第二章 轴对称小结与复习
第二章 轴对称小结与复习轴对称是图形的重要变换方式之一，它是一种全等变换，也是探索一些图形的性质，认识、描述图形形状和位置关系的必要手段之一.考点呈现考点1 轴对称图形的识别例1 （2013年日照市）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是 （ ）解析：根据轴对称图形的定义，可知选项B,C,D 的图形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，而选项A 中的图形沿底边中线所在的直线折叠，直线两旁的部分能够重合.故选A.点评：判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，若沿该直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形.考点2 确定轴对称图形的对称轴例2（2013年绵阳市）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是 （ ）解析：由轴对称图形的概念，可以判断四个选项中，选项B 的数字不是轴对称图形，而选项C,D 的数字的对称轴都有两条，只有数字3的对称轴仅有一条.故选A.点评：确定轴对称图形的条数，可依据轴对称图形的概念，画出直线，然后动手折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么所画的直线就是一条对称轴，在数轴对称图形的条数时，要特别注意不要遗漏.考点3 轴对称的性质例3（2013年成都市）如图1，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点C'重合，若AB=2，则C'D 的长为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：由题意可知△BCD 与△B C'D 关于直线BD 成 轴对称，根据轴对称的性质，可得C'D=CD=AB=2.图1故选B.点评：与图形的折叠有关的问题，一般都可以转化为轴对称 问题，再利用轴对称的性质，借助已知条件，综合分析解决.考点4 等腰三角形的性质例4 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上． 试说明：BE=CE.解析：由等腰三角形三线合一的性质，可得∠BAE=∠CAE.在△ABE 与△ACE 中，AB=AC ，∠BAE=∠CAE ，AE=AE ，所以△ABE ≌△ACE ，所以BE=CE. 点评：“三线合一”是等腰三角形最重要的性质，要能熟练应用.点评：当三角形中给出两边相等时，要充分利用等腰三角形的两个底角相等的性质，进行综合分析.考点5 线段垂直平分线的性质例5 （2013年十堰市）如图3，将△ABC 沿直线DE 折叠后， 使得点B 与点A 重合，已知AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ， 则BC 的长为（ ）A ．7 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．22 cm解析：由题意可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AD=BD,所以BC=BD+CD=AD+CD.又因为AC=5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，所以AD+CD=17-5=12(cm),所以BC=12 cm.故选C.点评：条件中如果出现线段垂直平分线，那么常常要利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来解决问题.考点6 角平分线的性质例6（2013年丽水市）如图4，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是__________解析：如图5，过点D 作DE ⊥BC,垂足为E.因为BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，DE ⊥BC,所以DE=DA=3.因为BC=10，所以S △BDC =21BC ·DE= 21×10×3=15. 故填15.点评：条件中如果给出角平分线，常常过角平分线上一点，向角的两边作垂线，然后利用角平分线的性质解题. 考点7 利用轴对称设计图案例7 （2013年平顶山模拟）如图6所示，在3×3的正方图5形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有 （ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种 解析: 利用轴对称的性质以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴得到不同的图案即可．如图7所示，将标有数字的小正方形分别涂黑，均可得到轴对称图形.故选C ．点评：本题考查利用轴对称设计图案，先找出对称轴，依据对称轴考虑设计办法.误区点拨误区1 混淆轴对称图形与轴对称的概念例1 轴对称图形与轴对称是同一个概念，你认为这种说法正确吗？ 错解：正确.剖析：错解的原因是基本概念掌握不牢固，轴对称图形与轴对称是两个概念，它们有着本质的区别，轴对称图形描述的是一个图形的特性，而轴对称描述的是两个图形之间的特殊位置关系.正解：这种说法是不正确的.误区2 没有理解、掌握对称轴的概念例2 下列说法：①等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；②角的对称轴为角平分线；③正方形的对角线所在的直线是正方形的一条对称轴；④线段的对称轴为线段的垂直平分线.其中正确的有_____________.错解：①②③④ 剖析：由轴对称图形的对称轴的概念可知，对称轴是一条直线.而①中顶角的平分线为线段；②中的角平分线是射线.所以①②都是错误的.正解：③④误区3 忽略分类讨论例3 若等腰三角形的两边长为3和4，则该三角形的周长为 （ ） A.10 B.11 C.10或11 D.10或12 错解：选A 或B.剖析：对于等腰三角形，若条件中没有给定底边和腰时，要确定三角形的周长，此时应结合三角形的三边关系，采用分类讨论的方法进行解决.当腰长为3，底边长为4时，三角形的周长为3+3+4=10； 当腰长为4，底边长为3时，三角形的周长为4+4+3=11. 所以三角形的周长为10或11. 正解：选C.