2014理学院计算方法课程设计报告

《计算方法》课程设计报告

学生姓名:杜珊珊学号：2012309010105

李南飞2012309010116

尹明仁2012309010117 学院:理学院

班级: 信计121

题目: 牛顿法、弦截法及抛物线法求解

非线性方程

指导教师：周硕职称：教授

朱振菊实验师

2014年12月30日

目录

摘要 (1)

一、选题背景 (2)

1.1 背景介绍 (2)

二、算法设计 (2)

2.1 理论基础 (2)

2.2 算法流程图 (4)

三、程序设计及功能说明 (6)

3.1 算法功能设计 (6)

3.2 算法实例 (6)

四、结果分析 (7)

4.1 结果分析 (7)

4.1.1 例题1结果分析 (7)

4.1.2 例题2结果分析 (8)

4.1.3 例题3结果分析 (9)

4.2 误差分析 (11)

五、总结及心得体会 (12)

5.1 总结 (12)

5.2 心得体会 (12)

参考文献 (13)

源程序 (14)

摘要

众所周知，代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。

但直到19世纪才证明了n>5次的一般代数方程是不能用代数公式求解的，或者求解非常复杂。因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程的近似解。

在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程的问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要的基础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得到了许多成熟的求解方法。

本文主要介绍非线性方程的数值解法是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求，主要的方法有牛顿法、弦截法和抛物线法；牛顿法是方程求根中常用的一种迭代方法，它除了具有简单迭代法的优点外，还具有二阶收敛速度（在单根邻近处）的特点，但牛顿法对初始值选取比较苛刻（必须充分靠近方程的根），否则牛顿法可能不收敛。弦截法是牛顿法的一种修改，虽然比牛顿法收敛慢，但因它不需计算函数的导数，故有时宁可用弦截法而不用牛顿法，弦截法也要求初始值必须选取得充分靠近方程的根，否则也可能不收敛。

本文还写出这几种非线性方程的数值解法的算法步骤和例题，最后用三种方法进行计算，得出结果并进行比较。

[关键词] 牛顿法；弦截法；抛物线法；非线性方程;

一、选题背景

1.1 背景介绍

在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题时，很多问题都可以归结为非线性方程f(x)=0的求解问题，无论在理论研究方面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位。迭代法是求解非线性方程f(x)=0根的一种最重要的方法，而迭代法的优劣对于非线性问题求解速度的快慢和结果的好坏都有很大的影响，所以从实际出发，进行高计算效能迭代算法的研究具有重要的科学价值和实际意义。

二、算法设计

2.1 理论基础

(1) 牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为

1()

,0,1,2,...

'()k k k k f x x x k f x +=-= (2.1) 其迭代函数为

()

()'()f x x x f x ?=-

(2.2)

牛顿迭代法的收敛速度，当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时，容易证明,'(*)0f x ≠，

''(*)

''(*)0

'(*)f x x f x ?=

≠，牛顿迭代法是平方收敛的，且

12''(*)lim 2'(*)k k k e f x e f x +→∞=。 (2.3) 牛顿法几何意义

方程f(x)=0的根x*是曲线y=f(x)与x 轴交点的横坐标,设k x 是根x*的某个近似值,过曲线y=f(x)的横坐标为k x 的点))(,(k k k x f x p =引切线交x 轴于1+k x , 并将其作为x*新的近似值,重复上述过程,可见一次次用切线方程来求解方程f(x)=0的根,所以亦称为牛顿切线法。

图2--1 牛顿法几何意义图

（2）弦截法

将牛顿迭代法中的'()k f x 用()f x 在1k x -，k x 处的一阶差商来代替,即可得弦截法：

111()

()

()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=--- (2.4) 弦截法几何意义

弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两点))(,(000x f x P

=，))(,(111x f x P =的割线来代替曲线,用割线与x 轴交点的横座标2x 作为方程的近似根。再过1P 点和点

))(,(222x f x P =作割线求出3x ,再过1P 点和点))(,(333x f x P =作割线求出4x ,余此类推，当收敛时可求出满足精度要求的k x 。

图2--2 弦截法几何意义图

（3）抛物线法

弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0

f x =的根。若已知()0f x =的三个近似根k x ，1k x -，2k x -用过1122(,()),(,()),(,())k k k k k k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根，所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller )法。

（4）确定有根区间的方法

为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法。求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f (x)与x 轴交点的横坐标。由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b ]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b ]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b ]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。

