2015-2016学年四川省雅安中学高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷(文科) 含解析
2015-2016学年四川省雅安市天全中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．1．抛物线y2=8x的焦点坐标是（）A．（4，0) B．（2,0）C．（0，2）D．（0，4）2．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2）,则直线AB的斜率为( ）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在3．过点P（﹣1,2）与直线x+2y﹣1=0垂直的直线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．x﹣2y+5=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y+4=04．已知命题q：∀x∈R，x2+1＞0,则¬q为（）A．∀x∈R，x2+1≤0B．∃x∈R，x2+1＜0 C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＞0 5．已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是( ）A．B．C．D．66．棱长为2的正方体的外接球的体积为( ）A．8 B．8πC．D．7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2，AD=AA1=1,则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．过点（1，1）的直线l与圆x2+y2=4交于A，B两点，若，则直线l的方程为（) A．x+y﹣2=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x﹣y﹣1=0 D．x﹣y﹣1=010．设双曲线（a＞0)的渐近线方程为3x±2y=0,则此双曲线的离心率为（) A． B．C．D．11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,直线y=2x﹣4与C交于A，B两点,则cos∠AFB=（) A．B．C． D．12．若椭圆C1： +=1（a1＞b1＞0)和椭圆C2： +=1（a2＞b2＞0）的焦点相同，且a1＞a2，则下面结论正确的是( )①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点②a12﹣a22=b12﹣b22③＞④a1﹣a2＜b1﹣b2．A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．命题“∀a，b∈R，如果a＞b,则a3＞b3”的逆命题是．14．椭圆的焦点为F1,F2，点P在椭圆上,若｜PF1｜=4,∠F1PF2的大小为．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0的距离的最小值是，最大值是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E,F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线;④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角(锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．其中正确结论的序号为(写出所有正确结论的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l与3x+4y﹣7=0的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形面积等于24，求直线l的方程．18．已知直线l1：2x+y=0,直线l2:x+y﹣2=0和直线l3：3x+4y+5=0．（1）求直线l1和直线l2交点C的坐标；（2）求以C点为圆心，且与直线l3相切的圆C的标准方程．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE．20．如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=1,PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2:1．(1）求证:PA⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．21．已知平面内一点P与两个定点和的距离的差的绝对值为2．(Ⅰ）求点P的轨迹方程C;（Ⅱ)设过(0，﹣2）的直线l与曲线C交于A，B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点)，求直线l 的方程．22．已知椭圆的两个焦点，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8．（I）求椭圆的方程;（Ⅱ）若过点（1，0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0）,使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．2015—2016学年四川省雅安市天全中学高二（上)12月月考数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．1．抛物线y2=8x的焦点坐标是（）A．（4，0）B．（2,0）C．（0，2）D．（0，4）【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线y2=8x可得:p=4．即可得出焦点坐标．【解答】解:由抛物线y2=8x可得:p=4．∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标是（2,0）．故选:B．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算,求出结果．【解答】解：由直线的斜率公式得直线AB的斜率为k==﹣2，故选 B．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用．3．过点P(﹣1，2）与直线x+2y﹣1=0垂直的直线的方程为( )A．x+2y+3=0 B．x﹣2y+5=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y+4=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为2x﹣y+c=0，再把点(﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线x+2y﹣1=0垂直，∴设方程为2x﹣y+c=0∵直线过点(﹣1，2），∴﹣2﹣2+c=0∴c=4∴所求直线方程为2x﹣y+4=0．故选D．【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程,属于常规题．4．已知命题q：∀x∈R,x2+1＞0,则¬q为（）A．∀x∈R，x2+1≤0B．∃x∈R，x2+1＜0 C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＞0 【考点】命题的否定；全称命题．【专题】计算题．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：∵命题q：∀x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故选C．【点评】本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则,全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．5．已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是（)A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】三视图复原的几何体是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为等腰直角三角形，直角边为1，高为1的直三棱柱，所以几何体的表面积为：S=2S底+S侧=2×+=3+．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，正确判断几何体的形状是解题的关键，考查计算能力．6．棱长为2的正方体的外接球的体积为（）A．8 B．8πC．D．【考点】球的体积和表面积;球内接多面体．【专题】空间位置关系与距离．【分析】正方体的外接球的直径是正方体的体对角线,由此能求出正方体的外接球的体积．【解答】解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为： =2所以球的半径为:,∴正方体的外接球的体积V=π(）3=4．故选C．【点评】本题考查正方体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，解题的关键是明确正方体的外接球的直径是正方体的体对角线．7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2，AD=AA1=1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为( ）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=2，AD=AA1=1，知BD1=，再由直线BD1与平面BCC1B1所成角为∠D1BC1,由此能求出直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，∴BD1==，∵直线BD1与平面BCC1B1所成角为∠D1BC1，∴直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值sin∠D1BC1===．故选C．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．8．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件;空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β,m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线,则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,且m⊥β,则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β"的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．9．过点（1,1）的直线l与圆x2+y2=4交于A，B两点，若,则直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x﹣y﹣1=0 D．x﹣y﹣1=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】通过,由于圆的半径等于2，故圆心到直线的距离等于,分直线l的斜率不存在、直线l的斜率存在两种情况,分别求出直线l的方程．【解答】解：因为,由于圆的半径等于2，故圆心到直线的距离等于．当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 x=1．不满足题意．当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 y﹣1=k（x﹣1），即 kx﹣y﹣k+1=0，由圆心到直线的距离=，解得 k=﹣1．此时，直线l的方程为 x+y﹣2=0．综上可得,直线l的方程为 x+y﹣2=0．故选A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．10．设双曲线(a＞0)的渐近线方程为3x±2y=0，则此双曲线的离心率为（) A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=±x,比较系数求得a=2，结合平方关系得c，最后根据离心率公式，可得双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵渐近线方程为3x±2y=0,即y=x∴a=2（舍负），可得c===因此，该双曲线的离心率为e==．故选A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程,求双曲线的离心率．考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（) A．B．C． D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A,B两点，我们可求出点A,B，F的坐标，进而求出向量,的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法,即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1,﹣2）（4，4）,则=（0，﹣2）,=（3,4）,则cos∠AFB===﹣,故选D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．