专题——数轴上的动点问题
专题——数轴上的动点问题
数轴上的动点问题动点问题处理策略1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。
2、如何表示运动过程中的数：点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
（简单说成左减右加）3、分类讨论的思想：数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况种的分类讨论4、绝对值策略：对于两个动点P,Q，若点P,Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p,q两数差的绝对值表示P,Q两点距离，从而避免分复杂分类讨论类型一、数轴上两点距离的应用例1、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-2和5，点P为数轴上一点（1）若点P到A,B两点的距离相等，求P点表示的数（2）若PA=2PB,求P点表示的数B的距离之和为13，求点P所表示的数。
（3）若点P到点A和点类型二、绝对值的处理策略例2、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位，Q点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒（1）点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？（2）若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8？（3）在（2）的条件下，另一动点M同时从O点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，多少秒后，点M到点P和点Q的距离相等？练、已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为-8，点B表示的数为4．动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，设运动时间为t秒。
（1）若点P向右运动，点Q向左运动，问多少秒后点P与Q相距2个单位长度？（2）若动点P、Q都向右运动，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．当t为何值时，2OP-OQ=4？类型三、小狗来回跑的问题例、数轴上，点A表示-3，点B表示12，A,B两点同时向负方向运动，速度分别为1个单位和4个单位每秒，同时另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．练习、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？类型四、运动中的变与不变例3、数轴上A,B,C三点分别表示-1，1，5，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．（1）请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（2）是否存在一个常数m使得m•BC-2AB不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．练习、如图①，M、N、P是数轴上顺次三点，M、N之间的距离记为MN，M，P之间的距离记为MP．（1）若MP=3MN，求x的值；（2）在（1）的条件下，如图②，点M、N、P开始在数轴上运动，点M以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点N和点P分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t（t＞0）秒，PN-MN的值是否随时间t的变化而改变？若改变，说明理由；若不变，求其值．为定值？若存在求出k值，并求出这个定值。
数轴上的动点问题
数轴上的动点问题❖ 数轴上的动点问题，是很重要的一部分，但往往使学生感到很棘手.实际上，如果将动点问题“代数化”，“三招”就可轻松解决常见的问题.第一招:平移公式（平移规律）若数轴上点A 表示的数是a ，则当点A 向左平移t 个单位长度时表示的数为a t -;当点A 向右平移t 个单位长度时表示的数为a t +.简记为:左减右加.第二招:距离公式若数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ,则,A B 两点的距离AB a b =-.如果已知,A B 两点的位置关系，比如点A 在点B 的左边，则AB b a =-.第三招:中点公式若数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ,则线段AB 的中点表示的数是2a b + ❖ 常见题型：一、突破基础关—平移与距离数轴上点的平移和两点间的距离是数轴所有难点问题的突破口.点的平移是今后进一步研究动点问题的基础，两点间的距离则可以让学生感知数轴与线段之间的关系. 例1 请利用数轴回答下列问题:①如果点A 表示数3-，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;②如果点A 表示数3，将A 点先向左移动4个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;③如果点A 表示数3，将A 点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;④一般地，如果A 点表示的数为a ，将A 点向右移动m 个单位长度，再向左移动n 个单位长度，请你猜想终点B 表示的数是 ，A 、B 两点间的距离是 .二、突破应用关—平移、距离、对称、旋转(滚动)1.平移平移是所有动点问题的灵魂所在，也是数轴问题研究的基石，所以我们在突破数轴难点时，有必要进行深层次的探究.例2如果将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是2，则起点A表示的数为 ,A、B两点间的距离是 .-.例3若AB为数轴上一线段，其中点A表示3，点B表示1①将线段沿着数轴左右平移，若平移后点A对应的数为5，则点B所对应的数是 ;-,则点A对应的数是 , AB的中点C对应的数②若平移后点B对应的数是4是 ;-,则A对应的数是 ,B对应的数③若平移后AB的中点C对应的数是1是 .2.距离距离是今后解决坐标系中数形结合问题的关键所在.在坐标系中，大多数问题归根结底是研究线段与线段之间的数量关系，也就是两点之间的距离.因此在初学数轴时，把水平距离问题理解透彻，对今后坐标系里几何问题的学习大有帮助.例4 数轴上有A、B两点，且A、B两点间的距离是3.①若A为原点，则点B表示的数是 ;②若点A表示的数是1，则点B表示的数是 ;③若点A表示的数是a，则点B表示的数是 ;例5数轴上有三点A、B、C，且A、B两点间的距离是3,B、C两点的距离是2，-，则点C表示的数是 .若A点表示的数为1-,C为例6 数轴上有三个点A、B、C，其中A点表示的数为1,B点表示的数为5数轴上的动点，若C到A的距离是C到B的距离的2倍，求此时C所表示的数是 .3.对称数轴上对称问题的关键是线段的中点.最简单的对称是相反数，它们关于原点对称，由此可把此类问题推广至一般，即关于数轴上任意点的对称.例7数轴上A、B两点表示的数为相反数，且AB的距离为5，点A在点B的右边，则A表示的数是 ,B表示的数是 .例8 将数轴沿着某一点A对折，使得1与6重合.①则A表示的数是 ;-重合的数是 ;②与10重合的数是 ;与3③若MN重合，且MN相距2015个单位长度(M在N的右边)，则M表示的数是，N表示的数是 ;例9 数轴上有三个点A、B、C，其中A点表示的数为1,B点表示的数为一3,C为数轴上的动点，当A、B、C三个点中有一个点是另两个点的中点时，求此时C所表示的数.4.旋转(滚动)多边形的旋转问题或圆的滚动问题也是中考热点，实际在这类问题中也可以结合数轴来解答.例10 正方形ABCD在数轴上的位置如图5，点A、D对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数为1，则连续翻转2015次后，图5①数轴上数2015对应的点是 ;②连续翻转2015次后，数轴上数2014对应的点是 .例11 (1)如图6，数轴上有一半径为1的圆，起始点A与原点重合.若将圆沿着数轴-重合的，顺时针无滑动地滚动一周，点A所对应的数是 ;若起点A开始时是与2则圆在数轴上无滑动地滚动2周后点A表示的数是 .图6A B C D，(2)如图6所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母,,,-所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆先让圆周上字母A所对应的点与数轴上的数2-将与圆周上的字母重合.时针方向作无滑动滚动，那么数轴上的数2015三 、突破动点大题—试卷中经常出现的动点应用题解决此类问题的关键是确定动点表示的数，以及动点的运动方向.以下分为三类问题进行解析:1.方向不变例1 如图1，数轴上点B 表示的数是30,,P Q 两点分别从,O B 两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度向右运动，运动时间为t 秒, M 为线段BP 上一点，且13PM PB =,N 为QM 的中点. (1)若12PB BQ =，求t 的值; (2)当t 的值变化时, NQ 的值是否发生变化?为什么？练习1：已知数轴上两点,A B 对应的数为－1 ,3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x .(1)数轴上是否存在点P ，使5PA PB +=?若存在，请求出x 的值;若不存在，请说明理由.(2)当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向右运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向右运动.在运动的过程中，,M N 分别是,AP OB 的中点,AB OP MN-的值是否改变，为什么?，B点对应的数为练习2：如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为20100．(1)AB中点M对应的数；(2)现有一只电子蚂蚁甲从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；(3)若当电子蚂蚁甲从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．练习3：已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
小专题(十一) 数轴上的动点问题
3)t+60.因为要使得mAP+7BP-2CP为一个定值,所以3m+3=0,解得m=-1.所
以mAP+7BP-2CP=(3m+3)t+60=60.综上所述,m的值为-1,这个定值为60
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2
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(3) 动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若
点P,Q同时出发,点P运动多少秒时,P,Q两点相距4个单位长度?
