2018-2019学年重庆市万州二中高二下学期期中考试数学(理)(含答案)
重庆万州二中2018—2019学年下学期期中考试
高二数学（理科）试题
命题人：张应红审题人：冉小魏
一、单选题
1．已知复数（是虚数单位），则（是的共轭复数）的虚部为( )
A． B． C． D．
2．汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是( )
A． B． C． D．
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“”类比得到“”；
②“”类比得到“”；
③“”类比得到“”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．从右图所示的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分
的概率为( )
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。
甲说：“是丙或丁打碎的。
”乙说：“是丁打碎的。
”丙说：“我没有打碎玻璃。
”丁说：“不是我打碎的。
”他们中只有一人说了谎，请问是( )打碎了玻璃。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．B．
C．D．
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》
一书里出现了如右图所示的表，即杨辉三角，这是数学
史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有
数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列
，则此数列的前55项和为( )
8．函数 的定义域是 ， ，对任意 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A ．
B ． - 或
C ．
D ． 或
9．若关于 的方程 没有实数根，则实数 的取值范围是( ) A ． ， B ． ， C ． ， D ． ，
10．若函数
有唯一一个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．
B ．
C ． 或
D ． 或
11．若函数 的图象上存在两个点 关于原点对称，则称点对 为 的“伙伴点对”，点对 与 可看作同一个“伙伴点对”，若函数
恰好由两个“伙伴点对”，则实数 的值为( ) A ． B ．2 C ．1 D ．0
12．若实数,,,a b x y 满足，则()()2
2
a x
b y -+-的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
13．若 ，且 ，则 __________． 14．已知
，则 __________.
15．设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F(x)＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F(x)对质点M 所做的功为__________J(x 的单位：m ；力的单位：N)．
16．若函数 与 的图象存在公共切线，则实数的最大值为__________
三、解答题
17．已知复数 .当实数 取什么值时，复数 是： （1）纯虚数；
（2）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
18．（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）已知，且，求证：和中至少有一个小于2.
19．用一根长为分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是分米,用表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)．
（1）试求函数的解析式及其定义域；
（2）当该框架的底面宽取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值．
20．已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
21．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
22．已知函数，. （Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围;
（Ⅱ）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）.
重庆万州二中2018—2019学年高二下学期期中考试数学（理科）试题
重庆万州二中2018—2019学年下学期期中考试
高二数学（理科）参考答案
一、单项选择DCBCD BAADB BC
12. ∴24ln 0,220b a a c d +-=-+=。
将24ln 0b a a +-=看成24ln 0y x x +-=，即曲线24ln y x x =-+。
将220c d -+=看成220x y -+=，即直线22y x =+。
()()
22
a c
b d -+-表示曲线24ln y x x =-+上的点与直线22y x =+上的点间的距离的平
方。
作与直线22y x =+平行的曲线的切线， 由24ln y x x =-+，得，得220x x +-=， 解得1x =或2x =-（舍去）。
所以切点为()1,1-。
故点()1,1-到直线220x y -+=的距离为
∴()()22
a c
b d -+-的最小值为5。
选C 。
16．【解析】
解：设公切线与f （x ）＝x 2
+1的图象切于点（ ， ）， 与曲线C ：g （x ）＝ 切于点（ ， ）， ∴2
，
化简可得，2
，∴
∵2
，a
，
设h （x ） （x ＞0），则h ′（x ） ， ∴h （x ）在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减，
∴h （x ）max ＝h （ ） ，∴实数a 的的最大值为e ，故答案为：e ． 17．【解析】 ，
（1）为纯虚数，则，则.
（2），则或.
18．【解析】（Ⅰ）证明：因为和都是正整数，所以
只需证，
只需证，
即证，即证，
即证，
即证，
因为显然成立，所以原不等式成立.
（Ⅱ）假设，
则因为，有
所以，
故.这与题设条件相矛盾，所以假设错误.
因此和中至少有一个小于2.
19．【解析】（1）由题意,当长方体框架的底面宽是分米时,其长是分米,高是分米,
所以．
由,解得,即函数的定义域为．
（2）法1：因为,
所以,
当且仅当,即时,有最大值,
最大值为．
即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．
法2：因为
所以
重庆万州二中2018—2019学年高二下学期期中考试数学（理科）试题
易得当时,；当时,．
从而在区间上单调递增,在区间上单调递减,
故当时,有最大值,最大值为．
即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．
20．【解析】（1）当时，
∴切线斜率，切线方程为：
（2）由，
可得：
①当时，，在为减函数；
②当时，时，，故在为减函数；时，，故在为增函数.
21．【解析】（1）当时，，∴，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
∴，
（2）由条件得，
令，则.
①当时，在上，，单调递增，
∴，即，∴在上为增函数，
∴，∴时满足条件.
②当时，令，解得，在上，，单调递减，∴当时，有，即，
∴在上为减函数，∴，不合题意.
综上实数的取值范围为，．
22．【解析】（Ⅰ）由题意，知的定义域是，
则，
令，则=0，解得x=1或x=.
∵函数在上单调递增，
∴ⅰ）当时，在上单调递增，在上单调递减，符合题意；
ⅱ）当时，在和上单调递增，在上单调递减，符合题意；ⅲ）当时，在上单调递增，符合题意；
ⅳ）当时，在和上单调递增，在上单调递减，∵函数在上单调递增，∴，，
综上所述，的取值范围是.
（Ⅱ）由题意，得，
∴.
当时，，在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故．令，解得；令，解得，故在上单调递增，在
上单调递减．
不妨设，，且.
要证，需证.即证
.
又，所以只需证.
即证：当时，．
设，
则.
∴在上单调递减.