误区4 不理解“三线合一”的内涵例4 在等腰三角形中，角平分线、中线和高三线合一，这种说法正确吗？ 错解：正确.剖析：在等腰三角形中，“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高这样的三条线段重合，并不是所有的这样三条线段都重合.正解：这种说法不正确.图6图7方法点击方法1 排除法例1 下列图形不是轴对称图形的是 （ ）解析：根据轴对称图形的定义，选项A,B,C 三个图形沿一条直线折叠，两旁的部分都能重合，所以它们都是轴对称图形.故选D.点击：排除法是指当所给的四个选项中仅有一个是正确的（或错误的）的时候，若排除了三个是错误的（或正确的），则余下的一个选项就是正确的答案. 方法2 构造法例2 如图，在△ABC中，AB=AC,BD ⊥AC,试说明∠DBC=21∠BAC. 解析：由要说明的问题，我们易想到构造等腰三角形的顶角平分线，这样可以把问题转化为说明两个角相等.如图，作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC,AE ⊥BC,所以∠CAE=21∠BAC. 因为BD ⊥AC,AE ⊥BC ，所以∠AEC=∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C,∠CAE=90°-∠C ，所以∠DBC=∠CAE=21∠BAC. 点击：构造法就是根据题意的要求，在解决问题时通过作辅助线，使其出现所需要的图形，从而使条件与结论紧密地联系起来.巧妙地使用构造法，可使问题简化.中考链接1.（2013年咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ）2.（2013年广安）等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 193. （2013年南充） 如图，△ABC 中，AB=AC,∠B=70°，则∠A 的度数是（ ）A.70°B. 55°C. 50°D. 40° 参考答案：1. C 2. C 3. D跟踪训练1.下列图形不是轴对称图形的是 （ ）2.下列轴对称图形中对称轴条数最多的是 （ ） A.正方形 B.线段 C.等边三角形 D.长方形3.下列说法正确的是 （ ） A.全等的两个图形一定成轴对称 B.钝角三角形一定不是轴对称图形C.角平分线上的点与角两边上的点所连的线段相等D.等边三角形每个角的平分线、对边的中线、高都互相重合 4.如图1，在△ABC 中，△ACD 的周长为8 cm ，BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，则AB+AC 的长度为_____cm.5.如图2，△ABC 内有一点O ，且D ，E ，F 是O 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点，则∠ADB+∠BEC+∠CFA=________°.6.如图3，已知线段AB.（1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留ABC图1 图 3图2作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中所作的直线l 上任意取两点M ，N （线段AB 的上方），连接AM ，AN ，BM ，BN ，试说明∠MAN=∠MBN.7. 如图4，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上.连接BE 并延长，交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，若AF=BF ，则△AEF 与△BCF 全等吗？简单说明理由.跟踪训练参考答案1.B2.A3.D4.85.3606.解：（1）作图如图1所示. （2）根据题意作图如图2所示.因为点M ，N 在线段AB 的垂直平分线上，所以AM=BM ，AN=BN. 又因为MN=MN ，所以△AMN ≌△BMN ，所以∠MAN=∠MBN ．7.解：因为AB=AC ，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠EAF+∠C=90°.因为BF ⊥AC ，所以∠AFE=∠BFC=90°，所以∠CBF+∠C=90°.所以∠EAF=∠CBF. 在△AEF 与△BCF 中，因为∠AFE=∠BFC ，AF=BF ，∠EAF=∠CBF ，所以△AEF ≌△BCF.图1图 2图4。
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结(二篇)
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。
轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。
轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。
以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。
2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。
3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。
- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。
- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。
二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。
如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。
3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。
2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。
3. 三阶图形：五角星、六边形等。
四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。
2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。