12．若椭圆C1： +=1（a1＞b1＞0）和椭圆C2: +=1（a2＞b2＞0）的焦点相同，且a1＞a2，则下面结论正确的是（）①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点②a12﹣a22=b12﹣b22③＞④a1﹣a2＜b1﹣b2．A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用两椭圆有相同焦点，可知a12﹣a22=b12﹣b22，由此可判断①②正确；利用a1＞b1＞0,a2＞b2＞0可判断④正确【解答】解：由题意，a12﹣b12=a22﹣b22，∵a1＞a2,∴b1＞b2，∴①②正确，④不正确；又a12﹣a22=b12﹣b22，a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴④正确，故选：C．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，等价转化是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．命题“∀a,b∈R，如果a＞b，则a3＞b3”的逆命题是∀a，b∈R，如果a3＞b3,则a＞b ．【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】阅读型．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得到逆命题即可．【解答】解:命题““∀a，b∈R,如果a＞b，则a3＞b3”的条件是如果a＞b,结论是a3＞b3，故逆命题是：∀a,b∈R，如果a3＞b3,则a＞b．故答案为:∀a，b∈R，如果a3＞b3，则a＞b．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．14．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若｜PF1｜=4，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由|PF1|+|PF2｜=6，且｜PF1｜=4，易得｜PF2|，再利用余弦定理,即可求得结论．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴｜PF2｜=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0的距离的最小值是 2 ，最大值是4 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据题意可知,当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离．加上半径就是最大值．【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1,所以圆心A(1，1），圆的半径r=1，则圆心A到直线3x+4y+8=0的距离d==3，所以动点Q到直线距离的最小值为3﹣1=2．动点Q到直线距离的最大值为3+1=4．故答案为：2；4．【点评】此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径,灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF;②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形;③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．其中正确结论的序号为②③(写出所有正确结论的序号）．【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直的性质及三垂线逆定理，证明当F与A不重合时，A1C与平面B1EF不垂直;可得①错误；根据射影的定义及三角形的面积公式可得射影三角形的面积；从而判断②是否正确；根据线面平行的判定定理可得③正确；固定E的位置，变化F的位置，可得二面角的大小是变化的，由此可得④正确．【解答】解：若A1C⊥平面B1EF，则A1C⊥B1F，由三垂线逆定理知：B1F⊥A1B，又当F与A不重合时，B1F与A1B不垂直，∴①错误;∵E在侧面BCC1B1上的投影在CC1上，F在侧面BCC1B1上的投影是B，∴△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是三角形，三角形的面积S=×棱长×棱长为定值．∴②正确；设平面A1B1C1D1∩平面B1EF=l，∵平面A1B1C1D1内总存在与l平行的直线，由线面平行的判定定理得与l平行的直线，与平面B EF平行,∴③正确；设E与D重合，F位置变化，平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小也在变化，∴④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行的判断及二面角的平面角的求法,考查了学生的空间想象能力与识图能力，熟练掌握线面平行的判定定理及线面平行的性质定理是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l与3x+4y﹣7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形面积等于24，求直线l的方程．【考点】直线的倾斜角;直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】由题设条件知直线l的斜率为﹣，故可斜截式设出直线的方程，分别求出与两个坐标轴的交点,求出其与坐标轴所围成的直角三角形的两个直角边,用参数表示出其面积,再由面积为24得出参数的方程求参数．【解答】解：直线3x+4y﹣7=0的斜率为﹣,所以直线l的斜率为﹣,设直线l的方程为y=﹣x+b，令y=0,得x=b，令x=0，得y=b,由于直线与两坐标轴的面积是24，则S=｜b|•｜b｜=24，解得b=±6，所以直线l的方程是y=﹣x±6．【点评】考查直线的倾斜角，以及选定系数法设出直线的方程，本题为了能用上面积为24建立方程，求出了在坐标轴上的截距．但要注意截距的正负．18．已知直线l1：2x+y=0，直线l2：x+y﹣2=0和直线l3：3x+4y+5=0．(1）求直线l1和直线l2交点C的坐标；(2）求以C点为圆心，且与直线l相切的圆C的标准方程．【考点】直线与圆的位置关系;两条直线的交点坐标．【专题】直线与圆．【分析】（1）直接联立方程组求两条直线交点的坐标；（2）由点到直线的距离公式求出点C到直线3x+4y+5=0的距离，也就是所求圆的半径，然后直接写出圆的标准方程．【解答】解：（1)由，得所以直线l1和直线l2交点C的坐标为（﹣2，4）．（2）因为圆C与直线l3相切，由点到直线的距离公式得，所求圆的半径=，所以圆C的标准方程为(x+2）2+（y﹣4）2=9．【点评】本题考查了两条直线交点的求法，考查了直线和圆的位置关系，直线和圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径,此题是中档题．19．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD,E 是PC的中点．求证：(Ⅰ)PA∥平面BDE；(Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】对(I)，通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行．对(II），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE．【点评】本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路:一是线线平行⇒线面平行；二是面面平行⇒线面平行．证明面面垂直的常用方法是：线面垂直⇒面面垂直．20．如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=1，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（1）求证:PA⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（3)在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系．【分析】(1）PA=AB=1，PB=，可得PA⊥AB．同理PA⊥AD．得证．(2）设出平面ACE的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组,求出平面ACE的法向量为的坐标，代入面面夹角向量公式，即可求出答案．（3)假设在棱PC存在一点F，使得BF∥平面AEC，则须与垂直．数量积为0，利用方程解的存在与否判定点F是否存在．【解答】解：(1）正方形ABCD边长为1，PA=1，，所以，∠PAB=∠PAD=90°，即PA⊥AB，PA⊥AD,AB∩AD=A，根据直线和平面垂直的判定定理，有PA⊥平面ABCD．(2）如图，以A为坐标原点，直线AB、AD、AP分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则，，由(1）知为平面ACD的法向量，,设平面ACE的法向量为，则令c=6，则b=﹣3,a=3，，…（4分)设二面角D﹣AC﹣E的平面角为θ,则，又有图可知，θ为锐角，故所求二面角的余弦值为．(3)设,则，，若BF∥平面ACE，则，即，（λ﹣1，λ，1﹣λ)•（3,﹣3,6）=0，计算得所以，存在满足题意的点,即当F是棱PC的中点时，BF∥平面ACE．…（8分）【点评】（1）注意勾股定理及其逆定理在证明线线垂直时价值．（2）两平面法向量的夹角θ与两平面间的夹角φ关系是相等或互补．但必有|cosθ｜=|cosφ｜．（3）此问重点考查了利用空间向量的方法及假设存在于方程的思想进行求解的方法21．已知平面内一点P与两个定点和的距离的差的绝对值为2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程C;（Ⅱ）设过（0，﹣2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点)，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由双曲线的定义知该轨迹为双曲线,从而由所给条件可求得其标准方程；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，与双曲线方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，根据韦达定理可用k表示出x1+x2，x1x2，进而表示出y1y2，由OA⊥OB，可得，即x1x2+y1y2=0,从而转化为关于k的方程，解出即可，注意检验所求k值是否符合题意要求；【解答】解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点P的轨迹为双曲线，其中a=1,，则．所以动点P的轨迹方程C：．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时,不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，A(x1，y1）,B（x2，y2）,由方程组得(2﹣k2）x2+4kx﹣6=0．因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以，即且．（*）由根与系数关系得，，因为y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，所以．因为OA⊥OB，所以,即x1x2+y1y2=0，所以（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，所以，即k2=1，解得k=±1,由（＊）式知k=±1符合题意．所以直线l的方程是y=x﹣2或y=﹣x﹣2．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线的标准方程的求解，考查学生对问题的转化能力，考查学生利用知识分析问题解决问题的能力，属中档题．22．已知椭圆的两个焦点，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8．(I）求椭圆的方程；（Ⅱ)若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在,求出E的坐标及定值；若不存在,请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（I)由题意知c=，4a=8,由此能得到椭圆的方程．（II)当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1）消去y得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2,y2)，由韦达定理结合向量的运算法则能够导出为定值．【解答】解：（I）由题意知c=，4a=8,∴a=2，b=1∴椭圆的方程为=1（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1)消去y得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0设P(x1,y1）,Q（x2，y2）则由韦达定理得则∴=m2﹣m(x1+x2）+x1x2+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1)（x2﹣1）==要使上式为定值须，解得∴为定值当直线l的斜率不存在时由可得∴=综上所述当时，为定值【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意韦达定理和向量知识的合理运用．。
