模糊集合论基础
模糊集合
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
模糊关系及其合成
2.2 模糊集合论基础
15
五、模糊关系及其合成 例3：假如设身高 X {140,150,160,170,180} ，体重 Y {40,50,60,70,80} ，定义体重和身高的模糊关系为 R，则R是定义在笛卡儿积上的子集。有 ：
40 50 60 70 80
140
150 160
1
0.8 0.2
2.2 模糊集合论基础
5
五、模糊关系及其合成 3、模糊矩阵的合成 0.2 例：设有模糊矩阵： Q 求其合成运算。
(0.2 0.5) (0.5 1) (1 0.9) (0.2 0.6) (0.5 0.4) (1 0.1) S Q R (0.7 0.6) (0.1 0.4) (0.8 0.1) (0.7 0.5) (0.1 1) (0.8 0.9)
2.2 模糊集合论基础 10
其中：1表示有关系R，0表示没有关系R。
五、模糊关系及其合成 定义：所谓笛卡儿积 X Y {( x, y) x X , y Y} 上的模糊 关系R，是指以 X Y 为论域的一个模糊子集。 笛卡儿积上的模糊关系，表示两个集合的元素间 所具有的某种关系的程度，是普通关系的推广。 当论域为有限集时，模糊关系可以用矩阵来表示， 称为模糊矩阵。 模糊关系的运算服从模糊子集的法则，如并、交、 补等。
1 0.7 1 0.5 0.3 0.5 R 1 0 . 9 1 0 . 2 0 . 1 0 . 8
3
2.2 模糊集合论基础
五、模糊关系及其合成 2、模糊矩阵的运算：并，交，补
注： 维数相同的矩阵才能进行并、交运算。 并交运算可以推广到多个矩阵。 模糊矩阵是向量表示法的推广。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用
1. 什么是模糊集合论
模糊集合论是指将集合的概念扩展到带有模糊性质的情况下进行的一种数学理论。
在模糊集合中，元素的隶属度不是二元的0或1，而是属于[0,1]之间的实数。
模糊集合的概念最初由L.A.齐亚德(L.A. Zadeh)在1965年提出。
2. 模糊集合的运算
模糊集合的并、交、补等基本运算与普通集合相同，但存在一些特殊的运算符号，如模糊等价运算符、模糊包含运算符等。
此外，我们还可以通过模糊集合的笛卡尔积运算得到新的模糊集合，这在模糊控制中十分常见。
3. 模糊集合的应用
模糊集合论是一个广泛应用的数学分支，应用领域包括但不限于人工智能、模式识别、控制理论、决策分析、信息处理、经济学等。
下面列举几个常见的应用场景：
- 模糊控制：模糊集合论可以用于构建模糊控制器，这种控制器可以处理非线性、不确定性等难以处理的问题。
- 模糊推理：模糊推理具有很强的容错性，可以处理存在不确定性的问题，例如专家系统中的诊断、推荐等。
- 模糊聚类：模糊聚类可以将不同的数据对象分为模糊的类别，具有很强的数据挖掘功能。
- 模糊决策：模糊集合论可以用于处理决策问题中存在的不确定性，例如灾害风险评估、投资决策等。
总之，模糊集合论是一个十分重要的数学分支，其应用已经渗透到了我们生活的方方面面。
随着人工智能和大数据的发展，相信模糊集合论在未来的应用中会越来越广泛。
第3章 模糊理论
3 A(1.60)= ＝0.3 10
……
1 A(1.77)= ＝0.1 10 10 0.1 0.3 0.6 1 0.5 0.1 FA = + + + + + 1.56 1.60 1.64 1.69 1.73 1.77
A(1.64)=
6 ＝0.6 10
模糊统计法的特点： ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个 稳定值就是v0对A的隶属度。 ②计算量大。 2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊 集A 的隶属度函数。 3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生 的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。 4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两 对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些 事物对该特征的隶属函数的大体形状。
二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好
第二节 模糊集合论基础
一、模糊集的概念
集合：具有某种特定属性的对象全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表 示； 集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
附近隶属函数的范围
重叠鲁棒性＝