有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。
五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。
《轴对称》小结与复习教案
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
轴对称小结与复习教学案学习目的1．使学生对整章的学习内容做一回顾，系统地把握全章的知识要点和基本技能。
2．通过例题和练习，使学生能较好地运用本章知识和技能解决有关问题。
重点、难点判断图形是否是轴对称图形，线段的垂直平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定及其应用是教学重点，而灵活运用上述性质解决问题、轴对称图案的设计是教学难点。
知识结构：知识回顾问题1：轴对称图形的定义是什么?它是判断图形是否是轴对称图形的依据。
问题2：是否会画轴对称图形的对称轴?找出轴对称图形的任一组对称点，连结对称点，画对称点所连线段的垂直平分线，即得到该图形对称轴。
问题3：轴对称图形对称点的连线与对称轴有什么关系?轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分。
问题4：线段垂直平分线、角平分线具有什么性质?线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等。
问题5：等腰三角形有什么性质?等腰三角形底边的中线、高线、顶角的平分线互相重合，等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)，等边三角形的三个角都等于60°。
问题6：如何判断三角形是等腰三角形?等边三角形?如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；有两个角是60°的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例题讲解例1 已知△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝21BC ，你能找出图中所有的等腰三角形吗？并说明理由？解 (1)结论：△CED 是等腰三角形．理由：因为 △ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点．所以CD ＝21AC ＝21BC 因为CE ＝21BC 所以CD ＝CE所以△CED 是等腰三角形．(2)结论：△BDE 是等腰三角形．因为△CDE 是等腰三角形且∠ACB ＝60°所以∠E ＝∠CDE ＝30°因为BD 是等边三角形的中线，根据三线合一可得∠DBC ＝21∠ABC ＝30° 所以∠E ＝∠DBC ＝30°因为△BDE 是等腰三角形．例2 在直角△ABC 中，∠A ＝90°，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E 点， 过E 点作ED ⊥BC 于D 点，已知AC ＝10cm ，△CDE 的周长为16cm ，求CD 的长．解 因为BE 是∠ABC 的平分线，∠A ＝90°，ED ⊥BC所以AE ＝ED （角平分线上的点到角两边的距离相等）．所以CE ＋ED ＝CE ＋AE ＝AC ＝10cm因为CE ＋ED ＋CD ＝16cm所以CD ＝16－10＝6cm ．课堂小结通过本节课复习，同学们应掌握本章知识和技能，并运用所学知识和技能解决问题。
轴对称古代知识点总结
轴对称古代知识点总结一、轴对称的概念轴对称，又称对称轴，是指物体上的某条直线，对这条直线上的点作对称变换时，这条直线是对称变换的轴。
也就是说，沿着轴对称的直线将物体划分为两部分，两部分是完全相似的，只是在轴对称线上的点的位置互相翻折。
轴对称是几何图形中的一种对称性。
在古代的数学中，轴对称的概念并不是以轴对称的名义出现的，但在古代的几何学和美学中，对称性的概念得到了充分的重视。
古希腊的几何学家欧几里得在其著作《几何原本》中系统地论述了几何学的基本概念，其中包括了对称性的讨论。
在古代的雕塑和建筑中，对称性也被广泛地应用，因此，轴对称的概念在古代的数学和美学中得到了广泛的应用和发展。
二、轴对称的性质1、轴对称的稳定性轴对称的稳定性是指物体在轴对称的直线上做对称变换后，物体的形状、大小、质地等性质不变。
这个性质使得轴对称的直线成为了一种特殊的对称轴，因为它不仅能够将物体分为两部分，还能够保持物体的形状和结构不变。
2、轴对称的唯一性在平面上，物体的轴对称轴是唯一的。
也就是说，如果一个物体有轴对称，那么它的轴对称轴是唯一的。
这个性质在数学和美学中都得到了广泛的应用，因为它使得研究轴对称的直线更加简洁和明了。
3、轴对称的延伸性轴对称的直线可以被延伸到整个空间中。
也就是说，轴对称的性质并不仅仅局限于平面上，而是可以延伸到三维空间中。
这个性质使得轴对称的概念更加普遍和实用。
三、轴对称的应用1、在建筑中的应用古代的建筑中，轴对称的概念被广泛地运用。
古罗马的庞贝城就是一个典型的例子。
在庞贝城的建筑中，轴对称的对称性得到了充分的体现。
建筑师们利用轴对称的直线将建筑物分成了对称的部分，使得整个建筑物看起来更加整齐和谐。
2、在绘画中的应用古代的绘画中，轴对称的概念被广泛地运用。
例如，在中国的绘画中，轴对称的直线被用来构建绘画作品的结构。
在古代的绘画作品中，轴对称的直线被用来分割画面，使得画面更加平衡和和谐。
3、在雕塑中的应用古代的雕塑中，轴对称的概念被广泛地运用。
八年级轴对称知识点总结
八年级轴对称知识点总结在初中数学中，轴对称是一个十分重要的知识点，它不仅在数学中有很重要的应用，也在其他学科中有着广泛的应用。
在八年级阶段，轴对称的学习已经比较深入了，下面我们来总结一下八年级轴对称的知识点。
一、轴对称的定义轴对称是指图形中存在一条直线，使得图形关于这条直线对称。
我们把这条直线称为轴对称线。
轴对称图形可以分为两类：对称中心在轴对称线上的固定图形和对称中心不在轴对称线上的任意图形。
二、轴对称的性质轴对称有一些很特殊的性质：1.轴对称图形中，对于任意一点P，它的对称点P'在轴对称线上。
2.轴对称图形中，对于任意两点P、Q，它们的中点M在轴对称线上。
3.轴对称图形中，对于任意两线段AB、A'B'，它们的交点M 在轴对称线上。
三、构造轴对称图形构造轴对称图形有以下几种方法：1.已知轴对称线和对称中心，先作出对称中心到轴对称线的垂线，然后将这条垂线翻折到轴对称线下方，就得到了对称图形。
2.已知轴对称线和对称中心，可以通过将每个点关于对称中心旋转180°后，再平移一定距离得到对称图形。
