加强解析几何问题中转化的等价性分析
转化与化归思想在解析几何中的应用
4 7
.点 D渊
1袁0冤 为线段 OF2 的
中点袁亦c=2袁从而 a=3袁b= 姨 5 袁左焦点 F渊1 -2袁0冤 袁椭圆 E 的方程为
x2 9
+
y2 5
=1.设
M渊
x1袁y1冤 袁N渊
x2袁y2冤 袁P渊
x3袁y3冤 袁Q渊
x4袁y4冤 袁则直线
MD
的
方程为
x=
x1-1 y1
y+1袁
代入椭圆方程 x2 9
法. 化归不仅是一种重要的解题思想袁 也是一种最基本的思维策
略袁更是一种有效的数学思维方式.一般总是将复杂问题通过变换
转化为简单问题曰 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问
题曰将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题袁因此每解一
道题袁无论是难题还是易题袁都离不开化归.化归的基本功能是院生
Hale Waihona Puke 疏化成熟悉袁复杂化成简单袁抽象化成直观袁含糊化成明朗.说到
曲的体裁形式遥 希望大家能在音乐的海洋中继续放飞梦想袁遨游
前进遥
渊 作者单位 江苏省南京市弘光中学冤
誗编辑 谢尾合
- 165 -
案例展示
2013-10
渊 上接第 165 页冤 条件中的形袁由野 形冶直接转化到野 数冶来解决袁而
大部分题目的确都能通过这个转化来解决. 解析几何还是考查学
生运算能力的重要载体袁很多学生常常因为运算量大而求解错误.
A F2 +5BF2 =0軋渊. 1冤 求椭圆 E 的离心
y M
OD
Q
F2 B x
P
率曰渊 2冤 已知点 D渊 1袁0冤 为线段 OF2 的中点袁M 为椭圆 E 上的动点
2014年浙江省五市数学高考研讨会(解析几何专题)——衢州二中廖如舟
能力与基础并重平稳与创新偕行——2014年浙江省五市高考复习研讨会（解析几何专题）浙江省衢州第二中学数学组廖如舟尊敬的专家，各位老师，大家好！很高兴有机会能在此次高考复习研讨会上和大家交流数学。
首先请允许我自我介绍下，我叫廖如舟，来自浙江省衢州第二中学，2008年参加工作，现任高三实验班班主任，本年段竞赛教练工作。
3年前我带的2011届文科班毕业了，回想那时高三的我，对于高考的信息、趋势那是一头雾水，也正是高考研讨会的组织和我们数学备课组老教师的细心指导，扎实工作，让我顺利地带出了我的第一届学生，学生们也考得还可以，132的文科均分，让我的第一届学生没有成为试验品。
学生对你的信任来源于老师的自身付出，“安全感”为学生参加高考保驾护航！所以我想研究高考，研究高三复习是高三教师的一门必修课。
如何研究浙江省高考？从那些角度去研究？第一：解读历年《考试说明》。
2014年是浙江省新课改高考方案实施的第六年，前五年的高考数学试题的命制严格遵循《考试说明》，在历年的高考中，《考试说明》的权威性、严肃性、科学性都得到了很好的体现，因此我认为研究2014年浙江省高考是解读历年《考试说明》，对比试卷，把握大的方向。
第二：研究高考要对近几年高考试题做深入研究。
《考试说明》是死的，不能只看参考答案、听讲座，要自己分析、理解的过程中，把握文理科的各自特点，探究命题的规律。
第三：研究高考要听命题专家怎么说。
2013年理科大题6选5，具体就是3选2（分布列、数列、三角函数专题三选二），老师们都在高二教学，有没有对此做出预测，我认为老师们要去分析，为学生把握方向。
你可以不做任何评价，但是不能告诉学生分布列不考。
★我不去猜浙江省今年的高考会怎么怎么考，但是我会把重要的知识、技能、方法在平时就教授给学生，增强他们解决问题的信心和勇气。
无论高考怎么考！水到渠成。
不在乎这道题是否被我压中！但是可以肯定浙江省高考试题有三个明显特点：一是难度系数控制得比较好。
破解解析几何问题常见的技巧
4
所以△ F 1 MN 内切圆半径 r 最大，即 △1 最大.