2015-2016年四川省雅安中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2015-2016学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）若不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a+c的值为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣73．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．4．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．35．（5分）设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∩β=n，m∥n，则m∥α，m∥βC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β7．（5分）如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（）A．B．C．2 D．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤29．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣12．（5分）以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是．15．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交与点P（x，y），则PA+PB的最大值是．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有．（填写你认为正确的序号）①AC⊥面BEF；②AF与BE相交；③若P为AA1上的一动点，则三棱锥P﹣BEF的体积为定值；④在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B．；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．18．（12分）如图是一个正三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=1，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求AB与平面AA1C1C所成的角的正弦值．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．20．（12分）三角形ABC的三个顶点A（1，3）B（1，﹣3）C（3，3），求：（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程．（Ⅲ）已知圆O2：x2+y2﹣4y﹣6=0，求圆心在x﹣y﹣4=0，且过圆O1与圆O2交点的圆的方程．21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．22．（12分）已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．2015-2016学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由于直线y=﹣x+2，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣，θ=120°，故选：C．2．（5分）若不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a+c的值为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【解答】解：由不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|}，可得ax2+5x+c=0的根为由方程的根与系数关系可得，解可得，a=﹣6，c=﹣1∴a+c=﹣7故选：D．3．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0，对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a＜0二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R，所以△＜0．故选：D．4．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：画的可行域如图，画直线z=x﹣y，平移直线z=x﹣y过点B（2，0）时z有最大值2；故选：C．5．（5分）设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的全面积为24，所以，设正方体的棱长为：a，6a2=24a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为：1内切球的体积：故选：B．6．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∩β=n，m∥n，则m∥α，m∥βC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理判定是正确的；对于B，若α∩β=n，m∥n，则m∥α，或者m∥β或者m⊂α，m∥β或者m⊂β，m∥α；故B错误；对于C，若m∥α，m⊥n，则m可能在α；故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥α，则m可能在β内，故D错误；故选：A．7．（5分）如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵直二面角α﹣l﹣β中，AB⊥BC，CD⊥BC，∴=0，=0，=0，∴||2=|++|2=2+2+2+2+2+2=3，∴||=．故选：B．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：C．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选：A．10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由题意可知该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角，建立空间直角坐标系，如图：设正方形的对角线长为2，则，所以直线AB与CD所成的角为：θ，cosθ===所以θ=60°故选：B．11．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S有最大值为△ABO．此时由，解得k=﹣．故选：D．12．（5分）以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2【解答】解：根据题意画出示意图，设圆心为C，切点P的坐标为P（x，y），则发现图中隐含条件．|OP|2=|OC|2﹣|PC|2∵|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1，故点P的轨迹方程为x2+y2=3故选：A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【解答】解：﹣x2﹣2x+3＜0，∴x2+2x﹣3＞0因式分解得：（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是30．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体平放的三棱柱，且三棱柱的底面是边长为4，对应边上的高为3；又三棱柱的高为5，所以该三棱柱的体积是V=×4×3×5=30．故答案为：30．15．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交与点P（x，y），则PA+PB的最大值是2．【解答】解：动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）+3﹣m=0过定点B（1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．∴点P在以AB为直径的圆上，|AB|==，|PA|2+|PB|2=10．∴≥|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．∴2≥|PA|+|PB|≥．∴|PA|+|PB|的最大值为2故答案为：216．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有①③．（填写你认为正确的序号）①AC⊥面BEF；②AF与BE相交；③若P为AA1上的一动点，则三棱锥P﹣BEF的体积为定值；④在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条．【解答】解：对于①，连接BD，交AC于O，则AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，则AC⊥BB1，则有AC⊥平面BDD1B1，即AC⊥面BEF，故①对；对于②，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1内，点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故②错；•h，由于EF=1，矩形BDD1B1内B到EF 对于③，三棱锥P﹣BEF的体积为S△BEF的距离为1，则三角形BEF的面积为，由于P在棱AA1上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD1B1的距离，由于AC⊥平面BDD1B1，则h=AO=，则三棱锥P﹣BEF的体积为，故③对；对于④，由于平面BDD1B1与直线DD1，AC，B1C1都有交点，则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线AC交于O，与直线C1B1交于B1，连接OB1，延长与D1D延长交于Q，即为所求直线；另外，将面BDD1B1绕着DD1进行旋转，则与AC，B1C1交点会发生改变，将交点连接并延长，可得都相交的直线有无数条．故④不对．故答案为：①③三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B．；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}={x|m﹣3≤x≤m+3}（1）由于B={x|m﹣3≤x≤m+3}故当m=3时，B={x|0≤x≤6}∴A∩B=[0，3]（2）由于集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}∵18．（12分）如图是一个正三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=1，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求AB与平面AA1C1C所成的角的正弦值．【解答】解：（1）证明：如图，作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．则OD∥BB1∥CC1，∵O是AB的中点，∴，∴ODC1C是平行四边形，∴OC∥C1D，又∵C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1；∴OC∥面A 1B1C1．（2）解：如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2，作BH⊥A2C2于H，∵平面A2BC2⊥平面AA1C1C，∴BH⊥面AA1C1C．连结AH，则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角．∵，，∴．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）由（1）得．设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为．∵，∴C到面PBD的距离为20．（12分）三角形ABC的三个顶点A（1，3）B（1，﹣3）C（3，3），求：（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程．