2019年山东省济南市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={y|y=x3，x∈A}，则A∩B=（）A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {0,1，2，8}2.已知复数z =1−i3+4i（其中i为虚数单位），则|z|的值为（）A. 225B. √225C. 25D. √253.2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（）A. 23B. 12C. 13D. 144.已知双曲线x29−y2m=1的一个焦点F的坐标为（-5，0），则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±43x B. y=±34x C. y=±53x D. y=±35x5.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A. 该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B. 该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C. 该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D. 该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍6.在△ABC中，AC=√5，BC=√10，cos A=2√55，则△ABC的面积为（）A.52B.5C.10D. √1027.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2019，则输出的y值为（）A. 18B. 14C. 12D. 18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（）A. 27π4B. 27πC. 9πD. 108π9.已知函数f（x）=cos（2x-π2）+xx2+1+1，则f（x）的最大值与最小值的和为（）A. 0B. 1C. 2D. 410.已知α∈（π4，π），若sin2α=45，则cosα=（）A. −2√55B. 2√55C. −√55D. √5511.已知函数f（x）={13x3−12x2，x＜0e x，x≥0，则f（3-x2）＞f（2x）的解集为（）A. (−∞,−3)∪(1,+∞)B. (−3,1)C. (−∞,−1)∪(3,+∞)D. (−1,3)12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，已知曲线C：y=x2，直线l为曲线C在点（1，1）处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为Γ．给出以下四个几何体图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积相等的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=（1，√3），a⃗ ⊥（a⃗-b⃗ ），a⃗⋅b⃗ 的值为______．14.已知实数x，y满足约束条件{x+y+2≥0y≤4x≤−1，则z=2x+y的最小值是______．15.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（7π6）的值为______．16.设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为椭圆的下顶点，P为过点F1，F2，B的圆与椭圆C的一个交点，且PF1⊥F1F2，则ba的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=21og2a n-11，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最小值及取得最小值时n的值．18.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=45°，AB=2CD=4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．（1）求证：PD∥平面MCE；（2）若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．19.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与椭圆C2：x24+y23=1有一个相同的焦点，过点A（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M．（1）求抛物线C1的方程；（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．20.某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换，其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M．如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．（1）结合如图，写出集合M；（2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率（以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率）；（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠（使用过程中如需再购买无优惠）．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a个一级滤芯、b个二级滤芯作为备用滤芯（其中b∈M，a+b=14），计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数．并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？21.已知函数f（x）=a2（x-1）2-x+ln x（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1＜a＜e，试判断f（x）的零点个数．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3cosθy=1+√3sinθ（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+π6）=2√3．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线OP的极坐标方程为θ=π6，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．23.已知函数f（x）=|x-2|+|2x-1|．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若不等式f（x）≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=x3，x∈A}={0，1，8}，∴A∩B={0，1}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=，∴|z|=||=．故选：D．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，基本事件总数n=，小王被选中包含的基本事件个数m==3，则小王被选中的概率为p=．故选：B．基本事件总数n=，小王被选中包含的基本事件个数m==3，由此能求出小王被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线=1的一个焦点F的坐标为（-5，0），可得=5，解得m=16，双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．利用已知条件求出m，然后求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：由折线图可知：不妨设2014年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t，对于选项A，该家庭2018年食品的消费额为0.2×2t=0.4t，2018年食品的消费额为0.4×t=0.4t，故A错误，对于选项B，该家庭2018年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t，2014年教育医疗的消费额为0.2×t=0.2t，故B错误，对于选项C，该家庭2018年休闲旅游的消费额是0.25×2t=0.5t，2014年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t，故C正确，对于选项D，该家庭2018年生活用品的消费额是0.3×2t=0.6t，该家庭2014年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t，故D错误，故选：C．先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题6.【答案】A【解析】解：∵AC=，BC=，cosA=，∴sinA==，∴由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB•AC•cosA，可得：10=5+AB2-2×AB×，整理可得：AB2-4AB-5=0，∴解得：AB=5，或-1（舍去），∴S△ABC =AB•AC•sinA==．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据余弦定理可求AB的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：2019=4×504+3，即当x=3时，满足条件x≥0，则x=3-4=-1，此时不满足条件．x≥0，输出S=，故选：C．根据查询框图，得到当x=-1时查询终止，进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序，得到终止条件是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体是正方体的一部分，四棱锥P-ABCD，四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的半径为：=．该几何体外接球的表面积是：4π×（）2=27π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图是数据转化求解外接球的半径，推出外接球的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（2x-）++1=cos （-2x）++1=sin2x++1，设函数g（x）=sinx+，x∈R，则g（-x）=sin（-x）+=-sinx-=-g（x），∴g（x）是R上的奇函数，设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为-M，∴f（x）的最大值为M+1，最小值为-M+1，∴（M+1）+（-M+1）=2，即f（x）的最大值与最小值的和为2．故选：C．化简函数f（x），知f（x）=g（x）+1，其中g（x）是R上的奇函数，且g（x）的最大值与最小值的和为0，由此求出f（x）的最大值与最小值的和．本题考查了函数的奇偶性与最值应用问题，是基础题．10.【答案】D【解析】解：∵α∈（），若sin2α===，∴tanα=2，或tanα=（不合题意，舍去），故α∈（，），则cosα===，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得tanα的值，可得cosα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：当x＜0时，f（x）=x3-x2的导数为f′（x）=x2-x＞0，即f（x）在x＜0递增；当x≥0时，f（x）=e x递增，且0＜e0，可得f（x）在R上递增，由f（3-x2）＞f（2x）可得3-x2＞2x，解得-3＜x＜1，则原不等式的解集为（-3，1）．故选：B．讨论x＜0，x≥0函数f（x）的单调性，可得f（x）在R上递增，由单调性的定义，解二次不等式可得所求解集．本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查不等式的解法，以及运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：设直线y=t，与y=x2交于（，t），0≤t≤1，切线的斜率为2，切线方程为y=2x-1，y=t与y=2x-1交于（，t），用平行于底面的平面截几何体Γ所得的截面为圆环，截面面积为π（-t）=π•，对于图①，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面，且圆的半径为（t-1），可得截面面积为π•，符合题意；对于图②，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环，截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为π-πt2，不符合题意；对于图③，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意；对于图④，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环，且面积为π•（）2-πt2=，不符合题意．综上可得四个几何体中与Γ的体积相等的是图①．故选：A．求得切线方程，设直线y=t，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面积，分别用平行于下底面且距离为t的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理，可得结论．本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：平面向量，满足=（1，），⊥（-），可得-=0，解得=4．故答案为：4．利用向量的数量积通过向量的垂直，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查计算能力．14.【答案】-8【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=-2x+z经过点A时，z最小由可得A（-6，4），此时Z=-8．故答案为：-8．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．15.【答案】1【解析】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得•=+，∴ω=2，再根据五点法作图可得2•+φ=0，求得φ=-，∴函数f（x）=2sin（2x-），∴f （）=2sin （-）=2sin =2sin=1，故答案为：1．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f （）的值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．16.【答案】√5−12【解析】解：如图所示，连接PF 2交y 轴于点C ，∵PF 1⊥F 1F 2， ∴PF 2为过点F 1，F 2，B 的圆的直径． ∵点O 为F 1F 2的中点，OC ∥PF 1．∴点C 为PF 2的中点，即为过点F 1，F 2，B 的圆的圆心． ∵P （-c ，）． ∴|OC|=．∴圆的半径r=+b ．又|PF 2|=， ∴+b=，化为：+-1=0，解得：=． 故答案为：．如图所示，连接PF 2交y 轴于点C ，由PF 1⊥F 1F 2，可得PF 2为过点F 1，F 2，B 的圆的直径．由OC ∥PF 1．点C 为PF 2的中点，即C 为过点F 1，F 2，B 的圆的圆心．根据椭圆的定义、三角形中位线定理与圆的半径即可得出．本题考查了椭圆的定义、三角形中位线定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n }满足S n =2a n -2，①当n =1时，有S 1=2a 1-2=a 1，变形可得a 1=2， 当n ≥2时，有S n -1=2a n -1-2，②，①-②可得：a n =2a n -2a n -1，变形可得：a n =2a n -1，则数列{an }是以a 1=2为首项，公比为2的等比数列，故a n =2n ， （2）根据题意，b n =21og 2a n -11=21og 22n -11=2n -11， 当n =1时，b 1=1-11=-9，数列{b n }为等差数列，且首项b 1=-9，公差d =2； 则T n =n×(b 1+b 2)2=n(−9+2n−11)2=n 2-10n ，则当n =5时，T n 取得最小值，且其最小值为-25． 【解析】（1）根据题意，由S n =2a n -2，令n=1可得a 1的值，进而可得n≥2时，有S n-1=2a n-1-2，两式联立分析可得a n =2a n-1，则数列{an}是以a 1=2为首项，公比为2的等比数列，据此分析可得答案； （2）根据题意，b n =21og 2a n -11=21og 22n -11=2n-11，即可得{b n }为等差数列，结合等差数列的前n 项和公式分析可得T n ，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的递推公式，涉及数列的前n 项和的性质，关键是求出数列{a n }的通项公式． 18.【答案】证明：（1）在图（1）中，∵BE =12AB =CD ，且BE ∥CD ，∴四边形EBCD 是平行四边形，在图2中，连结BD ，交CE 于点O ，连结OM ， ∴O 是BD 的中点，又∵点M 是棱PB 的中点，∴OM ∥PD ， ∵PD ⊄平面MCE ，OM ⊂平面MCE ， ∴PD ∥平面MCE ．