设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 3 （ m ≠0），
＝＋ 3，
2＋4） y 2＋2 3 my －1＝0，Δ＞0显然
由ቐ 2
得（
m
＋ 2 = 1，
4
−2 3
−1
成立，则 y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝ 2 ，
消去
y
，得63
x
2
4
4
2
− =1
9
193＝0，∵Δ＝1262－4×63×（－193）＞0，且 x 1 x 2＜0，∴直线 AB
与双曲线的两支分别相交，∴D满足题意.故选D.
高中总复习·数学
解法分析
解析几何是高中数学中用代数方法研究几何问题的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问
值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形
如 y ＝ ax ＋ b ± ＋ （ a ， b ， c ， d 均为常数，且 ac ≠0）的函数
常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价
转化，这样目标函数的值域才不会发生变化.
高中总复习·数学
技巧5
妙借向量，更换思路
12
12
则 2 ＋ 2 ＝1，
22
22
＋ 2 ＝1，
2
②
①
.
高中总复习·数学
①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
1 −2
当
＝－1时
1 −2
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
新高考数学解析几何试题分析及教学建议
新高考数学解析几何试题分析及教学建议作者：***来源：《广东教育（综合）》2021年第09期2021年是广东省实施新高考改革的第一年，高考数学不再分文理科，不同选科（3+1+2）的考生都采用同一套试题. 新高考仍然坚持中国高考评价体系“一核、四层、四翼”的命题指导思想，试题将“四层”的考查内容及学科关键能力的考查与思想道德的渗透有机结合，通过科学设置“学科核心素养”考查的总体布局，实现融知识、能力、价值的综合测评，从而使“立德树人”真正在高考评价实践中落地. 新高考数学试卷呈现新的特点：首先表现在试卷结构上，全卷共22道试题，其中选择题（单选）8道，选择题（多选）4道，填空题4道，解答题6道;其次在试卷的考查内容上，依据课程标准的要求，取消了原来高考数学试题中的选做题（坐标系与参数方程、不等式选讲）;在具体题目的设计上也有新的变化. 本文对2021年新高考全国数学Ⅰ卷解析几何试题进行分析并提出教学建议.一、2021年新高考数学解析几何考查的知识点和核心素养情况由右上表可知，2021年新高考全国卷解析几何试题特点为：从内容来看，覆盖了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识，着力于圆锥曲线的定义、方程、几何性质等主干知识的价值和考查力度;从思想方法来看，突出对数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合等数学思想、方法的理解与应用;从核心素养来看，试题体现对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的考查. 其中，特别凸显直观想象与数学运算素养的考查，解析几何中的逻辑推理可利用“形”的特征，结合曲线的定义与平面几何的有关性质予以证明或转化为代数运算来证明. 也就是说，逻辑推理核心素养的考查一般寓于直观想象和数学运算之中. 由于每道试题的解法多样，不同的解法体现不同的数学核心素养，同一解法中也不只涉及一种核心素养. 一道试题的完成需要学生具有良好的数学素养，要综合运用多方面的核心素养分析问题并解决问题. 上表中试题体现的数学核心素养的水平判断，是依据《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》中核心素养水平的界定原则而确定的.二、2021年新高考数学解析几何典型试题分析新高考数学解析几何试题解法入口宽，且隐含着一般性结论. 