(3) 因为动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
动,所以点Q表示的数是-6-4t.因为点P表示的数是10-8t,P,Q两点相距4个
单位长度,所以|(-6-4t)-(10-8t)|=4.所以4t-16=4或4t-16=-4,解得t=5或t=3.所
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3
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(2) 若点M到点A的距离是到点B距离的2倍,求点M表示的数.
(2) 设点M表示的数为x.因为点M到点A的距离是到点B距离的2倍,所以
|x-3|=2|x-(-5)|.所以x-3=2(x+5)或x-3=-2(x+5),解得x=-13或x=- ,即点M表
示的数为-13或
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(3) 动点P从点B出发,沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点A运动,同
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② 在移动过程中,当木棒m,n重叠部分的长为3个单位长度时,求t的值.
数轴上的动点问题专题
数轴上的动点问题专题（1）【例1】如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB＝14，动点P从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒.（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？【练】1、已知：如图在数轴上有A，B两点，它们分别对应着﹣12和8.A、B两点同时出发，B点以每秒2个单位的速度向右运动，A点则以每秒4个单位的速度向右运动.（1）A点在多少秒后追上B点；（2）A点在什么位置追上B点？2、已知a，b满足（a＋2）2＋|b﹣1|＝0，请回答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）a，b在数轴上对应的点分别为A，B，在所给的数轴上标出点A，点B；（3）若甲、乙两个动点分别从A，B两点同时出发沿x轴正方向运动，已知甲的速度为每秒2个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度，请问经过多少秒甲追上乙？【例2】如图A、B两点在数轴上分别表示﹣10和20，动点P从点A出发以10个单位每秒的速度向右运动，动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度出向左运动.设运动时间为t.（1）当点P运动到B点时，求出t的值；（2）当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出此时P点对应的数？（3）在此运动过程中，若P、Q相距10个单位，直接写出运动时间t？【练】1、如图，点P、Q在数轴上表示的数分别是﹣8、4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动.设点P、Q同时出发向右运动，运动时间为t秒.（1）若点P、Q同时向右运动2秒，则点P表示的数为，点P、Q之间的距离是个单位；（2）经过秒后，点P、Q重合；（3）试探究：经过多少秒后，点P、Q两点间的距离为14个单位.2、已知数轴上点A、B表示的数分别为﹣1、3、p为数轴上一动点，其表示的数为x.（1）若P到A、B的距离相等，则x＝；（2）是否存在点P，使P A＋PB＝6？若存在，写出x的值；若不存在，请说明理由；（3）若点M、N分别从A、B同时出发，沿数轴正方向分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度运动，则经过多长时间，M、N两点相距1个单位长度？【例3】如图，数轴上点A，C对应的数分别是a，c，且a，c满足|a＋4|＋（c﹣1）2＝0，点B对应的数是﹣3（1）求数a，c；（2）点A，B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间t秒，在运动过程中，点A，B到原点O的距离相等时，求t的值.【练】1、已知点P、Q是数轴上的两个动点，且P、Q两点的速度比是1：3.（速度单位：单位长度/秒）（1）动点P从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点Q也从原点出发向数轴正方向运动，4秒时，两点相距16个单位长度.求两个动点的速度，并在数轴上标出P、Q两点从原点出发运动4秒时的位置.（2）如果P、Q两点从（1）中4秒时的位置同时向数轴负方向运动，那么再经过几秒，点P、Q到原点的距离相等？2、已知点P，Q是数轴上的两个动点，且P，Q两点的速度比是3：5.（速度单位：单位长度/秒）（1）动点P从原点出发向数轴正方向运动，同时，动点Q也从原点出发向数轴负方向运动，6秒时，两点相距96个单位长度.则动点P的速度是，此时点Q表示的有理数是；（2）如果P，Q两点从（1）中6秒时的位置同时向数轴正方向运动，那么再经过秒，点P，Q到数轴上表示有理数20的点的距离相等.【例4】如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，2秒后，两点相距16个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的3倍.（速度单位：单位长度/秒）（1）求出点A、B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中标出的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，经过几秒，点A、B之间相距4个单位长度？（3）若表示数0的点记为O，A、B两点分别从（1）中标出的位置同时沿数轴向左运动，经过多长时间，OB＝2O A.【练】已知在数轴上有两个动点A、B，动点A从﹣1位置出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，4秒后两点相距25个单位长度，已知动点A、B的速度比是1：5（速度单位：1单位长度/秒）.（1）求A、B两点从起始位置出发运动4秒后在数轴上分别对应的数是多少；（2）若A、B两点分别从（1）中所在的位置同时向数轴负方向运动，保持原来的速度不变，问经过几秒，点B到原点的距离恰好是点A到原点的距离的2倍？【例5】已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；（2）当x＝时，使点P到点M、点N的距离之和是5；（3）如果点P以每秒钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每秒钟1个单位长度和每秒钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么秒钟时点P到点M，点N的距离相等.【练】1、数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.（1）如点P到点A，点B的距离相等，求点P在数轴上对应的数？（2）数轴上是否存在点P，使P到点A，点B的距离之和为7？若存在，请求出来x的值；若不存在，说明理由；（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时点A以每分钟4个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟12个单位的长度的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟时点P到点A，点B的距离相等？2、如图：数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知（a＋1）2与|b﹣3|互为相反数.点P为数轴上一动点，对应为x.（1）若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5各单位长度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？【例6】如图，数轴上有两点A，B，点A表示的数为4，点B在点A的左侧，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t ＞0）.（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数用含t的代数式表示：.（2）设点M是AP的中点，点N是PB的中点.点P在线段AB上运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说出理由；若不变，求线段MN的长度.（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，R同时出发，问点P运动多少秒与点R距离为2个单位长度.