解：（2）在图1中，∵EBCD 是平行四边形，∴DE =BC ， ∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AD =BC ，∴AD =DE ， ∵∠BAD =45°，∴AD ⊥DE ， 在图2中，PD ⊥DE ，又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ∩平面EBCD =DE ， ∴PD ⊥平面EBCD ，由（1）知OM ∥PD ，∴OM ⊥平面EBCD ，在等腰直角三角形ADE 中，∵AE =2，∴AD =DE =2，∴OM =12PD =12AD =√22，∵S △BCE =S △ADE =1，∴三棱锥M -BCE 的体积V M -BCE =13S △BCE ⋅OM =√26．【解析】（1）推导出四边形EBCD 是平行四边形，连结BD ，交CE 于点O ，连结OM ，推导出OM ∥PD ，由此能证明PD ∥平面MCE ．（2）推导出DE=BC ，AD=BC ，AD=DE ，从而AD ⊥DE ，再由PD ⊥DE ，得PD ⊥平面EBCD ，从而OM ⊥平面EBCD ，由此能求出三棱锥M-BCE 的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可得抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为（1，0），所以p =2，故抛物线的方程为y 2=4x ，（2）因为点P 关于x 轴的对称点为M ，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则M （x 1，-y 1）， 设直线PQ 的方程为y =k （x -2）， 代入y 2=4x 得k 2x 2-4（k 2+1）x +4k 2=0， ∴x 1x 2=4，设直线MQ 的方程无y =mx +n ，代入y 2=4x 得m 2x 2-（2mn -4）x +n 2=0， ∴x 1x 2=n 2m 2=4，∵x 1＞0，x 2＞0， ∴nm =2，即n =2m ，∴直线MQ 的方程为y =m （x +2），故过定点（-2，0）． 【解析】（1）根据椭圆的性质和抛物线的定义即可求出，（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则M （x 1，-y 1），设直线PQ 的方程为y=k （x-2），根据韦达定理可得x 1x 2=4，设直线MQ 的方程无y=mx+n ，再根据韦达定理可得x 1x 2==4，即可求出直线MQ 过定点本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，直线方程的应用及一定的逻辑推理与运算的能力20.【答案】解：（1）由题意知，当一级滤芯更换9，10，11个时，二级芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个， ∴M ={3，4}．（2）由题意得二级滤芯更换3个，需1200元， 二级滤芯更换4个，需1600元，有100台净水器中，二级滤芯需要换3个的有70台， 二级滤芯需要更换4个的有30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A ， ∴P （A ）=30100=0.3．（3）∵a +b =14，b ∈M ， （i ）若a =10，b =4，则这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为：100×11×7+(100×11+200)×30+(200×3+400)×30100=2000．（ii ）若a =11，b =3，则这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为：100×11×70+(100×11+200)×30+200×3×70+(200×3+400)×30100=1880，∴如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个， 客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个． 【解析】（1）当一级滤芯更换9，10，11个时，二级芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，由此能求出M ．（2）由题意得二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，有100台净水器中，二级滤芯需要换3个的有70台，二级滤芯需要更换4个的有30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A ，利用古典概型能求出P （A ）．（3）a+b=14，b ∈M ，当a=10，b=4，求出这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为2000；a=11，b=3，求出这100台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为1880，由此临到 如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个．本题考查集合、概率、采购方案的求法，考查频率分布直方图、古典概型、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：（1）∵f （x ）=a2（x -1）2-x +ln x （a ＞0），定义域（0，+∞），∴f ′（x ）=a （x -1）-1+1x =a(x−1a )(x−1)x， ①当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＞0可得，x ＞1a 或x ＜1， 令f ′（x ）＜0可得，1＜x ＜1a ，∴函数f （x ）单调递增区间（1a ，+∞），（0，1），单调递减区间（1，1a ）； ②a =1时，f °（x ）＞0恒成立，故函数在（0，+∞）上单调递增； ③当a ＞1时，令f ′（x ）＞0可得，x ＜1a 或x ＞1， 令f ′（x ）＜0可得，1a ＜x ＜1，∴函数f （x ）单调递增区间（1，+∞），（-∞，1a ），单调递减区间（1a ，1）； （2）若1＜a ＜e ，由（1）知函数f （x ）在（1，+∞），（0，1a ）单调递增，在（1a ，1）单调递减， ∵f （1）=-1＜0，f （1a ）=a2−12a −lna −1， 令g （a ）=a2−12a −lna −1，1＜a ＜e ，则g ′(a)=12+12a 2−1a =(a−1)22a2＞0恒成立， ∴g （a ）在（1，e ）上单调递增，∴g （1）＜g （a ）＜g （e ）＜0，即f （1a ）=a2−12a −lna −1＜0， ∵x →0，f （x ）→-∞，x →+∞时，f （x ）→+∞，∴函数的图象与x 轴只有一个交点即f （x ）的零点个数为1． 【解析】（1）先对函数进行求导，然后对a 进行分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知函数f （x ）在（1，+∞），（0，）单调递增，在（，1）单调递减，然后判断出f （1）=-1＜0，f （）=＜0及x→0，f （x ）→-∞，x→+∞时，f （x ）→+∞，即可判断．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性． 22.【答案】解：（1）由{x =√3cosθy =1+√3sinθ消去参数θ得x 2+（y -1）2=3，由ρsin （θ+π6）=2√3得ρ（√32sinθ+12cosθ）=2√3，所以x +√3y -4√3=0．（2）曲线C 的方程可化为x 2+y 2-2y -2=0， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ-2=0， 由题意设A （ρ1，π6），B （ρ2，π6）， 将θ=π6代入ρ2-2ρsinθ-2=0，可得ρ12-ρ1-2=0， 所以ρ1=2或ρ1=-1（舍去），将θ=π6代入ρsin （θ+π6）=2√3，可得ρ2=4， 所以|AB |=|ρ1-ρ2|=2． 【解析】（1）消去参数θ可得曲线C 的普通方程，根据互化公式可得直线l 的直角坐标方程； （2）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程，根据极径的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）由题意值f （x ）={−3x +3，x ≤12x +1，12＜x ＜23x −3，x ≥2，当x ≤12时，由f （x ）≤3得-3x +3≤3，得x ≥0，即0≤x ≤12，当12＜x ＜2时，由f （x ）≤3得x +1≤3，得x ≤2，即12＜x ＜2， 当x ≥2时，由f （x ）≤3得3x -3≤3，得x ≤2，即x =2，综上0≤x ≤2，即不等式的解集为[0，2]．（2）由（1）知函数f （x ）的图象如图：不等式f （x ）≤ax 的解集是空集，可转化为f （x ）＞ax 恒成立， 即y =ax 的图象始终在函数y =f （x ）的下方，当直线经过A （2，3）时，3=2a ，得a =32， 当直线与y =-3x +3平行时，a =3，则要使y =ax 的图象始终在函数y =f （x ）的下方， 则-3≤a ＜32，即实数a 的取值范围是-3≤a ＜32． 【解析】（1）讨论x 的取值范围，结合绝对值的应用，进行解不等式即可．（2）将不等式f （x ）≤ax 的解集是空集，可转化为f （x ）＞ax 恒成立，即y=ax 的图象始终在函数y=f （x ）的下方，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查绝对值不等式的应用，利用分类讨论以及数形结合是解决本题的关键．。
山东省高考数学一模试卷及答案
山东省高考数学一模试卷及答案山东省高考数学一模试卷选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则( )A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={0，1}D.M∪N=N2.如果复数z= (b∈R)的实部和虚部相等，则|z|等于( )A.3B.2C.3D.23.“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y=x2+ln|x|的图象大致为( )A. B.C. D.5.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，﹣π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)=Asinωx的图象，只需将函数y=f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度6.甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是( )A.210B.84C.343D.3367.已知变量x，y满足：：，则z=( )2x+y的最大值为( )A. B.2 C.2 D.48. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为( )(参考数据： ≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A.12B.24C.36D.489.已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则 Γ的离心率为( )A.3B.2C.D.10.曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为( )A. B. C. D.山东省高考数学一模试卷非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设的值为.12.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c+1)=P(ξ13.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为.14.有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：.15.在，点M是△ABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(12分)已知函数f(x)= sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值;(Ⅱ)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c= ，f(C)=0，sinB=2sinA，求a，b的值.17.(12分)一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球.(I)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率;(II)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望.18.(12分)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD= .(I)求证：EF∥平面ABCD;(Ⅱ)若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.19.(12分)已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*.(Ⅰ)设bn= ，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an;(Ⅱ)设Cn= ，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn< 对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.20.(13分)已知左、右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.(I)求椭圆C的离心率和标准方程.(II)圆与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围.21.(14分)设f(x)=xex(e为自然对数的底数)，g(x)=(x+1)2.(I)记，讨论函F(x)单调性;(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R)，若函数G(x)有两个零点.(i)求参数a的取值范围;(ii)设x1，x2是G(x)的两个零点，证明x1+x2+2<0.。
2019-2020年高考数学一模试卷(文科)含解析
2019-2020年高考数学一模试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．104．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．18．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为______．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是______．14．在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若．则AD的长为______．15．若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．18．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2016年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={3，4}，则（∁U A）∪B={3，4，5}．故选：C．2．已知为实数，则实数t的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=2t+i，z2=1﹣2i，∴=，又为实数，∴4t+1=0，即t=﹣．故选：D．3．如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．10【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的定义判断A的正误；函数的极值的充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”函数不一定有极值，“x0是函数y=f（x）的极值点”一定有导函数为0，所以已知y=f（x）是R上的可导函数，则“f′（x0）=0”是“x0是函数y=f（x）的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选：B．5．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．6．已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．7．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，A（2，1），O（0，0），点M（x，y）的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A1（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点A1（2，2）代入直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．8．已知下列三个命题：①若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为；③直线x+y+1=0与圆相切；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据标准差的含义，可判断①；根据几何概型概率计算公式，可判断②；根据直线与圆的位置关系，可判断③【解答】解：①若两组数据的平均数相等，不表示离散程度相等，则它们的标准差可能不相等，故为假命题；②在区间[﹣1，5]上随机选取一个数x，则x≥3的概率为=≠，故为假命题；③（0，0）点到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0与圆相切，故为真命题；故选：B．9．已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=3n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是3．故选：A．10．