空间直角坐标系讲义.
新教材人教A版选择性必修第一册 1.3.1 空间直角坐标系 课件(49张)
【习练·破】 已知两点P(1,0,1)与Q(4,3,-1),则P,Q之间的距离为_______.
【解析】因为P(1,0,1),Q(4,3,-1), 所以 OP=(1,0,1)=i+k, OQ=(4,3,-1)=4i+3j-k, 所以 PQ=(4i+3j-k)-(i+k)=3i+3j-2k,
PQ 3i2 3j2 (－2k)2 22，
2
【类题·通】 1.空间对称问题的特点 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化 规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余 坐标相反”这个结论.
2.利用向量法求空间两点距离的方法 (1)建系,确定两点坐标. (2)求出以向量 OA,OB 的坐标. (3)求 AB 的坐标. (4)根据公式求出 AB 的模,即AB的距离.
2
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点, 所以M(1,1,2).
所以AM=(1,1,2)=i+j+2k,
AN (3i+,33,1)j+k,
2
所以 MN (3 i -3(ji+ kj+) 2k)
2
= 1 i+2j-k,
2
所以 | MN | (1 i)2 2j2 (－k)2 21，
2
2
即|MN|= 21 .
【思考】 什么是右手直角坐标系? 提示:右手直角坐标系是指的让右手的拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向, 中指指向z轴正方向所建立的坐标系;高中阶段所用的空间直角坐标系都是右手 直角坐标系.
2.空间向量的坐标表示 (1)点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,存在唯一有序实 数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk,则 OA 对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间坐 标系中的坐标. (2)向量的坐标 给定向量a,若OA =a,则a=xi+yj+zk, 有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,记作a=(x,y,z).
圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)
X的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程1. 圆的标准方程： ______________________ ,圆心： ________, 半径：________.2. 圆的一般方程：圆心： 二、位置关系的判断(1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,则计算 _____________________ ,与0比较大小.(2) 直线与圆① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离.A = 0,直线与圆相切.△ >0,直线与圆相交(3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.三、常见思考角度1. 直线与圆位置关系常见考査角度(1)过定点求圆的切线方程① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂22. 圆与圆位置关系常见考査角度（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -（2） 两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.zn六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .-1 -- B»1 "Z C'A' BC>1 \ >1 0 X七、空间两点间的距离公式如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .A/ P 、 Pl精讲精练写出下列圆的标准方程：(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・2 . 下列方程：①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。
空间直角坐标系 课件
∴B(5,0,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(5,4,0)，B1(5,0,4)．
图(1)
又 D1(0,4,4)，P 为 B1D1 的中点，∴P(52，2,4)．
[错因] 空间直角坐标系中，x轴、y轴和z轴的正方向排 列次序要符合右手法则，即用右手握住z轴，拇指所指 的方向为z轴的正方向，其余四指所指的方向为由x轴正 向到y轴正向的转动方向．错解中，坐标系的建立不符 合右手法则，因此解答是不正确的．
图(2)
∴P(2，52，4)．
[正解] 如图(2)，分别以 AD、AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y
轴和 z 轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(4,5,0)，B1(0,5,4)． 又 D1(4,0,4)，P 为 B1D1 的中点，
探究点一 空间中点的坐标的确定
(1)过空间一点M分别作三个坐标平面的平行平面，与三个 坐标轴的交点的坐标分别为点M的横、纵、竖坐标．
(2)特殊位置点的坐标的特征． x轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x为任意实数； y轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y为任意实数； z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中z为任意实数； xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，其中x，y为任意实数； xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数； yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，其中y，z为任意实数．
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，建立如 图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点 的坐标．
[提示]在不同的空间直角坐标系下，同一个点的坐标是 不同的，应分别写出．
空间直角坐标系PPT课件
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。
空间直角坐标系及其应用PPT教学课件
例2 下列物质中，因发生化学反应既能使溴水 褪色，又能使酸性高锰酸钾溶液褪色的是( C )
【解析】 SO2具有还原性，能被强氧化剂Br2 及KMnO4酸性溶液氧化而使其褪色；CH3CH2CH ===CH2中有双键，遇Br2能发生加成反应，遇 KMnO4酸性溶液能被氧化，从而使溴水及 KMnO4酸性溶液褪色；苯分子结构稳定，不能
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【解析】硼氮苯与苯结构类似，取代相邻两原子的