【练】1、已知数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且满足ab＜0，|a|＝2，|b|＝7，（1）求线段AB的长度；（2）若a＜b，P为射线上的一点（点P不与A、B两点重合），M为P A的中点，N为PB 的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请求出线段MN的长；若改变，请说明理由.2、已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a＋4|＋（b﹣1）2＝0，A，B之间的距离记作|AB|.（1）设点P在数轴上对应的数为x，当|P A|﹣|PB|＝2时，求x的值；（2）若点P在A的左侧，M，N分别是P A，PB的中点，当点P在A的左侧移动时，式子|PN|﹣|PM|的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由.【例7】如图1，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x .（1）P A ＝ ；PB ＝ （用含x 的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P ，使P A ＋PB ＝5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，点P 以1个单位/s 的速度从点D 向右运动，同时点A 以5个单位/s 的速度向左运动，点B 以20个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP 、OB 的中点，问：AB －OPMN的值是否发生变化？请说明理由.【练】阅读下面的内容并用此结论（或变形式）解答下面题目的三个问题： （1）若点P 为线段MN 的中点，则MP ＝PN ＝12MN（2）若点P 为线段MN 上任一点，则：MP ＝MN ﹣PN如图①，已知数轴上有三点A ，B ，C ，点B 为AC 的中点，C 对应的数为200. ①若BC ＝300，求点A 对应的数.②在①的条件下，如图②，动点P 、Q 分别从两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10个单位长度每秒，5个单位长度每秒，2个单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为RQ 的中点，多少秒时恰好满足MR ＝4RN （不考虑点R 和点Q 相遇之后的情形）.③在①的条件下，如图③，若点E 、D 对应的数分别为﹣800，0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10个单位长度每秒，5个单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从点D 运动到点A 的过程中，32QC ﹣AM 的值是否发生变化？若不变，求其值，若变，请说明理由.【补充练习】1、（2016江岸区期中）已知数轴上有A 、B 、C 三个点对应的数分别是a 、b 、c ，且满足0)10(10242=-++++c b a ；动点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒． （1）求a 、b 、c 的值；（2）若点P 到A 点距离是到B 点距离的2倍，求点P 的对应的数；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ．在点Q 开始运动后第几秒时，P 、Q 两点之间的距离为4？请说明理由．4、（2016外校期中）已知点A 、点B 在数轴上分别对应有理数a ，b ，其中a ，b 满足：()2112602a b -++=. （1）求a ，b 的值；（2）如图所示，在点A 、点B 之间存在一点C （点C 不与A 、B 重合），现有一个小球从A 出发向左匀速运动，经过一秒到达AC 的中点，又经过三秒之后到达BC 的中点，试求点C 所对应的有理数；OCAB（3）在（2）的条件下，现在我们在C 、A 两个位置各放一块挡板，有两个小球P 和Q 分别从点C 出发，P 以2个单位长度每秒的速度向右运动，Q 以4个单位长度每秒的速度向左运动，其中，小球P 在运动的过程中会碰到挡板，每次碰到挡板后按照原速度反弹（不考虑碰撞中能量的损失），按照此规律运动下去，试问：是否存在一个时间t ，使得PB ＝2QB ？若存在，求出所有满足条件的时间t ；若不存在，请说明理由. 5、（2016武珞路期中）已知点A 、B 在数轴上表示的数分别为a ，b ，且满足()22900a b -+-=.(1) a 的值为_______，b 的值为________；(2) 一只电子狗P 从点A 出发，向右匀速运动，速度为每秒1个单位长度，另一电子狗Q 从点B 出发，向左匀速运动，速度为每秒3个单位长度，且Q 比P 先运动2秒，已知在原点O 处有病毒，若电子狗遇到病毒则停止运动，未遇到病毒则继续运动，问电子狗P 经过多长时间，有P 、Q 两只电子狗相距70个单位长度？(3) 求()()2222221912716189362114910329b x a x a x x ⎛⎫⎛⎫--+++--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值.。
专题 8方程的应用——数轴上的动点问题 练习 2024—2025学年人教版数学七年级上册
专题8方程的应用——数轴上的动点问题刷难关距离问题[2024广东广州期末，较难]在数轴上，点A 在原点的左侧，点B在原点的右侧，点A距离原点12 个单位长度，点B距离原点2个单位长度.(1)点A 对应的数为，点B 对应的数为，两点之间的距离为；(2)若点P 为数轴上一点,且BP=2,求AP的长；(3)若点N，Q，M同时向数轴负方向运动，点N从点A 出发，点Q 从原点出发，点M 从点B 出发，且点N的运动速度是每秒6个单位长度，点Q的运动速度是每秒8个单位长度，点M 的运动速度是每秒2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点对应的数各是多少.相遇问题2[2024河南洛阳期末，中]数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离表示为AB=|a-b|.如：点A表示的数为2，点B 表示的数为3，则AB=|2-3|=1.(1)问题提出：填空：如图，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为13，A，B两点之间的距离AB=，线段AB 的中点表示的数为.(2)拓展探究：若点P 从点A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q 从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动.设运动时间为t秒(t>0).①用含t的式子表示：t秒后，点P 表示的数为，点Q表示的数为；②求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数.(3)类比延伸：在(2)的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇.请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数.追击问题3[2024安徽安庆质检，较难]已知数是个大招鸭轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0,-4,动点P 从A 出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点R 从B出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，R同时出发，则点P运动秒时，追上点R.专题8 方程的应用——数轴上的动点问题刷难关解读|距离问题1.表示终点：起点位置表示的数为a₀，终点位置表示的数为a₀±vt(v表示运动速度，t表示运动时间，向右为加，向左为减).2.求距离：①相对位置确定时：距离=右边的点表示的数-左边的点表示的数；②相对位置不确定时：距离=|b-a|(a，b分别表示始点与终点所表示的数).3.解方程.1.【解】(1)因为点A在原点的左侧，距离原点12个单位长度，所以点A对应的数为-12，同理可得点B 对应的数为2，所以A，B两点之间的距离为2-(-12)=2+12=14,故答案为-12,2,14.(2)分两种情况：①当点 P 在点 B 的右侧时，AP=AB+BP=14+2=16;②当点 P 在点 B 的左侧时， AP =AB −BP =14−2=12..综上,AP 的长是16 或12.(3)设运动的时间为t 秒,则动点 N,Q,M 对应的数分别为-12-6t,-8t,2-2t.分三种情况:①当NQ=QM 时, −8t −(−12−6t )=2−2t −(-8t),所以 t =54,此时，点 N 对应的数为 −12−6×54=−19.5,点 Q 对应的数为-8× 54=−10,点M 对应的数为 2−2×54=−0.5.②当NQ =NM 时, −12−6t −(−8t )=2−2t −(-12-6t),所以 t =−13(舍).③因为点M 的速度小，所以. MN =MQ 不存在.综上，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，点N 对应的数为-19.5，点 Q 对应的数为-10,点M 对应的数为-0.5. 大招解读|相遇问题1.表示终点：起点位置表示的数为a ₀，终点位置表示的数为a ₀±vt(ν表示运动速度，t 表示运动时间，向右为加，向左为减)；2.