上坡下坡问题之欧阳光明创编

2.1.7上坡下坡类行程问题
欧阳光明（2021.03.07）
★知识点★
1.将全程分成两部分，其中一部分上坡和下坡的路程是相等的。

2.可以看着是工程、浓度、比……的问题来解决。

将在具体的题目中弄清楚这类题的关系，找到突破口。

【例1】从甲地到乙地，先走上坡路，再走下坡路，一辆汽车上坡速度是每小时20千米，下坡速度是每小时35千米，车从甲地到乙地需要9小时，从乙地返回甲地需要7.5小时。

求返回时上坡和下坡的路程分别是多少千米？
【例2】如图所示，甲乙两人都以上坡每小时4千米，平路每小时5千米，下坡每小时6千米的速度同时从A,D 两地出发，相向而行，经过1小时在E 点相遇，已知CE
的距离是BC 距离的51。

当乙到达A 地
9分钟后，甲到达D 地，求从A 到达D
的路程。

【例3】从A 地到B 地须先上坡再下坡，小明上坡速度是每小时20千米，下坡速度是每小时30千米，小明往返总用2时.小明爸爸往返用1.5时，如果爸爸上坡每小时行24千米，那么爸爸下坡的速度是多少？
练习
1、从甲地到乙地，先走上坡路，再走下坡路，小明上坡速度是每小时4千米，下坡速度是每小时7千米，小明从甲地到乙地需要3小时，从乙地返回甲地需要2.5小时。

求从甲地去乙地上坡和下坡的路程分别是多少千米？
2、熊大开车从甲地去乙地，上坡路程：平路：下坡路=1：2：3，已知车的上坡速度每小时40千米，平路每小时50千米，下坡每小时60千米，如果它平路所用时间比下坡所用时间少1小时，那么熊大从乙地再返回甲地过程中上坡需要多少时间？
3、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到山顶立即下山，下山速度是各自上山速度的1.5倍，且甲比乙快，两人出发一小时后，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲在半山腰，求甲回到出发点共用几小时？。

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小学三年级数学下册《位置与方向》练习题及答案之欧阳德创编

【知识要点】1.记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。

2.根据一个方向确定其它七个方向：（1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。

（2）东、南、西、北按顺时针方向排列。

3.地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。

（书：练习一第3、4题；）4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。

在纸上按“上北下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。

（书：习二第2题。

）5、看简单的路线图描述行走路线。

（1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。

（2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。

有时还要说明路程有多远。

（书：p5和p9的做一做）（3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。

6.可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。

7.并能看懂地图。

（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等）8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。

9.生活中的方向常识：（1）面对北斗星的方向是北方（2）燕子冬天从北方迁徙到南方（3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方【巩固练习】一、选择。

1．太阳( )是东升西落。

A．一定 B．不一定C．不会2．与北极星相对的方向是( ) 。

A．东 B.南C.西3．小明座位的西南方向是张强的座位，那么小明在张强的( )方向。

A．东南B.西北C．东北4．三(1)班教室的黑板在教室的西面，那么老师讲．课时面向( )面。

幼儿园小班23个趣味游戏之欧阳光明创编

幼儿园小班孩子爱玩的23个趣味游戏欧阳光明（2021.03.07）1、网小鱼玩法：首先让每个幼儿找到一个自己的家，幼儿一边说一边做：“鱼儿、鱼儿水中，摇摇尾巴，点点头，向上游，向下游，（大声喊---）网鱼啦---”鱼儿们赶紧回到自己的家里。

2、跟着圆圈走玩法：一起唱歌一边做：“跟着圆圈走走，跟着圆圈走走，走走走走，走走走走，看谁谁先站站（蹲蹲、跳跳）好。

3、小兔真爱玩玩法：首先让每个幼儿找到一个自己的家，幼儿一边说一边做：“小兔小兔真爱玩，左边跳跳跳，右边跳跳跳，某某人是大灰狼---”然后小兔们赶紧回家，大灰狼就抓不到你了。

4、老狼老狼几点钟玩法：首先让每个幼儿找到一个自己的家，然后请一位幼儿做大灰狼，告诉大家几点钟起床，如六点钟，然后幼儿围着它，边走边说：“老狼老狼几点钟”，老狼数从一点钟到六点钟，数到六点钟时，大灰狼要醒来捉小兔子，兔子们就要赶紧回家。

5、妈妈包饺子玩法：这个游戏适合两个人玩，一个幼儿把一只手摊开，另一个幼儿出一个手指头放在摊开的手下面，然后一边说，一边做“妈妈包饺子---”，直到抓到那个手指头为止。

6、吃葡萄玩法：幼儿围成一个圆圈蹲下，由一个幼儿来一边点一边说：“吃葡萄，吃到一颗烂葡萄，吃了葡萄怎么办？一口把它吐出来——”点到最后一个的小朋友，起来把抓他，若抓不住，就由这位小朋友边点边说。