（Ⅲ）已知圆O2：x2+y2﹣4y﹣6=0，求圆心在x﹣y﹣4=0，且过圆O1与圆O2交点的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设BC的中点为D，由中点坐标公式得：D（2，0），所以AD所在直线的斜率为k=﹣3所以AD所在直线的方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣6=0（Ⅱ）由题知直线AB的斜率不存在，直线BC的斜率为0，故三角形ABC是角A为直角BC为斜边的直角三角形；由（Ⅰ）知，线段BC上的中点D（2，0），所以圆O1的圆心坐标（2，0）半径；三角形ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6=0或（x﹣2）2+y2=10．（Ⅲ）圆O1与圆O2，两方程相减，可得公共弦的方程为y=x，与x2+y2﹣4y﹣6=0联立，可得两圆的交点分别为A（﹣1，﹣1），B（3，3），线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1）与x﹣y﹣4=0，可得所求圆的圆心为（3，﹣1），半径为4所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=16．21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．【解答】解：（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|=，又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|==，∵|MQ|=，∴|MQ|=3．设Q（x，0），而点M（0，2），由=3，得x=±，则Q点的坐标为（，0）或（﹣，0）．从而直线MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x﹣q）+y（y﹣2）=0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx﹣2y+3=0，∴直线AB恒过定点（0，）．22．（12分）已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），=|OA|•|OB|=×|2t|×||=4为定值；∴S△AOB（II）∵|OM|=|ON|，∴原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2，∴圆心C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∵当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去；∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（Ⅲ）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2，∴|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．。
四川省雅安市高二上学期数学期中考试试卷
四川省雅安市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·吉林期中) 给出以下四个命题：①若＜＜0，则 + ＞2；②若a＞b，则am2＞bm2；③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则0＜a≤4．其中是真命题的有（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ③④2. （2分）(2017·郎溪模拟) 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年．那么，第2017行第2016个数是（）A . 2016B . 2017C . 2033136D . 20301123. （2分） (2019高二上·兰州期中) 已知分别是的三个内角所对的边，若，，，则等于（）A .B .C .D .4. （2分）在△ABC中，A=60°，BC=， D是AB边上的一点，CD=，△BCD的面积为1，则AC的长为（）A . 2B .C .D .5. （2分） (2016高一下·老河口期中) 已知，那么下列判断中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·桃江期中) △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，A=60°，b= ，则B=（）A . 45°B . 30°C . 60°D . 135°7. （2分）在等差数列中,且，数列的前n项和为,则在中最小的负数为（）A .B .C .D .8. （2分）已知数列{an}为等比数列，下面结论中正确的是（）A . a1+a3≥2a2B . a12+a32≥2a22C . 若a1=a3 ，则a1=a2D . 若a1＜a3 ，则a2＜a49. （2分） (2017高一下·彭州期中) 已知等比数列{an}中a2=2，a5= ，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+an•an+1等于（）A . 16（1﹣4﹣n）B . 16（1﹣2n）C .D .10. （2分） (2016高二上·东莞开学考) △ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，则A的度数等于（）A . 120°B . 60°C . 150°D . 30°11. （2分）关于x的一元二次不等式ax2+x﹣ax﹣1＜0（a＞0）的解集是（）A . ∅B . {x|x＜1}C .D .12. （2分） (2016高一上·浦东期中) 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A .B . a2+b2＞2abC .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知一个三角形的三边长分别为3,5,7，则该三角形的最大内角为________14. （1分）(2017·林芝模拟) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若，b2﹣a2= ac，则cosB=________．15. （1分）(2017·金华模拟) 若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a 的值为________．16. （1分） (2016高一下·赣州期中) 若数列{xn}满足，且x1+x2…+x10=100，则lg（x11+x12…+x20）=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2017高二下·衡水期末) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求证：{ + }为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）• •an，求数列{bn}的前n项和Tn．18. （5分） (2016高三上·汕头模拟) 凸四边形PABQ中，其中A，B为定点，AB= ，P，Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．（1）写出cosA与cosQ的关系式；（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．19. （10分）(2018高一下·六安期末)（1）若关于的不等式的解集是的子集，求实数的取值范围；（2）已知，，均为正数，且，求的最小值.20. （5分）已知α，β满足，试求α+3β的取值范围．21. （10分）(2016·江西模拟) 已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且．（1）求角C的值；（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．22. （10分） (2016高二上·西安期中) 己知数列{log2（an﹣1）}为等差数列，且a1=3，a2=5．（1）求证：数列{an﹣1}是等比数列；（2）求 + +…+ 的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
【全国百强校】四川省雅安中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C考点：直线的倾斜角及斜率.2.若不等式a x 2+5x +c ＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131|x x ，则c a +的值为（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．7 D ．﹣7【答案】D【解析】试题分析：因为不等式a x 2+5x +c ＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131|x x ，所以21,31是方程a x 2+5x +c=0的两个根，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-=+ac a 213152131解得⎩⎨⎧-=-=16b a ，所以7-=+c a . 考点：一元二次不等式的解与一元二次方程的关系.【方法点睛】三个二次间的关系，其实质是抓住二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像与横坐标的交点、二次不等式()002≠>++a c bx ax 解集的端点值、二次方程()002≠=++a c bx ax 的根是同一个问题.解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决比较好.3.二次不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为全体实数的条件是（ ） 00000000a a a a A B C D >><<⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨∆>∆<∆>∆<⎩⎩⎩⎩ 【答案】D 考点：一元二次不等式的解的情况以及一元二次不等式与二次函数的关系.4.已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动，则z x y =-的最大值是( )A ．1-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【解析】试题分析：画出不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的可行域如图， z x y =-即y= x-ZZ 的几何意义是直线y= x-Z 在y 轴上的截距的相反数，画直线y= x ，平移直线y= x ，当过点B （2，0）时z 有最大值2.故选：C ．考点：简单的线性规划及利用几何意义求最值.【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令0z =，画出直线x y =，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.5.设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（ ）A ．π6B ．43πC ．83πD ．323π【答案】B考点：正方体的内切球的体积.6.已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，正确的是（ ）A ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβB ．若,//n m n αβ=，则//,//m m αβC ．若//,m m n α⊥，则n α⊥D ．若αβ⊥，m α⊥，则m β∥【答案】A【解析】试题分析： A ． αβ、是不重合的平面，,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知//αβ，故A 正确；B ．若,//n m n αβ=，可能//,//m m αβ或βα⊂⊂m m ,故B 错，C ．若//,m m n α⊥，则n α⊥ 是假命题，因为n 有可能平行α ； D ．若αβ⊥，m α⊥，则m β∥或β⊂m ，所以D 错，综上答案为A.考点：命题真假的判断.7.如图，直二面角βα--l 中，AB ⊂α，CD ⊂β，AB⊥l ，CD⊥l ，垂足分别为B 、C ，且AB=BC=CD=1，则AD 的长等于（ ）A ．B ．C ．2D ．【答案】B考点：间两点的距离公式的求法.【方法点睛】求向量的模，如果直接求其模的平方不能求的话，可以写成条件充分的几个向量和的形式，一般首尾相连若干向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量终点的向量，求若干向量的和，可以转化为首尾向量求和的问题解决，然后平方，利用数量积的定义及运算律（或用坐标运算）求得结果，但一定别忘了开方.8.已知点()()2,33,2,A B --、若直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. 