又，
重庆万州二中2018—2019学年高二下学期期中考试数学（理科）试题故当时，，原不等式成立．。
【精选高中试题】重庆市万州二中高二期中考试题数学Word版含答案
绝密★启用前2017-2018学年度万州二中高2019级期中考试数学试题注意事项：1.选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.2.非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置） 1．“1x <-”是“210x ->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知经过点()3,P m 和点(),2Q m -的直线的斜率等于2，则m 的值为（ ）A.43B. 1C. 2D. 1- 3．直线013=-+y x 的倾斜角为（ ）A ．3π B ．6π C ．32π D ．65π4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④5．如图所示的直观图中，O′A′=O′B′=2，则其平面图形的面积是( )A.4B.24C.22D.86．两圆221C 4470x y x y ++-+=：，222C 410130x y x y +--+=：的公切线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则14a b+的最小值是（ ） A.16 B.9 C.12 D.88．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 9．如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，以下四个结论中正确的是（ ）A ．直线MN 与BC 1所成角为90°B ．直线AM 与BN 互相平行C ．直线MN 与DC 1互相垂直D ．直线MN 垂直于平面A 1BCD 1 10.在空间直角坐标系Oxyz中,已知()(()(2,0,02,2,20,2,01,1,2A B C ，，，.若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A.B.C.D.11．已知某几何体的外接球的半径为错误！未找到引用源。
重庆市万州二中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年重庆市万州二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．已知全集U={2，3，4，5，6，7}，集合A={4，5，7}，B={4，6}，则A∩（∁B）=（）UA．{5}B．{2}C．{2，5}D．{5，7}2．已知i为虚数单位，则=（）A． B． C．D．3．命题“∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n B．∃n0∈N，f（n0）∈N且f（n0）＞n0 C．∀n∈N，f（n）∈N或f（n）＞n D．∃n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n04．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2B．f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1C．f（x），g（x）=x+1 D．f（x）=，g（t）=|t|5．已知集合A={1，﹣1}，B={1，0，﹣1}，则集合C={a+b|a∈A，b∈B}中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg7．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的8．若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C． D．9．已知曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的斜率为1，则实数a的值为（）A．B．C．D．10．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（）A．男护士B．女护士C．男医生D．女医生11．已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{3}B．[3，5）∪{}C．[，]∪{5}D．[3，7）∪{} 12．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a的值为．14．若f（x）=1+++…+，计算得当n=1时f（2）=，当n≥2时有f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，因此猜测当n≥2时，一般有不等式 ．15．已知x ，y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为=x +1，则m 的值为 ． 16．已知函数f （x ）=在R 上单调递减，且方程|f （x ）|=2有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）已知命题p ：x 2﹣8x ﹣20≤0，命题q ：x 2﹣2x +1﹣a 2≥0（a ＞0），若￢p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 18．（12分）求证：（1）a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ； （2）+＞2+．19．（12分）某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩，若单科成绩在85分以上，则该科成绩为优秀．（1）请完成下面的 2×2 列联表（单位：人）（2）根据（1）中表格的数据计算，是否有99%的把握，认为学生的数学成绩与物理之间有关系？20．（12分）已知函数f（x）=（k＞0）（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}，求不等式5mx2+kx+3＞0的解集；（2）若任意x≥3，使得f（x）＜1恒成立，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ=，θ∈[0，2π），直线l为参数，t ∈R）（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）设直线l和曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年重庆市万州二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．已知全集U={2，3，4，5，6，7}，集合A={4，5，7}，B={4，6}，则A∩（∁B）=（）UA．{5}B．{2}C．{2，5}D．{5，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集定义求出C U B，再由交集定义能求出A∩（∁U B）．【解答】解：∵全集U={2，3，4，5，6，7}，集合A={4，5，7}，B={4，6}，∴C U B={2，3，5，7}，∴A∩（∁U B）={5，7}．故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．2．已知i为虚数单位，则=（）A． B． C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：===．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．命题“∀n∈N，f（n）∉N且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N，f（n）∈N且f（n）＞n B．∃n0∈N，f（n0）∈N且f（n0）＞n0C．∀n∈N，f（n）∈N或f（n）＞n D．∃n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N，f（n）∉N 且f（n）≤n”的否定形式是：∃n0∈N，f（n0）∈N或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．一般形式为：全称命题：∀x∈M，p（x）；特称命题∃x∈M，p（x）．4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=（）2B．f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1C．f（x），g（x）=x+1 D．f（x）=，g（t）=|t|【考点】32：判断两个函数是否为同一函数．【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得到结果．【解答】解：f（x）=，g（x）=（）2，函数的定义域不相同，不是相同函数；f（x）=（x﹣1）0，g（x）=1，函数的定义域不相同，不是相同函数；f（x），g（x）=x+1，函数的定义域不相同，不是相同函数；f（x）=，g（t）=|t|，函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数．故选：D．【点评】本题考查函数是否是相同函数的判断，注意函数的定义域以及对应法则是解题的关键．5．已知集合A={1，﹣1}，B={1，0，﹣1}，则集合C={a+b|a∈A，b∈B}中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】15：集合的表示法．【分析】当a=1时，b=1、0、﹣1，则a+b=2、1、0；当a=﹣1时，b=1、0、﹣1，则a+b=0、﹣1、﹣2；从而列举出集合C中的元素即可．【解答】解：当a=1时，b=1、0、﹣1，则a+b=2、1、0；当a=﹣1时，b=1、0、﹣1，则a+b=0、﹣1、﹣2；集合C={a+b|a∈A，b∈B}={﹣2，﹣1，0，1，2}故选：D．【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．6．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．【点评】本题考查了回归分析与线性回归方程的应用问题，是基础题目．7．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．【点评】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．8．若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A． B．C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．【解答】解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．9．已知曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的斜率为1，则实数a的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】首先求出函数的导数，然后求出f'（1）=1，进而求出a的值．【解答】解：∵f'（x）=，曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的斜率为1，∴f'（1）==1解得：a=．故选：D．【点评】本题考查了导数的运算以及导数与斜率的关系，比较容易，属于基础题．10．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（）A．男护士B．女护士C．男医生D．女医生【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设女护士人数为a，男护士人数为b，女医生人数为c，男医生人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设女护士人数为a，男护士人数为b，女医生人数为c，男医生人数为d，则有：（一）a+b≥c+d（二）d＞a（三）a＞b（四）c≥1得出：d＞a＞b＞c≥1假设：c=1仅有：a=4，b=3，d=5，c=1时符合条件，又因为使abcd中一个数减一任符合条件，只有b﹣1符合，即男护士，假设：c＞1则没有能满足条件的情况综上，这位说话的人是男护士，故选：A．【点评】本题考查的知识点是逻辑推理，难度中档．11．已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{3}B．[3，5）∪{}C．[，]∪{5}D．[3，7）∪{}【考点】5B：分段函数的应用；3O：函数的图象．