三角函数的几种解题技巧

关于三角函数的几种解题技巧

一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：

1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n

222±=±+=±故知道)c o s

(s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3

3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-

]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=

其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-

故：3

1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39

43133]313)33[(332=?=?+=

2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：

由于tg θ+ctg θ=θ

θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。

A ．m 2=n

B ．m 2=12+n

C ．n m 22=

D ．22m

n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：

sin θcos θ=2

121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ

θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n

m n m ，选B 。

例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

A ．21

B ．21-

C ．41

D ．4

1- 分析：tg α+ctg α=4

1cos sin 4cos sin 1=?=αααα 故：2

12sin cos sin 22sin =?=αααα。 答案选A 。

例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +

分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。由于tg α+ctg α=

?=2cos sin 1αα 2

1cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α

=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α

=1-2 (sin αcos α)2 =1-2)2

1(2? =2

11- =2

1 通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±

二、关于“托底”方法的应用：

在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：

例5 已知：tg α=3，求α

αααcos sin 2cos 3sin +-的值。 分析：由于α

ααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；

解：由于tg α=30cos 2≠?+≠?απ

παk

故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+?-=+-=+??-ααα

αααααα

αtg tg

例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=? 分析：由于α

ααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α： 解：αααααααααα2222

22cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-?=+ α2sin ,分母同除以分子 αααα

ααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)

3(1)3(322-=-+-+-=

例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设20,20ππ

<<<

π且 求：)3)(3

3(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,2

0ππ

<<<

x sin sin 为底，得： 解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得： 1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6

sin()3sin(=-?-?=--y y y x x y x y x π

πππππ

33

4)3)(33(1)3)(3

3(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--?=--?=--?=-?-??ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx y

y y x x x “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于αααcos sin =tg ，α

ααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：

可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，

所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：

???

? ??+±++=±x b a b x b a a b a x b x a sin cos sin cos 222222 由于1)()(22

2222=+++b a b b a a

。 故可设：22sin b a a

A +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos b a b A +±= ∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=±

无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，

22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a +

下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：

例1（98年全国成人高考数学考试卷）

求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（AAAA ）

A ．231+

B ．13-

C ．2

31- D ．13+ 分析：x x x x 2s in 2

1c o s s in 221c o s s in =?=

，再想办法把x 2c o s 变成含x cso 2的式子：2

12c o s c o s 1c o s 22c o s 22+=?-=x x x x 于是：x x y 2sin 21212cos 3-+?= x x 2sin 2

1232cos 23-+= 23)2sin 212cos 23(

+-=x x 由于这里：1)2

1()23(,21,232222=+=+==b a b a 则 ∴2

3)2sin 212cos 23(1+-?=x x y 设：21cos ,23123sin 2

2===+=A b a a A 则 ∴232sin cos 2cos sin +

-=x A x A y 23)2sin(+

-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+

-≤y ≤231+ ∴y 的最大值为231+

，即答案选A 。

例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）

在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。 分析：首先，由于222224)3(1AB CA BC ==+=+，可知△ABC 为Rt △，其中AB 为斜

边，所对角∠C 为直角，又由于?===30,2

1sin A AB BC A 故，则∠B= 90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF 的最短边长，故必要设正△DEF 的边长为l ，且要列出有关l 为未知数的方程，对l 进行求解。观察△BDE ，已知：∠B=60°，DE=l ，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l 的方程。在图中，由于EC=l ·cos α，则BE=BC-EC=1-l ·cos α。

而∠B+∠BDE+∠1=180°

∠α+∠DEF+∠1=180° ?∠BDE=∠α

∠B=60°，∠DEF=60°

∴在△BDE 中，根据正弦定理：

?=?-?∠=∠60sin sin cos 1sin sin l

l B DE BDE BF αα

ααααsin cos 23

23sin )cos 1(23

?=?-??=?-?l l l l

α

αsin cos 232

3

+=?l

在这里，要使l 有最小值，必须分母：ααsin cos 23

+有最大值，

观察：

27

1)23(1,23,sin cos 232222=+=+?==+b a b a αα

∴)sin 77

2cos 721(27sin cos 23

αααα+=+

设：721

sin =A ，则77

2cos =A

故：)sin cos cos (sin 27

sin cos 23

ααααA A +=+

)sin(27

α+=A

∴ααsin cos 23

+的最大值为27

。

即：l 的最小值为：721

2723

=

而)sin(α+A 取最大值为1时，A k k A -+=?+

=+2222ππαππα ∴7

72cos )22sin(sin ==-+=A A k π

πα 即：7

72sin =α时，△DEF 的边长最短，最短边长为721。 从以上例子可知，形如x b x a sin cos ±适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与22b a +的最值有关；其中最大值为22b a +，最小值为22b a +-。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如x b x a sin cos ±的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.

1.sin(k π+α)=(-1)k sin α(k∈Z)；

2. cos(k π+α)=(-1)k cos α(k∈Z)；

3. tan(k π+α)=(-1)k tan α(k∈Z)；

4. cot(k π+α)=(-1)k cot α(k∈Z).

二、见“sin α±cos α”问题，运用三角“八卦图”

1.sin α+cos α>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

2. sin α-cos α>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

3.|sin α|>|cos α|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sin α|<|cos α|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tan α,求sin α与cos α的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin 2α+cos 2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin 2α-sin 2β;

2. cos(α+β)cos(α-β)= cos 2α-sin 2β.

七、见“sin α±cos α与sin αcos α”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;

2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

倒数关系: 商的关系：平方关系：

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α