若被抓住，继续由他边点边说。

7、猪八戒吃西瓜玩法：幼儿围成一个圆圈蹲下，由一个幼儿来一边点一边说：“猪八戒嘴巴馋，偷偷来到西瓜田，东瞧瞧，西看看找个西瓜尝一尝----”找到西瓜之后，可以假装说西瓜烂的，也可以说西瓜没熟，最后找到的那个熟的“西瓜”就可以起来抓他，若抓不住，就由这位小朋友边点边说。

若被抓住，继续由他边点边说。

8、老狼老狼123玩法：狼和羊要隔一段距离，由一个幼儿当老狼在前面背对着大家，一边说“老狼老狼123”，说到最后一个字，马上回头，羊们就要保持不动（动了就会被狼吃掉），同时在老狼说的时候，羊们靠近狼，直到碰到狼的背，然后迅速跑回家。

2021年电力定额计算规则

第一章土石方工程欧阳光明（2021.03.07）说明一、定额说明1.土壤分类详见附录七“土壤及岩石(普氏)分类表”。

定额中的普通土壤(以下简称普土)为表列一、二类土壤；土壤中的坚土为三、四类土壤。

2.人工挖地槽、地坑定额深度为6m，若所挖深度超过定额规定时，可分别按相应定额，每增加1m，增加用工10%(不足1m者按1m 算)。

3.人工土方定额是按干土编制的，如挖湿土时人工乘以系数1.18。

干土、湿土的划分，应根据地质资料，以地下水位为准划分，地下常水位以上为干土，以下为湿土。

4.大面积换土套用本章回填土相关子目。

5.本定额未包括地下水位以下施工排水费用，需要用水泵抽水时另行计算。

施工中如有地表水需要排除时，亦应另行计算。

6.支挡土板定额项目，分密撑和疏撑。

密撑是指满支挡土板，疏撑是指间隔支挡土板，实际间隔不同时不作调整。

8.挖桩间土方时，按实挖体积计算(扣除桩体占用体积)，人工乘以系数1.5。

9.计算场地竖向布置挖填土方后，不再计算平整场地工程量。

10.石方爆破定额是按炮眼法松动爆破编制的，不分明炮、闷炮，但闷炮的覆盖材料应另行计算。

11.石方爆破材料定额是按电雷管导电起爆编制的。

如采用火雷管爆破时，雷管应换算，数量不变。

扣除定额中的胶管导线，换为导火索。

导火索的长度按每个雷管2.12m计算。

12.人工挖冻土如需爆破时，每100m3冻土的人工乘以系数0.5，同时增加实心工具钢6.6kg，硝胺2号炸药27.86kg，火雷管64个，导火索132.06m。

13.人工挖土方超过1.5m深度时，每100m3在深2m以内增加5.55工日，深度4m以内增加17.6工日，深度6m以内增加26.16工日。

14.岩石的分类详见“土壤及岩石(普氏)分类表”。

表列Ⅴ为定额中松石；Ⅵ～Ⅷ为定额中次坚石，Ⅸ、Ⅹ为定额中普坚石，Ⅵ～Ⅶ类为特坚石。

15.推土机推土、推石渣，铲运机铲运土，重车上坡时，如果坡度大于5%，其运距按坡度区段斜长乘表1-1中系数计算。

1)《人民防空工程施工及验收规范》GB50134-之欧阳光明创编

*欧阳光明*创编 2021.03.07《人民防空工程施工及验收规范》GB50134－2004欧阳光明（2021.03.07）（自2004年8月1日起实施）正文部分1 总则1.0.1为了提高人民防空工程(以下简称人防工程)的施工水平，降低工程造价，保证工程质量，制定本规范。

1.0.2本规范适用于新建、扩建和改建的各类人防工程的施工及验收。

1.0.3人防工程施工前，应具备下列文件：1 工程地质勘察报告；2 经过批准的施工图设计文件；3 施工区域内原有地下管线、地下构筑物的图纸资料；4 经过批准的施工组织设计或施工方案；5 必要的试验资料。

1.0.4工程施工应符合设计要求。

所使用的材料、构件和设备，应具有出厂合格证并符合产品质量标准；当无合格证时，应进行检验，符合质量要求方可使用。

1.0.5当工程施工影响邻近建筑物、构筑物或管线等的使用和安全时，应采取有效措施进行处理。

1.0.6工程施工中应对隐蔽工程作记录，并应进行中间或分项检验，合格后方可进行下一工序的施工。

1.0.7设备安装工程应与土建工程紧密配合，土建主体工程结束并检验合格后，方可进行设备安装。

1.0.8工程施工质量验收时，应提供下列文件和记录：1 图纸会审、设计变更、洽商记录；2 原材料质量合格证书及检(试)验报告；3 工程施工记录；4 隐蔽工程验收记录；5 混凝土试件及管道、设备系统试验报告；6 分项、分部工程质量验收记录；7 竣工图以及其他有关文件和记录。