2.2 算法流程图

图2--3 迭代法的算法实现

图2--4 弦截法的算法实现

三、程序及功能说明

3.1 算法功能设计

（1）提供牛顿法、弦截法、抛物线法求解非线性方程的通用程序。 （2）能够计算不同非线性方程的解。 （3）完成程序内容应具有可重复性。

3.2 算法实例

（1）求

3

()310f x x x =--=在02x =附近的根。根的准确值* 1.87938524...x =，要求结果准确到四位有效数字。

用牛顿法；

用弦截法：取02x =，1 1.9x =；

用抛物线法：取01x =，13x =，22x =。

（2）求123)(23--=x x x f 在10=x 附近的根，要求结果准确到四位有效数字。 用牛顿法；

用弦截法：取10=x ，1.11=x ；

用抛物线法：取5.00=x ，5.11=x ，12=x 。

（3）求x x x x f 2)(23--=在1.20=x 附近的根，要求结果准确到四位有效数字。 用牛顿法；

用弦截法：取1.20=x ，2.21=x ；

用抛物线法：取8.10=x ，3.21=x ，1.22=x 。

四、结果分析

4.1 结果分析

4.1.1 例题1结果分析

图4--1 例1运行结果界面

即2，误差为6.632695e-005。

即*3 1.87941106x x ≈=，误差为2.582017e-005。

即6 1.87938530x x ≈=，误差为5.621918e-008。

4.1.2 例题2结果分析

图4--2 例2运行结果界面

即00000000.12=≈*x x ，误差为8.793852e-001。

即2，误差为8.793852e-001。

即00000000.13=≈x x ，误差为8.793852e-001。

4.1.3 例题3结果分析

图4--3 例3运行结果界面

即00000000.24=≈*x x ，误差为1.206148e-001。

（2）弦截法计算结果

即00000000.27=≈*x x ，误差为1.206148e-001。

即00000000.26=≈x x ，误差为1.206148e-001。

4.2 误差分析

以例1为例进行误差分析，把得到的结果汇总，得到如下列表：

从表中可以明显看出，在同一精度的要求下，得到的误差却不相同，可以看出逐步搜索法的精度取决于步长的大小，而步长的大小又决定了计算量的大小，牛顿法明显没有弦截法和抛物线法的精度高，但是运算次数却比两者都少，因此牛顿法只适用于那些对精度要求不高的计算；对于牛顿法来说，首先需要判断迭代函数是否收敛，迭代序列是否收敛于x*，如果不收敛还需要更换新的迭代函数，甚至有的函数无法进行这种方式的计算，因此迭代法对函数的要求比较高；我们还可以看到弦截法它的计算次数比抛物线法要少，计算的速度更快，精度要比牛顿法还要高；而抛物线法比较容易理解，易达到所要求的精度；也是一种较为理想的计算方法。

五、总结及心得体会

5.1 总结

迭代法是解非线性方程的主要方法，牛顿法就是最有效的迭代法之一，它在单根附近具有较高阶的收敛速度。而弦截法用差商代替导数，对于较复杂的函数运算变的方便。抛物线法也是超线性收敛的，适用于求多项式的实根和复根。

通过本次报告加深了对牛顿法、弦截法和抛物线法求解非线性方程根的理解，同时掌握了MATLAB强大的计算功能，增强了对数值分析课程的学习兴趣。

5.2 心得体会

这次数值分析课程设计我们经历了一个月，真是受益匪浅。在这次课程设计中，我们运用到了以前所学的《数值分析》、《数学分析》、《常微分方程》等相关专业课的知识，以及matlab汇编语言等。虽然过去都将这些知识用于解题中，但只是独立应用过它们去做题，但在这次课程设计中，把这么多方法拿到一起，去解决同一个问题，并对它们的运算过程和结果进行比较，才发现其中大有奥秘，因此在学习中，注意那些一题多解的例子，要善于分析和比较，不同方法的各有千秋，有的虽然简便，但对精度要求不高，有的虽然复杂还是精度却很高，要善于对不同的方法根据实际需要进行取舍，才能使计算既好又快。

同时我们还发现，有目的性的带着问题去学习，学习的效率很高。一个课程设计过程，好比我们的成长历程，常有一些不如意，难免会遇到各种各样的问题。这也激发了我们今后努力学习的兴趣，通过这次设计，我们懂得了学习的重要性，了解到理论知识与实践结合的重要意义，学会了坚持、耐心和努力，这将为自己今后的学习和工作打下基础。