求距离：两点同时相对出发，相遇时， s₁+s₂=起始位置之间的距离，即 v₁t +v₂t =|a₀−b₀|;3.解方程.2.【解】(1)因为点A 表示的数为-2,点 B 表示的数为13,所以AB=|13-(-2)|=15,线段AB 的中点表示的数为 13−22=112.故答案为15，112.(2)①t 秒后,点P 表示的数为-2+3t,点Q 表示的数为 13-2t.故答案为-2+3t,13-2t. ②根据题意得-2+3t=13-2t,解得t=3,相遇点所表示的数为-2+3×3=7. 所以当t 为3时，P ，Q 两点相遇，相遇点所表示的数是7. (3)由已知得点 P 运动5秒到达点 B ，点 Q 运动 152秒到达点A ，返回途中，点 P 表示的数是13-3(t-5),点 Q 表示的数是 −2+2(t −152).根据题意得 13−3(t −5)=−2+2(t −152),解得t=9,第二次相遇点所表示的数为13-3×(9-5)=1. 所以P ，Q 两点第二次相遇所需时间为9秒，相遇点所表示的数是 1. 大招解读|追击问题1.表示终点：起点位置表示的数为a ₀，终点位置表示的数为a ₀±vt(v 表示运动速度，t 表示运动时间，向右为加，向左为减)；2.求距离：两点同时同向出发，到达同一位置时s8−s y=起始位置之间的距离，即v₁t−v₂t=|a₀−b₀|;3.解方程.3.5 【解析】设点P运动x秒时，在点C处追上点R,则AC=6x,BC=4x.因为AC-BC=AB=10,所以6x-4x=10,解得x= 5,所以点P运动5 秒时,追上点R.。
数轴上的动点问题专题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】数轴上的动点问题专题1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。
若不存在，请说明理由？⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B 的距离相等？2. 数轴上A点对应的数为－5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动。
（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B 点表示的数。
（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t 秒，是否存在t 的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由。
3.已知数轴上有顺次三点A, B, C 。
其中A 的坐标为-20.C 点坐标为40，一电子蚂蚁甲从C 点出发，以每秒2个单位的速度向左移动。
（1）当电子蚂蚁走到BC 的中点D 处时，它离A,B 两处的距离之和是多少？（2）这只电子蚂蚁甲由D 点走到BA 的中点E 处时，需要几秒钟？（3）当电子蚂蚁甲从E 点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C 出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B 点5个单位长度，求B 点的坐标4. 如图，已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为—20，B 点对应的数为100。
⑴求AB 中点M 对应的数；⑵现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；⑶若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数。
专题06 用方程解决数轴上的动点问题(解析版)
专题06 用方程解决数轴上的动点问题1. 已知数轴上点A与点B之间的距离为12个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为．（2）用含t的代数式分别表示点P到点A和点C的距离：PA＝，PC＝．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，立即以同样的速度返回点A，在点Q开始运动后，当P，Q两点之间的距离为2个单位长度时，求此时点P表示的数．【答案】（1）：﹣24，﹣12，12．（2）：2t，36﹣2t．（3）﹣2，2，，．【解析】解：（1）如图，点A表示的数为﹣24，点B表示的数为﹣12，点C表示的数为12．故答案是：﹣24，﹣12，12．（2）由题意知，PA＝2t，PC＝36﹣2t．故答案是：2t，36﹣2t．（3）设P、Q两点之间的距离为2时，点Q的运动时间为m秒，此时点P表示的数是﹣12+2m．①当m≤9时，m秒时点Q表示的数是﹣24+4m，则PQ＝|﹣24+4m﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝5或7，此时点P表示的数是﹣2或2；②当m＞9时，m秒后点Q表示的数是12﹣4（m﹣9），则PQ＝|12﹣4（m﹣9）﹣（﹣12+2m）|＝2，解得或，此时点P表示的数是或．综上，当P、Q两点之间的距离为2时，此时点P表示的数可以是﹣2，2，，．2.如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为8和12，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒．（1）当0＜t＜4时，用含t的式子表示BP和AQ；（2）当t＝2时，求PQ的值；（3）当PQ＝AB时，求t的值．【答案】（1）BP＝4﹣t，AQ＝8﹣2t．（2）6 （3）10或6．【解析】解：（1）∵当0＜t＜4时，P点对应的有理数为8+t＜12，Q点对应的有理数为2t＜8，∴BP＝12﹣（8+t）＝4﹣t，AQ＝8﹣2t．（2）当t＝2时，P点对应的有理数为8+2＝10，Q点对应的有理数为2×2＝4，所以PQ＝10﹣4＝6；（3）∵t秒时，P点对应的有理数为8+t，Q点对应的有理数为2t，∴PQ＝|2t﹣（8+t）|＝|t﹣8|，∵PQ＝AB，∴|t﹣8|＝×（12﹣8），解得t＝10或6．故t的值是10或6．3．阅读理解：如图①，若线段AB在数轴上，A、B两点表示的数分别为a和b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为AB＝b﹣a．请用上面材料中的知识解答下面的问题：如图②，一个点从数轴的原点开始，先向左移动2cm到达P点，再向右移动7cm到达Q点，用1个单位长度表示1cm．（1）请你在图②的数轴上表示出P，Q两点的位置；（2）若将图②中的点P向左移动xcm，点Q向右移动3xcm，则移动后点P、点Q表示的数分别为多少？并求此时线段PQ的长．（用含x的代数式表示）；（3）若P、Q两点分别从第（1）问标出的位置开始，分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动，设运动时间为t（秒），当t为多少时PQ＝2cm？【答案】（1）见解析．（2）移动后点P、点Q表示的数分别为：（﹣2﹣x）和：（5+3x）；（3）当t为5或9时PQ＝2cm．【解析】解：（1）P，Q两点的位置如图所示：（2）由题意得，点P所表示的数为：﹣2﹣x；点Q所表示的数为：5+3xPQ＝5+3x﹣（﹣2﹣x）＝7+4x；∴移动后点P、点Q表示的数分别为：（﹣2﹣x）和：（5+3x）；（3）由题意得运动时间为t（秒）后点P和点Q表示的数分别为：﹣2+2t和5+t，则由PQ＝2cm得：|5+t﹣（﹣2+2t）|＝2∴|7﹣t|＝2∴7﹣t＝2或7﹣t＝﹣2∴t＝5或t＝9．∴当t为5或9时PQ＝2cm．4.已知，数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且满足|a+7|+（c﹣1）2020＝0，点B对应点的数为﹣3．（1）a＝，c＝；（2）若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒；点Q的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P、Q两点的距离为；（3）在（2）的条件下，若点Q运动到点C立刻原速返回，到达点B后停止运动，点P运动至点C处又以原速返回，到达点A后又折返向C运动，当点Q停止运动点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数．【答案】（1）﹣7，1．（2）经过秒或秒P，Q两点的距离为．（3）﹣1，0，﹣2．【解析】解：（1）由非负数的性质可得：a+7=0；c﹣1=0，∴a＝﹣7，c＝1，故答案为：﹣7，1．（2）设经过t秒两点的距离为由题意得：，解得或，答：经过秒或秒P，Q两点的距离为．（3）点P未运动到点C时，设经过x秒P，Q相遇，由题意得：3x＝x+4，∴x＝2，表示的数为：﹣7+3×2＝﹣1，点P运动到点C返回时，设经过y秒P，Q相遇，由题意得：3y+y+4＝2[1﹣（﹣7）]，∴y＝3，表示的数是：﹣3+3＝0，当点P返回到点A时，用时秒，此时点Q所在位置表示的数是，设再经过z秒相遇，由题意得：，∴，∵+＝＜4+4，∴此时点P、Q均未停止运动，故z＝还是符合题意．此时表示的数是：，答：在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是﹣1，0，﹣2．5.