1.0.9人防工程施工及验收，除应遵守本规范外，尚应符合国家现行有关标准规范的规定。

1.0.10人防工程施工时的安全技术、环境保护、防火措施等，必须符合有关的专门规定。

2术语2.0.1人民防空工程为保障人民防空指挥、通信、掩蔽等需要而建造的防护建筑。

人民防空工程分为单建掘开式工程、坑道工程、地道工程和防空地下室。

2.0.2单建掘开式工程单独建设的采用明挖法施工，且大部分结构处于原地表以下的工程。

小学数学奥数解题方法讲义40讲(二)之欧阳文创编

（一）（二）————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。

（一）以份数法解和倍应用题已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。

例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。

求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。

因此，得：320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树80×3=240（棵）…………………杨树答略。

例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。

甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。

因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。

所以乙场存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（吨）甲场存煤：490-100=390（吨）答略。

例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。

李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。

求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。

把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。

上坡,下坡行程问题之欧阳文创编

问题从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。

车从甲地到乙地共用9小时，从乙地返回到甲地共用7.5小时。

求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？先画出如右图形：图中A表示甲地，C表示乙地。

从A到B是上坡路，从B到C是下坡路；反过来，从C 到B就是上坡路，从B到A是下坡路。

由于从甲地到乙地用9小时，反过来从乙地到甲地用7.5小时，这说明从A到B的距离大于从B到C的距离。

本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。

在从A到B的路程中取一个点D，使得从D到B的距离等于从B到C的距离，这样A到D的距离就是AB 距离比BC距离多出来的部分。

下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.5＝1.5（时）从图中容易看出就是因为去时从A到D是上坡，而回来时从D到A变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。

现在的问题是AD这段路程中速度由每小时20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由此可以求出什么？如果设速度为每小时20千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时35千米所用时间为：由此就可以求出AD之间的距离为：20×3.5＝70（千米）或 35×2＝70（千米）还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为：9－3.5＝5.5（时）或 7.5－2＝5.5（时）至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。

如果设从D到上坡所用时间为：所以去时上坡的总路程就是：70+20×3.5=140（千米）下坡总路程是：35×2=70（千米）上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。

将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：这时全程去与回所用的时间都是：9＋7.5＝16.5（时）而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。

近年九年级数学上册 4.4 第2课时坡度问题教案1 湘教版(2021年整理)

2017九年级数学上册4.4 第2课时坡度问题教案1 （新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017九年级数学上册4.4 第2课时坡度问题教案1 （新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017九年级数学上册4.4 第2课时坡度问题教案1 （新版）湘教版的全部内容。

第2课时坡度问题1。

理解并掌握坡度、坡比的定义.2.学会用坡度、坡比解决实际问题。

（重点，难点）一、情境导入在现实生活中,测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量，从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示.你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点一：坡度（坡比）问题【类型一】根据已知条件求坡面距离如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离）为4m,如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距离为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A.5mB。

6mC。

7mD.8m解析：由题知,水平距离l＝4m，i＝0。

75，∴垂直高度h＝l·i＝4×0.75＝3（m)，∴坡面距离为错误!＝5（m）。

故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义,求得水平距离或垂直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离.【类型二】根据已知条件求坡度一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s,汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是Ｗ。

解析：坡面距离为30×2＝60m,水平距离为40m，∴垂直高度为错误!＝20错误!（m)，∴坡度i＝20错误!∶40＝错误!∶2.方法总结:根据坡度的定义i＝错误!，解题时需先求得水平距离l和垂直高度h,故填错误!∶2。

初中数学教学案例分析之欧阳家百创编

初中数学教学案例分析欧阳家百（2021.03.07）课题：探索三角形全等的条件（一）一、教学设计：1 学习方式：对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。

它是两个三角形间最简单，最常见的关系。

它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。

因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。

为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。

2 学习任务分析：充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。

培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。

3 学生的认知起点分析：学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。

另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。

4 教学目标：（1）学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

（2）掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。

（3）培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。

5 教学的重点与难点：重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。

从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。

人教版八年级数学培优竞赛之欧阳治创编

目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,ABB AC D E F ＝CD ，那么图中有全等三角形（）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90.在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A D AED DECAB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在A F C E DB 同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中,AB DC AE DFBE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩ A BC D O F E A CE FB D∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE中,AB DC B CBF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________.03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC AE第1题图 A B C D E B C DO第2题图 A FE CBD和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________. 【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC中,AB DE ABF DECBF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（）B （E ） OC F 图③ DAA ．42°B ．48°C ．52°D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（） A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上.⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,E FB AC D G 第2题图由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC中,2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90°∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a b m +B ．2a b m -C ．bmD ．am 2 1 AB C P Q EFD03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSSAECBA 75° C 45°B NM 第2题图第3题图 D第1题图 a αc c a 50° b 72° 58°04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A. CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC. ∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°05△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. △ABE≌△CBDB. ∠ABE＝∠CBDC. ∠ABC＝∠EBD＝45°D. AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（）A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对C. 小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别D AC .Q P. BD B A CEF A E BF D CA E F BD C 作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整） ⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是A B C D A 1B 1C 1D 1AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对 02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE ,∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BCC . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE F 第6题图 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E B C F A D E CO AEOB FC D第1题图 B 第2题图第3题图A E F CD B AE B D C ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE . 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向A B E D CA B C D E 旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

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