用线通过矩心时，此力对于该矩心的力矩等 当力的作用线通过矩心时， 于零。 于零。
• 4、力对点之矩的单位； 力对点之矩的单位； • N·m 或 kN·m
点之矩。 例1、试计算图中力F对A点之矩。 试计算图中力 对 点之矩 已知F， 、 、 已知 ，a、b、a。 解：（1）由定义求MA(F ) 由定义求 先确定力臂h 而找力臂 较为麻烦。 先确定力臂h。而找力臂d 较为麻烦。
§3-2-2 §3-3 §3-4 §3-5
力系的简化
§3-2-1 力对点之矩
力对轴之矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 力的平移定理
一、力对点之矩
1、力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空 间任意一点O的力矩定义 间任意一点 的力矩定义 为:
M O(F ) = r × F
式中O点称为矩心， 为矩心 引向力F的作用点 的矢径， 式中 点称为矩心，r为矩心 引向力 的作用点 的矢径， 点称为矩心 为矩心O引向力 的作用点A的矢径 力对点之矩定义为： 力对点之矩定义为： 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
q=
γ x (1× d x )
dx
=γx
kN/m /
A
• • • • •
可见荷载集度与水的 深度成正比， 深度成正比，按此绘出的 荷载图为图示的三角形。 荷载图为图示的三角形。 坝面所受的静水压力的 合力Q的大小为 合力 的大小为
Q=
∫
h 0
qdx =
∫
h 0
1 γx d x = γh 2
A
2
kN
必须指明矩心，力对点之矩才有意义。 必须指明矩心，力对点之矩才有意义。
• 2、力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 • 3、当力的作用线通过矩心时，此力对于该矩心的力矩等 当力的作用线通过矩心时， 于零。 于零。
• 4、力对点之矩的单位； 力对点之矩的单位； • N·m 或 kN·m
点之矩。 例1、试计算图中力F对A点之矩。 试计算图中力 对 点之矩 已知F， 、 、 已知 ，a、b、a。 解：（1）由定义求MA(F ) 由定义求 先确定力臂h 而找力臂 较为麻烦。 先确定力臂h。而找力臂d 较为麻烦。
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
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rA
解：
i jk
MO (F)
rA F
a(i
k)
F 2
(i
j)
a
0a
F F 0
22
Fa (i j k) 2
35.36(i j k) kN m
M x(F ) 35.36 kN m
• 4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知 OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有 一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐 标轴之矩。
力对轴之矩的计算
方法二: 将力向三个坐 标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后 将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
M x yFz zFy
M y zFx xFz
M z xFy yFx
力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上 的投影,等于这一力对该轴之矩 。
M
O
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
力
对 轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
力对点的矩和力对轴的矩
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于
该轴的平面投影 ,力的投 影与投影至轴的垂直距 离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
• 解：
MO (F ) rA F ai F(cos cos45i cos sin 45 j sin k)
aF(sin j cos sin 45k)
力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F) 0
M
y
(F
)
aF
sin
30
aF 2
6 M z (F ) aF cos30sin 45 4 Fa
F
x
Mx
M
O
F
y
My
M
O
F
z
Mz
• 1、试求图示中力F对O点的矩。
• （a）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l • （b）MO (F ) F sin l • （c）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) F cosFl2 sin (l1 l3) • （d） MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l12 l22
M
o
r
F=
(Fzy-Fyz)
i
+(Fxz-Fzx)
j+(Fyx-Fxy)
k
Mo Moxi Moy j Mozk
Mox yFz zFy Moy zFx xFz
力对点之矩几点 结论
Moz xFy yFx
力对点 之矩是定位矢量;
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。
力对点的矩和力对轴的矩
力对点之矩
力对点之矩的矢量运算
F= Fx i + Fy j + Fz k
r=x i + y j + z k
Mo Fr sin r F
i jk =x y z
Fx Fy Fz
MO(F) z
F
Oryx源自= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
2
z
Mx 0
F
F z F sin 300
1
My
Fza
Fa 2
F y F cos300
M z F ya
y
3 Fa 2
300
or
x
M
y
zFx
Mx xFz
yF ZzFy 0 aF sin 300
1 2
Fa
M z xFy yFx
aF cos 300
3 Fa 2
• 3 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的 力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力 矩。
解：
i jk
MO (F)
rA F
a(i
k)
F 2
(i
j)
a
0a
F F 0
22
Fa (i j k) 2
35.36(i j k) kN m
M x(F ) 35.36 kN m
• 4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知 OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有 一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐 标轴之矩。
力对轴之矩的计算
方法二: 将力向三个坐 标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后 将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
M x yFz zFy
M y zFx xFz
M z xFy yFx
力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上 的投影,等于这一力对该轴之矩 。
M
O
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
力
对 轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
力对点的矩和力对轴的矩
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于
该轴的平面投影 ,力的投 影与投影至轴的垂直距 离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
• 解：
MO (F ) rA F ai F(cos cos45i cos sin 45 j sin k)
aF(sin j cos sin 45k)
力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F) 0
M
y
(F
)
aF
sin
30
aF 2
6 M z (F ) aF cos30sin 45 4 Fa
F
x
Mx
M
O
F
y
My
M
O
F
z
Mz
• 1、试求图示中力F对O点的矩。
• （a）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l • （b）MO (F ) F sin l • （c）MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) F cosFl2 sin (l1 l3) • （d） MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy ) MO (Fy ) F sin l12 l22
M
o
r
F=
(Fzy-Fyz)
i
+(Fxz-Fzx)
j+(Fyx-Fxy)
k
Mo Moxi Moy j Mozk
Mox yFz zFy Moy zFx xFz
力对点之矩几点 结论
Moz xFy yFx
力对点 之矩是定位矢量;
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。
力对点的矩和力对轴的矩
力对点之矩
力对点之矩的矢量运算
F= Fx i + Fy j + Fz k
r=x i + y j + z k
Mo Fr sin r F
i jk =x y z
Fx Fy Fz
MO(F) z
F
Oryx源自= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
2
z
Mx 0
F
F z F sin 300
1
My
Fza
Fa 2
F y F cos300
M z F ya
y
3 Fa 2
300
or
x
M
y
zFx
Mx xFz
yF ZzFy 0 aF sin 300
1 2
Fa
M z xFy yFx
aF cos 300
3 Fa 2
• 3 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的 力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力 矩。