【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b：线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）A、B两点的距离为，线段AB的中点C所表示的数；（2）点P所在的位置的点表示的数为，点Q所在位置的点表示的数为（用含t的代数式表示）；（3）P、Q两点经过多少秒会相遇？【答案】（1）18，﹣1；．（2）﹣10+5t，8﹣3t．．（3）．【解析】解：（1）A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18，线段AB的中点C所表示的数[8+（﹣10）]÷2＝﹣1；（2）点P所在的位置的点表示的数为﹣10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8﹣3t（用含t的代数式表示）；（3）依题意有5t+3t＝18，解得t＝．故P、Q两点经过秒会相遇．故答案为：18，﹣1；﹣10+5t，8﹣3t．6.在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c；a是最大的负整数，a、b、c满足|a+b|+（c﹣5）2＝0．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）P为数轴上一动点，其对应的数是x，当P在线段AC上，且PA+PB+PC＝7时，求x的值．（3）若点P，Q分别从A，C同时出发，匀速相向运动，点P的速度为3个单位/秒，点Q的速度为1个单位/秒．当点P运动到C后迅速以原速返回A；点Q运动至B点后停止运动，同时P点也停止运动．求在此运动过程中P，Q的相遇点在数轴上对应的数．【答案】（1）﹣1，1，5；．（2）0或2．（3）3.5或2．【解析】解：（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1；∵|a+b|+（c﹣5）2＝0，|a+b|≥0，（c﹣5）2≥0，∴a+b＝0，c﹣5＝0，∴b＝﹣a＝﹣（﹣1）＝1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）∵PA+PB+PC＝7，∴|x+1|+|x﹣1|+|x﹣5|＝7，①当点P在线段AB上，即当﹣1≤x＜1时，x+1+1﹣x+5﹣x＝7，解得：x＝0；②当点P在线段BC上，即当1≤x≤5时，x+1+x﹣1+5﹣x＝7，解得：x＝2．综上所述，x的值是0或2．（3）设运动时间为t，①当P、Q第一次相遇时，有：3t+t＝5﹣（﹣1），解得：t＝1.5，此时，相遇点在数轴上对应的数为5﹣1.5＝3.5；②当P到达C点返回追上Q时，有：3t﹣t＝5﹣（﹣1）解得：t＝3，此时，相遇点在数轴上对应的数为5﹣3＝2．∴在此运动过程中P，Q的相遇点在数轴上对应的数是3.5或2．7.已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A→B的“好点”（填是或者不是）；②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【答案】（1）﹣2；．（2）1秒或10秒．（3）﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．【解析】解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A、点B的距离相等，∴P为AB的中点，∴BP＝PA＝AB＝6，∴点P表示的数是﹣2；（2）①当点P运动到原点O时，PA＝8，PB＝4，∵PA≠3PB，∴点P不是关于A→B的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点P运动的时间为t秒，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得t＝1或t＝10，所以点P的运动时间为1秒或10秒；（3）根据题意可知：设点P表示的数为n，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“好点”时，|PA|＝3|AB|，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“好点”时，|AB|＝3|AP|，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“好点”时，|PA|＝3|PB|，即﹣n﹣8＝3（4﹣n）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝10或1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“好点”时，|PB|＝3|AP|，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“好点”时，|PB|＝3|AB|，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32．综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．8.如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣5，B点对应的数为55，现有一动点P以6个单位/秒的速度从B点出发，同时另一动点Q恰好以4个单位/秒的速度从A点出发：（1）若P向左运动，同时Q向右运动，在数轴上的C点相遇，求C点对应的数．（2）若P向左运动，同时Q向左运动，在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．（3）若P向左运动，同时Q向右运动，当P与Q之间的距离为20个单位长度时，求此时Q点所对应的数．【答案】（1）19．（2）﹣125，（3）11或27．【解析】解：（1）设运动时间为x秒，4x+6x＝55﹣（﹣5），解得：x＝6，因此C点对应的数为﹣5+4×6＝19，（2）设运动时间为y秒，6y﹣4y＝55﹣（﹣5），解得：y＝30，点D对应的数为﹣5﹣4×30＝﹣125，（3）①相遇前PQ＝20时，设运动时间为a秒，4a+6a＝55﹣（﹣5）﹣20，解得：a＝4，因此Q点对应的数为﹣5+4×4＝11，②相遇后PQ＝20时，设运动时间为b秒，4b+6b＝55﹣（﹣5）+20，解得：b＝8，因此C点对应的数为﹣5+4×8＝27，故Q点对应的数为11或27．9.如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．【答案】（1）当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；（2）3或，（3）28．【解析】解：（1）根据题意得2t+t＝28，解得t＝，∴AM＝＞10，∴M在O的右侧，且OM＝﹣10＝，∴当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；（2）由题意得，t的值大于0且小于7．若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t＝．综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）∵N是AP的中点，∴AN＝PN＝AP＝t，∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．10.数轴是学习初中数学的一个重要工具利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为；AB＝a﹣b线段AB的中点M表示的数为．如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）运动开始前，A、B两点的距离为个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为；（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为．（用含t的式子表示）（3）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度？（4）若A、B按上述方式运动，A、B两点经过多少秒，线段AB的中点M与原点重合？【答案】（1）18；﹣1．（2）﹣10+3t；8﹣2t，（3）2.8秒或4.4秒．（4）2秒【解析】解：（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18；线段AB的中点M所表示数为．故答案是：18；﹣1（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t．故答案是：﹣10+3t；8﹣2t（3）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相距4个单位长度．根据题意得3x+2x＝18﹣4，解得x＝2.8；3x+2x＝18+4，解得x＝4.4．答：A、B两点经过2.8秒或4.4秒会相距4个单位长度．（4）由题意得解得t＝2．答：经过2秒A、B两点的中点M会与原点重合．11.数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为．如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别为﹣8，2，20．