二氯代物只有1种，取代间位两原子的二氯代物有2
种，取代对位两原子的二氯代物有1种，共有4种。
2. 下列各组有机物中，只需加入溴水就能一一鉴 别的是( A ) A．己烯、苯、四氯化碳 B．苯、己炔、己烯 C．己烷、苯、环己烷 D．甲苯、己烷、己烯
在描述有机反应类型时，必须注意语言的 准确性。例如醇分子之间脱水成醚、酯化反应 中生成了水的反应不能叫做脱水反应，前者属 于取代反应，酯化反应也属于取代反应的范畴； 同时注意不能用无机反应类型套用到有机反应 中，例如，裂化反应和裂解反应不能叫做分解 反应，取代反应不能叫复分解反应等。
1. 已知化合物B3N3H6(硼氮苯)与C6H6(苯)的分子结构 相似，如下图，则硼氮苯的二氯取代物B3N3H4Cl2的 同分异构体的数目为( C )
6.下列说法正确的是( B ) A．乙烯的结构简式可表示为CH2CH2 B．苯、乙醇和乙酸都能发生取代反应 C．油脂都不能使溴的四氯化碳溶液褪色 D．液化石油气和天然气的主要成分都是甲烷
【解析】 A中应写成CH2===CH2；B中苯的主要化学性 质就是发生取代反应，乙醇和乙酸之间的酯化 反应也是属于取代反应，正确；C中油脂的组成中 高级脂肪酸一部分属于不饱和脂肪酸，能使溴的 四氯化碳溶液褪色，错误；D中液化石油气是石油 分馏的成分，是多种烃的混合物，而天然气的主 要成分是甲烷。
空间直角坐标系ppt课件
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
空间直角坐标系课件
空间直角坐标系课件空间直角坐标系课件空间直角坐标系是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将通过介绍空间直角坐标系的定义、特点以及应用等方面，来探讨这一主题。
一、定义与特点空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，分别是x轴、y轴和z轴。
这三个轴构成了一个三维的坐标系，用来描述空间中的点的位置。
在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x表示点在x 轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。
空间直角坐标系具有以下特点：1. 三个坐标轴相互垂直：x轴与y轴、x轴与z轴、y轴与z轴两两垂直。
2. 坐标轴上的单位长度相等：在空间直角坐标系中，每个坐标轴上的单位长度相等，通常表示为1。
3. 坐标轴上的正方向：x轴正方向为从左向右，y轴正方向为从下向上，z轴正方向为从里向外。
二、应用领域空间直角坐标系在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
1. 几何学中的应用空间直角坐标系在几何学中被用来描述点、直线、平面等几何图形。
通过坐标系中的点的位置关系，可以计算两点之间的距离、直线的斜率、平面的方程等。
同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算向量的坐标。
2. 物理学中的应用在物理学中，空间直角坐标系常被用来描述物体的运动、力的作用等。
通过坐标系中的点的位置变化，可以计算物体的位移、速度、加速度等物理量。
同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算力的分解、合成等问题。
3. 工程学中的应用在工程学中，空间直角坐标系被广泛应用于建筑、机械、电子等领域。
通过坐标系中的点的位置关系，可以计算建筑物的结构、机械零件的尺寸、电子元器件的布局等。
同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算工程中的力、力矩等问题。
三、坐标系的转换在实际应用中，有时需要将一个空间直角坐标系转换为另一个空间直角坐标系。
坐标系的转换可以通过旋转、平移等方式进行。
通过坐标系的转换，可以方便地进行坐标的变换和计算。
数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件
= 2 × (−5) − (−2) = −8， = 2 × 4 − 1 = 7， = 2 × 3 − 4 = 2，
所以3 (−8，7，2).
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的
有序实数组(, , )，使得 = + + .
在空间直角坐标系中的坐标，记作(，，)，其中叫做点的横坐标，
叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
新知探索
在空间直角坐标系中，给定向量，作 = .由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组(，，)，使 = + + .
有序实数组(，，)叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 =
例析
例1.如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，
’
1
1
1
2，以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立的空间直角坐标系.
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个
单位正交基底{，}，以为原点，分别以，的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，
那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
新知探索
类似地，在空间选定一点 和一个单位正交基底 {，，} ，
以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的
来的相反数，所以对称点为1 (−2， − 1， − 4).
(2)由于点关于平面对称后，它在轴、轴的分量不变，在轴的分量变为
原来的相反数，所以对称点为2 (−2，1， − 4).
(3)设对称点3 (，，)为，则点为线段3 的中点，由中点坐标公式，可得
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R
M
O
Qy
P
M’
x 9
反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以在x 轴、 y 轴和z 轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q和R，分别过P、 Q和R各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，这三个 平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M．
z
R M
O
Q
y
P
M’
x
10
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y， z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此 空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y， z）．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐 标，z叫做点M的竖坐标．
Z
P1（x1，y1，z1）
P y
O x
P2（x2，y2，z2）
16
５、空间对称问题的规律：
（1）关于点对称： 用中点坐标公式, 来解答关于点对称问题 .