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+1），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+1）=f（x+1），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，∴f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30）…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于30岁人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于30岁的人的频率是1﹣0.020×10+0.025×10=0.55，∴不小于30岁的人的频数是100×0.55=55；从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，在[50，60）年龄段抽取的人数为22×=22×=2．故答案为：2．13．已知{a n}为等比数列，下列结论①a3+a5≥2a4；②；③若a3=a5，则a1=a2；④若a5＞a3，则a7＞a5．其中正确结论的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据等比数列的性质结合不等式的关系进行判断即可． 【解答】解：①a n =（﹣1）n ，则a 3+a 5≥2a 4不成立，故①错误，②∵a 32+a 52≥2|a 3a 5|=2a 42；故；故②正确，③若a n =（﹣1）n ，则a 3=a 5=﹣1，但a 1=﹣1，a 2=1，a 1=a 2；不成立，故③错误， ④若a 5＞a 3，则q 2a 3＞a 3，∵q 2＞0，∴q 2a 5＞q 2a 3，即a 7＞a 5成立，故④正确， 故正确的是②④， 故答案为：②④．14．在平行四边形ABCD 中，为CD 的中点，若．则AD的长为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入数量积公式解出AD ．【解答】解：， ==﹣+．∴=（）•（﹣）=﹣++=1．∵=，=AD 2，．∴AD 2+﹣=1，解得AD=1．故答案为：1．15．若函数f （x ）=﹣2x 3+2tx 2+1存在唯一的零点，则实数t 的取值范围为 t ＞﹣ ． 【考点】函数零点的判定定理．【分析】求解导数f ′（x ）=﹣6x 2+4tx ，分类讨论得出极值点， 根据单调性判断极值的大小，即可得出零点的个数． 【解答】解：∵函数f （x ）=﹣2x 3+2tx 2+1， ∴f ′（x ）=﹣6x 2+4tx=0，∴x=0，x=（1）当t=0时，f （x=﹣2x 3+1单调递减， f （0）=1＞0，f （2）=﹣15＜0 ∴存在唯一的零点，是正数． （2）当t ＞0时，f ′（x ）=﹣6x 2+4tx ＞0，即0f ′（x ）=﹣6x 2+4tx ＜00，即x ＜0，x∴f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）单调递减在（0，）单调递增∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，∴存在唯一的零点，（3）当t＜0时，f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜，x＞0∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减在（，0）单调递增∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，∵只需极小值f（）＞0即可，+1＞0，且t＜0∴﹣＜t＜0，综上：﹣＜t＜0，或t≥0故答案为：t＞﹣．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4，•=12，求c．【考点】解三角形；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据f（C）=求出C，根据，•=12解出a，使用余弦定理解出c．【解答】解：（1）f （x ）=sinx （cosx ﹣sinx ）+1=sin2x ﹣+1=sin （2x +）+．令≤2x +≤，解得≤x ≤．∴函数f （x ）的单调递减区间是[，]，k ∈Z ．（2）∵f （C ）=sin （2C +）+=，∴sin （2C +）=1，∴C=．∵•=abcosA=2a=12，∴a=2．由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=12+16﹣24=4． ∴c=2．17．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率． 【解答】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A 1，A 2，A 3，A 4， 将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B 2，B 4，B 6， 从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：（A 1，B 2），（A 1，B 4），（A 1，B 6），（A 2，B 2），（A 2，B 4），（A 2，B 6）， （A 3，B 2），（A 3，B 4），（A 3，B 6），（A 4，B 2），（A 4，B 4），（A 4，B 6）， 共12种，其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：=．（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，其中不含有编号2的基本事件有，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p=．18．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1=1，且a 1，a 3，a 2+14成等差数列，数列{b n }满足：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•3n +1，n ∈N ． （I ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）若ma n ≥b n ﹣8恒成立，求实数m 的最小值． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得a n=3n﹣1，再将n换为n﹣1，两式相减可得b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．【解答】解：（I）∵数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，∴a n=q n﹣1，由a1，a3，a2+14成等差数列，可得2a3=a1+a2+14，即为2q2=1+q+14，解得q=3（负的舍去），即有a n=3n﹣1，∴a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=（n﹣1）•3n+1，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n﹣1﹣1）•3n﹣1+1（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=（n﹣1）•3n﹣（n﹣2）•3n﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1，∴b n=2n﹣1，当n=1时，a1b1=1，即b1=1满足上式，∴数列{b n}的通项公式是b n=2n﹣1；（2）若ma n≥b n﹣8恒成立，即为m≥的最大值，由c n=，n≥2时，c n﹣1=，c n﹣c n﹣1=﹣=，可得n=2，3，…，6时，c n≥c n﹣1；n=7，…时，c n＜c n﹣1．即有n=5或6时，c n取得最大值，且为，即为m≥，可得m的最小值为．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE 的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．【解答】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB．（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，∵M是CE中点，∴MQ∥AC，∵PB=4PN，AB=4AQ，∴QN∥AP，又∵AP∩PC=P，AP⊂平面APC，PC⊂平面APC，QN∩QM=Q，QN⊂平面MNQ，QM⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAC，∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAC．20．如图：A，B，C是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，证明：．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得即可得出椭圆方程．（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P．利用斜率计算公式可得k CP，可得直线CP的方程，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得D．可得直线DE 的斜率，化简整理即可证明．【解答】解：（I）由题意得=， +=1，a2=b2+c2．联立解得a2=16，b2=4，∴椭圆C： +=1．证明：（Ⅱ）A（4，0），B（﹣4，0），C（0，2），直线BC的方程为：=1，化为：y=x+2．直线AP的方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又点P在椭圆上，∴4x P=，解得x P=，∴y P=k（x P﹣4）=，故P．k CP==，故直线CP的方程为：y=x+2，令y=0，解得x=，可得E．把直线BC与AP的方程联立可得：，解得，∴D．直线DE的斜率为k1===，∴．21．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）求函数的最大值．（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），求出h（x）的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）的最小值，结合F（x）的最大值，从而证出结论即可；（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=+=+，F′（x）=，令F′（x）＞0，解得：x＜e，令F′（x）＜0，解得：x＞e，∴F（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故F（x）max=+；证明：（Ⅱ）令h（x）=x﹣f（x），则h′（x）=，从而h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（1）=1，又F（x）的最大值是+＜1，∴F（x）＜h（x），即+＜x﹣f（x）；解：（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2016年9月19日。
2019届山东省高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
2019届山东省高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】根据两个函数图像交点的个数确定的元素个数.【详解】由幂函数的图像可以知道，它们有三个交点，所以集合有三个元素.选D.【点睛】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题2．若复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由得到，再由复数除法运算，即可得出结果.【详解】因为，所以，故的虚部为.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算、复数的虚部的概念，突显了对数学运算、基本概念的考查. 解答本题首先要了解复数的虚部的概念，其次要能熟练进行复数的四则运算.3．设是不共线的向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】将转化为相互垂直，转化为模长相等，即可得出结果.【详解】，可知以为邻边的平行四边形为矩形，可知两条对角线不一定垂直，当，可知以为邻边的平行四边形为菱形，不一定是矩形，所以不一定成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的几何性质、充分与必要条件的基本概念，熟记充分条件与必要条件的概念以及向量的数量积即可，属于基础题型.4．已知向量的夹角为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据向量夹角公式求，再根据二倍角公式得结果.【详解】因为，所以.选A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.5．已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图像，先确定为等腰三角形，根据题意得到腰长和顶角，代入面积公式即可得出结果.【详解】由题意直线，圆均过原点，通过图形观察可知为等腰三角形，且，，所以.故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，结合圆的特征以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.6．已知抛物线的焦点为，上一点在轴上的投影为，为坐标原点.若的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由题意，不妨设在第一象限，再由的面积为，求出，根据在抛物线上，求出，最后由即可求出结果.【详解】由对称性可知，不妨设在第一象限，，即，因为在抛物线上，即，解得，由抛物线定义，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，熟记抛物线的结构特征以及抛物线定义即可，属于基础题型.7．我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形所围成的区域记为Ⅰ，在圆内且在正方形外的部分记为Ⅱ，在圆外且在大正方形内的部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先要将小正方形旋转度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系.【详解】将小正方形旋转度，图像转化为:由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以.则选A.【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.8．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题首先根据指数函数的单调性得出，然后根据对数函数的单调性得出，最后根据对数的换底公式进一步判断的大小关系即可得出结果.【详解】，，所以最小，所以，所以选B. 【点睛】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质、不等式的性质，以及函数与方程的思想，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.9．如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由, 的面积为，得到的面积；进而求出，再由余弦定理求出，最后在中，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】因为, 的面积为，所以的面积为，则,即.在中，，所以，又因为，，，所以，.所以在中，，即，所以选C.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.10．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.11．设函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由函数解析式判断出函数的奇偶性，以及单调性，再由，，结合函数单调性，即可求出结果.【详解】易知函数为奇函数，且在上为增函数，又因为，由，得，即，解得，故选B.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，熟记函数的奇偶性和单调性、以及不等式的解法即可，属于常考题型.12．如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由题意可知，两个锥体叠加后得到的是三棱柱，根据三棱锥的对称性得出空间直线的垂直、平行关系，即可得出结果.【详解】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，，所以.故选A.【点睛】本题考查了空间几何体的叠加，重点考查了几何体的“割”与“补”，突显了对数学抽象和数学建模的考查，熟记空间中线面位置关系即可，属于常考题型.二、填空题13．已知函数在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】先由解析式求出，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得出结果.【详解】,∴在点处的切线方程为，即. 【点睛】本题考查了导数的四则运算、切线的斜率与切点处导数的关系，重点考查了导数的乘法运算，突显了对数学运算的考查.14．网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体最大侧棱长为_________.【答案】【解析】首先要能将三视图还原成立体图形，再由勾股定理求棱长，即可得出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，其中底面为等腰直角三角形，，，故，取中点，，即最大棱长为.