【分析】若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则函数y=log a x，与y=|x﹣5|﹣1上有且只有一个交点，解得：实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0且a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，∴函数y=log a x，与y=|x﹣5|﹣1上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣1）点时，a=，当对数函数的图象过（3，1）点时，a=3，当对数函数的图象过（7，1）点时，a=7，故a[3，7）∪{}，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象，数形结合思想，难度中档．12．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【考点】6D：利用导数研究函数的极值；51：函数的零点．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g （0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a的值为1．【考点】A8：复数求模．【分析】根据复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：∵z1=2+ai，z2=2﹣i，|z1|=|z2|，∴，即a2+4=5，则a2=1，解得a=1或a=﹣1（舍），故答案为：1【点评】本题主要考查复数的模长公式的应用，解方程是解决本题的关键．比较基础．14．若f（x）=1+++…+，计算得当n=1时f（2）=，当n≥2时有f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，因此猜测当n≥2时，一般有不等式f（2n）≥．【考点】F1：归纳推理．【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案【解答】解：观察已知中等式：得f（2）=，即f（21）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞f（16）＞3，即f（24）＞f（32）＞，即f（25）＞…则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥．【点评】本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题．15．已知x，y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值为．【考点】BK：线性回归方程．【分析】计算、，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．【解答】解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，解得m=，即m的值为．故答案为：．【点评】本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．16．已知函数f（x）=在R上单调递减，且方程|f（x）|=2有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，∴y=x2+（2﹣4a）x+3a在（﹣∞，0）上单调递减，y=log a（x+1）在（0，+∞）上单调递减，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤1．∵方程|f（x）|=2有两个不相等的实数根，∴3a≤2，即a≤．综上，≤a≤．故答案为[，]．【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，判断端点值的大小是关键，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2015秋•莆田校级期末）已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，命题q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出p，q，根据￢p是q的充分不必要条件，可得A⊊B，即可得出．【解答】解：由命题p：x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．可得￢p：x＞10或x＜﹣2，记A={x|x＜﹣2，或x＞10}．q：x≤1﹣a或x≥1+a，记B={x|x≤1﹣a，或x≥1+a}（a＞0）．∵￢p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得0＜a≤3．∴所求a的取值范围为0＜a≤3．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017春•万州区校级期中）求证：（1）a2+b2+c2≥ab+ac+bc；（2）+＞2+．【考点】R6：不等式的证明．【分析】（1）利用基本不等式，即可证得a2+b2+c2≥ab+bc+ac；（2）寻找使不等式成立的充分条件即可．【解答】证明：（1）∵a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；，（2）要证+＞2+，只要证（+）2＞（2+）2，只要证13+2＞13+2，只要证＞，只要证42＞40， 显然成立， 故+＞2+．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．19．（12分）（2017春•万州区校级期中）某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩，若单科成绩在85分以上，则该科成绩为优秀．（1）请完成下面的 2×2 列联表（单位：人）（2）根据（1）中表格的数据计算，是否有99%的把握，认为学生的数学成绩与物理之间有关系？【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意，完成 2×2 列联表； （2）根据表中数据，计算K 2，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，完成 2×2 列联表如下；（2）根据（1）中表格的数据计算，计算 K 2==≈8.802＞6.635，对照临界值知，有99%的把握认为学生的数学成绩与物理之间有关系． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．20．（12分）（2017春•万州区校级期中）已知函数f （x ）=（k ＞0）（1）若f （x ）＞m 的解集为{x |x ＜﹣3，或x ＞﹣2}，求不等式5mx 2+kx +3＞0的解集；（2）若任意x ≥3，使得f （x ）＜1恒成立，求k 的取值范围． 【考点】3R ：函数恒成立问题；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）由题意可得mx 2﹣2kx +6km ＜0的解集为{x |x ＜﹣3，或x ＞﹣2}，可得﹣3，﹣2是方程mx 2﹣2kx +6km=0的根，运用韦达定理可得k ，m ，再由二次不等式的解法可得解集；（2）讨论x=3，不等式显然成立；当x ＞3时，运用参数分离可得k ＜恒成立，令g （x ）=，x ＞3，则k ＜g （x ）min ，运用换元法和基本不等式可得最小值，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）f（x）＞m⇔＞m ⇔mx 2﹣2kx +6km ＜0，由不等式mx 2﹣2kx +6km ＜0的解集为{x |x ＜﹣3，或x ＞﹣2}， ∴﹣3，﹣2是方程mx 2﹣2kx +6km=0的根， 可得=﹣5，6k=﹣2×（﹣3），解得k=1，m=﹣，不等式5mx 2+kx +3＞0⇔2x 2﹣x ﹣3＜0⇔﹣1＜x ＜，可得不等式5mx2+kx+3＞0的解集为（﹣1，）；（2）f（x）＜1⇔＜1⇔x2﹣2kx+6k＞0⇔（2x﹣6）k＜x2，任意x≥3，使得f（x）＜1成立，x=3时，f（x）＜1恒成立；当x＞3，使得k＜恒成立，令g（x）=，x＞3，则k＜g（x）min，令2x﹣6=t，则t＞0，x=，y==++3≥2+3=6，当且仅当=即t=6即x=6时等号成立．可得g（x）min=g（6）=6，则k＜6，即k的取值范围为（0，6）．【点评】本题考查二次不等式的解法，注意运用二次方程的韦达定理，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和参数分离法、换元法，结合基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•如东县校级模拟）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意x＞0，=lnx﹣k，由此根据k≤0，k ＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（2）问题转化为k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．（3）设x1＜x2，则0＜x1＜e k＜x2＜e k+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=e k，当1＜x＜e k时，f′（x）＜0；当x＞e k，f′（x）＞0，∴函数f（x）的单调减区间是（1，e k），单调减区间是（e k，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f（e k）=（k﹣k﹣1）e k=﹣e k，无极大值．（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，e k）上单调递减，在区间（e k，+∞）上单调递增，且f（e k+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜e k＜x2＜e k+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，∵f（x）在区间（e k，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，e k）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，e k），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函数h（x）在区间（0，e k）上单调递增，故h′（x）＜h（e k），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016•湖北模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ=，θ∈[0，2π），直线l为参数，t∈R）（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）设直线l和曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C：ρ=，θ∈[0，2π），化为2ρ﹣ρcosθ=3，可得4ρ2=（3+ρcosθ）2，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，可得直角坐标方程．可由直线l为参数，t∈R），消去参数t可得普通方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程可得：19x2﹣70x+55=0，利用根与系数的关系可得：=﹣4x1x2．可得|AB|=×|x1﹣x2|．【解答】解：（1）曲线C：ρ=，θ∈[0，2π），化为2ρ﹣ρcosθ=3，∴4ρ2=（3+ρcosθ）2，可得直角坐标方程：4（x2+y2）=（3+x）2，化为：+=1．由直线l为参数，t∈R），可得y=2+2（x﹣3），化为：2x﹣y﹣4=0．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．把y=2x﹣4代入曲线C的直角坐标方程可得：19x2﹣70x+55=0，∴x1+x2=，x1x2=．∴=﹣4x1x2=﹣4×=．∴|AB|=×|x1﹣x2|=×=．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•兰州模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】&2：带绝对值的函数；R2：绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
【数学】重庆市万州第二高级中学2018-2019学年高一下学期期中试题(解析版)