也就是说，命题者是将一般化的结论特殊化处理后得到了高考试题.例1.（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第5题）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 6分析：这是一道单选题，解题方法多，既可用基本不等式也可用二次函数最值进行求解.解法1：由椭圆定义得MF1+MF2=2a=6，再根据基本不等式MF1·MF2≤（）2（等号当且仅当MF1=MF2=3时成立），故选C.解法2：设MF1=t，则MF2=6-t，则MF1·MF2=-（t-3）2+9，由二次函数性质知，MF1·MF2的最大值为9，故选C.此题隐含的一般结论为：定理1：已知F1，F2是椭圆C：+=1（a>b>0）的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为a2，最小值为b2.证明：设MF1=t，则MF2=2a-t，且a-c≤t≤a+c，c为半焦距.则MF1·MF2=-（t-a）2+a2，而a-c≤t≤a+c，当t=a时，MF1·MF2的最大值为a2，当t=a+c 或t=a-c时，MF1·MF2的最小值为a2-c2，即为b2.例2.（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-，0），F2（，0），点M满足MF1-MF2=2. 记M的轨迹为C.（1）求C的方程;（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.分析：本题第1问，利用双曲线的定义即可求解，但要注意双曲线定义的严谨性，由于MF1-MF2=2<2=F1F2，故只能是双曲线的右支;第1问还可以直接建立动点M的方程，然后通过化简得出所求的轨迹.当然，这种方法在化简方程时较为繁琐. 第一种方法比较快捷.（1）因为MF1-MF2=2<2=F1F2，所以轨迹C是以F1，F2为焦点，实轴长2a=2的双曲线的右支，则a=1，c=，所以b2=c2-a2=16，所以C的方程为x2-=1（x≥1）.第2问可根据两点间的距离公式，直接求出TA·TB以及TP·TQ，从而得出直线AB的斜率与直线PQ的斜率关系;也可利用平面几何知识转化为A，B，P，Q四点共圆问题，从而找出经过A，B，P，Q四点的曲线方程，根据圆的方程特征，确定直线AB的斜率与直线PQ的斜率关系.（2）解法1：用直线的点斜式方程和弦长公式求解.设点T（，t），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨设直线AB的方程为y-t=k1（x-），即y=k1x+t-k1，联立y=k1x+t-k1，16x2-y2=16，消去y并整理可得：（k12-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-k1）2+16=0設点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1>且x2>. 由韦达定理可得x1+x2=，x1x2= 所以：TA·TB=（1+k12）·x1-·x2-=（1+k12）·（x1x2-+）=.设直线PQ的斜率为k2，同理可得TP·TQ=，因为TA·TB=TP·TQ，即=，整理得k12=k22，即（k1-k2）（k1+k2）=0，显然k1-k2≠0，故k1+k2=0. 因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.解法2：用圆的方程特征求解.因为点T在直线x=上，故设T（，n），设过点T的直线AB的方程为y-n=k1（x-），设过点T的直线PQ的方程为y-n=k2（x-），则直线AB，PQ的方程为（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）=0.又A，B，P，Q四点在曲线C上，即x2-=1，所以A，B，P，Q四点在如下的曲线上，（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）+x2--1=0.