【点睛】本题考查了几何体的三视图，重点考查了主视图、左视图、俯视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，以及空间线面垂直的判定与性质，突显了对数学抽象和直观想象的考查.15．关于的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】先由约束条件作出可行域，再由题意可得，过定点的动直线与平面区域有公共点，结合图像即可得出结果.【详解】画出平面区域为图中阴影部分区域，其中，，而表示过定点的动直线，又题意可转化为：过定点的动直线与平面区域有公共点，也即与线段相交，所以，而，，即.【点睛】本题考查了线性规划问题，重点考查了可行域、目标函数、最优解的概念，属于常考题型.16．已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.【答案】【解析】根据函数在上有且只有三个零点，可得，求出，再由，从大到小依次取验证即可得出结果.【详解】依题意，，当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有四个零点，函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件.当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有三个零点，函数的零点可由求得，有三个零点，综上，的最大值是.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质、函数的零点，熟记正弦函数的周期性、对称性等即可，属于常考题型.三、解答题17．已知数列，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意①当为奇数时，根据求出通项公式；②当为偶数时，根据求出通项公式，最后再综合两种情况即可得出结果.(2)根据并项求和的方法求和即可得出结果.【详解】(1)①当为奇数时，.②当为偶数时，.综上，. (2)∵.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，熟记等差数列的通项公式以及前n项和公式，结合并项求和的思想即可求解，属于常考题型.18．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.(1)证明：平面；(2)若点是棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析；(2).【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明即可；(2)首先要将线面平行即平面转化为线线平行，从而确定点的位置，最后利用比例关系将所求三棱锥的体积转化为其它棱锥的体积，进而可得出结果. 【详解】(1)因为是等腰梯形，所以，即，即，，所以，又因为，，，所以平面；(2)因为平面，，所以，所以，所以，即，所以平面，又因为平面，平面平面，平面，所以，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查体积公式应用，熟记线面垂直的判定定理和性质定理以三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19．下表是年个重点城市（序号为一线城市，其它为非一线城市）的月平均收入与房价对照表，根据表中数据并适当修正，得到房价中位数与月平均收入的线性回归方程是，我们把根据房价与月平均收入的线性回归方程得到的房价称为参考房价，若实际房价中位数大于参考房价，我们称这个城市是“房价偏贵城市”.序月评房价参考序月评房价参考序月评房价参考号价收入中位数房价号价收入中位数房价号价收入中位数房价1106706782211708117327257042170811479215972 210015525845118012706513918194762270651874115780 39561509004573213702716286194042370271053815324 48798307293657614697416667182042469741206914688 574241092620088156920974317760256920233314040 67825267142490016690310627181202669031358213836 77770397232424017688429000173882768842212613608 8775015114240001866547979165842866541220710848 97723177272367619664812500169202966481247210776 107635130122262020660812298162003066081640610286(1)计算城市的参考房价；(2)从个一线城市中随机选取个城市进行调研，求恰好选到一个“房价偏贵城市”的概率；(3)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为一线城市与该城市为“房价偏贵城市”有关？一般城市非一线城市总计房价偏贵城市不是房价偏贵城市总计附参考公式及数据：，其中.0.1000.0500.012.7063.841 6.635【答案】(1)；(2)；(3)见解析.【解析】（1）将代入，即可求出结果；(2)用列举法分别列举“这五个城市中选取个”以及“其中恰好有一个房价偏贵城市”所包含的基本事件，基本事件的个数比即是所求概率；(3)根据题中数据先完善列联表，再由求出，结合临界值表即可得出结果.【详解】(1)城市的参考房价为：；(2)一线城市中，城市是房价偏贵城市，不是房价偏贵城市，从这五个城市中选取个的所有可能有：，，，，，，，，，共十种，其中恰好有一个房价偏贵城市的情形有：，，，，，，所以恰好选到一个房价偏贵城市的概率.(3)一般城市非一线城市总计房价偏贵城市 3 9 12不是房价偏贵城市 2 16 18总计 5 25 30，所以我们没有的把握认为是否是一线城市与该城市是否是房价偏贵城市有关.【点睛】本题考查了线性回归分析、古典概率、独立性检验，熟记古典概型的概率计算公式，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.20．椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由当时，，且的面积为，得到，进而求出，求解即可得到，，从而可得椭圆方程；(2) 当时，，代入椭圆方程，求出点坐标，进而可得线段的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程.【详解】(1)由已知得：当时，，此时，所以，，所以椭圆的方程为. (2)当时，，代入椭圆的方程得：，所以，，所以，线段的中点坐标，线段的中垂线方程为，令，即圆心坐标为，所以半径，因此所求圆的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考题型.21．已知函数（为常数，且）(1）当时，求函数的单调区间；(2）若函数在区间上有唯一的极值点，求实数和极值的取值范围.【答案】(1) 函数的递增区间是，递减区间是；(2)【解析】(1）先对函数求导，将代入导函数，解导函数对应的不等式，即可求出结果；(2）先记，根据函数在区间上有唯一的极值点，可得函数图像是开口向下的抛物线，且，从而可得的范围，再由，以及在上单调递增，即可求出的取值范围.【详解】(1)（，当时，由解得，所以函数的递增区间是，递减区间是；(2)记，，函数在区间上有唯一极值点，则函数图像是开口向下的抛物线，且，即，所以的取值范围是，，所以，因为在上单调递增，且时，，，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的计算、导数的应用，考查了函数与方程思想、数形结合思想，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，属于常考题型.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.【详解】（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知.所以，即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程，代入得：，，设方程两根为，则分别是对应的参数，所以.【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.23．已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为，可以转化为：或或，解得或，所以原不等式的解集是或.（Ⅱ），所以或，解得或.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。
山东省济南市2019届高三3月模拟考试数学(文)试题(解析版)
高三模拟考试文科数学本试卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分。
考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积，为锥体的高）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先算出集合中的元素，然后计算【详解】故选C项.【点睛】本题考查集合的基本概念和集合的交集运算,考查内容较单一,属于简单题.2.已知复数（其中为虚数单位），则的值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】【分析】解法一:对进行化简,然后计算.解法二:利用复数模的性质,若,则【详解】解法一:解法二:【点睛】本题考查复数模的求法,复数模的性质,属于简单题.3.2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将所有符合要求的情况全部列出，然后选出符合要求的情况，利用古典概型的概率公式，得到答案. 【详解】从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位，全部的情况有：（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）（小张，小刘）（小张，小李）（小刘，小李），共6种符合要求，即包含小王的情况有：（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）共3种,所以小王被选中的概率为故选B项.【点睛】本题考查古典概型的求法，属于简单题.4.已知双曲线的一个焦点的坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用焦点的坐标，将双曲线的方程求出来，再求出其渐近线方程.【详解】双曲线的一个焦点为由得，解得双曲线方程为：,双曲线的渐近线方程为.故选A项.【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的渐近线方程.属于简单题.5.随着我国经济实力的不断提升，居民收人也在不断增加。
2019届山东省高三第一次模拟文科数学试卷【含答案及解析】
2019届山东省高三第一次模拟文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设全集，，，则（）A．_________________________________ B．_________________________________ C．_________________________________ D．2. 设是虚数单位，若复数，则的值为（）A． B．_________________________________C．3____________________________ D．53. 下列叙述中正确的是（）A．命题“ ，”的否定是“ ”；B．命题“若，则”的否命题是“若，则”； C．在区间上随机取一个数，则事件“ ”发生的概率为；D．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件.4. 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若取3，估算该圆堡的体积为（）A．1998立方尺______________________________ B．2012立方尺____________________________ C．2112立方尺________________________ D．2324立方尺5. 通过随机询问110名学生是否爱好打篮球，得到如下的列联表：经计算参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”.6. 执行如下图的程序框图，那么输出的值是（）A．2 B． C．____________________________ D．17. 若圆关于直线对称，则由点向圆所作切线长的最小值为（）A．1 B． C．D．8. 偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（）A．1 B．2_____________________________________C．3_____________________________________ D． 49. 已知，且，则的最小值为（）A．5_____________________________________B．7_____________________________________ C．8 D．9 10. 已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．___________________________________ B．___________________________________ C． D．二、填空题11. 抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为_________.12. 已知函数，则 _________.13. 若变量满足，则的最大值为_________.14. 已知圆有上三点，其中，的值为_________.15. 设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于，若到直线的距离不大于，则该双曲线的离心率的取值范围是_________.三、解答题16. （已知函数 .（1）求函数的最小正周期及在上的单调递减区间.（2）在中，边的对角分别为，已知为锐角，，，且是函数在上的最大值，求面积.17. 济南某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.（1）求样本容量和频率分布直方图中的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到济南泉城广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率.18. 如图，四棱锥的底面为菱形，侧棱底面，.（1）若点分别在线段上， , ,求证：平面；（2）问在线段是，是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；否则，说明理由.19. 已知正项等比数列，首项，前项和为，且、，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的最小值.20. 已知函数， .（1）求的单调区间及最小值；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 已知椭圆的离心率，一个焦点为 .（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆与轴负半轴的交点，过点作椭圆的两条弦和，且 .（i）直线是否过定点，如果是求出该点坐标，如果不是请说明理由；（ii）若是等腰直角三角形，求直线的方程.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。
山东省济南市高考数学一模试卷文科含答案解析