3.对于规则图形如正方形、正三角形等，可以通过旋转、平移等方式得到轴对称图形。
四、轴对称图形的性质应用轴对称图形的性质可以应用到很多场景中：1.在制作对称的艺术品、标志等方面，轴对称是常用的设计方法。
2.在建筑、船舶、汽车等领域，轴对称可以帮助工程师设计更加稳定、均衡的结构。
3.在生物学中，我们也可以看到很多轴对称的生物，例如海星、蟹、蝎子等。
以上就是八年级轴对称知识点的总结了。
但是轴对称的应用远不止于此，我们需要在实践中不断探索和应用它。
七年级数学轴对称小结与复习华东师大版知识精讲
初一数学轴对称小结与复习华东师大版【本讲教育信息】一、教学内容:轴对称小结与复习二、知识要点1.知识点概要（1）认识轴对称以及轴对称图形的概念, 并能判断图形是否是轴对称图形.（2）掌握轴对称的性质, 能够应用它画对称轴, 画轴对称图形.（3）掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质及其应用.（4）掌握等腰三角形的性质和判定以及运用.2.重点难点（1）重点: 判断图形是否是轴对称图形, 线段垂直平分线、角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定及其应用.（2）难点：灵活运用上述性质解决问题；轴对称图案的设计.三、考点分析1.知识点梳理2.重要知识点回顾（1）轴对称和轴对称图形既有区别又有联系:区别: 轴对称图形是针对一个图形而言,它是指某一个图形所具有的对称性质,而轴对称则针对两个图形而言,它描述的是两个图形的一种位置关系；轴对称图形沿对称轴对折后,其自身的一部分和另一部分重合,而轴对称的两个图形沿对称轴对折后,一个图形与另一个图形重合.联系: 当我们把轴对称的两个图形看成一个整体时,它就成为一个轴对称图形.轴对称图形与轴对称都具有的性质: 对应线段相等,对应角相等.说明：轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,变换后的图形和原图形在一起组成的新图案都具有对称性.（2）轴对称或轴对称图形的性质:①关于某直线对称的两个图形是全等图形.②若两个图形关于某直线对称, 则对称轴是对应点连线的垂直平分线.③若两个图形对应点连线被同一条直线垂直平分, 则这两个图形关于这条直线对称.④两个图形关于某直线对称, 若它们的对应线段或延长线相交, 则交点在对称轴上.⑤两个对称点到对称轴的距离相等.（3）熟悉常见的几个轴对称图形, 会画出它们的对称轴, 并掌握其性质①线段: 线段是轴对称图形, 对称轴是线段中垂线和本身所在直线.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.②角: 是轴对称图形, 对称轴是角平分线所在直线.角平分线上的点到角两边的距离相等.到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.3.等腰三角形（1）等腰三角形是轴对称图形, 常用的辅助线有三种: 作等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线.（2）若三角形的三线中有两线重合, 则可得到此三角形是等腰三角形.这可作为等腰三角形的一种识别方法.（3）在有关三角形问题的条件中出现了高、中线或角平分线时，有时可以延长某些线段以构造等腰三角形，然后再用“三线合一”性质去解题.【典型例题】例1.下列图案中是轴对称图形的有:（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析: 本题考查轴对称图形的识别, 判断一个图形是否是轴对称图形, 根据其概念, 看是否可以存在一条直线, 使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠, 能够和另一部分互相重合.所以第2个、第3个、第4个都是轴对称图形, 应选C.例2.如图, △ABC与△A＇B＇C＇关于直线l对称, ∠A=30°, ∠B＇=50°.则∠C的度数为（）A.30°B.50°C.90°D.100°解析: 根据条件和轴对称的性质知: ∠B=∠B＇=50°.因为∠A=30°,所以∠C=180°-∠A-∠B=100°.故选D.例3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°, 则其顶角为________度.解析：三角形高可能在三角形的外部，也可能在内部，注意分类讨论.画出如下两个图，即可求得其顶角为30°或150°.例4.如图, 在△ABC中, ∠C＝90°, AD平分∠BAC, BC＝20cm, BD∶CD＝3∶2, 求点D到AB的距离.分析: 求点D到AB距离必须先作出垂线段. 过点D作DE⊥AB, 则DE长即为欲求距离. 由于AD为角平分线, 则有: DE＝CD.而CD由已知条件可求.解: 过点D作DE⊥AB交AB于点E,∵AD为角平分线且∠C＝90°, 即DC⊥AC,∴DE＝DC.而,∴DE＝8cm, 即点D到AB的距离为8cm．例5. 如图, 已知D.E两点在线段BC上, AB＝AC, AD＝AE. 你能判断线段BD与EC的大小关系吗？并简述理由.（1）（2）分析: 由已知, 两个等腰三角形的底在同一直线上, BD与EC都在其底边上, 联想到等腰三角形的“三线合一”性质, 通过画辅助线构造基本图形, 如图（2）, 问题得解.解: BD＝EC.理由: 如图（2）, 作AF⊥BC于F,由等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合,得BF＝CF, DF＝EF,所以BF- DF＝CF- EF,即: BD＝CE例6.如下图, 在Rt△ABC中, AB＝AC, BD平分∠ABC, DE⊥BC, 若BC＝10cm, 求△DCE的周长.分析: 题目中出现角平分线与垂直条件, 注意由角平分线的性质得线段相等.本题要求△DCE的周长, 具体的边长不能求解, 要善于运用整体思想.解: ∵Rt△ABC, AB＝AC, ∴∠C＝45°.又BD平分∠B, DE⊥BC, DA⊥AB,∴AD＝ED, ∠ADB＝∠EDB,∴AB＝BE.∴△DCE周长＝DE＋EC＋CD＝AD＋CD＋EC＝AC＋EC＝AB＋EC＝BE＋EC＝BC＝10cm.例7.如图, 在△ABC中, DE是AC的垂直平分线, AE＝3 cm, △ABD的周长为13 cm, 求△ABC的周长.分析: △ABC的周长等于线段AB＋BC＋AC, 而线段BC＝BD＋CD, 因为DE是AC 的垂直平分线, 则有CD＝AD, 所以BC＝BD＋AD, 从而求出AB＋BC, 于是求得△ABC 的周长.