因为TA·TB=TP·TQ，根据圆的切割线定理的逆定理，知A，B，P，Q四点共圆，所以上面这个方程表示过A，B，P，Q四点的圆，所以左边展开后x2，y2项的系数相等，且xy项的系数为零. 而xy项的系数为-（k1+k2），故 k1+k2=0.解法2充分利用了曲线与方程的关系，结合圆的方程的特征得出结论.此题第2问隐含的一般结论为：定理2：过点T的两条直线分别交曲线C：ax2+by2=c（a≠b）于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，则直线AB的斜率与PQ直线的斜率之和为零.定理3：设两条直线y=kix+bi（i=1，2）与曲线ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四个不同的交点，若这四个交点共圆，则k1+k2=0.定理2与定理3本质相同，因为由平面几何切割线定理的逆定理知：TA·TB=TP·TQ等价于A，B，P，Q四点共圆.证明：两直线组成的曲线方程为（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）=0，则过四个交点的曲线方程可设为：（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）+λ（ax2+by2+cx+dy+e）=0……①若四点共圆，则方程①表示圆，那么①式左边展开式中xy项的系数为零，即有k1+k2=0.显然，例2是定理2、定理3的一个特例，近年高考命题常以一般结论为源，将其特殊化而得. 由于将一般命题特殊化的题目往往有多种解法，为不同水平的考生提供展示才能的机会.三、新高考数学解析几何的教学建议解析几何是高中数学的重要内容，也是高考数学的重点和难点，学生得分一直不太理想. 教师要加强研究，明晰高考解析几何的试题特点，调整教学策略，提升学生数学核心素养.（一）注重通性通法，强化四种意识解析几何的教学要狠抓基础，熟练方法. 对定义法、待定系数法、数形结合、求轨迹的几种常见方法、定点、定值、最值等基本方法要牢固掌握;解析几何教学与复习要强化四种意识.1. 回归定义的意识圆锥曲线定义体现了圆锥曲线的本质属性，运用圆锥曲线定义解题是一种最直接、最本质的方法，往往能收到立竿见影之效. 回归定义与数形结合相得益彰，成为解题中最美的风景，体现几何直观与数学推理的素养. 教师要提醒学生千万不可“忘本忘形”. 波利亚说：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义去.”定义是解决问题的原动力. 不可忽视定义在解题中的应用. 凡涉及圆锥曲线焦点、准线、离心率与曲线上的点的有关问题，可考虑借助圆锥曲线定义来转化.2. 数形结合意识华罗庚先生曾这样描述数形关系：“数与形，本是相倚依，焉能分作兩边飞. 数缺形时少直觉，形少数时难入微. 数形结合百般好，隔裂分家万事非. 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解析几何的基本方法，是直观想象与数学运算、逻辑推理的具体体现.3. 设而不求的意识用解析法处理几何问题，常常设出点的坐标而不具体求出. 根据点在曲线上，坐标是有关方程解的代数特征，灵活运用方程理论，通过整体思想处理坐标关系，是设而不求的实质. 如果涉及曲线交点的问题，可不求出交点的坐标，而是转化为利用韦达定理或“点差法”的形式，可快速做出正确的解答.4. 应用“韦达定理”的意识如果直线与二次曲线的位置关系，联立直线方程和二次曲线方程，消去一个变量后得到一个一元二次方程，利用判别式和韦达定理. 其中判别式是前提，通过判别式确定参数范围，应引起重视.（二）活用四种思想，加强知识联系高考解析几何解答题综合性强，需要综合运用多种数学思想，对学生的数学素养要求高. 函数思想、方程思想、不等式思想以及化归与转化思想等在解析几何中有着广泛的应用. 解析几何中的参数范围、圆锥曲线的几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，一直是高考考查的热点. 求解的关键是根据圆锥曲线的有关性质，构造方程或不等式，根据直线与圆锥曲线的位置关系确立目标函数，将问题化归为目标函数的最大值或最小值等问题. 这些都需要灵活运用函数、方程、不等式以及化归与转化等数学思想.注：本文系广东省教育科研“十三五”规划课题“高中数学核心素养的培养及评价研究”（课题批准号：2017 YQJK023）的阶段性成果.责任编辑罗峰。