324k k ≤≥或 B 324k ≤≤. C.423k k ≤≥或 D. 423k ≤≤ 【答案】A【解析】试题分析：如图所示：由题意得直线l 的斜率k PB k ≤或PA k k ≥，即22131=--≤k 或433121=++≥k ，直线l 的斜率k 的取值范围是2≤k 或43≥k ，故答案为2≤k 或43≥k . 考点：直线的斜率公式的应用.9.若直线mx +n y +2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆（x +3）2+（y +1）2=1的弦长为2，则13m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．12 C ．16 D ．6 【答案】D考点：直线与圆的位置关系及基本不等式的应用.【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，直线截得圆的弦长为直径，直线mx+ny+2=0过圆心，可得3m+n=2．为利用基本不等式创造条件，将13m n +乘以1即23n m +，再利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件，三个条件缺一不可，特别是等号成立的条件，学生容易遗忘.10.将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B考点：空间直角坐标系求解异面直线所成的角.11.过点(2，0)引直线l 与曲线y =A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．±33 C.－33 D ．－3 【答案】C【解析】试题分析：由y =可得)0(122≥=+y y x所以曲线y =x 轴及x 轴上方的部分，设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线y =A 、B 两点，且不与x 轴重合，可得01<<-k ，直线l 的方程为02=--k y kx ,原点到直线l 的距离,122+-=k k d 则11)12(122222+-=+--=k k k k AB ，则=∆ABO S 1122+-k k 2116)11(4216)1(4122222222-+⨯++-=-+++-=+-k k k k k k 当43112=+k 时，ABO S ∆有最大值21 考点：直线的斜率及直线与圆的关系12.从原点O 引圆1)2()(222+=-+-m y m x 的切线为kx y =，当m 变化时切点p 的轨迹方程是（ ）2222222.2.(1)3.(1)(1)3.3A x y B x y C x y D x y +=-+=-+-=+=【答案】D考点：直线与圆方程的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.不等式﹣x 2﹣2x +3＜0的解集为 ．【答案】(,3)(1,)-∞-⋃+∞【解析】试题分析：：-x 2-2x+3＜0，∴x 2+2x-3＞0因式分解得：（x-1）（x+3）＞0，解得：x ＜-3或x ＞1，则原不等式的解集为(,3)(1,)-∞-⋃+∞．故答案为：(,3)(1,)-∞-⋃+∞．考点：一元一次不等式的解法.14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是 .【答案】30考点：由三视图求几何体的体积.15.设m ∈R，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的直线mx ﹣y ﹣m +3=0交于点P （x ，y ），则 PB PB + 的最大值是 。
雅安市雅安中学数学高二上期中经典练习(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．(0分)[ID ：13007]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：12987]已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8 B ．0.6C ．1.6D ．1.84．(0分)[ID ：12979]统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．(0分)[ID ：12978]从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件A 与C 互斥B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥6．(0分)[ID ：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，97．(0分)[ID ：12960]我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为 （ ）A ．20B ．25C ．30D ．358．(0分)[ID ：12958]已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．59．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12947]将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．71011．(0分)[ID ：12937]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn12．(0分)[ID ：12931]已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67213．(0分)[ID ：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中ˆ 2.4b=，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2014．(0分)[ID ：13015]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元15．(0分)[ID ：13003]一组数据如下表所示：已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e二、填空题16．(0分)[ID ：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.17．(0分)[ID ：13115]从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；18．(0分)[ID ：13088]假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________19．(0分)[ID ：13085]已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．20．(0分)[ID ：13080]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则s 1、s 2、s 3的大小关系是_________.21．(0分)[ID ：13059]如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_________。
四川省雅安市高二上学期期中数学试卷
四川省雅安市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（）A .B .C .D .2. （2分）若a>b>c，则下列不等式成立的是（）A . >B . <C . ac>bcD . ac<bc3. （2分）经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A . x+48y﹣3=0B . x+80y﹣5=0C . x+3y﹣3=0D . x+5y﹣5=04. （2分）“双曲线的一条渐近线方程为”是“双曲线的方程为”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 不充分不必要条件5. （2分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE所成的角为（）A . 0°B . 30°C . 45°D . 90°6. （2分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，椭圆与双曲线的离心率分别为的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二上·乐山期末) 已知F1 ， F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A . 椭圆B . 直线C . 圆D . 线段8. （2分）已知三个向量=，=，=共线，其中a、b、c、A、B、C 分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）△ABC的三个顶点分别是A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD 长为________ ．10. （1分）(2018·荆州模拟) 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．11. （1分） (2018高一下·毕节期末) 在四面体中，，， .当四面体体积最大时，直线与平面所成的角是________．12. （1分）(2017·福州模拟) 已知直线3x+4y+c=0与圆心为C的圆x2+（y﹣1）2=2相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数c等于________．13. （1分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则 ________．14. （1分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________15. （1分） (2017高二上·太原月考) 以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．①“若，则函数（，且）在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．三、解答题 (共5题；共40分)16. （5分） (2016高二上·重庆期中) （Ⅰ）命题“ ”为假命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若“x2+2x﹣8＜0”是“x﹣m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17. （10分）如图，已知抛物线：,圆：过点作不过原点的直线分别与抛物线和圆相切，为切点。
【精品】2015-2016年四川省雅安市高二上学期数学期末试卷(文科)与答案
2015-2016学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|（x﹣1）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）2．（5分）椭圆的焦距为（）A．10B．5C．D．3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b24．（5分）已知A，B，C，D是空间四点，命题p：A，B，C，D四点不共面；命题q：直线AB和CD不相交，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）7．（5分）在同一坐标系中，方程+=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD．其中一定正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．①④10．（5分）如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、DA上的点，且BM：MC=AN：ND=1：2，又AB=5，CD=3，MN与AB、CD所成的角分别为α，β，则之间的大小关系为（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．不确定11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．1B．1.5C．2D．312．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m值为．14．（5分）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为．15．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）解关于x的不等式：ax2+4＞2x+2ax（0＜a＜2）．18．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若方程C表示圆，求m的取值范围．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．20．（12分）已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．22．（12分）已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点．