解: ∵DE是AC的垂直平分线,∴AD＝CD, AC＝2AE＝6 cm.又∵△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝13cm,∴AB＋BD＋CD＝13 cm即AB＋BC＝13 cm.∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝13＋6＝19（cm）.例8.如图, 在△ABC中, ∠ACB.∠ACB的角平分线相交于点O, 过点O作OE∥AB, OF∥AC分别交BC于点E、F, 若BC＝8cm, 试求△OEF的周长.分析: 已知条件中出现平行与角平分线即存在等腰三角形.注意这一基本图形的运用.解: ∵OB平分∠ABC, ∴∠ABO＝∠EBO.又∵OE∥AB, ∴∠EOB＝∠ABO,∴∠EBO＝∠EOB,∴EO＝EB.同样道理可得：FO＝FC,∴△OEF周长是OE＋FF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝8cm例9.如图, A.B.C三点不在同一条直线上, 求作一点O, 使OA＝OB＝OC.分析: 由于OA＝OB＝OC, 则可得OA＝OB, OB＝OC, 由垂直平分线的性质可知, 点O应在AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点处.解: （1）作出BC的垂直平分线l1；（2）作出AB的垂直平分线l2；l1与l2交于点O. 则点O为所求的点.例10.世界上因为有了圆, 万物才显得富有生机, 以下来自现实生活中的图形都有圆, 如图（1）、（2）、（3）, 它们看上去多么美丽和谐, 这正是因为圆具有轴对称的性质, 请你在图（4）、（5）的两个圆中, 分别画出与图（1）、（2）、（3）不重复的轴对称图形, 但要尽可能准确美观.解析: 按要求画出轴对称图形, 以下供参考.例11.两个完全一样的三角形, 可以拼出各种不同的图形. 如下图已画出其中一个三角形, 请你分别补画出另一个与其一模一样的三角形, 使每个图形分别构成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）.解析: 按要求画出与其一模一样的三角形, 并与其构成轴对称图形, 以下供参考.五、本讲数学思想方法的学习1.做好重要知识点的梳理.通过复习, 熟练掌握轴对称与轴对称图形的性质及轴对称知识在生活中的应用, 进一步掌握等腰三角形的性质与识别.2.思想方法是数学的灵魂，在复习时要注意数学思想的体会与应用.如运用转化思想线段或角进行位置的转移；运用方程思想设未知数列方程求解；在计算等腰三角形的角度或边长时是分类思想的运用等等.【模拟试题】（答题时间: 100分钟）一、填空题（2分×15＝30分）1.线段是轴对称图形, 它的对称轴是________ ___；角是轴对称图形, 它的对称轴是___________.2.成轴对称的两个图形的对应___________相等, 对应___________相等.3.角平分线上的任意一点到这个角的两边的___________相等.线段中垂线上的点到___________的距离相等.4、若三角形三个内角之比为1∶1∶2, 该三角形是___________三角形.5.举一个有无数条对称轴的轴对称图形是___________.6.计算器屏幕上显示0到9这十个数字中, 其中成轴对称图形的有___________个.7、有一个角是60°的等腰三角形, 腰长为4, 则它的周长是___________.8、等腰△ABC中, AB＝2AC, 周长是20, 则腰长为___________.9、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠AED是___________度.10、如图, △ABC中, AB＝AC, D为AC上一点, 且AD＝BD＝BC, 则∠ABD＝___________.*11.等腰三角形的顶角是x°, 则一腰上的高与底边的夹角等于___________.*12、如图，∠MAN＝15°，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠MEF＝___________.二、选择题（3分×10＝30分）13.下列几何图形中: 角, 线段, 等边三角形, 长方形, 直角三角形, 梯形, 其中一定是轴对称图形的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个14.下图中的图形中是轴对称图形的是（）15.下图的图形中不是轴对称图形的是（）16.下列说法正确的有（）①轴对称图形的对应线段相等, 对应角相等；②成轴对称的两条线段必在对称轴的同侧；③轴对称的对应点的连线被对称轴垂直平分；④成轴对称的对应线段若相交, 则交点必在对称轴上.A.1个B.2个C.3个D.4个*17、等腰三角形一边长是4, 另一边长是9, 则它的周长是（）A.17B.22C.17或22D.24*18、等腰三角形的周长是24, 其中一边长是10, 则腰长是（）A.10B.7C.10或7D.17*19、等腰三角形一个角等于70°, 则它的底角是（）A.70°B.55°C.70°或55°D.60°20、△ABC与△MNP关于直线l对称, 且l垂直平分AN, 那么有（）A.∠C＝∠MB.∠B＝∠PC.∠A＝∠ND.∠A＝∠P21.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三边高线的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三条内角平分线的交点*22.平面上有A.B两个点, 以AB为一边作等腰直角三角形能作（）A.3个B.4个C.5个D.6个三、作图题（16分）23.求作图中△ABC关于直线l的对称图形.24.如图, 点C.D在∠AOB内部, 在∠AOB内部找一点P, 使得P到OA.OB的距离相等, 并且使得PC＝PD.四、解答题（8分×3＝24分）25.如图, BC＝20cm, DE是线段AB的中垂线, 与BC交于点E, AC＝12cm, 求△ACE的周长.*26.如图, 在△ABC中, ∠BAC＝135°, EF、GH分别是AB.AC两边的中垂线, 与BC边交于点E、G, 求∠EAG的度数.*27、如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, DE是AB的垂直平分线, 且∠CAE∶∠EBA＝4∶1, 求∠AEC的度数.