U
L
( A1 A2 )dx 2(U L)
重叠指数的定义
(0.3~0.7为宜)
求重叠率和重叠鲁棒性
例：
A1
A2
重叠率＝ 10 / 30 0.333
0 .5 10 重叠鲁棒性＝ 0.5 2(40 30) 20
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用摘要：本文将介绍模糊集合论的基本概念、运算法则以及其在实际应用中的具体应用。
模糊集合论是对传统集合论的扩展，它允许元素具有不确定性和模糊性，可以更好地描述现实世界中的一些复杂问题。
在实际应用中，模糊集合论被广泛应用于决策分析、控制系统、人工智能等领域。
一、模糊集合论的基本概念模糊集合论是对传统集合论的扩展，其基本概念是模糊集合。
模糊集合是一种描述元素不确定性的数学工具，它允许元素具有模糊性和不确定性。
模糊集合可以用一组隶属度函数来表示，隶属度函数描述了元素与模糊集合的隶属程度。
模糊集合的隶属度函数可以是任意形式的函数，但通常采用S形函数或者三角形函数。
模糊集合的运算法则与传统集合论类似，包括求交、并、补、差等运算。
模糊集合的交和并运算可以用隶属度函数的最小值和最大值来表示，而补集和差集的运算则需要用到互补函数。
二、模糊集合论的具体应用1.决策分析在决策分析中，模糊集合论可以用来描述决策问题中的不确定性和模糊性。
通过将问题中的各种因素转化为模糊集合，可以更好地评估决策方案的优劣。
例如，在投资决策中，可以用模糊集合来描述不同投资方案的风险和收益，从而更好地进行决策分析。
2.控制系统在控制系统中，模糊集合论可以用来描述系统输入和输出之间的关系。
通过建立模糊控制规则，可以更好地控制系统的运行。
例如，在汽车自动驾驶系统中，可以用模糊集合来描述车辆与障碍物之间的距离和速度关系，从而更好地控制车辆的行驶。
3.人工智能在人工智能领域中，模糊集合论可以用来描述人类思维中的不确定性和模糊性。
通过建立模糊推理系统，可以更好地模拟人类的思维过程。
例如，在智能机器人中，可以用模糊集合来描述机器人对环境的感知和理解，从而更好地完成任务。
三、总结模糊集合论是一种描述元素不确定性和模糊性的数学工具，它允许元素具有模糊性和不确定性。
在实际应用中，模糊集合论被广泛应用于决策分析、控制系统、人工智能等领域。
通过建立模糊集合的数学模型，可以更好地描述现实世界中的一些复杂问题，从而更好地解决这些问题。
第2章 数学基础-模糊集合与模糊关系
2 模糊集合与模糊关系2.1 经典集合的特征函数定义：经典集合的特征函数记为f A （x ），定义为1()0()A x A f x x A x A ∈⎧⎨∉∉⎩当当或 2.2模糊集合与隶属函数定义：论域U 上的模糊集合A 是用一个从U 到实区间[0，1]上的函数Αμ 来刻画的，Αμ 叫做模糊集合A 的隶属函数，函数值Αμ （x ）代表元素x 对集合A 的隶属度。
定义（严格的）：论域U 到实区间[0，1]的任一映射 Αμ：U →[0，1] ∀x ∈U ，x →Αμ （x ） 都确定U 上的一个模糊集合A ，Αμ 叫做A 的隶属函数，Αμ （x ）叫做x 对A 的隶属度。
2.3模糊关系：普通关系讨论的是每对元素是否存在关系R ，模糊关系讨论的是每对元素具有关系R 的程度。
定义：所谓从集合U 到集合V 的模糊关系R ，系指直积U*V 上的一个模糊集合R ，由隶属函数R μ 来刻画，函数值R μ （x ，y ）代表有序偶（x ，y ）具有关系R 的程度。
例 设V={v 1，v 2，v 3，v 4 } U={u 1，u 2，u 3 }Vμ v 1 v 2 v 3 v 4Uu 1 0.86 0.84 0 0u 20 0 0.95 0u 3 0.78 0 0 0.66则可用模糊矩阵表示如下：0.860.8400000.9500.78000.66R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.4 模糊矩阵与布尔矩阵一般关系的关系矩阵是布尔矩阵只取1，0两个值，例如110000111001R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义：一个矩阵是模糊矩阵，当且仅当矩阵的所有元素r ij 都满足条件：0 ≤ r ij ≤ 1，i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。
特别的，当r ij 只取0和1两种数值时称为布尔矩阵。
2.5 模糊矩阵的运算2.5.1 相等：当且仅当两个模糊矩阵的一切元素两两相等时称两个模糊矩阵相等。
A =B 〈=〉 a ij =b ij i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。
第四章 扩展原理
~~
[0,1]
f (H A( ), HB ( ))
f (H A( ) HB ( ))
[0,1]
第四章
扩展原理
二元扩展原理
设 A F( X ), B F(Y ), A B F( X Y ).