重庆市万州第二高级中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题一、单选题1．设(2,)a k k =+，(3,1)b =，若a //b ，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．1-C ．1D ．32【答案】C【解析】由a //b ，且(2,)a k k =+，(3,1)b = 所以()2130k k +⋅-= 所以1k = 故选：C2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4610a a +=，则9S 等于（ ） A ．40 B ．45C ．50D ．90【答案】B【解析】由数列{}n a 是等差数列， 所以194610a a a a +=+=， 则()1999452a a S ⨯==+故选：B3．在ABC ∆中，已知4a =，b =45A =︒，则角B 等于（ ） A ．30 B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒【答案】A【解析】在ABC ∆中，已知4a =，b =可知a b >，所以A B > 由sin sin a b A B=，又45A =可知1sin 2B =，则30B =故选：A4．以下给出了4个命题：（1）两个长度相等的向量一定相等； （2）相等的向量起点必相同；（3）若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =； （4）若向量a 的模小于b 的模，则a b ＜． 其中正确命题的个数共有（ ） A ．3 个 B ．2 个C ．1 个D ．0个【答案】D【解析】（1）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方向不同，所以该命题是错误的；（2）相等的向量起点不一定相同，只要它们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的；（3）若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =是错误的，举一个反例，如,a b a c ⊥⊥，,b c 不一定相等，所以该命题是错误的；（4）若向量a 的模小于b 的模，则a b ＜，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故该命题不正确． 故选：D5．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，,E F 分别为,BC CD 的中点，G 为EF 中点，则AG =（ ）A ．2133AB AD + B ．1233AB AD + C ．3344AB AD + D ．2233AB AD + 【答案】C【解析】根据题意：()12AG AE AF =+ 又12=+=+AE AB BE AB AD 12AF AD DF AD AB =+=+ 所以3344AG AB AD =+ 故选：C6．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，1212a a +=，3456532a a a a +++=，则78a a +=（ ） A ．1128B ．1128-C ．1256D ．1256-【答案】A【解析】由题可知：()12111+=2a a a q += ①224414152236=a a q a q a q a a a a q ++++++即()()241212532qa a q a a +++=② ①代入②可得24516q q += 所以214q =()678111128a a q a q +=+=故选：A7．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1tan 2B BC BA =⋅=，则tan B 等于 （ ）A ．2B 1C ．2D ．2【答案】D【解析】此题考查向量的数量积、余弦定理的应用；由12BC BA ⋅=得到：1cos 2ac B =且222cos 2a c b B ac +-=，所以2221a c b +-=；又由tan tan 2B B =⇒=，所以选D ；8．在等差数列{}n a 中，12012a =-，其前n 项和为n S ，2012102002201210S S -=，则2019S =（ ） A ．8068 B ．12114C ．8027-D ．2017-【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ， 由2012102002201210S S -= 则()()12012110200222a a a a ++-=即2012104004a a -= 所以200240042d d =⇒= 故201912019201820192dS a ⨯=+又12012a =-，所以201912114S = 故选：B9．如图，将45︒直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中45︒直角三角板的斜边与30直角三角板的30角所对的直角边重合.若,0,0DB xDC yDA x y =+>>，则x y +=（ ）A ．1+B ．1+C ．2+D ．【答案】B【解析】由题意得，若设 AD=DC=1，则 ， ，，由题意知，,DB xDC yDA =+△BCD 中，由余弦定理得 DB 2=DC 2+CB 2﹣2DC•CB•cos （45°+90°）×2∵,0,0DB xDC yDA x y =+>>，∠ADC=90°，∴DB 2=x 2+y 2，∴x 2+y 2=7+2,0,0DB xDC yDA x y =+>> ①．如图，作 DC '=x DC ，DA '=y DA ，则DB =DC '+DA '，CC′=x ﹣1，C′B=y ， Rt △CC′B 中，由勾股定理得 BC 2=CC '2+C′B 2，即 6=（x ﹣1）2+y 2，② 由①②可得 x=1+3，y=3， 故答案选B10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．2048【答案】A【解析】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选A ．11．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若对任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 A ．1- B ．12-C ．13-D ．13【答案】C【解析】分析：由题意可得()f x 为偶函数，求得()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，()()1f x f x m -≤+， 即为1x x m -≥+，即有()()2110x m m -++≤恒成立，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值. 详解：()()f x f x -=，可得()f x 为偶函数，当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩， 可得01x ≤<时，()21f x x =-递减，()(]0,1f x ∈；当1x ≥时，()f x 递减，且()()(]10,,0f f x =∈-∞， 在0x ≥上连续，且为减函数， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，可得()()1f x f x m -≤+，即为1x x m -≥+，即有对任意的[],1x m m ∈+，()()2110x m m -++≤恒成立， 由一次函数的单调性，可得：()()22110m m m +-++≤，即有113m -≤≤-，则m 的最大值为13-，故选C. 12．已知函数()21221,1x f x x mx m x ≤=-+-+>⎪⎩，且对于任意实数(0,1)a ∈关于x 的方程()0f x a -=都有四个不相等的实根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是（ ）A ．(2,4]B ．(,0][4,)-∞⋃+∞C ．[4,)+∞D ．(2,)+∞【答案】C【解析】由方程()0f x a -=都有四个不相等的实根 则函数()y f x =与y a =，()0,1a ∈图像 有四个交点，由()21221,1x f x x mx m x ≤=-+-+>⎪⎩ 即()()()1121,1x f x x x m x ≤=⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩ 如图，所以12340,2x x x x m +=+=故12342x x x x m +++=又()12211f m m m ⎧≥⇒≥⎨->⎩所以12344x x x x +++≥ 故选：C 二、填空题13．设向量,a b 满足1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=_______.【解析】向量,a b 满足1a b ==，12a b ⋅=-, 2221(2)4414432a b a a b b ⎛⎫∴+=+⋅+=+⨯-+= ⎪⎝⎭,|2|3a b ∴+=,14．已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式是_________．【答案】0,1{45,2nn a n n ==-≥ 【解析】（1）当1n >时，221(231)2(1)3(1)145n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，（2）当1n =时，110a S ==不适合上式，0,1{45,2n n a n n =∴=-≥.所以答案应填：0,1{45,2n n a n n ==-≥．15．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B ．则a 的值为_______【答案】【解析】在ABC 中，231a bA B b c sinA sinB，＝，，，===可得3,2a sinBcosB sinB＝ 整理得6a cosB =，∴由余弦定理可得21962a a a a+-=⨯∴=， ，故答案为 16．若()π2π3πsinsin sin 777f n =++sin 7n π++（*n ∈N ），则在(1),(2),(100)f f f 中，正数的个数是___________. 【答案】86【解析】令πsin 7n n a =，可知最小正周期为14T = 且若7n 为整数，可得πsin 7n 为0所以()()13140f f ==，而()()()132691f f f ==⋅⋅⋅=共7个()()()142898f f f ==⋅⋅⋅=共7个其他()0f n > 所以(1),(2),(100)f f f 正数一共有1007786--=个故答案为：86 三、解答题17．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ． （1）若12AB CD =，求点D 的坐标； （2）设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +垂直，求实数k 的值． 解：（1）设点D 的坐标为(,)x y ，则(4,1)CD x y =--． 因为(1,5)AB =-，12AB CD =， 所以1(1,5)(4,1)2x y -=--， 解得6,9x y ==-， 所以点D 的坐标是(6,9)-． （2）(1,5),(2,3)a b =-=，由ka b -与3a b +垂直， 得()(3)0ka b a b -⋅+=， 即(2,53)(7,4)0k k ---⋅=，71420120k k ---=，解得2k =-．18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1310,24a S == （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值.解：（1）因为1310,24a S ==，根据等差数列的通项公式得到：以122,n a n =-（2）根据等差数列的n 项和公式得到：211n S n n =-+当=56,30n n n S S =或时最大，点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
2018-2019学年重庆市万州二中高二下学期期中考试 数学(理)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．已知 ( ) = 3 + 2 + ( + 6) + 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为( )
A．( − 1,2)
B． ( − ∞, − 3) ∪ (6, + ∞)
C．( − 3,2)
D．( − ∞, − 1) ∪ (2, + ∞)
7．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》
①当 ≤ 0 时， '( ) < 0， ( )在(0, + ∞)为减函数；
②当
>
0
时，
∈
(0,
1 2
)时，'(
) < 0，故
(
)在(0,
1 2
)为减函数；
∈
(
1 2
, + ∞)时，'(
) > 0，
故
(
)在(
1 2
, + ∞)为增函数.