【试题答案】一、填空题:1.线段本身所在线段的中垂线, 角平分线所在的直线2.角, 线段3、距离, 线段两个端点4.等腰直角5.圆6.47、128、89、10510、36°11.12、75°（提示：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF, ∴∠A＝∠BCA, ∠CBD＝∠CDB, ∠DCE＝∠DEC, ∠EDF＝∠EFD, ∴∠CBD＝∠A＋∠BCA＝30°, ∠DCE＝∠A＋∠CDB＝45°, ∠EDF＝∠A＋∠CED＝15°＋45°＝60°, ∠MEF＝∠A＋∠DFE＝75°）二、选择题:13、B 14、A 15、B 16、C 17、B 18、C 19、C 20、C 21.C 22、D三、作图题:23.如图.分别作点A，点B，点C关于l的对称点A′、B′、C′，然后连接A′B′，A′C′，B′C′.24.如答图.分别作线段CD的中垂线, ∠AOB的角平分线, 交于P点。
第二单元轴对称图形单元小结
第二单元轴对称图形单元小结
1、什么是轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合。
这个图形叫做轴对称图形。
折痕所在的直线就叫做对称轴。
2、轴对称图形沿着对称轴对折后，两侧图形能够完全重合，对称的点、对称的线段
完全重合。
对称点到对称轴的距离相等。
3、正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，圆有无数条对称轴。
等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴。
4、绘制轴对称图形的方法：
（1）先找出已知图形的几个关键点
（2）在对称轴的另一侧找画出关键点的对称点
（3）最后按照已知图形的形状顺次连结各对称点。
5、镜面对称现象的特点：镜子中的物体与实际中的物体是对称的，镜子中的物体的大小、上下的位置关系与实际情况是一致的，但是左右方向完全相反。
6、平移与旋转
1、平移：物体（或图形）沿着直线运动的现象叫做平移。
特点：做直线运动。
平移现象：汽车行驶、飞机飞行、推拉窗户、滑滑梯、缆车、电梯上下运动
2、旋转：物体（或图形）绕着一个点或者一个轴做圆周运动的现象叫做旋转。
特点：做圆弧或圆周运动。
旋转现象：螺旋桨运动、车轮转动、风车转动、荡秋千、推门（旋转门）、旋转木马
7、物体的两个运动现象是（平移）和（旋转）。
8、一个简单的图形经过（平移）
（旋转）和（轴对称）可得到复杂而美丽的图案。
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
轴对称知识点汇总3篇
轴对称知识点汇总3篇轴对称这一章，知识点琐碎，内容繁杂，极易混淆，多练这些题，有助同学们把握重难点，有所突破!下面是小编给大家带来的轴对称知识点汇总，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!轴对称最全知识点汇总一、知识梳理1、轴对称如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴.两个图形中的对应点叫对称点.2、轴对称图形把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这个图形关于这条直线(成轴)对称.3、轴对称与对称轴的区别与联系区别：轴对称指的是两个图形的位置关系，而轴对称图形指的是具有对称性的某一个图形.联系：如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形.如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称.4、一些典型图形的对称轴条数和表述语言正方形有4条对称轴，分别是对角线所在直线，2条;对边中点连线所在直线，2条.长方形有2条对称轴，是对边中点连线所在直线，2条.等腰三角形有1条对称轴，是顶角顶点与对边中点连线所在直线.(或顶角角平分线，底边中线，底边上的高所在直线)等边三角形有3条对称轴，分别是任意顶点与对边中点连线所在直线，3条.(或任意角角平分线，任意边的中线，任意边上的高所在直线)等腰梯形有1条对称轴，是上底中点与下底中点连线所在直线.圆有无数条对称轴，分别是直径所在直线，无数条.5、垂直平分线(中垂线)定义垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.书写格式：判定：∵AO=A′O，∠1=90°，∴l 是AA′的垂直平分线.性质：∵l是AA′的垂直平分线，∴AO=A′O，∠1=∠2=90° .6、轴对称性质成轴对称的两个图形全等，且(1)对应点的连线被对称轴垂直平分.(2)对应点的连线互相平行(或在同一条直线上).(3)对应线段相等，对应角相等.(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平行).7、对称轴的作法法1：作一条对应点的连线，并作其中垂线.法2：作两条对应点的连线，并分别作其中点，两点确定一条直线.法3：分别延长两对对应线段，确定两个交点，两点确定一条直线.8、给出一个图形及对称轴，作其对称图形的作法过原图形各点画对称轴的垂线，以各点到垂足的距离为半径，截取相等，将所作对应点分别相连.八年级数学轴对称知识讲解轴对称【学习目标】1.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形.2.理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形.3.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线.4.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称(或说这两个图形成轴对称)，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形;反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.要点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心初二数学轴对称测试题及答案1.下列图形不是轴对称图形的是( )2.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )A.5B.6C.11D.163.