~
~
~~
映射f : X Y Z,( x, y) z.
f (A, B)
~~
[0,1]
f ( A , B )
•
•
[0,1]
f ( A B )
•
•
第四章
扩展原理
二元扩展原理III
设 A F( X ), B F(Y ), A B F( X Y ).
~
~
~~
映射f : X Y Z,( x, y) z.
若对 [0，1]，A H A( ) A ,
•
B HB ( ) B ,则
•
f ( A, B)
y
f
f ( A)
O
A
x
f 1( f ( A))
第四章
扩展原理
经典扩展原理性质 设映射f : X Y .
(2)若B P(Y ),则 f ( f 1(B)) B （f为满射时，等号成立）.
y
B
f ( f 1(B))
f
O
x
f 1(B)
第四章
扩展原理
模糊集合论中扩展原理的性质
设映射f : X Y .
设 A F( X ), B F(Y ), A B F( X Y ).
~
~
~~
映射f : X Y Z,( x, y) z.
f (A, B)
~~
[0,1]
f ( A , B )
模糊集合在社会科学研究中的应用分析
模糊集合在社会科学研究中的应用分析随着信息化领域的不断发展，社会科学研究对数据的量化和分析需求不断增大。
而模糊集合作为一种理论与方法，具有自身的优势，能够对处理模糊、不确定性、复杂性问题有更好的效果，并在社会科学领域得到广泛应用。
本文将从模糊集合的基础概念、模糊集合在社会科学领域的应用实例以及面临的挑战和发展方向三个方面进行全面阐述。
一、模糊集合的基础概念模糊集合是Zadeh于1965年提出来的，是集合论的一种扩展，是指由对象元素组成的集合，这些对象并没有在严格的意义下与集合的特征完全匹配。
因此，当元素存在模糊性时，将它们分类为集合中的成员或者非成员就存在难题。
正是根据这种情况，对集合的概念进行推广，得出了模糊集合的概念。
模糊集合可以用函数的形式来定义，例如：μA(x) = {0.8, x∈A; 0.2, x∉A}表示A集合中的元素归属于A的程度为0.8，而不归属于A的程度为0.2。
二、模糊集合在社会科学领域的应用实例1.市场调查在市场调查领域，通过对顾客的反应和直觉，形成模糊集合对商品的满意度、需求程度、市场反应等进行分析。
例如，通过模糊聚类方法，对不同顾客的购买行为进行分组，从而确定各组顾客的特征和需求。
2.风险评估风险评估是对某个事件发生后的可能损失的分析评估。
样本信息往往难以囊括全部的情况，因此模糊集合可以用来描述这种不确定性，通过对不同因素的评估，形成模糊概率分布函数，从而更准确地对风险进行评估。
3.社会稳定性评估作为基础的模糊数学方法，模糊集合可以应用于社会稳定性评估中，对社会稳定性进行量化分析。
通过分析社会混乱、游行示威、公共安全等因素，对社会稳定性进行预测和分析。
三、面临的挑战和发展方向尽管模糊集合具有广泛的应用前景，在理论和应用上都存在着难题和挑战。
面临的挑战主要包括：1.数据质量不高，模糊集合理论在实践应用中的准确度和稳定性有待提升。
2.未能充分发挥模糊集合在推理和决策分析上的优势。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若μA =1,则A=U称为全集
模糊集合运算 定义2-3 模糊子集
设A, B∈F(U),即它们是U的模糊集.对任一 的u∈U都有μB(u)≤μA(u),则称B包含于A.
或者说B是A的一个子集,记为B A.
如果μB (u)=μA (u),则称B=A.
模糊集合运算
A∩U=A, A∪ =A
6) 零一律 A∩= , A∪U=U
7) 吸收律 A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A 8) 摩根定律 (A B)=A B (A B)=A B
9) 双重否定律 A A
10) 互补律不成立 A A A A U
等等。而且操作者在观察温度的偏差时，偏差越 大，给定的变化也越大,设法使之变温越快。这里的 “越高”、“越快”也是模糊概念。因此，操作者
的观察 与思维判断过程，实际上是一个模糊化及模糊计算 的过程。我们把人的操作经验归纳成一系列的规 则，存放在计算机中，利用模糊集理论将它定量 化，使控制器模仿人的操作策略，这就是模糊控制 器，用模糊控制器组成的系统就是模糊控制系统。
= 1 0.8 0.4 0.7
x1 x2 x3 x4
A B = 1 0.9 0.8 0.4 0.4 0 0.5 0.7
x1
x2
x3
x4
=
0.9 0.4 0.5 x1 x2 x4
A = 11 1 0.8 1 0.4 1 0.5 x1 x2 x3 x4 = 0.2 0.6 0.5 x1 x2 x4
例 模糊集F的表示方式
设论域U={0,1,2, ….., 10}, 模糊集F接近于0的整数”..