21．【解析】（1）当 = 0 时，
= − 1 − ，∴ ' = − 1，
22
3
当且仅当
2
=
12
−
,即
= 8 时, ( )有最大值,
最大值为 ( ) = 1536．
即当该框架的底面宽为 8 分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为 1536 立方分
米．
法 2：因为 ( ) = 6 2(12 − ) = 72 2 − 6 3(0 < < 12),
所以 '( ) = 144 − 18 2 =− 18 ( − 8)(0 < < 12),
16．【解析】
重庆市万州二中2018-2019学年高二上学期10月月考试题数学理科(含答案)
万州二中高2020级高二上期十月月考数学试题（理科）试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )A ． 一个圆柱B ． 两个圆锥C ． 一个圆台D ． 一个圆锥 2．下列命题中错误的是( )A ． 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B ． 平行于同一个平面的两个平面平行C ． 若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行D ． 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面3．一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm 的正方形，则原图形的周长是( )A ． 6cmB ． 8cmC ．D ．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )．A ．B ．C ．D ．5．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ． 若,,且,则B ． 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C ． 若，则D ． 若，则6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 6 寸，则这天该地的降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水除以器具口面积．参考公式：其中分别表示上、第6题下底面的面积，为高)( )A ． 2 寸B ． 3 寸C ． 4 寸D ． 5 寸 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ． 24对B ． 30对C ． 48对D ． 60对 9．在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．B ．C ．D ．11．如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则该正四棱锥的侧面积取值范围为( )A ．B ．C ．D ．12．如图，矩形ABCD 中，AB=1,BC （不含点）上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分. )13．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．14．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如图，则它的左(侧)视图的面积是_________．15．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．16．已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥A BCD-的体积的最大值为83，则该球O的表面积为__________．三、解答题：(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的高；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？18．如图，在四棱锥中，底面是长方形，，，,点为线段的中点，点在线段上，且．（1）平面平面；（2）求棱锥的高.19．如图，直三棱柱111ABC A B C-中，各棱长均为6，,P Q分别是侧棱1BB、1CC上的点，且12BP C Q ==.（1）在AC 上是否存在一点D ，使得//BD 平面APQ ？证明你的结论； （2）求异面直线11A C 与AP 所成角的余弦值. 20．如图，在五面体中，已知平面，，，，．（1）求证：； （2）求三棱锥的体积．21．如图，在四棱锥中，底面，，，以为圆心， 为半径的圆过点. (1)证明: 平面；(2)若，求三棱锥的体积. 22．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。
万州二中高2018-2019高二上学期期中考试
万州二中高2018-2019高二上学期期中考试数学试题（理科）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1． 直径为6的球的表面积和体积分别是A ．，B ．，C ．，D ．，2． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是A B C D 3．已知正三棱柱ABC—A 1B 1C 1的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自 点A 出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A 1的最短路线的长为( )A ．16cmB ．cmC ．cmD ．26cm4． 如图所示，四棱锥P—ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱，，则它的五个面中，互相垂直的共有 A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 5． 空间不共面四点到某平面的距离相等，则这样的平面共有A ．1个B ．4个C ．7个D ．8个6． 空间四条两两不同的直线l 1、l 2、l 3、l 4满足，，，则下面结论一定正确的是A ．B ．C ．与既不垂直也不平行D ．与位置关系不确定7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则144π144π144π36π36π144π36π36π1232431PA =2PB PD ==12l l ⊥23l l ⊥34l l ⊥14l l ⊥14//l l 1l 4l 1l 4l 1S 2S 3S QPRSP RQSPABC DPQRSPQRSA ．B ．C ．D ．8． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为A ．4B ．5C ．D ．9． 利用斜二侧画法得到的： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
以上结论正确的是A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④10．棱台的两底面面积为、，中截面(过各棱中点的截面)面积为，那么A ．B ．C ．D ． 11．若直线a ⊥直线b ，且a ⊥平面，则 A ．B ．C ．D ．或12．已知m 、n 表面两条不同直线，表示平面，则下列说法正确是A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分. )13．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，F ，G ，H ，如果EH ，FG 相交于一点M ，那么M 一定在直线________上．14．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如图，则它的左(侧)视图的面积是_________．123S S S <<123S S S >>213S S S <<213S S S >>32331S 2S 0S 0122S S S =+012S S S =0122S S S =+20122S S S =αb α⊥b α⊂//b α//b αb α⊂α//m α//n α//m n m α⊥n α⊂m n ⊥m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥15．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．16．已知球面上有四个点A ， B ， C ， D ，球心为点O ， O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为__________．三、解答题：(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱.(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？18．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是长方形，2AD =CD =PD =2，PA =√5，∠PDC =120∘,点E 为线段PC 的中点，点在线段AB 上，且AF =12．（1）平面PCD ⊥平面ABCD ； （2）求棱锥C −DEF 的高.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为6， ,P Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的点，且12BP C Q ==.第14题第15题第17题第18题第19题第20题BD平面APQ？证明你的结论；（1）在AC上是否存在一点D，使得//（2）求异面直线A C与AP所成角的余弦值.1120．如图，在五面体中，已知平面，，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．，21．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=√2,∠BCD=π2以E为圆心，1为半径的圆过点A,C.(1)证明: BE⊥平面PAE；(2)若AD=√3，求三棱锥P−ADE的体积.22．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6√3，E是PB上任意一点。
2018-2019学年高二第二学期期中测评考试理科数学答案
≠m2-5m+6=0，
17. 解：（1）由 z 为纯虚数得
解得 m=2． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 分
m2-8m+15≠0，
（2）复数 z－8i=（m2-5m+6）+（m2-8m+7）i，因为复数 z－8i 位于第四象限，
≠m2-5m+6＞0，
所以
解得 1＜m＜2 或 3＜m＜7.故 m 的取值范围为（1，2）∪（3，7）. !!!!!!!!!!! 10 分
a a 故函数 g（x）的最大值为 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1．
高二理科数学试题答案 第 4 页（共 5 页）
由题意得需 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1≤0，
令
h（a）=-2lna+
1 a
-1，∵h（a）在（0，+∞）上单调递减，又 ∵h（1）=0，
∴ 当 a≥1 时，h（a）≤0 恒成立，∴ 实数 a 的取值范围为［1，+∞）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分
12. C 【解析】f（ 1 x）=f ′（x）=cosx－e－x+2018x2017， f（ 2 x）=f ′（ 1 x）=－sinx+e－x+2018×2017x2016， f（ 3 x）=f ′（ 2 x）=－cosx－e－x+2018×2017×2016x2015， f（ 4 x）=f ′（ 3 x）=sinx+e－x+2018×2017×2016×2015x2014， …