已知am=5，an=6，则am+n的值为( )A.11B.30C.D.4.下列计算错误的是( )A.(﹣2x)3=﹣2x3B.﹣a2•a=﹣a3C.(﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9D.(﹣2a3)2=4a65.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.AAS6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )A.8x2﹣8y2B.8y2﹣8x2C.8(x+y)2D.8(x﹣y)27.如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为( )厘米.A.16B.18C.26D.288.计算(﹣2x+1)(﹣3x2)的结果为( )A.6x3+1B.6x3﹣3C.6x3﹣3x2D.6x3+3x29.分解因式：x2﹣4y2的结果是( )A.(x+4y)(x﹣4y)B.(x+2y)(x﹣2y)C.(x﹣4y)2D.(x﹣2y)210.如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F.下列结论①△ADC≌△ADE;②CE平分∠DEF;③AD垂直平分CE.其中正确的是( )A①②③ B、① C、② D、③二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.计算：20130﹣2﹣1=__________12.化简(1- )(m+1)的结果是 .13.如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是.14.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是度.15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.16.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是.三、解答题(共8题，共72分)17.(本题8分)计算：(1)(3a﹣2b)(9a+6b); (2)(﹣2m﹣1)2;18.(本题8分)分解因式：4m2﹣9n219.(本题8分)解分式方程 =20.(本题8分)已知：如图，AB=CD，AB∥CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，AF=5，求CE的长.21.(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1)由图观察易知A(0，2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)、C(﹣2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′;归纳与发现：(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为;运用与拓广：22.(本题8分)2015年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.(1)求高铁列车的平均时速;(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?23.(本题10分)如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D.求证：(1)∠ECD=∠EDC;(2)OC=OD;(3)OE是线段CD的垂直平分线.24.(本题12分)如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).(1)用的代数式表示PC的长度;(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由;(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?参考答案一、选择题1. B.2. C.3. B.4. A.5. A.6. B.7. B.8. C.9. B. 10. A二、填空题11. 12. m. 13. 2+n. 14. 60 15. 15 16.十一.三、解答题17.解：(1)原式=3(3a﹣2b)(3a+2b)=3(9a2﹣4b2)=27a2﹣12b2;(2)原式=4m2+4m+1;18.解：4m2﹣9n2=(2m+3n)(2m﹣3n).19.解：去分母得：3x=2x+2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解.故答案为：x=2.20.解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，∵AB∥CD，在△DEC和△BFA中，∠DEC=∠AFB，∠ C=∠A，DC=BA，∴△DEC≌△BFA，∴CE=AF，∴CE=5.21.解：(1)如图：B′(3，5)，C′(5，﹣2);(2)(b，a);22.解：(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，由题意得，，解得：x=72，经检验，x=72是原分式方程的解，且符合题意，则2.5x=180，答：高铁列车的平均时速为180千米/小时;(2)630÷180=3.5，则坐车共需要3.5+1.5=5(小时)，王老师到达会议地点的时间为1点40.故他能在开会之前到达.23.解：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC;(2)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC(AAS)，∴OC=OD;(3)在△DOE和△COE中，OC=OD，∠EUC=∠BOE，OE=OE，∴△DOE≌△COE，∴DE=CE，∴OE是线段CD的垂直平分线.24.解：(1)BP=2t，则PC=BC﹣BP=6﹣2t;(2)△BPD和△CQP全等理由：∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘米，∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米，∵AB=8厘米，点D为AB的中点，∴B D=4厘米，∴PC=BD，在△BPD和△CQP中，BD=PC，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP(SAS);(3)∵点P、Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，∴点P，点Q运动的时间t= = 秒，∴VQ= = 厘米/秒.。