1)隶属度函数表示法
F= 1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1( 0 .... 0 )
0 1 2 3 4 56
10
2)序偶表示法 F={ (0,1), (1,0.9), (2,0.75), (3,0.5),
定义2-4 模糊并集 若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的 u∈U，均有
C(u)＝A(u)∨B(u)＝max( A(u) ,B(u) )
则称C为A与B的并集. 记为C＝A B。
C(u) 也可记为 A(u) B(u)
模糊集合运算
定义2-5 模糊交集
若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的u∈U， 均有
定理2-1 设U为论域，A, B, C为U中的任意模糊子集， 则有下式成立：
1）幂等律 A∪A=A A∩A=A
2）结合律
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
3）交换律 4）分配律 5) 同一律
A∪B= B∪A A∩B= B∩A
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪x3,x4}及模糊集合
A { 1 0.8 0.4 0.5} B {0.9 0.4 0.7}
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x4
求A B A B A
模糊集合运算
解
A B = 1 0.9 0.8 0.4 0.4 0 0.5 0.7
x1
x2
x3
x4
隶属度函数
这里的温度比设定值高多少,低多少,降温或升温 速度的快慢等都是模糊的,没有一个明确的分界线.比 如我们设定温度为20度,那么,我们可能认为当炉温 是21度时,认为它属于温度高的程度为0.2, 而当炉温 为23度时,它属于温度高的程度为0,7.而当炉温为30 度时,它属于温度高的程度为1.
因此,我们可以用一个在0-1之间取值的函数来表 示一件事属于我们所考虑的事件的程度,这个函数就 叫隶属度函数.
模糊集合的定义及表示方法
论域：所讨论的对象的全体所构成的一个集合，又 称为全集。用U表示，其中的元素用u表示。
定义2－1 模糊集合： 论域U中的模糊集F用一个在区间[0,1]上取值的隶属 函数μF来表示, μF: U→[0,1] μF(u)=1, 表示u完全属于F μF(u)=0, 表示u完全不属于F 0<μF(u)<1, 表示u部分属于F
例如，对于一个炉温控制系统，人的控制规则是， 若温度高于某一设定值，操作者就减小给定量，使 之降温。反之，若温度低于设定值，则加大给量， 使之升温。一个熟练的操作人员,凭借自己的经验和 观察，经过大脑的思维判断．给出控制量，可以手 动操作达到较好的控制效果。
以上过程包含了大量的模糊概念．如“高于”、 “低于”
C(u)＝A(u) ∧ B(u)
＝ min( A(u), B(u) )
则称C为A与B的交集. 记为C＝A B。
C(u) 也可记为 A(u) B(u)
模糊集合运算 定义2-6 模糊补集 若有两个模糊集合A与B，对于所有的u∈U，均有
B(u) = 1 - A(u)
则称B为A的补集，记为B＝ A 。
模糊集合运算
模糊集合论基础
本次课程主要讲一下几部分内容 1）模糊集的概念 2）模糊集合的运算 3）隶属度函数的建立 4）模糊关系与合成运算
模糊集的概念及定义
所谓“模糊”，其意思是指客观事物彼此间的差 异 在中间过渡时，界限不分明。比如．我们说“天气 热”．但气温到底多少度才算“热”，显然没有明 确的 界限。这种概念称之为模糊概念。 在生产实验中，存在着大量的模糊现象，对于那 些无法获得数学模型或模型粗糙复杂的、非线性的、 时变的或是偶合十分严重的系统，无论用经 典控制，还是现代控制理论的各种算法、都很难实 现控制。
模糊集F就可以用元素和它的隶属函数来表 示
1）查德表示法
F F (u) Uu
或
F n F (ui)
u i1
i
2）序偶表示法
F {(u1, F(u1)), (u2, F(u2)),....(un, F(un))}
3)向量表示法
F {F(u1), F(u2), F(u3),..........F(un)}
(4,0.2), (5,0.1) }
3)向量表示法 F={ 1, 0.9, 0.75, 0.5, 0.2, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0 }
模糊集合运算
定义2-2 模糊幂集, 空集, 全集 论域U中模糊子集的全体,称为U中的模糊幂 集,记为 F(U),即
F(U)={A|μA: U→[0,1]}