排列组合综合应用3,4(其他问题)

宜春中学数学学科2-3册笫一章排列组合的综合应用3、4导学案 编号：59-60编写：丁红平 审核：高二数学理科备课组学习目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力 ；3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

.学习重点：排列组合在其他一些方面的应用 学习难点：排列组合在其他一些方面的应用 学习过程：一、（约3分钟）引例1：交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.1.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形下各有多少种选派方法?(1)队长至少有1人参加；(2)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)设A ＝{选派5人有男队长参加的}，B ＝{选派5人有女队长参加的},则原题即求n(A ∪B), 而n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A ∩B). n(A)=49C =n(B), n(A ∩B)=38C , 故n(A ∩B)=19623849=-C C .另解：设A ＝{选派5人有1个队长参加的}，B ＝{选派5人有2个队长参加的}，则原题即求n(A ∪B),n(A)=4812C C , n(B)=3822C C , n(A ∩B)=n()=0. 因此n(A ∪B)=n(A)+n(B)=4812C C +3822C C ＝196．说明：A ∩B 即选派5人既要有1个队长参加又要有2个队长参加这件事，这是不可能事件．(2)设A ＝{选派5人有队长参加的}，B ＝{选派5人有女运动员参加的}，则原题即求n(A ∩B)， 又)()()(B A n I n B A n ⋂-=⋂)()(B A n I n ⋃-=)()()()(B A n B n A n I n ⋂+--=191555658510=+--=C C C C即有191种选派方法． 说明：即选派5人，既无队长又无女运动员参加．从以上例题我们可以看出，用集合与对应思想分析处理排列组合问题，实质上就是将同一问题中满足不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系，而将各限制条件之间的关系转化为集合与集合之间的运算关系，通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数，这有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有1个或简单几个附加条件的排列或组合问题来处理，这可大大简化复杂的分类过程，从而降低了问题的难度． 例2、（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A 、70种B 、64种C 、58种D 、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A 、150种B 、147种C 、144种D 、141种 解析：10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有464C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44106436141C C ---=种.（3）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C -=个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.（约10分钟）例1、小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。

已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法； 2）有1次走三级台阶。

（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：（a ）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 166C =种（b ）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有2615C =种走法。

4）有3次（不可能）5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种125515C C +=走法； 6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。

例2.如果从数1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出321,,a a a ，使同时满足312≥-a a 与323≥-a a ，那么所有符合上述要求的不同取法共有多少种? 解：设S={1，2，……，14}，T={1，2，……，10}；P={(a1,a2,a3)|a1,a2,a3∈S, a2-a1≥3, a3-a2≥3}Q={(b1,b2,b3)|b1,b2,b3∈T, b1<b2<b3},f: (a1, a2,a3)→(b1,b2,b3)，其中b1=a1,b2=a2-2, b3=a3-4.易证f是P和Q之间的一个一一对应，所以题目所求的取法种数恰好等于从T中任意取出三个不同数的取法种数，共＝120种．例3.甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成—种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程共有多少种?解：设甲队队员为a l，a2,…a7，乙队队员为b1，b2,……，b7，下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员．如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7. 所表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员，故比赛过程的总数为＝3432.例4.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410C个.（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C种.例5.平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得43条不同的直线。

（1）这11个点中有无三点或三个以上的点共线？若有共线，情形怎样？（2）这11个点构成多少个三角形？解：（1）设若有x条三点共线，y条四点共线，z条五点共线，……，于是有：C112－x(C32－1)－y(C42－1)－z(C52－1)－…＝43即23-2x-5y-9z-…=0这方程的解只可能是：x=6,y=z=...=0或x=1,y=2,z= 0由此可知，这11个点中有6条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形。

（2）由上可知这11个点构成三角形个数的情形有C113－6C33＝159或15623433311=--CCC（约5分钟）各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。

（约8分钟）由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法、知识技巧。

（即学习成果）（约5分钟）由教师归纳总结点评约8分钟）1.某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？37C2.四面体的一个顶点是A，从其它顶点和各棱中点中取3个点，使他们和点A在同一个平面上，则共有多少种不同的取法？3335+C3.空间十个点A1，A2，A3，···········A10，其中A1，A2小结：在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题，经常先把所有元素进行排列或组合，然后再去掉含有不能含的元素的取法数，这种方法叫排除法。

45410CC-4.平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个．简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有种取法；第二A B1·2·A3A4A5A6A8A1步再在5条平行线中任取两条，有种取法．这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有·＝60个．5.在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有28278=⨯(个)；两端点皆为面的中心的共线三点组共有3216=⨯(个)；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有182312=⨯(个)． 所以总共有28+3+18＝49个．6.25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 解：将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有______111213C C C _____种。

再从5×5方队选出3×3方队便可解决问题从5×5方队中选取3行3列有__3535C C ___选法.所以从5×5方队选不在同一行也不在同一列的3人有_____6001112133535=C C C C C ____选法。