第四章 平面弯曲解析

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4.2.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
(1)剪力方程和弯矩方程
剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达 式:
Q=Q(x) M=M(x)
(2)剪力方程和弯矩图
以x为横坐标，剪力Q为纵坐标→Q-x图。 以x为横坐标，弯矩M为纵坐标→M-x图。
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[例4-1] 试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
第4章 平面弯曲
平面弯曲计算 简单超静定梁的求解 压杆的稳定性简介
1
第
4.1 平面弯曲的概念和实例
4
4.2 平面弯曲的内力分析
章
4.3 平面弯曲的正应力计算
4.4 平面弯曲的变形计算
平
面 4.5 简单超静定梁的求解
弯 曲 4.6 压杆稳定性简介
目录
2
4.1 平面弯曲的概念和实例
(1)实例：
桥式起重机
A
y 2 dA
2 h
y2
bdy
b13
2
y
3
2
h
2
bh3 12
bh3
WZ
IZ ym ax
12
h
2
bh2
6
28
(2)圆形截面
D
Iz
y2dA
A
3 sin 2 dd
2
2
3d sin 2 d
D 4
0
0
64
(3)圆环形截面
Wz
Iz ymax
D4 64 D3
D 2 32
内径为d 外径为
2) 纵线(a-a,b-b)弯曲成曲线， 且梁的一侧伸长，另一侧缩 短。
纯弯曲梁的变形特点 图4-10 纯弯曲梁的变形特点
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中性层：既不伸长也不缩短的纵向纤维称为中性 层。
中性轴：中性层与梁横截面的交线称为中性轴。
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o1o2 dx d
ab ( y)d
梁的弯曲变形 图4-12 梁的弯曲变形
4.2.1 剪力和弯矩
(1)求两端支座的约束反力
，
Fb R， A l
Fa RB l
图4-5 梁的弯曲内力
3
所以
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(2)横截面上的内力：包括剪力Q和弯矩M 求内力的方法：截、取、代、平。
弯矩
剪力
Fy 0 RA Q 0
Q
RA
Fb l
对截面m-m上的形心O取矩，得：
Mo 0
M RAx 0
1
3
火车轮轴
4
(2)基本概念
在工程中最常遇见的梁，它的横截面 都具有一对称轴y-y，见下图。
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纵向对称面：由对称轴和梁的轴线组成的平面， 称为纵向对称面。
平面弯曲：梁在变形后其轴线是在对称平面内的 一条平面曲线。
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载荷类型:
1)集中载荷
7
2)分布载荷
①均布载荷
②非均布载荷
3)集中力偶集中力偶是作用在纵 源自平面内的力偶矩。My My
Iz
Iz
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横截面上任一点的正应力计算公式: My
Iz
最大正应力发生在距中性轴最远处:
令
max
My max Iz
令
Wz
Iz y max
称之为抗弯截面模量
横截面上的最大正应力计算公式：
max
M Wz
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4.3.2 常用截面的惯性矩和抗弯截面模量的计算
(1)矩形截面
h
h
IZ
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静定梁的基本形式:
梁：工程上把以弯曲变形为主的杆件统称为梁。 静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。
1)简支梁： 一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁。
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2)悬臂梁： 一端为固定端，另一端为自由端的梁。
3)外伸梁： 简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁。
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4.2 平面弯曲的内力分析
2M (x) dx2
dQ(x) dx
q(x)
1) q＝0，则 Q=常数， 剪力图为水平直线；
M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2) q＝常数，Q(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈下凹形； 分布载荷向下（q < 0），抛物线呈上凸形。
，
解：首先求出两支座反力为：
RA
Fb l
RB
Fa l
以梁左端（A点）为坐标原点，建立坐标如图(a)所示。
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(2)求AC段的剪力方程和弯矩方程
Q Fb l
(0＜x＜a)
M Fb x l
(0≤x≤a)
(3)列出CB段内的剪力方程和弯矩方程
Q Fa l
(a＜x＜l)
M Fa (l x) l
( y)d d y
d
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(2)物理关系
E E y （1）
y0 y ymax
0 max
横截面正应力分布规律
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(3)静力关系
M A ydA
M E y2dA
A
设： Iz
y 2 dA
A
有： 1 M
EI z
(2)
联立式(1)和式(2)，消去1/ρ，得：
E E y
(a≤x≤l)
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[例4-2] 试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
解：首先求出两支座反力分别为：
RA
RB
ql 2
取距原点为x的任意截面，求
得剪力方程和弯矩方程如下：
Q RA qx (0＜x＜l)
M
RAx
1 2
qx2(0≤x≤l)
图4-8 例4-2图
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悬臂梁
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载荷集度、剪力和弯矩关系：d
3)剪力Q=0处，弯矩取极值。
4) 集中力作用处，剪力图突变；
集中力偶作用处，弯矩图突变。
20
4.3 平面弯曲的正应力计算
纯弯曲：梁的横截面上没有剪力作用，只有 弯矩作用的弯曲称为纯弯曲。
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4.3.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
(1)变形几何关系
1)横线(m-m,n-n)仍是直线，只 是发生相对转动，但仍与纵 线(a-a，b-b)正交。
M
RA x
Fb x l
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按照同样方法，在2-2处将梁截开为左右两部分， 仍取左段为分离体，就可求出2-2截面上的内力及 内力矩。
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(3)剪力和弯矩的符号
截面上的剪力对梁上任意
一点的矩为顺时针转向时，
剪力为正；反之为负。
+
_
截面上的弯矩
使得梁呈凹形为正； 反之为负。
左上右下为正；反之为负
+
_
左顺右逆为正；反之为负
D
I z
D 4
64
d 4
64
D 4
64
1 4
=d/ D
Wz
D4
64
1 4
D D3 1 4
2 32
29
4.3.3 弯曲正应力强度条件
max
M max Wz
[ ]
沿梁轴线 最大弯矩
横截面上最 大应力即上 下边缘应力
该式适用于弹性变形阶段
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➢对于型钢和钢管： 一般采用轴向拉伸时所确定的许用应力。
➢对于实心梁： 因有材料储备，[ ] 可略高18~20% 。
➢如果材料是铸铁： 其拉压许用应力不相等，应分别求出最 大拉应力和最大压应力，分别校核强度。
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利用弯曲强度条件,可以解决:
(1)强度校核
max
M max Wz
[
]
(2)设计截面
WZ
M max
[ ]
(3)计算许用载荷 M max WZ [ ]