2019年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设复数z知足z?（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣34i B．﹣3﹣4i C．34iD34i ++．﹣2M={x|x≤x＜3，会合N=x y=}，则M∪N=（）．已知会合﹣}{|A．MB．N C x1≤x2D．{x3x3}．{|﹣≤}|﹣≤＜3．某校高三（1）班共有48人，学号挨次为1，2，3，，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27B．26C．25D．244．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4D．45．设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，给出以下四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β此中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知命题p：?x0∈R，使sinx0=；命题q：?x∈（0，），x＞sinx，则以下判断正确的选项是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假7f x）=2sinωxφw0，|φ）的部分图象以下图，f0f）．函数（（+）（＞|＜则（）+（的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．已知x，y知足拘束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，] C．[，] D．[，]第1页（共18页）9．已知函数f （x ）= 2bx2x，连续投掷两颗骰子获得的点数分别是 abfax ﹣+，，则函数（x ）在x=1处获得最值的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0），△ABC 的三个极点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为 M ，N ，Q ，且M ，N ，Q 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3．若直线 AB ， BC ， AC1++的值为（ ）的斜率之和为﹣，则A ．﹣B ．﹣C ．D ．二、填空题：（此题共 5小题，每题 5分，共25分）11．设ln3=a ，ln7=b ，则e a +e b =_______．（此中e 为自然对数的底数）12．已知向量 ，，此中||= ，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是_______．13．已知过点（2，4）的直线l 被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0截得的弦长为 6，则直线l 的 方程为_______．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无穷增添时， 多边形面积可无穷迫近圆的面积，并创办了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽获得了圆周率精准到小数点后两位的近似值 ，这就是有名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出 n 的值为_______．（参照数据：sin15°，°）15 f x ） = gx） =kx1 f x ）﹣g x ） =0 有两个．已知函数 （ ，（ +，若方程 （ （ 不一样实根，则实数k 的取值范围为 _______．三、解答题:本大题共 6小题，共 75分16．近期，济南楼市迎往来库存一系列新政， 此中房产税收中的契税和营业税双双下调，对 住宅市场连续增添和去库存产生踊跃影响． 某房地产企业从两种户型中各取出9套进行促销第2页（共18页）活动，此中A 户型每套面积100平方米，均价万元/平方米，B 户型每套面积 80平方米，均价万元/平方米．下表是这 18 套住所平方米的销售价钱：（单位：万元/平方米）： 房号/户型 1234567 89A 户型aB 户型 b（I ）求a ，b 的值；（II ）张先生想为自己和父亲母亲买两套售价小于 100万元的房屋，求起码有一套面积为 100平方米的概率．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角 C 的值；（Ⅱ）若 c=2，且△ABC 的面积为 ，求a ，b ．18．如图，四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为正方形，侧面 PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，E ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点 （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面 PAH ⊥平面DEF ．19．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，知足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a }，{b}的通项公式；nn（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，能否存在k ∈N *，使得等式1 ﹣2T k =建立，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明原因．20 C=1ab0C “”2+y 2： +．若．设椭圆（＞＞），定义椭圆的有关圆方程为抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和两个焦点组成直角三角形（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和“有关圆”E 的方程；“ ”E 上随意一点 P 的直线 l y=kx m 与椭圆交于 A B O为坐标原点， （Ⅱ）过有关圆： + ，两点， 若OA ⊥OB ，证明原点O 到直线 AB 的距离为定值，并求 m 的取值范围．2 b lnx xgx ）= ﹣ 2 1 ﹣ b x ，已知曲线 y=f x 1 21．设函数f （x ）=ax+（ ﹣ ），（ +（ ） （ ）在点（，f （1））处的切线与直线 x ﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数 f （x ）的极值点；（Ⅲ）若关于随意b ∈（1，+∞），总存在x ，x ∈[1，b]，使得f （x ）﹣f （x2 ）﹣1＞g （x ）1 211﹣g （x 2）+m 建立，务实数 m 的取值范围．第3页（共18页）2019年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设复数z知足z?（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A ．﹣34i B．﹣3﹣4i C34iD34i +．+．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】由z2i）=10﹣5i，得z=，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，?（+则z的共轭复数可求．【解答】解：由z?（2i）=10﹣5i，+得=3﹣4i，则z的共轭复数=3+4i．应选：C．2M={x x x＜3N=x y=}，则M∪N=（）．已知会合|﹣≤}，会合{|A ．MB．N C x1x2D．{x3x3}．{|﹣≤≤}|﹣≤＜【考点】并集及其运算．【剖析】分别求出会合M、N的范围，进而求出其并集即可．【解答】解：会合M={x|﹣x≤x＜3}={x|0≤x＜3}，会合N={x|y=}={x|﹣3≤x≤2}，则M∪N={x|﹣3≤x＜3}，应选：D．3．某校高三（1）班共有48人，学号挨次为1，2，3，，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26C．25D．24【考点】系统抽样方法．【剖析】依据系统抽样的特点，从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，则系统抽样的分段间隔为8，可求得余下的同学的编号．【解答】解：∵从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，∴系统抽样的分段间隔为=8，∵学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，∴抽取的另一个同学的学号应为27，应选：A．第4页（共18页）a4b的最小值为（）4ax by=1经过点（122+．已知直线+，），则A．B．2C．4D．4【考点】基本不等式．【剖析】直线ax by=1经过点（12），可得：a2b=1．再利用基本不等式的性质、指数的+，+运算性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），a+2b=1．则2a4b==2，当且仅当时取等号．+≥应选：B．5．设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，给出以下四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β此中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】①依据线面垂直的性质定理进行判断．②依据线面平行的判断定理进行判断．③依据线面平行的判断定理进行判断．④依据线面垂直和面面垂直的判断定理进行判断．【解答】解：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β建立，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α∥β不必定建立，有可能订交，故②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n?β；故③错误，④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故④错误，故正确的选项是①，应选：A6p x∈R，使sinx=；命题q x0x＞sinx，则以下判断．已知命题：?00：?∈（，），正确的选项是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【剖析】分别判断出p，q的真假，进而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：?x∈R，都有sinx≤1，故命题p：?x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单一递加，∴f（x）f（0）=0，故命题q：?x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，第5页（共18页）应选：B．7fx）=2sinωxφw0，|φ＜）的部分图象以下图，f0f）．函数（（+）（＞|则（）+（的值为（）A2﹣B．2+C1﹣D1．．．+【考点】正弦函数的图象．【剖析】依据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的分析式，进而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：依据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T===2π，∴ω；当x=﹣时，函数f（x）获得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；f0f（）=2sin（﹣2sin2×﹣）∴（）+）+（=2×（﹣）+2sin=2﹣．应选：A．8．已知x，y知足拘束条件，则z=的范围是（）第6页（共18页）A ．[ ，2]B ．B[﹣ ， ]C ．[ ， ]D ．[ ， ]【考点】简单线性规划．【剖析】画出知足条件的平面地区，求出角点的坐标，依据 z= 的几何意义求出 z 的范围即可．【解答】解：画出知足条件的平面地区，如图示：， 由 ，解得A （1，2）， 由，解得B （3，1），而z= 的几何意义表示过平面地区内的点与（﹣ 1，﹣1）的直线的斜率，明显直线AC 斜率最大，直线 BC 斜率最小，K AC = = ，K BC ==，应选：C ．9．已知函数f （x ）=ax 2﹣bx 2+x ，连续投掷两颗骰子获得的点数分别是a ，b ，则函数f（x ）在x=1处获得最值的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【剖析】全部的（a ，b ）合计6×6=36个，函数 f ′（x ）=ax 2﹣bx 在x=1处获得最值等价于f ″（1）=2a ﹣b=0，用列举法求得知足条件的（ a ，b ）有3个，再依据概率公式计算即可．【解答】解：连续投掷两颗骰子获得的点数分别是a ，b ，共有36种等可能事件，f x） =ax 3 ﹣ bx 2 x ∵ （ +，∴ f ′（x ）=ax 2﹣bx+1，∵函数f ′（x ）=ax 2﹣bx+1在x=1处获得最值，第7页（共18页）f ″（x ）=2ax ﹣b ，f ″（1）=2a ﹣b=0，即2a=b ，知足的基本领件有（1，2），（2，4），（3，6），共3种，故函数f ′（x ）在x=1处获得最值的概率为 =，应选：C ．10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0），△ABC 的三个极点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为 M ，N ，Q ，且M ，N ，Q 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3．若直线 AB ， BC ， AC的斜率之和为﹣ 1+ + 的值为（） ，则A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【剖析】设AB ，BC ，AC 的方程，联立方程组消元，利用根与系数的关系解出 y 1，y 2，y 3，依据斜率之和为﹣ 1 化简+ + 即可得出答案．【解答】解：设 AB 的方程为x=myt ，BC 的方程为x=m yt ，AC 的方程为 x=myt ，1 +12 +2 3+3联立方程组，消元得：y 2﹣2pm 1y ﹣2pt 1=0，y 1=pm 1，同理可得：y 2=pm 2，y 3=pm 3，∵直线 AB ， BC ， AC 的斜率之和为﹣ 1，∴++=1﹣．∴则 + += + + =（++）=﹣．应选：B ．二、填空题：（此题共 5小题，每题 5分，共25分）ab．（此中e 为自然对数的底数）11．设ln3=a ，ln7=b ，则e+e=10【考点】对数的运算性质．【剖析】使用对数恒等式解出．【解答】解：∵ln3=a ，ln7=b ，e a =3，e b =7， e a +e b =10． 故答案为 10．12=，|| =2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是 ．．已知向量，，此中||第8页（共18页）【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】利用向量垂直的数目积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数目积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为 θ，∵|| = ，| | =2﹣）⊥ ，，且（∴（﹣）? =| |2﹣? =||2﹣| |?||cos θ=3﹣2cos θ=0，解得cos θ= ， 0≤θ≤π，∴θ=， 故答案为： ．13．已知过点（2，4）的直线l 被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0截得的弦长为6，则直线l 的方程为x ﹣2=0或3x ﹣4y+10=0．【考点】直线与圆的地点关系．【剖析】设过点（2，4）的直线 l 的方程为 y=k （x ﹣2）+4，求出圆 C 的圆心C （1，2），半径r= ，圆心C （1，2）到直线l 的距离d ，由此能求出直线 l 的方程；当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为x=2也知足条件．由此能求出直线 l 的方程．【解答】解：设过点（2，4）的直线l 的方程为y=k （x ﹣2）+4，圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0的圆心C （1，2），半径r== ，圆心C （1，2）到直线l 的距离d== ，∵过点（2，4）的直线l 被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0截得的弦长为 6，∴由勾股定理得：，即，解得k= ，∴直线l 的方程为y= （x ﹣2）+4，即3x ﹣4y+10=0，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=2，圆心C （1，2）到直线x=2的距离d=1，知足，故x ﹣2=0是直线l 的方程．综上，直线l 的方程为x ﹣2=0或3x ﹣4y +10=0．故答案为：x ﹣2=0或3x ﹣4y+10=0．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无穷增添时， 多边形面积可无穷迫近圆的面积，并创办了 “ ”“ ”割圆术．利用割圆术刘徽获得了圆周率精准到小数点 后两位的近似值 ，这就是有名的“徽率”．如图是利用刘徽的 “割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为24 ．（参照数据：sin15°，°）第9页（共18页）【考点】程序框图．【剖析】列出循环过程中 S 与n 的数值，知足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟履行程序，可得n=6，S=3sin60°= ，不知足条件 S ≥，n=12，S=6×sin30°=3，不知足条件S ≥，n=24，S=12×sin15°=12×，知足条件S ≥，退出循环，输出n 的值为24．故答案为：24．15．已知函数 f （x ）= ，g （x ）=kx+1，若方程 f （x ）﹣g （x ）=0有两个不一样实根，则实数k 的取值范围为 （ ，1）∪（1，e ﹣1]．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【剖析】方程f （x ）﹣kx=1有两个不一样实根可化为函数 f （x ）与函数y=kx+1有两个不一样的交点，作函数f （x ）与函数y=kx+1 的图象，联合函数的图象求解．【解答】解：∵ g x ） =kx1（ +，∴方程f （x ）﹣g （x ）=0有两个不一样实根等价为方程 f （x ）=g （x ）有两个不一样实根，即f （x ）=kx+1，则等价为函数 f （x ）与函数y=kx+1有两个不一样的交点，当1＜x ≤2，则0＜x ﹣1≤1，则f （x ）=f （x ﹣1）=e x ﹣1，当2＜x ≤3，则1＜x ﹣1≤2，则f （x ）=f （x ﹣1）=e x ﹣2，当3＜x ≤4，则2＜x ﹣1≤3，则f （x ）=f （x ﹣1）=ex ﹣3，当x ＞1时，f （x ）=f （x ﹣1），周期性变化； 函数y=kx+1的图象恒过点（ 0，1）； 作函数f （x ）与函数 y=kx+1的图象以下，C （0，1），B （2，e ），A （1，e ）；第10页（共18页）故kAC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e=1；实数k的取值范围为（11e1]；，）∪（，﹣故答案为：三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近期，济南楼市迎往来库存一系列新政，此中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住宅市场连续增添和去库存产生踊跃影响．某房地产企业从两种户型中各取出9套进行促销活动，此中A户型每套面积100平方米，均价万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价万元/平方米．下表是这18套住所平方米的销售价钱：（单位：万元/平方米）：房号/户型123456789A户型aB户型b（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父亲母亲买两套售价小于100万元的房屋，求起码有一套面积为100平方米的概率．