（1）求抛物线的方程和椭圆方程；（2）假设椭圆的另一个焦点是F2，经过F2的直线l与抛物线交于P，Q两点，且满足，求m的取值范围．2015-2016学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|（x﹣1）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由B中的不等式解得：x＞1或x＜﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∵A={x|0＜x＜2}=（0，2），∴A∩B=（1，2）．故选：B．2．（5分）椭圆的焦距为（）A．10B．5C．D．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D．3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：C．4．（5分）已知A，B，C，D是空间四点，命题p：A，B，C，D四点不共面；命题q：直线AB和CD不相交，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若A，B，C，D四点不共面；∴AC和BD不相交；若AC和BD相交，则能得到A，B，C，D四点共面，所以AC和BD不相交；∴命题p是q的充分条件；（2）若AC和BD不相交，则AC和BD可以平行；∴A，B，C，D四点共面；即得不到A，B，C，D四点不共面；∴命题p不是命题q的必要条件；∴命题p是q的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选：C．6．（5分）∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵∃x∈R，x2﹣ax+1≤0为假命题，∴△=a2﹣4＜0∴﹣2＜a＜2故选：A．7．（5分）在同一坐标系中，方程+=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b∴椭圆的焦点在x轴上，排除C和D，整理抛物线方程得y2=﹣x∵a＞b＞0∴﹣＜0∴抛物线的开口向左，焦点在x轴．故选：A．8．（5分）已知椭圆的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）【解答】解：∵圆x2+y2﹣6x+8=0的圆心为（3，0），∴椭圆的一个焦点为F（3，0），得c=3又∵短轴长为2b=8，得b=4∴a==5，可得椭圆的左顶点为（﹣5，0）故选：D．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD．其中一定正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．①④【解答】解：如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．故选：D．10．（5分）如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、DA上的点，且BM：MC=AN：ND=1：2，又AB=5，CD=3，MN与AB、CD所成的角分别为α，β，则之间的大小关系为（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．不确定【解答】解：过N点作NP∥AB，连接PM，∵BM：MC=AN：ND=1：2∴PM∥CD，∠PNM是MN与AB所成角，∠PMN是MN与CD所成角∵AB=5，CD=3，∴MP=1，PN=∴∠PMN＜∠PNM，∴α＜β，故选：A．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．1B．1.5C．2D．3【解答】解：几何体的直观图如图，设AD=y，CD=x，则x2+y2=16⇒xy≤8V=××2xy≤．故选D12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）故选：D．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m值【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），可得m＞0，且c=2，由双曲线x2﹣=1，可得a=1，b=，则c=，即为2=，解得m=3．故答案为：3．14．（5分）已知x，y均为正实数，且xy=x+y+3，则xy的最小值为9．【解答】解：∵x，y均为正实数，且xy=x+y+3∴xy=x+y+3≥2+3 （当x=y时取等号）即（）2﹣2﹣3≥0∴（+1）（﹣3）≥0∵x，y均为正实数∴+1＞0∴﹣3≥0 即xy≥9故xy的最小值为9．15．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．【解答】解：首先，当x=4时，代入抛物线方程，求得|y|=4而|a|＞4，说明A（4，a）是在抛物线之外（也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）抛物线焦点可求得是F（1，0），准线L：x=﹣1P在y轴上的射影是M，说明PM⊥y轴，延长PM交L：x=﹣1于点N，必有：|PM|=|PN|﹣|MN|=|PN|﹣1|PN|就是P到准线L：x=﹣1的距离！连接PF根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=﹣1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离！即：∴|PM|=|PF|﹣1|PA|+|PM|=|PF|+|PA|﹣1只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：连接|AF|由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'1°当P与P'不重合时：A，P，F三点必不共线，三点构成一个三角形APF，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得：|PF|+|PA|＞|AF|=^=2°当P与P'重合时，A，P（P'），F三点共线，根据几何关系有：|PF|+|PA|=|AF|=综合1°，2°两种情况可得：|PF|+|PA|≥∴（|PF|+|PA|）min=∴（|PA|+|PM|）min=﹣116．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是12．【解答】解：由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱由俯视图可得棱柱的高h=2，由割被法，可得棱柱的底面面积S=2•3=6故棱柱的体积V=2•6=12故答案为：12三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）解关于x的不等式：ax2+4＞2x+2ax（0＜a＜2）．【解答】解：原不等式化为（x﹣2）（ax﹣2）＞0，①当0＜a＜1时，原不等式化为，且，解得或x＜2；②当a=1时，原不等式化为（x﹣2）2＞0，解得x∈R且x≠2；③当1＜a＜2时，原不等式化为，且，解得或x＞2；综上所述，当0＜a≤1时，原不等式的解集为或x＜2}；当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或．18．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若方程C表示圆，求m的取值范围．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．【解答】解：（1）方程C可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，显然5﹣m＞0时，即m＜5时方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m圆心C（1，2），半径，m ＜5，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为，∵MN=，MN=，有，∴5﹣m=，得m=4．满足m＜5，所以m=4．19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵AC=，AB=2，BC=1，∴AC2+BC2=AB2．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：连接CE与DF交于点N，连接MN．由CDEF为正方形，得N为CE中点．∴EA∥MN．∵MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，∴EA∥平面FDM．所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．20．（12分）已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．21．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（4分）（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，（12分）∴（14分）22．（12分）已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点．（1）求抛物线的方程和椭圆方程；（2）假设椭圆的另一个焦点是F2，经过F2的直线l与抛物线交于P，Q两点，且满足，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），把M（1，2）点代入方程得：抛物线方程为y2=4x…（2分）所以F1（1，0），设椭圆方程为，∵椭圆经过点M，椭圆的焦点F1（1，0），∴∴，∴椭圆方程为…（6分）（2）椭圆的焦点F1（1，0），另一个焦点为F2（﹣1，0），设直线的方程为y=k（x+1），联立方程得，消去y得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，因为直线l与抛物线相交于P、Q两点，所以，解得﹣1＜k＜1且k ≠0…（9分）设P （x 1，y 1）Q （x 2，y 2），则，由得（x 1+1，y 1）=m （x 2+1，y 2），所以，∵P 、Q 为不同的两点，∴，即，∴解得，∴…（12分）即，∵0＜k 2＜1， ∴，即∴m ＞0且m ≠1…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．。
2015-2016年四川省雅安市汉源二中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年四川省雅安市汉源二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知直线l1经过两点（1，﹣2），（1，4），直线l2经过两点（2，1），（x，6），且l1∥l2，则x=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．42．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．193．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=04．（5分）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A． B． C． D．5．（5分）已知高为3的直棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则（）A．a⊂αB．a∥αC．a⊥αD．a⊂α或a∥α7．（5分）已知a，b为不同直线，以下命题正确的有（）①⇒b⊥α②③④．A．①②④B．①②③C．②③④D．①②8．（5分）下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①若α∩β=m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥α，m∥n⇒n∥α；④α∩β=m，m∥n⇒n∥α或者n∥β；其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③10．（5分）下列命题中，正确的有（）①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）小值为．12．（5分）夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系是．13．（5分）（文）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为．14．（5分）如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是．15．（5分）将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D﹣ABC的体积是．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题6小题，16-20题每题12分，21题15分，共75分）16．（12分）解不等式．17．