（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒个单位长度、点C每秒个单位长度；（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；1．t为何值时PC＝12；2．t为何值时PC＝4．【答案】（1）2.5；4.5；（2）4或7，（3）1．t＝．（3）2．t＝20．【解析】解：（1）由题意知，＝2.5（单位/秒）．＝4.5（单位/秒）．故答案是：2.5；4.5；（2）设运动时间为t秒，此时点A表示的数是﹣8+t，点C表示的数是20﹣3t．所以AB＝|﹣10+t|，BC＝|18﹣3t|．那么|﹣10+t|＝|18﹣3t|．解得：t＝4或7．（3）1．当0＜t≤6时，点A表示的数是﹣8+t，点B表示的数是2+3t，AB的中点P表示的数是﹣3+2t，PC＝|﹣3+2t﹣20|＝12，解得t＝；2．当6＜t≤28时，点A表示的数是﹣8+t，点B表示的数是20，AB的中点P表示的数是|6+|，PC＝|6+﹣20|＝4，解得t＝20．12.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．【综合运用】（1）点B表示的数是．（2）若BC：AC＝4：7，求点C到原点的距离．（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．【答案】（1）﹣20．．（2）100，（3）9个单位长度/秒．（4）30．【解析】解：（1）40﹣60＝﹣20．故点B表示的数是﹣20．（2）如图1，∵AB＝60，BC：AC＝4：7，∴＝，解得：BC＝80，∵AB＝60，点A对应的数是40，∴B点对应的数字为：﹣20，∴点C到原点的距离为：80﹣（﹣20）＝100；（3）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则R对应的数为40﹣5x，P对应的数为﹣100+15x，Q对应的数为10x+15，PQ＝5x﹣115或115﹣5xQR＝15x﹣25∵PQ＝QR∴5x﹣115＝15x﹣25或115﹣5x＝15x﹣25解得：x＝﹣9（不合题意，故舍去）或x＝7∴动点Q的速度是2×7﹣5＝9个单位长度/秒，（4）如图3，设运动时间为t秒P对应的数为﹣100﹣5t，T对应的数为﹣t，R对应的数为40+2t，PT＝100+4t，M对应的数为﹣50﹣3t，N对应的数为20+t，MN＝70+4t∴PT﹣MN＝30，∴PT﹣MN的值不会发生变化，是30．13.已知多项式﹣2m3n3+4中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a、b分别是点A、B在数轴上的对应的数，如图所示：（1）点A表示的数为，点B表示的数为；（2）一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒）：①甲小球所在的点表示的数为，乙小球所在的点表示数为（用含t的代数式表示）；②求经过多长时间甲、乙小球相距2个单位长度？③试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】(1)﹣2，6；(2)①﹣2﹣t，6﹣2.②6秒或10秒③或8秒．【解析】解：（1）∵多项式﹣2m3n3+4中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a、b分别是点A、B在数轴上的对应的数，∴a＝﹣2，b＝6，∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6；（2）①甲小球所在的点表示的数为﹣2﹣t，乙小球所在的点表示数为6﹣2t；②甲在左边时，依题意有6﹣2t﹣（﹣2﹣t）＝2，解得t＝6；乙在左边时，依题意有﹣2﹣t﹣（6﹣2t）＝2，解得t＝10．故经过6秒或10秒长时间甲、乙小球相距2个单位长度；③原点是甲乙的中点时，依题意有﹣（﹣2﹣t）＝6﹣2t，解得t＝；甲乙相遇时，依题意有﹣2﹣t﹣（6﹣2t）＝0，解得t＝8．故甲、乙两小球到原点的距离可能相等，甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间秒或8秒．14.如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝2OB．（1）a＝，b＝；（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q 的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝4．（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程和点M停止运动时在数轴上所对应的有理数．【答案】（1）﹣8；4；（2）1.6秒或8秒，（3）点M行驶的总路程为36和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．【解析】解：（1）∵AB＝12，AO＝2OB，∴AO＝8，OB＝4，∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4，∴a＝﹣8，b＝4．故答案是：﹣8；4；（2）当0＜t＜4时，如图1，AP＝2t，OP＝8﹣2t，BQ＝t，OQ＝4+t，∵2OP﹣OQ＝4，∴2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，t＝＝1.6，当点P与点Q重合时，如图2，2t＝12+t，t＝12，当4＜t＜12时，如图3，OP＝2t﹣8，OQ＝4+t，则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，t＝8，综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ＝4；（3）当点P到达点O时，8÷2＝4，此时，OQ＝4+t＝8，即点Q所表示的实数为8，如图4，设点M 运动的时间为t 秒，由题意得：2t ﹣t ＝12，t ＝12，此时，点P 表示的实数为﹣8+12×2＝16，所以点M 表示的实数是16， ∴点M 行驶的总路程为：3×12＝36， 答：点M 行驶的总路程为36和点M 最后位置在数轴上对应的实数为16．15.如图，已知数轴上点A 表示的数为6，且AB ＝10，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）数轴上点B 表示的数为 ，当t ＝2时，点P 表示的数为 ；（2）动点R 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P ，R 同时出发，问经过多长时间P ，R 两点相遇？（3）动点R 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P ，R 同时出发，问点R 运动多长时间P ，R 两点相距2个单位长度？【答案】（1）4-，2；（2）2秒；（3）85或125秒． 【解析】（1）根据点A 表示的数为6，且AB ＝10，点B 在点A 的左则，列出算式求解即可；根据点P 从点A 出发，每秒2个单位长度向左匀速运动，列出算式求解即可；（2）设经过t 秒后P ，R 两点相遇，根据题意列出方程求解即可；（3）根据两种情况：当P ，R 两点还没有相遇，相距2个单位长度；当P ，R 两点相遇后再相离，相距2个单位长度，据此根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）B 点表示的数为6104-=-；当2t =时，点P 表示的数为：6222-⨯=；故答案是：4-，2；（2）设经过t 秒后P ，R 两点相遇，依题意得：2310t t +=，解之得：2t=；∴经过2秒后P，R两点相遇；（3）设P，R两点运动的时间是t当P，R两点还没有相遇，相距2个单位长度，依题意得：23102t t+=-，解之得：85t=；当P，R两点相遇后再相离，相距2个单位长度，依题意得：23102t t+=+，解之得：125t=；综上所述，85或125秒后，P，R两点相距2个单位长度【点睛】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，要注意分类讨论．16.已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是4，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的4倍．（1）a＝，b＝，AB＝；（2）动点M、N分别从点A、B的位置同时开始在数轴上做没有折返的运动，已知动点M的运动速度是1个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．①若点M和点N相向而行，经过几秒点M与点N相遇？②若点M和点N都向左运动，经过几秒点N追上点M？③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒M、N相距6个单位长度？【答案】（1）-4，16，20；（2）①5秒，②10秒，③72秒或132秒或7秒或13秒【解析】（1）根据数轴上点的位置及两点之间的距离解答即可．（2）①相遇问题，两者的路程和等于两点间的距离；②追及问题，两者的路程差等于两点的距离；③分类讨论，根据相向运动及同时向左运动，然后分相遇前和相遇后，根据数轴上两点间距离，列方程求解即可．【详解】解：（1）已知AB两点对应的数分别为a，b，∵A在原点的左侧，且距离为4，∴a＝-4．