（2）关于线（轴）对称： P(,x,y,z) 关于x、y、z轴对称结果是:
（3）关于面（坐标平面）xoy、yoz、zox对称为：
17
三、例题示范：
z
R M
O
Qy
P
M’
x
11
２、空间的点P 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 原点 O(0,0,0)
x轴上的点 P1 y轴上的点 P2, z轴上的点 P3,
坐标平面xoy上的点A, 坐标平面yoz上的点B, 坐标平面xoz上的点B, 非特殊点P(x,y,z)
z
P3 (0,0, z)
14
在空间直角坐标系中，指出下列各点 在哪个卦限？
A(1,2,3) ,
B(2,3,4),
C(2,3,4), D(2,3,1) .
E(1,2,3) .
A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ ; E: Ⅶ .
15
４、空间中点坐标公式： 空间两点 P1 ( x1 , y1 , z3 )、P2 ( x2 , y2 , z2 ) 线段 P1P2 的中点坐标为：P( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) 2 22
18
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P3(1, 1,1) z
o
x
P1(1, 1, 1)
P(1,1,1)
y P2 (1,1, 1)
例题1、 画一个正方体 ABCD—A1B1C1D1 ,使坐标轴方 向沿着顶点A 的相邻的三条棱,以AB 、AD、AA1,所在 直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间
坐标系：（1）求这个正方体顶点坐标；（2）求棱CC1 中点的坐标；（3）求面AA1B1B对角线交点的坐标。
(1) A(0,0,0) B(1,0,0)
z
C(1,1,0) D(0,1,0)
A1(0,0,1) B1(1,0,1) B1 C1(1,1,1) D1(0,1,1) (2) M ( 1, 1, 0.5 )
(3) N ( 0.5 , 0, 0.5 )
1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴,
2.射线的方向叫做正向,其相 反方向则叫做负向.
z
5
4 3
2
1350 1 o
y
21131502 3 4 5
3 4
x5
3.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单 位长度为y轴（或z轴）的单位长度的
8
空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x，y和z， 那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．
空间中的点、线、面 ==== >符号表示
例题1、 (课本P107—A 组2#)
画一个正方体 ABCD—A1B1C1D1 ,使坐标 轴方向沿着顶点A 的相邻的三条棱,以AB 、 AD、AA1,所在直线为坐标轴，取正方体的 棱长为单位长度，建立空间坐标系： （1）求这个正方体顶点坐标； （2）求棱CC1中点的坐标； （3）求面AA1B1B对角线交点的坐标。
xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
6
右手直角坐标系：
以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π /2角 度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向， 这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系， 点O叫做坐标原点。（如下图所示）
右手直角坐标系
7
空间直角坐标系的画法:
从空间某一个定点０引三 条互相垂直且有相同单位长 度的数轴，这样就建立了空 间直角坐标系０－xyz．
1、从空间某一点O引三条互相垂直的直线Ox、Oy、Oz.
并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .
其中O 点称为坐标原点，
数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴， 每两个坐标轴所在的平面
z 竖轴
Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面.
定点 o
y 纵轴
横轴 x
空间直角坐标系
4
二、空间直角坐标系 课堂探究
1、空间直角坐标系的建立; 2、空间直角坐标系的划分; 3、空间点的坐标; 4、特殊位置的点的坐标; 5、空间点的对称问题。
一、复习回顾：
1、数轴：数轴上的点集
实数集
2、平面：平面上的点集 有序实数对集合
3、空间：空间中的点集合
？
与三个实数的有序数组（x, y, z ）对应。
3
二、空间直角坐标系
它们分别是：
第一卦限 x>0,y>0,z>0，
Ⅲ yoz 面
第二卦限 第三卦限 第四卦限
x<0,y>0,z>0， Ⅳ
xoy
x<0,y<0,z>0，
Ⅶ
面
x
x>0,y<0,z>0， Ⅷ
z
zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
第五卦限 x>0,y>0,z<0， 第七卦限 x<0,y<0,z<0，
第六卦限 x<0,y>0,z<0， 第八卦限 x>0,y<0,z<0.
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz.并取 定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其中O 点 称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两个坐标 轴所在的平面xOy、yOz、zOx叫做坐标平面.
5
右 手 直 角 坐 标 系1
x
z
1
o
横轴
竖轴
纵轴
1
y
通过每两个坐标轴的平面 叫做坐标平面，分别称为
C( x,o, z)
o
x P1(x,0,0)
B(0, y, z)
P(x, y, z)
y
P2 (0, y,0)
A( x, y,0)
12
３、空间坐标系中的“8个卦限” ：
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
13
三个坐标平面将空间分为八个部分，称其每个部分为卦限，