（12分）已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：（1）过点P且过原点的直线方程；（2）过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l的方程．18．（12分）已知直线l经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，求：直线l的方程．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l经过点D（﹣2，0），且斜率为k．（1）求以线段CD为直径的圆E的方程；（2）若直线l与圆C相离，求k的取值范围．20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB．21．（15分）如图所示，正方体的棱长为1，C B′∩BC′=O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC垂直．2015-2016学年四川省雅安市汉源二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知直线l1经过两点（1，﹣2），（1，4），直线l2经过两点（2，1），（x，6），且l1∥l2，则x=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．4【解答】解：∵直线l1经过两点（1，﹣2）、（1，4），∴直线l1的斜率不存在；又l1∥l2 ，且直线l2经过两点（2，1）、（x，6），∴x=2．故选：B．2．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19【解答】解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选：B．3．（5分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．4．（5分）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A． B． C． D．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．5．（5分）已知高为3的直棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意：∵棱柱ABC﹣1B1C1为直棱柱∴高为B1B2的长度，底为∴．故选：D．6．（5分）已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则（）A．a⊂αB．a∥αC．a⊥αD．a⊂α或a∥α【解答】解：当两个平面垂直时，一个平面的垂线与另一个平面的关系是平行或在平面上，故选：D．7．（5分）已知a，b为不同直线，以下命题正确的有（）①⇒b⊥α②③④．A．①②④B．①②③C．②③④D．①②【解答】解：命题①叙述的是两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，该命题正确．事实上，a⊥α，则a垂直于α内的两条相交直线，因为a∥b，根据异面直线所成角的定义，可得b也垂直于平面α内的这两条相交直线，所以，b⊥α；命题②是线面垂直的性质定理，是正确的；命题③错误，在a⊥α，a⊥b的前提下，b可能在平面α内，也可能与α平行；命题④错误，在a∥α，a⊥b的前提下，b可能垂直于α，也可能平行于α，也可能在α内，还可能与α是一般的斜交．所以，正确的命题是①②．故选：D．8．（5分）下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B 不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意．故选：D．9．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①若α∩β=m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥α，m∥n⇒n∥α；④α∩β=m，m∥n⇒n∥α或者n∥β；其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【解答】解：对于①，若α∩β=m，n⊂α则m与n在同一个平面α内，所以m ∥n或者m，n相交；①正确；对于②，α∥β，m⊂α，n⊂β则m与n平行或者异面所以只有m∥n错误；对于③，m∥α，m∥n，n与α的位置关系不确定，所以n∥α错误；对于④，α∩β=m，m∥n根据线面平行的判定定理可得：如果n⊄α则n∥α；如果n⊄β，则n∥β，所以⇒n∥α或者n∥β是正确的；综上正确的命题是①④；故选：C．10．（5分）下列命题中，正确的有（）①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线和这个平面垂直，相交条件不能省，故错误；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直，正确．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面，正确．④垂直于角的两边（角两边不共线）的直线必垂直角所在的平面，故错误．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，正确．综上可得：正确的命题有3个，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）小值为1．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴=﹣1﹣1=1，当且仅当，又x＞﹣1，即x=0取等号．故的最小值为1．故答案为小、1．12．（5分）夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系是平行或相交．【解答】解：如果两个平面平行，则夹在两个平面间的三条平行线段一定相等，如果两个平面相交，则夹在两个平面间的三条平行线段可能相等，故答案为：平行或相交13．（5分）（文）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为．【解答】解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，∴圆柱的全面积是2×π +2=，故答案为：．14．（5分）如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是16．【解答】解：由图象中可知O'B'=4，则对应三角形AOB中，OB=4．又和y'平行的线段的长度为4，则对应三角形AOB的高为8．所以△AOB的面积为×4×8=16．故答案为：16．15．（5分）将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D﹣ABC的体积是．其中正确命题的序号是①②．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：如图所示：BD=又BC=DC=1∴面DBC是等边三角形①正确．∵AC⊥DO，AC⊥BO∴AC⊥平面DOB∴AC⊥BD②正确．三棱锥D﹣ABC的体积=③不正确．故答案为：①②三、解答题（本大题6小题，16-20题每题12分，21题15分，共75分）16．（12分）解不等式．【解答】解：原不等式等价于即，…（4分）a＞0时，…（8分）a＜0时，…（12分）17．（12分）已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：（1）过点P且过原点的直线方程；（2）过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l的方程．【解答】解：（1）联立，解得，∴P（﹣2，2）．∴过点P且过原点的直线方程为：y=﹣x，即x+y=0．（2）∵直线l3：x﹣2y﹣1=0的斜率为，∴与直线l3：x﹣2y﹣1=0垂直的直线l 的斜率k=﹣2．∴要求的直线方程为：y﹣2=﹣2（x+2），化为2x+y+2=0．18．（12分）已知直线l经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，求：直线l的方程．【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8设弦心距是d，则由勾股定理d=3若l斜率不存在时，x=﹣4，圆心距是3，符合l斜率存在时，y+3=k（x+4），即kx﹣y+4k﹣3=0则d==3∴9k2﹣6k+1=9k2+9∴k=﹣，∴直线l的方程为4x+3y+25=0综上所述，直线l的方程为：x=﹣4和4x+3y+25=0．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l经过点D（﹣2，0），且斜率为k．（1）求以线段CD为直径的圆E的方程；（2）若直线l与圆C相离，求k的取值范围．【解答】解：（1）将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为C（0，4），半径为2．所以CD的中点E（﹣1，2），|CD|=，∴r=，故所求圆E的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5．（2）直线l的方程为y﹣0=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离，解得k＜．20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA…（2分）又∵CD⊥PC…（3分）而PC∩PA=P…（4分）所以，CD⊥面PAC…（5分）（Ⅱ）∵AB⊥BC，AB=BC=1∴∠BAC=45°∴∠CAD=45°…（6分）又由（Ⅰ）CD⊥面PAC∴CD⊥AC∴△ACD为等腰直角三角形…（7分）又E为AD中点∴CE⊥AD…（8分）又∵BC∥AD∴CE⊥BC所以，∴CE∥AB…（9分）而AB⊂面PAB，CE⊄面PAB所以CE∥面PAB…（10分）21．（15分）如图所示，正方体的棱长为1，C B′∩BC′=O，求：（1）AO与A′C′所成角的度数；（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC垂直．【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），O（），A‘（1，0，1），C′（0，1，1），=（﹣，1，），=（﹣1，1，0），设AO与A′C′所成角为θ，则cosθ===，∴θ=30°，∴AO与A′C′所成角为30°．（2）∵=（﹣），面ABCD的法向量为=（0，0，1），设AO与平面ABCD所成角为α，则sinα=|cos＜＞|===，cosα==，∴tanα==．∴AO与平面ABCD所成角的正切值为．证明：（3）C（0，1，0），=（﹣），=（0，1，0），=（﹣1，1，0），设平面AOB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面AOC的法向量=（a，b，c），则，取z=1，得=（1，1，﹣1），∵=1+0﹣1=0，∴平面AOB与平面AOC垂直．。
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2015-2016学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）若不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a+c的值为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣73．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．4．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．35．（5分）设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∩β=n，m∥n，则m∥α，m∥βC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β7．（5分）如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（）A．B．C．2 D．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤29．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣12．（5分）以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是．15．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交与点P（x，y），则PA+PB的最大值是．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有．（填写你认为正确的序号）①AC⊥面BEF；②AF与BE相交；③若P为AA1上的一动点，则三棱锥P﹣BEF的体积为定值；④在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B．；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．18．