当B在原点的右侧，且到原点的距离是A到原点距离的4倍，∴b＝|a|×4＝16，∴AB＝|AO|+|OB|＝4+16＝20．即a＝-4，b＝16，AB＝20．故答案为：-4，16，20．（2）①若M，N相向而行，设x秒相遇，则1×x+3x＝20，解得x＝5．∴5秒M与N相遇．答：5秒M与N相遇．②当M，N都向左运动，设x秒相遇，则3×x-x×1=20，解得x＝10．答：10秒点N追上点M．③当M，N运动方向不限时，设y秒M，N相距6个单位长度．有两种情况：①当M，N相向运动，相遇前相距6个单位长度．则20﹣y×1﹣y×3＝6，解得y＝72，当M，N相向运动，相遇后相距6个单位长度．则y×1+y×3=20+6，解得y=13 2②当M，N都向左运动，N追上M前相距6个单位长度．则3y+6-1×y=20，解得y=7．当M，N都向左运动，N追上M后相距6个单位长度．则3y-1×y=20+6，解得y=13，综上所述，当M，N相向运动时72秒或132秒时，M，N相距6个单位；当M，N均向左运动时，7秒或13秒时M，N相距6个单位．【点拨】本题一元一次方程的应用和相遇知识点，利用数形结合思想解题是关键．17.已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值：a＝；b；c＝；（2）在（1）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）-1；1；5；（2）不变，BC-AB=2．【解析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．【详解】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．根据题意得：c-5=0且a+b=0，∴a=-1，b=1，c=5．故答案为：-1；1；5；（2）不变．理由如下：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．18.已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且|a－b|＝7（1）若b＝－3，则a的值为__________；（2）若OA＝3OB，求a的值；（3）点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，求所有满足条件的c的值．【答案】（1）4；（2）a＝±5.25；（3）C点对应±2.8，±4．【解析】（１）根据|a－b|＝7，a、b异号，即可得到a的值；（２）分两种情况讨论，依据OA＝3OB，即可得到a的值；（３）分四种情况进行讨论，根据O为AC的中点，OB＝3BC，即可求出所有满足条件的c 的值．【详解】（1）∵|a﹣b|＝14，∴|a+3|＝14，又∵a＞0，∴a＝4，故答案为：4；（2）设B点对应的数为a+7．3（a+7﹣0）＝0﹣a，解得a＝﹣5．25；设B点对应的数为a﹣7．3[0﹣（a﹣7）]＝a﹣0，解得a＝5．25，综上所得：a＝±5．25；（3）满足条件的C有四种情况：①如图：3x+4x＝7，解得x＝1，则C对应﹣4；②如图：x+2x+2x＝7，解得x＝1．4，则C对应﹣2．8；③如图：x+2x+2x＝7，解得x＝1．4，则C对应2．8；④如图：3x+4x＝7，解得x＝1，则C对应4；综上所得：C点对应±2．8，±4．【点拨】此题考查的是一元一次方程的应用和数轴的知识，用到知识点还有线段的中点，关键是根据线段的和差关系求出线段的长度．19.已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时共运动了秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【答案】（1）60，15；（2）甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20【解析】（1）根据A，B两点之间的距离AB＝|﹣40﹣20|，根据题意即可求解；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论；（4）设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇，根据题意得方程解方程即可．【详解】（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒；故答案为：60，15；（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得：x+4x＝60，解得x＝12，﹣40+x＝﹣28．即甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）两种情况：相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，即10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）乙到达A点需要15秒，甲行驶了15个单位长度，设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇根据题意得方程：4(a-15)=15+1×（a-15）解方程得：a=20由于甲到达B点需要时间为60秒，而20<60此时甲运动的个单位长度为：20×1=20此时甲在数轴上的位置表示的数为：-40+20=-20故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．20.如图，已知数轴上两点A ，B 表示的数分别为-2和7，用符号“AB ”来表示点A 和点B 之间的距离．（1）求AB 的值；（2）若在数轴上存在一点C ，使2AC BC =，求点C 表示的数；（3）点P 和点Q 是数轴上的两个动点，点P 从A 出发以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q 从B 出发以1个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为1秒，当12PB AQ +=时，请直接写出t 的值：【答案】（1）9；（2）4或16；（3）2t =或10t =【解析】（1）数轴上点B 在点A 的右侧，故用电B 的坐标减去点A 的坐标即可得AB 的值；（2）设点C 表示的数为x ，根据AC =2BC ，列绝对值方程求解即可；（3）利用两点间距离公式用含t 的式子表示出PB 和AQ ，再列方程即可．【详解】解：(1)数轴上两点A ，B 表示的数分别为-2，7，∴AB = 7-(-2)= 9，答：A B 的值为9；(2)设点C 表示的数为x ，由题意得：| x -(-2)|= 2|x - 7|，∴|x +2|=2|x - 7|，∴x =16或x =4．.答:点C 表示的数为4或16；(3)t 秒后，PB = |2t - 2- 7|= |2t - 9|，AQ =|7- t + 2|= |9- t|，当PB + AQ = 12时，|2t - 9|+|9-t |= 12，当0≤t ≤4.5时，解得：t =2；当4.5 < t ≤9时，解得：t = 12(舍)；。
专题 数轴上的动点问题
专题——数轴上的动点问题类型1 数轴上的规律探究问题方法：用由特殊到一般的思想例1． 如图，A 点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A 点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B 点，第2次从B 点向右移动6个单位长度至C 点，第3次从C 点向左移动9个单位长度至D 点，第4次从D 点向右移动12个单位长度至E 点，…，依此类推，这样第_____次移动到的点到原点的距离为2018。
【分析】： 本题考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究。
对这列数的奇数项、偶数项的规律分别进行探究，是解决这道题的关键。
根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．【解答】：第1次从点A 向左移动3个单位至点B ，则B 表示为：1﹣3=﹣2；第2次从点B 向右移动6个单位至点C ，则C 表示为：﹣2+6=4；第3次从点C 向左移动9个单位至点D ，则D 表示为：4﹣9=﹣5；第4次从点D 向右移动12个单位至点E ，则点E 表示为﹣5+12=7；第5次从点E 向左移动15个单位至点F ，则F 表示为7﹣15=﹣8；…；由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：-（3n+1）/2，当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：（3n+2）/2。
①当移动次数n 为奇数时，-（3n+1）/2=﹣2018，n=1345，②当移动次数n 为偶数时，（3n+2）/2=2018，n=4034/3（不合题意）。
故答案为：1345。
类型2 数轴上的两点距离问题方法：用分类讨论及数形结合思想例2．已知M 、N 在数轴上，M 对应的数是﹣3，点N 在M 的右边，且距M 点4个单位长度。
点P 、Q 是数轴上两个动点；（1）直接写出点N 所对应的数；（2）当点P 到点M 、N 的距离之和是5个单位时，点P 所对应的数是多少？（3）如果P 、Q 分别从点M 、N 出发，均沿数轴向左运动，点P 每秒走2个单位长度，先出发5秒钟；点Q 每秒走3个单位长度。