乙 乙 4
4
5. B 【解析】 姨4-（x-2）2 dx表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分的面积， 姨4-（x-2）2 dx=2π.故选 B.
2018-2019学年人教A版重庆一中高二第二学期期中(理科)数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷（理科）一、选择题1．已知复数Z＝3﹣2i（i为虚数单位），则在复平面内Z的共轭复数所对应的点为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）2．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞2）＝0.2，则P（X＜0）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.73．观察下列各式：x⊗y＝1，x2⊗y2＝3，x3⊗y3＝4，x4⊗y4＝7，x5⊗y5＝11，x6⊗y6＝18，x7⊗y7＝29…，根据以上规律，则x8⊗y8＝（）A．123 B．76 C．47 D．404．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润＝营业额﹣支出），根据折线图，下列说法中错误的是（）A．该超市这五个月中的营业额一直在增长B．该超市这五个月的利润一直在增长C．该超市这五个月中五月份的利润最高D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关．5．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则D（ξ）＝（）A．0.09 B．9 C．1 D．0.96．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：（）天数x（天） 3 4 5 6繁殖个数y（千个） 2.5 3 4 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为＝0.7x+，则当x＝7时，繁殖个数y的预测值为（）A．4.9 B．6.65 C．5.95 D．6.157．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种9．已知二项式，且a1＝6，则a1+a2+…+a n＝（）A．128 B．127 C．96 D．6310．某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（）A．B．C．D．11．已知在三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，，PA ＝3，且PA⊥BC，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．15πB．C．21πD．12．已知函数f（x）＝ax2﹣（x﹣1）e x（a∈R）若对区间[0，1]内的任意实数x1、x2、x3，都有f（x1）+f（x2）≥f（x3），则实数a的取值范围是（）A．[1，2] B．[e，4] C．[1，4] D．[1，2）∪（e，4] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数Z满足（1﹣2i）Z＝|3+4i|（i为虚数单位），则Z的虚部为．14．若曲线在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y+1＝0垂直，则常数a＝．15．已知的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则的展开式中的常数项为．16．已知双曲线的渐近线方程为，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线E的右焦点重合，过F的直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，若向量与的夹角为120°，则△MON的面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3＝0，直线的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）分别求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C和直线l相交于A，B两点，求弦长|AB|的值．18．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2﹣x的解集；（Ⅱ）记函数g（x）＝f（x）+|x|的最小值为m，若a，b，c∈R+且a+b+c＝m，求证．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1B1的中点，AC＝1，．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMC1；（Ⅱ）若AC⊥BM，求二面角C1﹣MB﹣A的余弦值．20．今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科．已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人．按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．（Ⅰ）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表．并根据K2统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关？（Ⅱ）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有X人，女生有Y人，求随机变量ξ＝X﹣Y的分布列和数学期望．（K2的计算公式见下）临界值表P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02421．已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF 平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．22．已知函数，x＝2是f（x）的极值点，且曲线y＝f（x）在两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线l1、l2相互平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设切线l1、l2在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1﹣b2的取值范围．参考答案一、选择题1．已知复数Z＝3﹣2i（i为虚数单位），则在复平面内Z的共轭复数所对应的点为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）【分析】求出Z的共轭复数，得到其在复平面内对应点即可．解：由复数Z＝3﹣2i得，所以在复平面上所对应的点为（3，2）．故选：B．2．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞2）＝0.2，则P（X＜0）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7【分析】根据正态分布的对称性即可得出结论．解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞2）＝0.2，∴P（x＜0）＝P（x＞2）＝0.2．故选：A．3．观察下列各式：x⊗y＝1，x2⊗y2＝3，x3⊗y3＝4，x4⊗y4＝7，x5⊗y5＝11，x6⊗y6＝18，x7⊗y7＝29…，根据以上规律，则x8⊗y8＝（）A．123 B．76 C．47 D．40【分析】由简单的合情推理可得：1+3＝4，3+4＝7，4+7＝11，7+11＝18，11+18＝29，推理可得：18+29＝47，得解．解：由x⊗y＝1，x2⊗y2＝3，x3⊗y3＝4，x4⊗y4＝7，x5⊗y5＝11，x6⊗y6＝18，x7⊗y7＝29，可得：1+3＝4，3+4＝7，4+7＝11，7+11＝18，11+18＝29，推理可得：18+29＝47，即x8⊗y8＝47，故选：C．4．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润＝营业额﹣支出），根据折线图，下列说法中错误的是（）A．该超市这五个月中的营业额一直在增长B．该超市这五个月的利润一直在增长C．该超市这五个月中五月份的利润最高D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关．【分析】先阅读题意，再分析折线图信息逐一判断即可得解．解：由图表数据可知：选项A，C，D正确，对于选项B，1∽5五个月的利润为0.5，0.7，0.8，0.5，1，即该超市这五个月的利润一直在增长是错误的，故选：B．5．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则D（ξ）＝（）A．0.09 B．9 C．1 D．0.9【分析】由二项分布与n次独立重复试验得：随机变量ξ服从二项分布，则D（ξ）＝10×0.9×（1﹣0.9）＝0.9，得解．解：由已知可得：随机变量ξ服从二项分布，则D（ξ）＝10×0.9×（1﹣0.9）＝0.9，故选：D．6．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：（）天数x（天） 3 4 5 6 繁殖个数y（千个） 2.5 3 4 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为＝0.7x+，则当x＝7时，繁殖个数y的预测值为（）A．4.9 B．6.65 C．5.95 D．6.15【分析】由已知条件求出回归方程，由此能求出结果．解：由题意得：＝（3+4+5+6）＝，＝（2.5+3+4+4.5）＝，＝＝，＝＝＝，∴＝0.7x+，当x＝7时，y＝0.7×7+＝6.65．故选：B．7．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】由条件概率与独立事件得：用列举法列出事件A的基本事件个数为36﹣6＝30，列出事件B的基本事件有6个，即P（B|A）＝＝，得解．解：事件A为“两个点数不同”的基本事件个数为36﹣6＝30，事件B为“两个点数中最大点数为4”的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共6个，即P（B|A）＝＝，故选：C．