（12分）如图是一个正三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=1，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求AB与平面AA1C1C所成的角的正弦值．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．20．（12分）三角形ABC的三个顶点A（1，3）B（1，﹣3）C（3，3），求：（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程．（Ⅲ）已知圆O2：x2+y2﹣4y﹣6=0，求圆心在x﹣y﹣4=0，且过圆O1与圆O2交点的圆的方程．21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．22．（12分）已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．2015-2016学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由于直线y=﹣x+2，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣，θ=120°，故选：C．2．（5分）若不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a+c的值为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【解答】解：由不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|}，可得ax2+5x+c=0的根为由方程的根与系数关系可得，解可得，a=﹣6，c=﹣1∴a+c=﹣7故选：D．3．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0，对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a＜0二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R，所以△＜0．故选：D．4．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：画的可行域如图，画直线z=x﹣y，平移直线z=x﹣y过点B（2，0）时z有最大值2；故选：C．5．（5分）设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的全面积为24，所以，设正方体的棱长为：a，6a2=24a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为：1内切球的体积：故选：B．6．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∩β=n，m∥n，则m∥α，m∥βC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理判定是正确的；对于B，若α∩β=n，m∥n，则m∥α，或者m∥β或者m⊂α，m∥β或者m⊂β，m∥α；故B错误；对于C，若m∥α，m⊥n，则m可能在α；故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥α，则m可能在β内，故D错误；故选：A．7．（5分）如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵直二面角α﹣l﹣β中，AB⊥BC，CD⊥BC，∴=0，=0，=0，∴||2=|++|2=2+2+2+2+2+2=3，∴||=．故选：B．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：C．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选：A．10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由题意可知该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角，建立空间直角坐标系，如图：设正方形的对角线长为2，则，所以直线AB与CD所成的角为：θ，cosθ===所以θ=60°故选：B．11．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S有最大值为△ABO．此时由，解得k=﹣．故选：D．12．（5分）以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2【解答】解：根据题意画出示意图，设圆心为C，切点P的坐标为P（x，y），则发现图中隐含条件．|OP|2=|OC|2﹣|PC|2∵|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1，故点P的轨迹方程为x2+y2=3故选：A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【解答】解：﹣x2﹣2x+3＜0，∴x2+2x﹣3＞0因式分解得：（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是30．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体平放的三棱柱，且三棱柱的底面是边长为4，对应边上的高为3；又三棱柱的高为5，所以该三棱柱的体积是V=×4×3×5=30．故答案为：30．15．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交与点P（x，y），则PA+PB的最大值是2．【解答】解：动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）+3﹣m=0过定点B（1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．∴点P在以AB为直径的圆上，|AB|==，|PA|2+|PB|2=10．∴≥|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．∴2≥|PA|+|PB|≥．∴|PA|+|PB|的最大值为2故答案为：216．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有①③．（填写你认为正确的序号）①AC⊥面BEF；②AF与BE相交；③若P为AA1上的一动点，则三棱锥P﹣BEF的体积为定值；④在空间与直线DD1，AC，B1C1都相交的直线只有1条．【解答】解：对于①，连接BD，交AC于O，则AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，则AC⊥BB1，则有AC⊥平面BDD1B1，即AC⊥面BEF，故①对；对于②，由于BE是平面BDD1B1内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD1B1内，点A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故②错；•h，由于EF=1，矩形BDD1B1内B到EF 对于③，三棱锥P﹣BEF的体积为S△BEF的距离为1，则三角形BEF的面积为，由于P在棱AA1上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD1B1的距离，由于AC⊥平面BDD1B1，则h=AO=，则三棱锥P﹣BEF的体积为，故③对；对于④，由于平面BDD1B1与直线DD1，AC，B1C1都有交点，则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线AC交于O，与直线C1B1交于B1，连接OB1，延长与D1D延长交于Q，即为所求直线；另外，将面BDD1B1绕着DD1进行旋转，则与AC，B1C1交点会发生改变，将交点连接并延长，可得都相交的直线有无数条．故④不对．故答案为：①③三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B．；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}={x|m﹣3≤x≤m+3}（1）由于B={x|m﹣3≤x≤m+3}故当m=3时，B={x|0≤x≤6}∴A∩B=[0，3]（2）由于集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}∵18．（12分）如图是一个正三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=1，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求AB与平面AA1C1C所成的角的正弦值．【解答】解：（1）证明：如图，作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．则OD∥BB1∥CC1，∵O是AB的中点，∴，∴ODC1C是平行四边形，∴OC∥C1D，又∵C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1；∴OC∥面A 1B1C1．（2）解：如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2，作BH⊥A2C2于H，∵平面A2BC2⊥平面AA1C1C，∴BH⊥面AA1C1C．连结AH，则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角．∵，，∴．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）由（1）得．设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为．∵，∴C到面PBD的距离为20．（12分）三角形ABC的三个顶点A（1，3）B（1，﹣3）C（3，3），求：（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程．（Ⅲ）已知圆O2：x2+y2﹣4y﹣6=0，求圆心在x﹣y﹣4=0，且过圆O1与圆O2交点的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设BC的中点为D，由中点坐标公式得：D（2，0），所以AD所在直线的斜率为k=﹣3所以AD所在直线的方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣6=0（Ⅱ）由题知直线AB的斜率不存在，直线BC的斜率为0，故三角形ABC是角A为直角BC为斜边的直角三角形；由（Ⅰ）知，线段BC上的中点D（2，0），所以圆O1的圆心坐标（2，0）半径；三角形ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6=0或（x﹣2）2+y2=10．（Ⅲ）圆O1与圆O2，两方程相减，可得公共弦的方程为y=x，与x2+y2﹣4y﹣6=0联立，可得两圆的交点分别为A（﹣1，﹣1），B（3，3），线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1）与x﹣y﹣4=0，可得所求圆的圆心为（3，﹣1），半径为4所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=16．21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．【解答】解：（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|=，又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|==，∵|MQ|=，∴|MQ|=3．设Q（x，0），而点M（0，2），由=3，得x=±，则Q点的坐标为（，0）或（﹣，0）．从而直线MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x﹣q）+y（y﹣2）=0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx﹣2y+3=0，∴直线AB恒过定点（0，）．22．（12分）已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C 的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），=|OA|•|OB|=×|2t|×||=4为定值；∴S△AOB（II）∵|OM|=|ON|，∴原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2，∴圆心C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∵当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去；∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（Ⅲ）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2，∴|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．。