等价转化思想在高中数学解题中的应用
等价转化思想在高中数学解题中的应用摘要：高中数学基础学科知识的学习对于很多高中学生来说是非常重要的，高中数学学科知识的理解、学习和应用也是非常困难的。
对于那些高中数学题，学生们似乎一点头绪都没有。
但是，如果学生能够在这些高中数学问题的综合解决的全过程中，充分利用数学等价理论来转化自己的数学思想，那么未来高中生对我国高中数学问题的综合解决的把握能力将会大大提高。
在分析和解决我国高中数学重点问题的过程中，等价变换和求解的思想指导了许多高中生的解决方案。
对运用等价变换和解法的思想，使高中数学重点问题的分析变得熟悉、简单、具体和直接应用进行了深入的探讨，从而逐步提高等价变换思想在我国高中数学重点问题分析和解决过程中的应用效果。
关键词：等价策略转换；高中数学；解决问题作者简介：周群，出生于1988年5月，男，汉族，籍贯：湖北安陆，贵州省松桃苗族自治县第三高级中学教师，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学。
引言在数学的本质意义上，等价问题转化的数学思想是数学思维能力的一种类型。
合理运用改变和整合原等价问题的数学方法，将难的问题转化为求解者熟悉的简单数学问题，从而不断提高等价问题求解的数学有效性。
一、高中数学应用转化思想的重要性(一)能提高学生的学习效率转化思想的运用使高中数学知识的呈现和教学趋于阶梯化，将特殊的抽象知识点转化并且拉伸。
这不仅大大降低了师生的学习难度，还能让学生随时有步骤、有系统地学习，高效地完成对知识的系统理解，从而大大提高了师生的学习效率。
高中数学知识难学，需要学生有转化思维才能有效理解知识，把难题转化为简单问题，这就需要教师训练学生，运用转化思维培养学生的学习能力。
随着知识的不断学习和积累，学生的学习效率可以不断提高。
(二)促进问题解决能力的提高转化在教学中的应用可以提高学生解决问题的能力。
教师对转化思维的运用需要在知识教学和问题解决教学中同步进行，实现知识理解和应用思维的相互促进，让学生建立转化思维。
新课标下高中数学中“等价转化”的探究
新课标下高中数学中“等价转化”的探究摘要：在高中数学的教育过程当中，等价转化这一教学尤为重要，通过将难题进行转化，能够使陌生不认识的知识转化为更加规范化的、熟悉化的、简单化的，从而捋顺解题思路，让原本复杂的解题思路变得清晰易懂，进一步提升学生的解题效率。
在近几年的高考试题中，等价转换思想类型的考题也成为考试的重点，所以培养学生等价转换的概念，强化学生的解题能力与应变能力，便成为当下高中数学教师的主要教学任务。
关键词：高中数学；等价转换；思维引言：高中数学较为复杂而且多变，因此高中数学教师要注重培养学生对数学问题的解题技巧与能力，而不是一味地注重学生解题结果与成绩。
受到传统应试教育的影响，高中数学教育通常是以题海战术来提升学生的数学成绩，题海战术对于那些数学知识较弱的学生是比较适用的，但对于学习基础较好的学生来说却并没有任何帮助，而且还降低了学生的学习效率，量大且繁重的数学题卷，会导致学生产生抵抗心理，第一想法就是在最短的时间将题做完，这样一来不利于锻炼学生的自我思考，而且这种思想长时间的存在会导致学生出现厌学的现象，最终降低自身学习效率。
若想解决这一现象，首先应从学生的解题方式入手，要在解题的过程中多掌握一些解题技巧与手法，并将解题的技巧与手法相结合，使学生在真正意义上获得属于自己的解题技能，然而等价转换这一数学解题思路正好符合这一特点，等价转换思路可以让学生将所学的数学知识灵活地运用起来，既提高了解题效率，也提升了学生自身的思维敏捷能力。
一、掌握转换思想，提高转换的自觉性等价转换思想是在日常不断累积与实践的过程中总结出新的解题思路。
比如在解决立体几何的空间问题时，可以将其转变为平面问题。
其意义就是将复杂难懂的数学题目中的式子来进行熟悉的等式转换，这种方法可以将原本复杂难懂的问题简单容易化。