【八上数学】《轴对称》最全知识点汇总
5、垂直平分线(中垂线)定义垂直并且平分⼀条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．书写格式：判定：∵AO＝A′O，∠1＝90°，∴l 是AA′的垂直平分线．性质：∵l是AA′的垂直平分线，∴AO＝A′O，∠1＝∠2＝90° ．6、轴对称性质成轴对称的两个图形全等，且(1)对应点的连线被对称轴垂直平分．(2)对应点的连线互相平⾏(或在同⼀条直线上)．(3)对应线段相等，对应⾓相等．(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平⾏)．如图：(1)AA′，BB′，CC′，DD′，被l垂直平分．(2)AA′∥BB′∥CC′，CC′、DD′在同⼀直线上．(3)AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D′，AD＝A′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠CDA＝∠C′D′A′．(4)BA、B′A′，BC、B′C′，CD、C′D′的延长线交点在l上．DA、D′A′的延长线平⾏．7、对称轴的作法法1：作⼀条对应点的连线，并作其中垂线．法2：作两条对应点的连线，并分别作其中点，两点确定⼀条直线．法3：分别延长两对对应线段，确定两个交点，两点确定⼀条直线．8、给出⼀个图形及对称轴，作其对称图形的作法过原图形各点画对称轴的垂线，以各点到垂⾜的距离为半径，截取相等，将所作对应点分别相连．⼆、实战演练例1：请在下列三个2×2的⽅格中，各画出⼀个三⾓形，要求所画三⾓形与图中三⾓形成轴对称，且所画的三⾓形顶点与⽅格中的⼩正⽅形顶点重合，并将所画三⾓形涂上阴影．分析：我们应该利⽤轴对称图形的性质，先选择不同的直线当对称轴，再作对称图形．显然⼤⽅格作为正⽅形，有4条对称轴，⽽还有⼀条⽐较难想，对称轴可以经过斜边和直⾓边的中点．解答：例2：如图，桌⾯上有A、B两球，若要将B球射向桌⾯任意⼀边，使⼀次反弹后击中A球，则可以瞄准的点有哪些？分析：本题中，对于桌⾯反弹的问题，其实属于物理中的光路问题，⼊射⾓等于反射⾓，⽽将⼊射⾓作对称后，恰好与反射⾓是对顶⾓，光线在同⼀直线上，因此我们考虑作对称．解答：变式：如图是⼀个台球桌⾯的⽰意图，图中四个⾓上的阴影部分分别表⽰四个⼊球孔.若⼀个球按图中所⽰的⽅向被击出(球可以经过多次反弹)，则该球最后落⼊的球袋是______袋.分析：本题与例2类似，但如果每次都作对称，未免太过⿇烦，我们不难发现⼊射线与桌边的夹⾓为45°，则反射后的夹⾓也为45°，问题得解．解答：例3：如图，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB内⼀点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点M．(1)连接OP1，OP2，求∠P1OP2的度数．(2)若P1P2＝8，求△PMN周长．分析：(1)要求∠P1OP2的度数，直接求显然很困难，我们不妨从对应线段考虑，则想到连接OP．(2)同样的，将组成三⾓形的三条线段中，能找到对应相等的线段找出，进⾏转化．解答：变式：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A′′B′′C′′关于直线EF对称．(1)画出直线EF；(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′′与直线MN、EF所夹锐⾓α的数量关系．分析：(1)问不难，只需⽤3种⽅法中的任意⼀种即可．(2)问与例3类似，准确依据题意，画出图形后，根据对称性，连接对应线段就能有所突破．解答：(1)如图，连接B′B′′，C′C′′，各取中点，连接后，直线EF即为所求．(2)连接OB′，∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM＝∠B′OM，同理可得∠B′OE＝∠B′′OE，∴∠BOB′′＝∠BOB′＋∠B′OB′′＝2∠B′OM＋2∠B′OE＝2∠MOE＝2α．。
轴对称 小结与复习 教学设计
小结与复习教学设计教学设计思路本章的内容主要是轴对称和等腰三角形两大部分。
复习时首先让学生举出轴对称或轴对称图形的实例，从而设计问题回顾定义及相关性质，同时利用练习，把知识巩固具体化，让学生在实践中加深理解，最后师生一起归纳、总结出本章知识结构。
教学目标【知识与技能】1．轴对称的有关概念与性质。
2．等腰三角形、等边三角形的有关概念与性质。
3．等腰三角形的识别条件。
【过程与方法】1．通过对本章知识结构的回顾，进一步感受轴对称的概念、性质及其应用，并把握一般轴对称图形于等腰三角形之间的“一般——特殊”“特殊——一般”的关系。
2．通过思考与操作相结合的回顾与反思，深化对轴对称性质的理解，培养举一反三、由浅入深的良好思维习惯。
【情感态度与价值观】提高自主学习与合作交流的能力，增进合作意识。
教具学具准备：多媒体教学重难点：重点：轴对称与等腰三角形的性质及识别条件难点：线段、角、等腰三角形等简单图形的有关知识在解题中的的灵活运用课时安排1课时教学过程一、引入在本章中，我们结合生活中广泛存在的轴对称现象，通过观察、思考、操作和探究等方式，学习了轴对称的有关概念、性质和等腰三角形的有关知识。
这节课我们就来一起复习一下。
二、回顾知识点1．请同学们举出在我们生活有哪些常见的轴对称图形？2．什么是轴对称与轴对称图形，两者之间的区别和联系是什么？练习1：下列图形都是轴对称图形，试作出它们所有的对称轴。
3．轴对称有哪些性质，我们如何画出一个图形关于某条直线对称图形？练习2：（1）把下列图形补成以l为对称轴的轴对称图形。
（2）复习题A组2.3．回忆线段垂直平分线的性质与角平分线的性质分别是什么？练习3：(1)等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是_________，它共有___________条对称轴；最少的是_____，有________条对称轴。
(2)已知：如图，C、D分别在∠AOB的两边上。
求作，点P，使PC=PD，且点P到∠AOB的两边的距离相等。