【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【剖析】（Ⅰ）由已知利用均匀数公式能求出a，b．（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，B户型小于100万的有4套，先求出买两套售价小于100万的房屋所含基本领件总数，再列举法求失事件A=“起码有一套面积为100平方米住宅所含基本领件个数，由此能求出起码有一套面积为100平方米的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：（），解得，），解得．（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，设为A1，A2，户型小于100万的有4套，设为B1，B2，B3，B4买两套售价小于100万的房屋所含基本领件总数为=15，令事件A=“起码有一套面积为100平方米住宅”，第11页（共18页）则A 中所含基本领件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个 ∴P （A ）= ，∴起码有一套面积为 100平方米的概率为．．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC 的面积为 ，求a ，b ．【考点】正弦定理；余弦定理．【剖析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得sinA=2sinAcosC ，因为sinA ≠0，解得，又C 是三角形的内角，即可得解C 的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=4，又由余弦定理可解得 ab=4 ，联立刻可解得 a b的+ ，值．【解答】（此题满分为 12分） 解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b ， 2sinCcosA+sinA=2sinB ，2sinCcosA+sinA=2sin （A+C ），即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC ，∴sinA=2sinAcosC ，∴ ，又∵C 是三角形的内角，∴（Ⅱ）∵ ，∴ ，∴ab=4，又∵c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，4=（a+b ）2﹣2ab ﹣ab ， a+b=4， a=b=2．18．如图，四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，E ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点 （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面 PAH ⊥平面DEF ．第12页（共18页）【考点】平面与平面垂直的判断；直线与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ）取CD 中点N ，连结FN ，EN ，则FN ∥PD ，EN ∥AD ，故而平面EFN ∥平面PAD ，因此EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）由侧面PAD ⊥底面ABCD 可得PA ⊥平面ABCD ，故PA ⊥DE ，由正方形的性质可得DE ⊥AH ，故DE ⊥平面PAH ，于是平面PAH ⊥平面DEF ．【解答】证明：（Ⅰ）取 CD 中点N ，连结FN ，EN ．∵在△CPD 中，F ，N 为中点，∴FN ∥PD ． ∵正方形ABCD 中，E ，N 为中点， ∴EN ∥AD ，∵EN?平面EFN ，FN?平面EFN ，EN ∩FN=N ，PD?平面PAD ，AD?平面PAD ，PD ∩AD=D ，∴平面EFN ∥平面PAD ，∵EF?平面EFN ， EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）∵侧面 PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，侧面PAD ∩底面ABCD=AD ，∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE?底面ABCD ，∴DE ⊥PA ，∵E ，H 分别为正方形 ABCD 边AB ，BC 中点，Rt △ABH ≌Rt △ADE ，则∠BAH=∠ADE ，∴∠BAH+∠AED=90°，则DE ⊥AH ，∵PA?平面PAH ，AH?平面PAH ，PA ∩AH=A ，DE ⊥平面PAH ，∵DE?平面EFD ，∴平面PAH ⊥平面DEF ．19．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前 n 项和为S n ，知足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，能否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =建立，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明原因．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出；（II ）利用“裂项乞降”与数列的单一性即可得出．第13页（共18页）【解答】解：（Ⅰ）设等差数列 {a n }的公差为 d （d ≠0），∴ ，解得a 1=3，d=2， b 1=a 1=3，b 2=a 4=9， ∴．（Ⅱ）由（I ）可知：a n =3+2（n ﹣1）=2n+1．，∴ = ，∴ ， 单一递减，得 ，而，因此不存在k ∈N *，使得等式建立．20．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），定义椭圆C 的“有关圆”方程为x 2+y 2=．若抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和两个焦点组成 直角三角形（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和“有关圆”E 的方程；（Ⅱ）过“有关圆”E 上随意一点 P 的直线l ：y=kx+m 与椭圆交于 A ，B 两点，O 为坐标原点， 若OA ⊥OB ，证明原点O 到直线AB 的距离为定值，并求m 的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】（Ⅰ）由抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）与椭圆C 的一个焦点重合，椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点组成直角三角形，获得b=c=1，由此能求出椭圆C 的方程和“有关圆”E的方程．（Ⅱ）联立方程组得（ 12k 2 ） x 2 4km x+2m 2﹣2=0 ，由此利用根的鉴别式、韦 + +达定理、点到直线距离公式，联合已知条件能证明原点 O 到直线AB 的距离为定值，并能求出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为若抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）与椭圆C 的一个焦点重合，因此c=1又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点组成直角三角形，因此b=c=1故椭圆C 的方程为，“有关圆”E 的方程为第14页（共18页）证明：（Ⅱ）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立方程组得（ 12k 2 x 24kmx 2m 2 2=0+ ） + + ﹣=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）=8（2k 2﹣m 2+1）＞0，即2k 2﹣m 2+1＞0，由条件OA ⊥OB 得3m 2﹣2k 2﹣2=0因此原点O 到直线l 的距离是由3m 2﹣2k 2﹣2=0得为定值．此时要知足△＞ 0 ，即 2k 2m 21 0 ，﹣ + ＞，又即，因此，即 或2 b lnx x gx ）= ﹣ 2+（ 1b x ，已知曲线 y=fx 121．设函数f （x ）=ax+（ ﹣ ），（ ﹣ ） （）在点（，f （1））处的切线与直线 x ﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数 f （x ）的极值点；（Ⅲ）若关于随意 b 1 ∞x x 2∈[ 1 b fxfx1gx 1）∈（ ，+ ），总存在1，， ]，使得（1）﹣（2）﹣＞（﹣g （x 2）+m 建立，务实数 m 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单一性．【剖析】（Ⅰ）求出函数的导数，获得 f ′（1）=2a=﹣1，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出f （x ）的导数，联合二次函数的性质，经过议论b 的范围，确立函数的单一区间，求出函数的极值点即可；（Ⅲ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，b]，求出F （x ）的导数，获得F （x ）max ﹣F （x ）min =F （b ）﹣F （1）=blnb ﹣b+1，问题转变为即blnb ﹣b ＞m 对随意b ∈（1，+∞）建立．构tb）=blnbb b 1∞t bm的范围即造函数：（﹣，∈[ ， +），经过议论函数（）的单一性，求出可．【解答】解：（Ⅰ），第15页（共18页）因此k=f'（1）=2a=﹣1，因此（Ⅱ） ，其定义域为（0∞），，+ ，令h （x ）=﹣x 2﹣bx+b ，x ∈（0，+∞）△=b 2+4bi ）当﹣4≤b ≤0时，△=b 2+4b ≤0，有h （x ）≤0，即f'（x ）≤0，因此f （x ）在区间（0，+∞）上单一递减，故f （x ）在区间（0，+∞）无极值点； ii ）当b ＜﹣4时，△＞0，令h （x ）=0，有，，x 2＞x 1＞0，当x ∈（0，x 1）时，h （x ）＜0，即f'（x ）＜0，得f （x ）在（0，x 1）上递减；当x ∈（x 1，x 2）时，h （x ）＞0，即f'（x ）＞0，得f （x ）在（x 1，x 2）上递加；当x ∈（x 2，+∞）时，h （x ）＜0，即f'（x ）＜0，得f （x ）在（x 2，+∞）上递减．此时f （x ）有一个极小值点 和一个极大值点 ．（iii ）当b ＞0时，△＞0，令h （x ）=0，有，，当x ∈（0，x 2）时，h （x ）＞0，即f'（x ）＞0，得f （x ）在（0，x 2）上递加；当x ∈（x 2，+∞）时，h （x ）＜0，即f'（x ）＜0，得f （x ）在（x 2，+∞）上递减．此时f （x ）独一的极大值点 ，无极小值点．综上可知，当 b ＜﹣4时，函数 f （x ）有一个极小值点 和一个极大值点．当﹣4≤b ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上有无极值点；当b ＞0时，函数 f （x ）有独一的极大值点 ，无极小值点；III ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，b]， 则F （x ）==blnx ﹣x若总存在 x 1，x 2∈[1，b]，使得f （x 1）﹣f （x 2）﹣1＞g （x 1）﹣g （x 2）+m 建立，第16页（共18页）即总存在x 1，x 2∈[1，b]，使得f （x 1）﹣g （x 1）＞f （x 2）﹣g （x 2）+m+1建立，即总存在x 1，x 2∈[1，b]，使得F （x 1）﹣F （x 2）＞m+1建立，F x Fx ）min ＞ m1，即 （ ）max ﹣（ + 因为 x ∈[ 1b F' （ x 0 F x ）在[ 1 b，]，因此 ）≥，即 （ ，]上单一递加，因此F （x ）max ﹣F （x ）min =F （b ）﹣F （1 ）=blnb ﹣b+1，即blnb ﹣b+1＞m+1对随意b ∈（1，+∞）建立，即blnb ﹣b ＞m 对随意b ∈（1，+∞）建立．t b=blnb ﹣ b b 1 ∞ ），t ' b =lnb， 结构函数：（） ，∈[ ，+ （） b 1 t' b ）≥ 0t b 1 ，+∞）上单一递加， 当∈[ ，+∞）时，（ ，∴（）在[∴t （b ） mi n =t 1 = 1 b ∈（ 1 ∞ t bt1 = 1 （ ） ﹣．∴关于随意 ，+ ），∴ （）＞（ ） ﹣． 因此m ≤﹣1第17页（共18页）2019年9月12日第18页（共18页）。
2019年山东省济南市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2019年山东省济南市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x＞0}，B={x|x2-4x≤0}，则A⋃B=（）A. B. C. D.2.复数：其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知数列{a n}的前n项和，则a1+a3=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知向量=（2，m+2），=（5+m，2），则m=-6是 ∥的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知过抛物线．y2=2Px（P＞0）焦点的最短弦长为4，则该抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.6.已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的最长棱的长度为（）A. 1B.C.D. 27.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关扶植政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A.2018年4月份我国新能源汽车的销量高于产量B. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过万辆C. 2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量低于1万辆8.如图，点C在以AB为直径的网上，且满足CA=CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的网的一部分，记△ABC三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为P1，P2，则（）A.B.C.D.9.函数的图象大致是（）A. B. C. D.10.朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走．遇务①添一倍，逢店饮斛九②，店务经四处，没了这壶酒，借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛．如图是解决该问题的算法程序框图，若输入的x值为0，则输出的x值为（）A.B.C.D.11.已知函数f，，若f（x1）=g（x2），则x1-x2的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球O为该正四面体的外接球，则过点E的平面被球O所截得的截面面积的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanθ=2，则=______．14.已知定义在R上的奇函数f（x）的周期为4，当x∈（-2，0）时，f（x）=2x+1，则f（5）=______15.在数列{a n}中，若a1=a2=2，a n+2=a n+1+2a n（n∈N*），则log2（a2019+a2020）=______16.已知F1，F2分别为双曲线＞，＞的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S=P2，则该双曲线的离心率为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S=，=ac．（1）求a和角B；（2）如图，BD平分∠ABC，且∠DAB=45°，AD=，求CD的长．18.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC1=BC1，D，E分别为棱AB，A1B1的中点．（1）求证：AB⊥平面C1DE；（2）若AB=AC=2，，，求四棱锥C1-AA1B1B的体积，19.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制了散点图，观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型y=ce dx分别对两个变量的关系进行拟合，已求得用（）用反比例函数模型求关于的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）．根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，可以出售9千件；若单价定为90元，可以出售11千件；已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=，r=．20.已知椭圆：＞＞过点，，左、右焦点分别是F1，F2过F2的直线与椭圆交于M，N两点，△F1MN的周长为8b．（1）求椭圆C的方程；（2）若点D满足，求四边形F1MDN面积的最大值．21.已知函数（1）求函数f（x）的极值；（2）若a≥1，求证：＞．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）已知点A为曲线C上的动点，当点A到直线l的距离最大时，求点A的直角坐标．23.设函数f（x）=|2x-a|+|x|，其中a＞0．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4的解集；（2）若对任意的实数x都有f（x）-f（-x）≥a2-8，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x ＞0}=（0，+∞）， 由B 中不等式变形得：x （x-4）≤0， 解得：0≤x≤4，即B=[0，4]， 则A ∪B=[0，+∞）， 故选：D ．