所以高中数学教师要着重培养学生的等价转换概念，让学生可以在真正意义上懂得掌握等价转换的中心思想，提高自身的解题效率，加深解题转换的自觉性。
解析函数的几个等价条件的证明及其应用
解析函数的几个等价条件的证明及其应用我在高中的解析几何课上学过一个定理，称为双射。
就是两条射线有无数个交点。
在高中阶段没有学过的同学，可以参看我的《初等数学解题大典》中第十七章（ 1）《不等式组及其应用》，书后习题第4题，用“分析”一词来命名的一类题目。
我先讲讲证明它们等价的方法： 1。
射线L,射线O和射线R,射线I有共同的端点O,R和I,这里的射线可以指解析几何意义上的射线，也可以指单纯的空间曲线；所以这里说的射线是解析几何意义上的射线，即空间曲线。
2。
射线L,O和射线R有无数个交点，因此有无数个射线L,O和射线R,射线I有无数个交点。
3。
双射定理成立的必要条件是，这四个射线都是连续的，且相互平行。
如果只有一个射线是连续的，那么另外三个射线一定是平行的。
但是如果这三个射线不全是平行的，而是相互垂直，那么还有一个射线是连续的，还是双射。
比如，一个解析几何问题求出了四条射线之间的关系，求出来的射线有：射线L，射线O，射线R，射线I，射线L，射线O和射线R；但只有射线L和射线R的方程有两个根。
这时候再加上射线I和射线O也得到四个根，因此射线O和射线R，射线I和射线L这四条射线不可能有共同的端点，射线I和射线O和射线R，射线O和射线R这四条射线不可能有共同的交点，射线L和射线O这四条射线也不可能有共同的端点。
这样，射线I和射线R就不是双射了，所以从射线I和射线R这四条射线推出来的任何方程都没有两个根，从而推不出方程。
3。
在“定理1”成立的前提下，定理2说的是，如果一个双射的射线是连续的，则它一定有一条斜率为1/n的直线，而且两条斜率分别为1/n的直线，不相交。
我想在[gPARAGRAPH3]级数中会出现连续的斜率为1/n的直线。
4。
如果用定理2说明射线是连续的，或者用定理2说明射线是倾斜的，那么一定要注意是在解析几何的意义上说明。
如果在函数意义上说明，就等于证明了一个函数是有界的。
在解析几何中，可以利用双射定理和角公式进行证明。
平常问题非常思考——例谈解析几何中的等价转化
即 a ln x1 a ln x2 2a ， ln(x1x2 ) 2 ， 从而 x1x2 e2 ，证毕． 4 问题解决的感想 极值点偏移问题在全国各地高考卷中几乎年年 可见，属于高考数学压轴题的高频题型．通过分析 函数图象特征并利用该特征构造函数解题，可以说 是一种比较“接地气”的方法，学生只要理解了构造函 数的本质就可以非常顺利地掌握解题方法．当然， 极值点偏移问题的解法并不仅限于此，笔者将在后 续的教学中带领学生加以探究．
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线． 该定义本质上是两个集合的等价．我们设曲线 C 上点的集合为 A ，以二元方程 f (x，y) 0 的解为坐 标构成的点的集合为 B ，（1）意味着 A B ，（2）意 味着 B A ，综合（1）（2）即有 A B ．根据定义， 求曲线方程要分别验证（1）（2）两点，然而不管是 教材还是教学，推导方程就是验证（1）的过程，而 对于（2）则一笔带过甚至只字不提．难道真的有那 么显然吗？笔者以《人教版教材》中椭圆标准方程 的推导为例： 设 M (x，y) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为
1 曲线方程的推导 解析几何研究的基本问题是：根据给定条件， 求出曲线的方程；通过曲线的方程，研究曲线的性 质．从中可以看出，曲线的方程是解析几何的基本 概念，《人教版普通高中课程标准实验教科书·数学 选修 2-1》（以下简称《人教版教材》）对曲线的方程 这一概念是这样定义的： 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C （看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与 一个二元方程 f (x，y) 0 的实数解建立了如下的关 系：
了曲线的方程定义里的（1），这是显然的事实．反 过来，“以方程（4）的解 (x，y) 为坐标的点都在椭圆