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数轴上的动点问题 动点问题处理策略
1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。
2、如何表示运动过程中的数：点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a －b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b 。
（简单说成左减右加）
3、分类讨论的思想：数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况种的分类讨论
4、绝对值策略：对于两个动点P,Q ，若点P,Q 的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p,q 两数差的绝对值表示P,Q 两点距离，从而避免分复杂分类讨论
5、中点公式：若数轴上点A,B 表示的数分别为a,b ，M 为线段AB 中点，则M 点表示的数为2
a b
类型一、数轴上两点距离的应用
例1、已知数轴上A,B 两点表示的数分别为-2和5，点P 为数轴上一点
（1）若点P 到A,B 两点的距离相等，求P 点表示的数
（2）若PA=2PB,求P 点表示的数
（3）若点P 到点A 和点B 的距离之和为13，求点P 所表示的数。
B A O B A O B A O
类型二、绝对值的处理策略
例2、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位，Q点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒
（1）点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8
（2）若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8
（3）在（2）的条件下，另一动点M同时从O点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，多少秒后，点M到点P和点Q的距离相等
练、已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为-8，点B表示的数为4．动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，设运动时间为t秒。
（1）若点P向右运动，点Q向左运动，问多少秒后点P与Q相距2个单位长度
（2）若动点P、Q都向右运动，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．当t为何值时，2OP-OQ=4
类型三、小狗来回跑的问题
例、数轴上，点A表示-3，点B表示12，A,B两点同时向负方向运动，速度分别为1个单位和4个单位每秒，同时另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长
度．
练习、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A 与点B重合时，点P所经过的总路程是多少
类型四、运动中的变与不变
例3、数轴上A,B,C三点分别表示-1，1，5，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C 之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．
（1）请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（2）是否存在一个常数m使得m•BC-2AB不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．
练习、如图①，M、N、P是数轴上顺次三点，M、N之间的距离记为MN，M，P 之间的距离记为MP．
（1）若MP=3MN，求x的值；
（2）在（1）的条件下，如图②，点M、N、P开始在数轴上运动，点M以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点N和点P分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t（t＞0）秒， PN-MN的值是否随时间t的变化而改变若改变，说明理由；若不变，求其值．
为定值若存在求出k值，并求出这个定（3）是否存在常数k，使k MN PN
值。
若不存在，请说明理由。
类型五、中点问题
例、如图，数轴上的两个点A、B所对应的数分别为-8、7，点M、N对应的数分别是m、m+3．
（1）若AM=BN，请直接写出点M、N所对应的数；
（2）若AN=2BM，求m的值；
（3）设点P为AN的中点，点Q为BM的中点，问当线段MN在数轴上运动时，PQ的值是否发生改变如果不变，求出PQ的值；如果改变，请说明理由．
练习1、如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为-40，-10，20，O为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，P向左运动，Q向右运动，P 点的运动速度为8个单位长度/秒，Q点的运动速度为4个单位长度/秒，N为OP的中点，M为BQ的中点，在P、Q运动的过程中，PQ-2MN的值是否发生变化若不变，求其值；若变化，请说明理由．
2、已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在线段AB上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系．
类型六、多状态分析
例、已知数轴上A，B两点对应的数分别为-20，13，点C对应的数为16，点D 对应的数为-13．点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为6个单位/秒，点B的速度为2个单位/秒，点A，B从起始位置同时出发．当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B 点运动至D点后停止运动，当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．
练、点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知AB=3，BC=2，CD=4．（1）若点C为原点，则点A表示的数是______
（2）若点A、B、C、D分别表示有理数a，b，c，d，则|a-c|+|d-b|-|a-
d|=____________
（3）如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动．
①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离；
②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，PQ=5
类型七、辅助参数
例、数轴上两个点A，B所对应的数为-8，4，A、B
两点各自以一定的速度同时
运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．B点运动速度为1个单位每秒若A,B 同时向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发也向数轴负方向运动，且C点总在A、B两点之间，并在运动过程中始终有BC:CA=1:2（BC表示C点到B 点的距离），设运动t秒钟后，点A、B、C分别运动到A1、B1、C1，试说明
练习1、一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为-10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度
/s
．
（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度
（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C 点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：CM=1：2．若干秒后，C点在-12处，求此时N点在数轴上的位置．
练习2、A点坐标为-20，C点坐标为40，一只电子蚂蚁甲从C点出发向左移动，速度为2个单位长度/秒．B为数轴上（线段AC之间）一动点，D为BC的中点．
（1）这只电子蚂蚁甲由D点走到AB的中点E处，需要几秒钟
（2）在（1）的条件下，当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只蚂蚁乙同时从C 点出发向左移动，速度为3个单位长度/秒，如果两只蚂蚁相遇于H点离B点5个单位长度，求B点对应的数．
2、如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点，且a、b满足|a+3|+（b+3a）2=0．
（1）求点C表示的数；
（2）点P从A点以3个单位每秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位每秒向左运动，若AP+BQ=2PQ，求时间t；
的结论并求出其值．。