求出B 中不等式的解集确定出A 与B ，找出两集合的并集即可． 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2.【答案】B【解析】解：∵=，∴z 在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第二象限．故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简求出z 的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：依题意，a 1=S 1=1-2=-1，a 3=S 3-S 2=3-0=3，所以a 1+a 3=2． 故选：B ．数列{a n }的前n 项和，所以a 1=S 1=1-2=-1，a 3=S 3-S 2=3-0=3．可得a 1+a 3．本题考查了数列的前n 项和与通项的关系．属于基础题． 4.【答案】A【解析】解：若∥，则（m+2）（5+m ）-2×2=0， 得m 2+7m+6=0，得（m+1）（m+6）=0， 得m=-1或m=-6，即m=-6是∥的充分不必要条件， 根据向量平行的坐标公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量的等价条件是解决本题的关键． 5.【答案】A【解析】解：抛物线的通径是过它的焦点的最短弦． 证明如下：设过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，AB 中点为M ，则M 到准线距离为|AB|，则以AB 为直径的圆与准线相切，由图可知，当AB 中点M 与抛物线焦点F 重合时，圆的半径最小为p ，此时AB 垂直x 轴，即A′B′为抛物线的通径最小为2p ．所以2p=4，则p=2．抛物线方程y 2=4x ，焦点坐标（1，0）．故选：A ．由题意画出图形，利用抛物线定义可知，以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切，结合图形可得抛物线的通径是过它的焦点的最短弦．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．6.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，底面ABCD 是边长为1的正方形，棱锥的高SD=1． 作出几何体的直观图如图所示：显然SA=SC=BD=，故SB==．故最长边为SB=．故选：C．几何体为四棱锥，作出直观图计算棱长即可得出答案．本题考查了棱锥的结构特征与三视图，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由图表可知，对于选项A，2018年4月份我国新能源汽车的销量为8.2万辆，产量为8.1万辆，故A正确，对于选项B，2017年3月份我国新能源汽车的产量为万辆，故B正确，对于选项C，2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量为5.3×25%万辆，故C错误，对于选项D，2017年我国新能源汽车总销量为≈77.67万辆，故D正确，故选：C．由对图表数据的分析处理及进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表数据的分析处理及进行简单的合情推理，属中档题．8.【答案】A【解析】解：设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为；区域Ⅱ的面积=1．圆的面积为π×12=π．故选：A．设圆的半径为1，分别求出两个阴影部分的面积，求得P1，P2的值得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出两个阴影部分的面积，是中档题．9.【答案】D【解析】解：函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0，x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，排除A，函数的导数f′（x）=x2+cosx，则f′（x）为偶函数，当x＞0时，设h（x）=x2+cosx，则h′（x）=2x-sinx＞0恒成立，即h（x）≥h（0）=1＞0，即f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上为增函数，故选：D．先根据函数的奇偶性和极限思想进行排除，求出函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．10.【答案】C【解析】解：由题意，模拟程序的运行，x=0，i=0第一次执行循环体后，x=，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=，i=3，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，x=，i=4，满足退出循环的条件，输出x的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.【答案】B【解析】解：由题意，可设f（x1）=g（x2）=t，∵f（x1）=t，即：ln（x1-1）=t，∴x1=e t+1，t∈R．又∵g（x2）=t，即：=t，∴x2=et，t∈R．∴x1-x2=e t-et+1，t∈R．令h（t）=e t-et+1，t∈R．h′（t）=e t-e．①当h′（t）=e t-e＜0，即t＜1时，h（t）单调递减；②当h′（t）=e t-e＞0，即t＞1时，h（t）单调递增；③当h′（t）=e t-e=0，即t=1时，h（t）取得极小值1．∴h（t）≥h（t）min=h（1）=1．∴x1-x2≥1．故选：B．本题可设f（x1）=g（x2）=t，然后将x1与x2用t表达出来，再令h（t）=x1-x2=e t-et+1，t∈R．再对h（t）进行导数法分析，可得h（t）的取值情况可得结果．本题主要考查函数的转化法以及利用求导分析法，本题属中档题．12.【答案】B【解析】解：如图所示，球O为正四面体ABCD的外接球，正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，∴正方体的棱长为．可得外接球半径R满足2R=3，即R=．E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=3π．故选：B．根据题意，利用题中数据算出外接球半径R以及过E点的截面到球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由tanα=2，则．故答案为：把所求的式子分子分母同时除以cosα，根据同角三角函数间的基本关系化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入可求出值．此题考查了同角三角函数间的基本关系的运用，给所求式子的分子分母同时除以cosα，然后利用tanα=把所求的式子化为关于tanα的关系式是解本题的关键．14.【答案】-1【解析】解：根据题意，函数f（x）的周期为4，则f（5）=f（1），又由f（x）为R上的奇函数，则f（1）=-f（-1），当x∈（-2，0）时，f（x）=2x+1，则f（-1）=20=1，则f（5）=-f（-1）=-1；故答案为：-1．根据题意，由函数的周期可得f（5）=f（1），结合函数的奇偶性可得f（1）=-f（-1），又由函数的解析式分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及函数的求值，属于基础题．15.【答案】2020【解析】解：∵在数列{a n}中，a1=a2=2，a n+2=a n+1+2a n（n∈N*），∴a3=a2+2a1=6，a4=a3+2a2=10，a5=a4+2a3=22，a6=a5+2a4=42，a7=a6+2a5=86，…∴a1+a2=4=22，，，a4+a5=32=25，，，…由此猜想：，∴log2（a2019+a2020）==2020．故答案为：2020．利用递推公式求出数列的前7项，由此猜想：，从而能求出结果．本题考查数列的两项和的对数值的求法，考查数列的递推公式、等比数列的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，由双曲线的定义可得m-n=2a，①由|OM|=|ON|，|OF1|=|OF2|，可得四边形F1NF2M为平行四边形，由直径所对的圆周角为直角，可得四边形F1NF2M为矩形，即有m2+n2=4c2，②S=mn，p=2（m+n），可得32mn=4（m+n）2，③由①②③可得4c2-c2=4a2，即为2c2=3a2，可得e==．故答案为：．设|MF1|=m，|MF2|=n，运用双曲线的定义和勾股定理、以及矩形的周长和面积公式，化简可得a，c的关系，进而得到所求离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率，考查直径所对的圆周角为直角，以及勾股定理和化简运算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）因为b2-a2-c2=ac，所以cos B==-，因为B∈（0，π），所以B=，又因为S=ac sin B=c，所以a=3．…6分（2）因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=60°，在△ABD中，∠DAB=45°，AD=，∠ABD=60°，在△BCD中，∠CBD=60°，BC=a=3，BD=2，由余弦定理可得：CD2=BD2+BC2-2BD•BC•sin60°=7，所以CD=．…12分【解析】（1）由已知利用余弦定理可求cosB=-，结合范围B∈（0，π），可求B=，利用三角形的面积公式即可解得a的值．（2）在△ABD中，由正弦定理可得BD=的值，在△BCD中，由余弦定理可得CD的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=A1C1，BC=B1C1，AB∥A1B1，∵AC=BC，AC1=BC1，D，E分别为棱AB，A1B1的中点．∴C1E⊥A1B1，C1E⊥AB，AB⊥C1D，∵C1E∩C1D=C1，∴AB⊥平面C1DE．（2）作C1H⊥DE于点H，∵AB⊥平面C1DE，AB⊂平面AA1B1B，∴平面C1DE⊥平面AA1B1B，∵C1H⊥平面AA1B1B，∴C1H是四棱锥C1-AA1B1B的高，∵AB⊥平面C1DE，DE⊂平面C1DE，∴AB⊥DE，∵D，E分别是棱AB，A1B1的中点，∴AD=A1E=1，AD∥A1E，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴DE∥AA1，且DE=AA1=2，∴AA1⊥AB，∴四边形AA1B1B是矩形，∵AB=AC=2，，，∴矩形AA1B1B的面积S=，∵AB⊥平面C1DE，C1D⊂平面C1DE，∴AB⊥C1D，∵AD=1，AC1=，∴=3，∵A1B1=B1C1=A1C1=2，∴，∵△C1DE中，，，，∴ ，∴C1D⊥C1E，∴DE•C1H=C1D•C1E，解得C1H=，∴四棱锥C1-AA1B1B的体积：V===2．【解析】（1）推导出C1E⊥A1B1，C1E⊥AB，AB⊥C1D，由此能证明AB⊥平面C1DE．（2）作C1H⊥DE于点H，推导出平面C1DE⊥平面AA1B1B，C1H是四棱锥C1-AA1B1B的高，C1D⊥C1E，由此能求出四棱锥C1-AA1B1B的体积．本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19.【答案】解：（1）令u=，则y=a+可转化为y=a+bu，∵，∴=，．∴，∴y关于x 的回归方程为；（2）y与的相关系数为：=，∵|r1|＜|r2|，∴用反比例函数模型拟合效果更好．当x=10时，y=11+（元）．∴当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）①当产品单价为100元时，每件产品成本为元，∴企业的利润为100×（千元）；②当产品单价为90元时，每件产品成本为元，∴企业的利润为（千元）．故企业要获得更高利润，产品单价应选择90元．【解析】（1）令u=，则y=a+可转化为y=a+bu，分别求出与，则回归方程可求；（2）直接利用相关系数公式求y与的相关系数，可得|r1|＜|r2|，得到用反比例函数模型拟合效果更好，取x=10，可得当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）分别求出产品单价为100元与产品单价为90元企业的利润得答案．本题考查回归方程及相关系数的求法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）∵椭圆：＞＞过点，，左、右焦点分别是F1，F2过F2的直线与椭圆交于M，N两点，△F1MN的周长为8b．∴由题意得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）由（1）可知，F2的坐标为（，），直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（4+m2）y2+2，∴y1+y2=，y1y2=，且△＞0恒成立，∵点D满足=，∴四边形F1MDN为平行四边形，设其面积为S，则S=2△ =2（△ △ ）=2（+）=|F1F2|（|y1|+|y2|），∵y1y2＜0，∴|y1|+|y2|=|y1-y2|，∴S=|F1F2|•|y1-y2|=2|y1-y2|，|y1-y2|===4，令t=m2+1（t≥1），则S=8=8=8≤4，当且仅当t=3，即m=时，S有最大值4．∴四边形F1MDN面积的最大值为4．【解析】（1）由椭圆过点，△F1MN的周长为8b．列出方程组得a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C 的方程．（2）由F2的坐标为（），设直线MN的方程为x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（4+m2）y2+2，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出四边形F1MDN面积的最大值．本题考查椭圆的方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，综合程度较高，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得，0＜x＜1，即函数f（x）为增函数，由f′（x）＜0得x＞1，即函数f（x）为减函数，即当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（1）=1．无极小值．（2）当a≥1时，ae x≥e x，故要证不等式ae x≥（1+）（1+ln x）成立，即证明e x≥（1+）（1+ln x）成立，即＞，令g（x）=，则g′（x）=＞0，∴函数g（x）在区间[0，+∞）上为增函数，故g（x）＞g（0）=1，即＞1，由（1）得≤1，则＞成立，即ae x≥（1+）（1+ln x）成立．【解析】（1）求函数的定义域和导数，利用函数极值的定义进行求解即可．（2）利用分析法和转化法，结合函数最值之间的关系进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数极值和导数的关系，以及利用函数最值关系证明不等式是解决本题的关键．22.【答案】解（1）因为，所以曲线C的普通方程为+=1，因为直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）+1=0，所以+ρsinθ+1=0，将代入上式，得直线l的直角坐标方程为：x++2=0，（2）设A（4cosα，sinα），点A到l的距离为d==，其中sinφ=，cosφ=，显然当sin（α+φ）=1时，d最大，此时α=-φ+2kπ，k∈Z，所以x=4cosα=，y=sinα=．所以点A的直角坐标为（，）．【解析】（1）因为，所以曲线C的普通方程为+=1，因为直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）+1=0，所以+ρsinθ+1=0，将代入上式，得直线l的直角坐标方程为：x++2=0，（2）设A的坐标后利用点到直线的距离公式和三角函数的性质可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当a=2时，不等式为|2x-2|+|x|≤4，当x≤0时，不等式化为2-3x≤4，解得x≥-，即x∈[-，0]，当0＜x＜1时，不等式化为2-x≤4，解得x≥-2，即x∈（0，1），当x≥1时，不等式化为3x-2≤4，解得x≤2，即x∈[1，2]．综上，不等式的解集为[-，2]（2）因为对任意实数x都有f（x）-f（-x）≥a2-8，所以（f（x）-f（-x））min≥a2-8，又因为f（x）-f（-x）=|2x-a|-|2x+a|≥-|2x-a-2x-a|=-|2a|=-2a，所以只需-2a≥a2-8，解得-4≤a≤2，又a＞0，所以0＜a≤2．【解析】（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）利用绝对值不等式的性质转化为函数的最小后，代入解不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
数学(文)卷·2019届山东省济南市高三第一次模拟考试
高考模拟考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|230}A x x x =+-=，{1,1}B =-，则A B =（ ）
A ．{1}
B ．{1,1,3}-
C ．{3,1,1}--
D ．{3,1,1,3}--
2.若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（ ）
A ．命题p 与命题q 都是真命题
B ．命题p 与命题q 都是假命题
C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题
D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题
3.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4.
） A ．22198x y -= B ．2219x y -= C ．22198x y += D ．2
219
x y += 5.