杜珊珊：通过本次试验，使我熟悉了matlab编程的技巧，以及非线性方程组的根的方法，收获了很多。但是在以后的实验中仍须要保持细心认真的态度，求实学习。

李南飞：做实验遇到困难是家常便饭。你的第一反应是什么？反复尝试？放弃？看书？这些做法都有道理，但首先应该想到的是交流。通过和同学的探讨和答疑都能让人另辟蹊径。做过实验的人都经历过失败和挫折，有些失败应当在预实验阶段发生，你这时能坦然接受。

尹明仁：千万不能把时间全部消耗在实验上。看文献、看书、看别人的操作、听别人的经验、研究别人的思路，边做边思考。要学会比较，但不要盲从。磨刀不误砍柴工，前期的知识储备、文献储备、材料准备、方法准备可以避免手忙脚乱，充分的预实验使你充满信心。

参考文献

[1] 李庆扬，王能超，易大义．数值分析（第5版）．北京：清华大学出版社，2008.

[2] 李海，邓樱．MATLAB程序设计教程．北京：高等教育出版社，2002．

[3] 奚梅成.数值分析方法．[M]：中国科技技术大学出版社，2007.

[4] 薛毅.数值分析与实验．[M]：北京理工大学出版社，2005.

[5] 汪卉琴，刘目楼.数值分析．[M]：冶金工业出版社，2004.

[6] 丁丽娟，程杞元.数值计算方法．[M]：北京理工大学出版社，2005.

源程序

1.f.m文件

function y=f(x)

y=x^3-3*x-1;

2.d.m文件

function y=d(x)

y=3*x^2-3;

3.newton.m文件

function newton(f,d,x0,e,max)

%f 是要求根的方程(f(x)=0);

%d 是f(x)的导数；

%x0是所给初值,位于x*附近；

%e是给定允许误差；

%max是迭代的最大次数；

%x1是newton法求得的方程的近似解；

%err是误差估计；

%k是迭代次数；

%y是f(x)值；

k=0;

y=feval('f',x0);

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.6e\n',k,k,x0,k,y) for k=1:max

x1=x0-feval('f',x0)/feval('d',x0);

err=abs(x1-1.87938524);

x0=x1;

y=feval('f',x0);

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.6e\n',k,k,x0,k,err,k,y) if (err

break;

end

end

4.xjmethod.m文件

function xjmethod(f,x0,x1,e,max)

%f 是要求根的方程(f(x)=0);

%x0,x1是所给初值,位于x*附近；

%e是给定允许误差；

%max是迭代的最大次数；

%x1是弦截法求得的方程的近似解；

%err是误差估计；

%k是迭代次数；

%y是f(x)值；

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval('f',x0)) fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval('f',x1)) for k=2:max

x2=x1-(feval('f',x1)*(x1-x0))/(feval('f',x1)-feval('f',x0));

err=abs(x2-1.87938524);

x0=x1;

x1=x2;

y=feval('f',x1);

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.8e\n',k,k,x1,k,err,k,y)

if (err

break;

end

end

5.pwxmethod.m文件

function pwxmethod(f,x0,x1,x2,e,max)

%f 是要求根的方程(f(x)=0);

%x0,x1，x2是所给初值,位于x*附近；

%e是给定允许误差；

%max是迭代的最大次数；

%x3是弦截法求得的方程的近似解；

%err是误差估计；

%k是迭代次数；

%y是f(x)值

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval('f',x0)) fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval('f',x1))

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8e\n',2,2,x2,2,feval('f',x2)) for k=3:max

f0=feval('f',x0);

f1=feval('f',x1);

f2=feval('f',x2);

a=(f0-f2)/(x0-x2);

b=(f1-f2)/(x1-x2);

c=(a-b)/(x0-x1);

w=b+c*(x2-x1);

if w<0

x3=x2-(2*f2/(w-sqrt(w^2-4*c*f2)));

elseif w>0

x3=x2-(2*f2/(w+sqrt(w^2-4*c*f2)));

end

err=abs(x3-1.87938524);

x0=x1;

x1=x2;

x2=x3;

y=feval('f',x2);

fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.8e\n',k,k,x2,k,err,k,y)

if (err

break;

end

end