8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【分析】由排列组合及简单的计数问题得：不同的排法共有＝36，得解．解：甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有＝36，故选：C．9．已知二项式，且a1＝6，则a1+a2+…+a n＝（）A．128 B．127 C．96 D．63【分析】由二项式定理及利用赋值法求展开式系数得：n＝6，令x＝﹣1得a0＝16＝1，令x＝0得a0+a1+a2+…+a n＝26＝64，所以a1+a2+…+a6＝64﹣1＝63，得解．解：由（x+2）n＝[（x+1）+1]n，由二项式展开式通项T r+1＝（x+1）n﹣r可得，令n﹣r＝1，所以r＝n﹣1，则a1＝＝n，所以n＝6，令x＝﹣1得a0＝16＝1，令x＝0得a0+a1+a2+…+a n＝26＝64，所以a1+a2+…+a6＝64﹣1＝63，故选：D．10．某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（）A．B．C．D．【分析】由古典概型及其概率计算公式得：恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为＝，得解．解：寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则不同的拿法共有＝720种，从6人中选3人所拿礼物为自己准备的那份礼物共有＝40种，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为＝，故选：A．11．已知在三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，，PA＝3，且PA⊥BC，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．15πB．C．21πD．【分析】由题意画出图形，可得PA⊥AC，PB⊥BC，得到PC为三棱锥P﹣ABC外接球的直径，求解三角形可得三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．解：如图，由，PA＝3，得PA2+AB2＝PB2，即PA⊥AB，又PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，则PA⊥AC，∵AB⊥BC，PA⊥BC，∴BC⊥平面APB，则BC⊥PB．∴PC为三棱锥P﹣ABC外接球的直径，设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，则（2R）2＝PA2+AB2+BC2＝9+3+3＝15．∴该三棱锥外接球的表面积为4πR2＝15π．故选：A．12．已知函数f（x）＝ax2﹣（x﹣1）e x（a∈R）若对区间[0，1]内的任意实数x1、x2、x3，都有f（x1）+f（x2）≥f（x3），则实数a的取值范围是（）A．[1，2] B．[e，4] C．[1，4] D．[1，2）∪（e，4] 【分析】若对区间[0，1]内的任意实数x1、x2、x3，都有f（x1）+f（x2）≥f（x3），则函数最小值的2倍大于等于最大值，分类讨论可得实数a的取值范围．解：∵f（x）＝ax2﹣（x﹣1）e x，∴f′（x）＝x（a﹣e x），当a≤0时，在区间[0，1]上，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数，若对区间[0，1]内的任意实数x1、x2、x3，都有f（x1）+f（x2）≥f（x3），则2f（1）≥f（0），即a≥1，此时不存在满足条件的a值；当0＜a＜e时，在区间[0，1]上，存在x0，使f′（x0）＝0，此时当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，若对区间[0，1]内的任意实数x1、x2、x3，都有f（x1）+f（x2）≥f（x3），则2f（0）≥f（x0）且2f（1）≥f（x0），解得：a≥1，∴1≤a＜e，当a≥e时，在区间[0，1]上，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数，若对区间[0，1]内的任意实数x1、x2、x3，都有f（x1）+f（x2）≥f（x3），则2f（0）≥f（1），即，解得：a≤4，∴e≤a≤4综上可得：实数a的取值范围是[1，4]故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数Z满足（1﹣2i）Z＝|3+4i|（i为虚数单位），则Z的虚部为 2 ．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣2i）Z＝|3+4i|＝5，得Z＝，∴Z的虚部为2．故答案为：2．14．若曲线在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y+1＝0垂直，则常数a＝﹣2 ．【分析】根据题意，求出函数的导数，计算可得f′（1）＝1﹣a，即可得曲线在点（1，f（1））处切线的斜率，由直线垂直的判定方法可得1﹣a＝3，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，曲线，其导数f′（x）＝x﹣，则有f′（1）＝1﹣a，则曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝1﹣a，若曲线在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y+1＝0垂直，则1﹣a ＝3，解可得：a＝﹣2；故答案为：﹣2．15．已知的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则的展开式中的常数项为﹣112 ．【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：n＝6﹣1＝5，又（﹣2）5展开式的通项为T r+1＝（）5﹣r（﹣2）r＝（﹣2）r x r﹣5，则的展开式中的常数项为（﹣2）3+（﹣2）5＝﹣112，得解．解：由的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则展开式共6项，即n＝6﹣1＝5，又（﹣2）5展开式的通项为T r+1＝（）5﹣r（﹣2）r＝（﹣2）r x r﹣5，则的展开式中的常数项为（﹣2）3+（﹣2）5＝﹣112，故答案为：﹣112．16．已知双曲线的渐近线方程为，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线E的右焦点重合，过F的直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，若向量与的夹角为120°，则△MON的面积为．【分析】联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量知识可得|OM|ON|＝24，再根据面积公式可得．解：依题意得b＝，所以F（2，0），所以＝2，p＝4，抛物线C：y2＝8x，设直线l：x＝ty+2，将其代入抛物线得，y2﹣8ty﹣16＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝8t，y1y2＝﹣16，∵•＝||•||cos120°，||•||＝＝﹣2（x1x2+y1y2）＝﹣2[（ty1+2）（ty2+2）﹣16]＝﹣2[（t2y1y2+2t（y1+y2）+4﹣16]＝﹣2（﹣16t2+16t2﹣12）＝24．∴S MON＝|OM||ON|sin120°＝＝6．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3＝0，直线的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）分别求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C和直线l相交于A，B两点，求弦长|AB|的值．【分析】（Ⅰ）利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程，消去参数t可得直线l的普通方程；（Ⅱ）根据参数t的几何意义可得．解：（I）C：（x﹣1）2+y2＝4；l：（II）法一：圆C的圆心为（1，0），半径r＝2，圆心C到直线l的距离为，所以弦长．法二：将代入圆（x﹣1）2+y2＝4得：t2﹣2t＝0，解得：t1＝0，t2＝2由直线的参数t的几何意义知：弦长|AB|＝|t1|+|t2|＝2．18．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2﹣x的解集；（Ⅱ）记函数g（x）＝f（x）+|x|的最小值为m，若a，b，c∈R+且a+b+c＝m，求证．【分析】（Ⅰ）等式f（x）≤2﹣x，则|x﹣1|≤2﹣x，去绝对值，然后解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出g（x）的最小值，然后将转化为，用基本不等式求解即可．解：（I）不等式f（x）≤2﹣x即：|x﹣1|≤2﹣x⇔x﹣2≤x﹣1≤2﹣x⇔，∴f（x）≤2﹣x的解集为；（II）函数g（x）＝|x﹣1|+|x|，由绝对值不等式的性质有|x﹣1|+|x|≥|（x﹣1）﹣x|＝1，∴g（x）min＝1，即m＝1，∴a+b+c＝1，又a，b，c∈R+，∴＝＝．又，同理，，故．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1B1的中点，AC＝1，．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMC1；（Ⅱ）若AC⊥BM，求二面角C1﹣MB﹣A的余弦值．【分析】（I）连结B1C，设B1C∩BC1＝N，连结MN，推导出A1C∥MN，由此能证明A1C∥平面BMC1．（II）由AC⊥BM，AC⊥BB1，得AC⊥平面ABB1A1，AC⊥AB．以A为原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣MB﹣A的余弦值．【解答】证明：（I）连结B1C，设B1C∩BC1＝N，连结MN，∵M为A1B1的中点，N为B1C的中点，∴A1C∥MN又MN⊂平面BMC1，A1C⊄平面BMC1，∴A1C∥平面BMC1；解：（II）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BM，AC⊥BB1，且BM∩BB1＝B，∴AC⊥平面ABB1A1，∴AC⊥AB．如图，以A为原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，∴，设平面BMC1的法向量为，则，令x＝2，得，∴，又平面BMA的法向量，设二面角C1﹣MB﹣A的平面角为θ，则由图易知θ为锐角，∴二面角C1﹣MB﹣A的余弦值：．