若sin 410A π⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．34。
2019年山东省高考数学模拟试卷及参考答案
2019年山东省高考数学模拟试卷（）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x＞1，x2-x＞0”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.椭圆点=1的离心率为（）A. B. C. D.3.若函数f（x）=x2-，则f′（1）=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则C的方程为（）A. B. C. D.5.已知向量，平面α的一个法向量，若AB⊥α，则（）A. ，B. ，C.D.6.已知函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-ey+2=0平行，则a=（）A. 1B.C. eD.7.在三棱柱ABC-A 1B1C1中，若=，=，=，则=（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=x+cos（+x），x∈[，]，则f（x）的极大值点为（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=m ln（x+1）+x2-mx在（1，+∞）上不单调，则m的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=1，公差为d，则“-1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当•取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=（）A. 4B. 8C.D.12.已知函数f（x）=x2+2a ln x+3，若∀x1，x2∈[4，+∞）（x1≠x2），∃a∈[2，3]，＜2m，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的最小值为______．14.直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为______．15.过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若|NF|=10，则MF|=______．16.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直．若点C到平面AB1D1的距离为，直线B1D与平面AB1D1所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，AB=2，AA1=4．（1）若=x+y+z，求x+y+z；（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，写出A1，C，D1，E 的坐标，并求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．18.已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=8，点E，F分别为CA1，AB的中点．（1）求异面直线EF与A1B所成角的正弦值；（2）求二面角A-B1F-E的余弦值．20.设函数f（x）=e2x-a（x+1）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0对x∈R恒成立，求a的取值范围．21.已知椭圆C：的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m（k＞0，m2≠4）与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|=4，试用m表示k．22.已知函数f（x）=x lnx+ax3-ax2，a∈R．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=存在两个极值点x1，x2，求g（x1）+g（x2）的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞1，x2-x＞0”的否定是：∃x0＞1，x2-x≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：椭圆点=1，可得a=，b=，c=，可得e===．故选：A．求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3.【答案】C【解析】解：∵f（x）=x2-，∴f′（x）=2x+，则f′（1）=2+1=3．故选：C．求出原函数的导函数，取x=1得答案．本题考查导数的计算，关键是熟记初等函数的求导公式，是基础题．4.【答案】D【解析】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则a=b，由2c=8，可得c=4由a2+b2=c2=16，可得a2=b2=8，故选：D．根据双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则a=b，再根据c=4，即可求出a2=b2=8．本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为⊥α，所以，由，解得x=6，y=2．故选：A．根据空间向量的共线定理列方程组求出x、y的值．本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．6.【答案】D【解析】解：函数，可得，函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-ey+2=0平行，，所以a=-1．故选：D．求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求解a即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．7.【答案】B【解析】解：=-=-=--．故选：B．利用=-=-即可得出．本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：f（x）=x+cos（+x）=x-sinx，则f′（x）=-cosx，令f′（x）＞0，解得：-＜x＜-或＜x＜，令f′（x）＜0，解得：-＜x＜，故f（x）在[-，-）递增，在（-，）递减，在（，]递增，故f（x）的极大值点是-，故选：B．求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可．本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是一道常规题．9.【答案】A【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=+2x-m=，若f（x）在（1，+∞）上不单调，即当x＞1时f′（x）=0有解，即2x2+（2-m）x=0，则x＞1时，有解，由2x2+（2-m）x=0得2x+（2-m）=0，即x=，则＞1即可，得m＞4，即实数m的取值范围是（4，+∞），故选：A．求函数的导数，结合函数在（1，+∞）上不单调，得当x＞1时f′（x）=0有解，结合一元二次方程进行求解即可．本题主要考查函数导数的应用，结合函数单调性与导数之间的关系转化为f′（x）=0，有解是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵S22+S52＜26，∴（2+d）2+25（1+2d）2＜26，∴（101d+3）（d+1）＜0，∴-1＜d＜-，∵-1＜d＜0推不出-1＜d＜-，-1＜d＜-⇒-1＜d＜0，∴“-1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的必要不充分条件．故选：B．解出关于d的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了等差数列的前n项公式，是一道基础题．11.【答案】A【解析】解：•取==PO2-c2．∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴1+=4，即b=a．当PO⊥MN时，PO最小，当P与N重合时PO最大．当PO⊥MN时，由，可得，则=，故选：A．由•==PO2-c2．可得当PO⊥MN时，PO最小，当P与N重合时PO最大．求得面积S1，S2，即可．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：设x1＞x2，由＜2m，得f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，记g（x）=f（x）+2mx，则g（x）在[0，+∞）上单调递增，故g'（x）≥0在[4，+∞）上恒成立，即在[4，+∞）上恒成立，整理得在[4，+∞）上恒成立，∵a∈[2，3]，∴函数在[4，+∞）上单调递增，故有，∵∃a∈[2，3]，∴，即．故选：D．设x1＞x2，把＜2m转化为f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，记g（x）=f（x）+2mx，则g（x）在[0，+∞）上单调递增，故g'（x）≥0在[4，+∞）上恒成立，转化为在[4，+∞）上恒成立，求出函数在[4，+∞）上的最大值即可求得m的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．13.【答案】【解析】解：因为，易知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以．故答案为：．求出函数的导数，利用函数的单调性转化求解函数的最小值．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．14.【答案】【解析】解：∵直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，，∴l与n的夹角为．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查两直线的夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：设M（x0，y），F（3，0）．∵|NF|=10，∴=102，=12x，解得x=，则MF|=+3=．故答案为：．设M（x0，y），F（3，0）．由|NF|=10，可得=102，又=12x，联立解出即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设AA1=t，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B1（2，2，t），D1（0，0，t），D（0，0，0），C（0，2，0），=（0，2，t），=（-2，0，t），=（2，2，t），=（-2，2，0），设平面AB1D1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），∵点C到平面AB1D1的距离为，∴d===，由t＞0，解得t=2，∴平面AB1D1的法向量=（1，-1，），=（2，2，2），设直线B1D与平面AB1D1所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==．∴直线B1D与平面AB1D1所成角的余弦值为．故答案为：．设AA1=t，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出t=2，从而求出平面AB1D1的法向量，利用向量法能求出直线B1D与平面AB1D1所成角的余弦值．本题考查线面线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系得：D1（0，0，4），D（0，0，0），E（2，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），则=（2，2，2），=（2，0，0），=（0，2，0），=（0，0，4），又=x+y+z，所以，即，故x+y+z=（2）由图可得：A1（2，0，4），C（0，2，0），D1（0，0，4），E（2，2，2），所以=（2，2，2），=（0，-2，4），设，的夹角为θ，则cosθ==，则异面直线DE与CD1所成角的余弦值为，故答案为：．【解析】（1）由空间直角坐标系、空间点的坐标得：=x+y+z，所以，即，故x+y+z=（2）利用向量的数量积求异面直线所成的角得：设，的夹角为θ，则cosθ==，则异面直线DE与CD所成角的余弦值为，1得解．本题考查了空间直角坐标系、空间点的坐标及利用向量的数量积求异面直线所成的角，属中档题．18.【答案】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x=-2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2=8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y 12-y22=8（x1-x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k=4，则直线l的方程为y-1=4（x-1），即y=4x-3，与y2=8x联立得16x2-32x+9=0，得，．【解析】（1）利用动圆C过定点F（2，0），且与直线l：x=-2相切，所以点C的1轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|．本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19.【答案】解：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=8，点E，F分别为CA1，AB的中点．∴以A1为原点，A1C1，A1B1，A1A所成直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E（2，0，4），F（0，2，8），A1（0，0，0），B（0，4，8），=（-2，2，4），=（0，4，8），设异面直线EF与A1B所成角为θ，则cosθ==，sinθ==，∴异面直线EF与A1B所成角的正弦值为．（2）A（0，0，8），B 1（0，4，0），=（0，-2，8），=（0，-4，8），=（2，-4，4），设平面AB 1F的法向量=（1，0，0），设平面B 1EF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（4，-2，1），设二面角A-B1F-E的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A-B1F-E的余弦值为．【解析】（1）以A1为原点，A1C1，A1B1，A1A所成直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与A1B所成角的正弦值．（2）求出平面AB1F的法向量和平面B1EF的法向量，利用向量法能求出二面角A-B1F-E的余弦值．本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由函数的解析式可得：f′（x）=2e2x-a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，由f’（x）=0可得，则单调递减，单调递增．（2）由题意可得：e2x-a（x+1）＞0，e2x＞a（x+1）恒成立，很明显a＜0不合题意，当a≥0时，原问题等价于指数函数y=（e2）x的图象恒在y =a （x+1）的上方，直线y=a（x+1）恒过定点（-1，0），考查函数y=（e2）x过（ -1，0）的切线方程：易知切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为：，切线过（-1，0），故，解得：，综上可得，实数a的取值范围是．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题转化为函数过一点的切线问题，利用导函数研究切线的性质即可确定实数a的取值范围．本题主要考查导函数研究函数的切线方程，导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．21.【答案】解：（1）由题意有，解得故椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，所以，．因为|AB|=4|，所以，所以，整理得k2（4-m2）=m2-2，显然m2≠4，所以．又k＞0，故．【解析】（1）由题意可得，解得a，b即可．（2）利用直线与椭圆方程，利用弦长公式，韦达定理，求得，整理得，即可求解．本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．22.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=x lnx，f′（x）=ln x+1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＞0，解得：x＞，故函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）g（x）==ln x+ax2-ax（x＞0），g′（x）=，由题意知：x1，x2是方程g′（x）=0的两个不相等的正实根，即x1，x2是方程ax2-ax+1=0的两个不相等的正实根，故，解得：a＞4，∵t（a）=g（x1）+g（x2）=a-ax 1+ln x1+a-ax2+ln x2=a[-2x 1x2]-a（x1+x2）+ln（x1x2）=-a-ln a-1是关于a的减函数，故t（a）＜t（4）=-3-ln4，故g（x1）+g（x2）的范围是（-∞，-3-ln4）．【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出a的范围，得到t（a）=g（x1）+g（x2）的解析式，结合函数的单调性求出其范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
2019届山东省济南市高三第一次模拟考试数学(文)试题word版含解析
2019届山东省济南市高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合2{|230}A x x x =+-=， {}1,1B =-，则A B ⋃=（ ） A. {}1 B. {}1,1,3- C. {}3,1,1-- D. {}3,1,1,3-- 【答案】C【解析】集合}{}2{| 2303,1A x x x =+-==-，所以{}3,1,1A B ⋃=--,选C. 2．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（ ） A. 命题p 与命题q 都是真命题 B. 命题p 与命题q 都是假命题 C. 命题p 是真命题，命题q 是假命题 D. 命题p 是假命题，命题q 是真命题【答案】D【解析】因为非p 为真命题，所以p 为假命题，又p 或q 为真命题，所以q 为真命题，选D. 3．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时， 10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， 4i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C【解析】由已知有4cos4sin4i e i =+，因为342ππ<<，所以4在第三象限，所以cos40,sin40<<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C.4 ） A. 22198x y -= B. 2219x y -= C. 22198x y += D. 2219x y += 【答案】D【解析】由于离心率013<<，所以此曲线为椭圆，排除选项A，B；对于选项C，此曲线为椭圆，222229,8,1a b c a b==∴=-=，离心率13e===，不符合；对于选项D，为椭圆，222229,1,8,a b c a b==∴=-=离心率3e==，符合，选D.5．若sin410Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，,4Aππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A的值为（）A. 35B.45C.35或45D.34【答案】B【解析】5,,,4424A Aπππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以c o s04Aπ⎛⎫+<⎪⎝⎭，且c o s n410Aπ⎛⎫+==-⎪⎝⎭，所以4s i n s i n4444A A A Aππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选B.点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题。