20．今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科．已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人．按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．（Ⅰ）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表．并根据K2统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关？（Ⅱ）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有X人，女生有Y人，求随机变量ξ＝X﹣Y的分布列和数学期望．（K2的计算公式见下）临界值表P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【分析】（I）由条件按分层抽样法抽取样本数据，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（II）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．解：（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表如下；物理历史合计男生17 10 27女生 3 6 9合计20 16 36根据表中数据，计算，而P（K2≥2.4）＞P（K2≥2.706）＝0.10，所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；（II）由（I）知在样本里选历史的有9人，其中男生3人，女生6人；所以ξ可能的取值有2，0，﹣2，﹣4；且P（ξ＝2）＝P（X＝3且Y＝1）＝＝，P（ξ＝0）＝P（X＝2且Y＝2）＝＝；P（ξ＝﹣2）＝P（X＝1且Y＝3）＝＝，P（ξ＝﹣4）＝P（X＝0且Y＝4）＝＝；所以ξ的分布列为：ξ 2 0 ﹣2 ﹣4P所以ξ的期望为．21．已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF 平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）由条件知关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆Γ的方程可求；（Ⅱ）由题意可得，设M（x1，y1），N（x2，y2），由PF平分∠MPN，得∠MPF ＝∠NPF，即k MP＝﹣k NP．设直线MP的斜率为k，求得直线MP与NP的方程，与椭圆方程联立，结合根与系数的关系求解直线l的斜率是定值．解：（Ⅰ）由条件知，解得：，∴椭圆Γ的方程为；（Ⅱ）∵PF⊥x轴且点P在x轴上方，∴，设M（x1，y1），N（x2，y2），∵PF平分∠MPN，∴∠MPF＝∠NPF，得k MP＝﹣k NP．设直线MP的斜率为k，则直线MP的方程为．联立，得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3＝0．∴；直线MP的方程为y﹣，联立，得（3+4k2）x2﹣4k（2k+3）x+4k2+12k﹣3＝0可得：，∴，∴直线l的斜率（定值）．22．已知函数，x＝2是f（x）的极值点，且曲线y＝f（x）在两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线l1、l2相互平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设切线l1、l2在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1﹣b2的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由x＝2是f（x）的极值点，得f′（2）＝0，求得a＝1，然后分别求出曲线y＝f（x）在点P与Q处切线的斜率，结合两条切线互相平行，即＝，求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知且0＜x1＜x2＜6，得到x1∈（3，4），分别写出P，Q处的切线方程，取x＝0，求得，，作出利用换元法及求导可得b1﹣b2的取值范围．解：（Ⅰ），∵x＝2是f（x）的极值点，∴，即a＝1，∴，得曲线y＝f（x）在点P（x1，f（x1））处切线的斜率为．曲线y＝f（x）在点Q（x2，f（x2））处切线的斜率为．又这两条切线互相平行，则＝，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知且0＜x1＜x2＜6，∴，则，即x1∈（3，4），设在点P（x1，f（x1））处的切线方程为，在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为，令x＝0，则，，∴．令，则，∴，∴g（t）在区间上递减，得，即．故b1﹣b2的取值范围是．。
2019-2020学年重庆市万州二中2018级高二下学期4月开学考试数学试卷参考答案
试卷第1页，总3页数学参考答案一、单选题（每题5分，共60分）1-5:BDCDB6-10:DBACD 11-12:AB 解析：11、设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A.12、设g （x ）＝xf （x ），则g '（x ）＝[xf （x ）]'＝x 'f （x ）+xf '（x ）＝xf ′（x ）+f （x ）＞0，∴函数g （x ）在（0，+∞）上是增函数，∵（x ﹣2）f （x 2﹣4）＜f （x +2），x ∈（0，+∞），∴（x +2）（x ﹣2）f （x 2﹣4）＜（x +2）f （x +2），∴（x 2﹣4）f （x 2﹣4）＜（x +2）f （x +2），∴g （x 2﹣4）＜g （x +2），则0＜x 2﹣4＜x +2，解得2＜x ＜3．∴（x ﹣2）f （x 2﹣4）＜f （x +2）的解集为（2，3）．故选：B ．二、填空题（每题5分，共20分）13．1014．2﹣i 15.﹣116．三、解答题（17题10分，其余题每题12分，共计70分）17．解：（1）由题意，解得a ＝﹣1．（2）∵复数z 在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得：﹣1＜a ＜2．∴实数a 的取值范围是（﹣1，2）．18．解：（1）令f ′（x ）＜0，解得﹣＜x ＜，所以f （x ）的递减区间为（﹣，）．（2）由（1）知x ＝±分别是f （x ）的极大值点和极小值点。
所以f （x ）极大值＝f （﹣）＝932，f （x ）极小值＝f（）＝932-而f （﹣1）＝0，f （2）＝6，所以f （x ）最大值＝f （2）＝6。
重庆万州二中XX-2019高二数学10月月考试题(理科附答案)
重庆万州二中XX-2019高二数学10月月考试题（理科附答案）万州二中高2020级高二上期十月月考数学试题试卷满分：150分时间：120分钟命题人：张应红审题人：谢泽忠一、选择题：．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是A．一个圆柱B．两个圆锥c．一个圆台D．一个圆锥．下列命题中错误的是A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行c．若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面．一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1c的正方形，则原图形的周长是A．6cB．8cc．D．．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是．A．B．c．D．．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若,,且,则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则c．若，则D．若，则．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这天该地的降雨量约为A．2寸B．3寸c．4寸D．5寸．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B．c．D．．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A．24对B．30对c．48对D．60对．在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为A．B．c．D．0．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．c．D．1．如图所示，正方形ABcD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则该正四棱锥的侧面积取值范围为A．B．c．D．．如图，矩形ABcD中，AB=1,，是线段上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则A．B．c．D．二、填空题：3．在空间四边形ABcD的边AB，Bc，cD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点，那么一定在直线________上．．已知正三棱柱的高与底面边长均为2，其直观图和正视图如图，则它的左视图的面积是_________．．如图，圆锥的底面圆直径为2，母线长为4，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________．．已知球面上有四个点，，，，球心为点，在上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为__________．三、解答题：．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.试用x表示圆柱的高；当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？．如图，在四棱锥中，底面是长方形，，，,点为线段的中点，点在线段上，且．平面平面；求棱锥的高.．如图，直三棱柱中，各棱长均为6，分别是侧棱、上的点，且.在上是否存在一点，使得平面？证明你的结论；求异面直线与所成角的余弦值.0．如图，在五面体中，已知平面，，，，．求证：；求三棱锥的体积．1．如图，在四棱锥中，底面，，，以为圆心，为半径的圆过点.证明:平面；若，求三棱锥的体积.2．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。