2020届高三调研考试理科数学(试卷)

— 理科数学（摸底）第1页(共4页) —

2020届高三摸底测试卷

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．

3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1

．已知集合3

{|

0},{|1

x M x N x y x -=≥==-，则()M N R I e等于 A. (1,2] B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3]

2．复数z 满足1i

1i z

+=-，则||z =

A.2i

B.2

C.i

D.1

3．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 4．公比不为1的等比数列{}n a 中，若15m n a a a a =，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.9 5．已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ，用最小二乘法得到其线性回归方

程为24y x =-+，若数据1236,,,

,x x x x 的平均数为1，则1236y y y y +++

+等于

A.10

B.12

C.13

D.14

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足||||PM ON PN ?=，则动点

P 的轨迹方程是

A.24y x =

B.24x y =

C.24y x =-

D.24x y =-

7．已知二元一次不等式组20,

20220x y x y x y +-≥??

-+≥??+-≥?

表示的平面区域为D ，命题p ：点(0,1)在区域D 内；

命题q ：点(1,1)在区域D 内.则下列命题中，真命题是

A.p q ∧

B.()p q ∧?

C.()p q ?∧

D.()()p q ?∧?

8．已知ABC ?的垂心为H ，且3,5,AB AC M ==是BC 的中点，则HM BC ?= A.5 B.6 C.7 D.8

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9．圆2

2

:10160C x y y +-+=上有且仅有两点到双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线

的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是

A. B.55(,)32 C.55

(,)42

D.1)

10．已知正实数,,a b c 满足：2212

11()log ,()log ,log 23a b

a b c c ===，则

A.a b c <<

B.c b a <<

C.b c a <<

D.c a b <<

11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如

987610(521)12020202=?+?+?+?54321

0020212020212+?+?+?+?+?+?

2(1000001001)=．我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7761?=，7652?=，7543,?=，请类比二进制与十进制转化的运算，数2(1010011100)对应八进制数为

A. 8(446)

B. 8(1134)

C. 8(1234)

D. 8(4321)

12．函数2

2

()()e x

f x x ax ax a =--+（e 为自然对数的底数，R a ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是

A.1(,0)e -

B.(,0)-∞

C.1(,)e

-+∞ D.(0,)+∞ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分. 13

．6

1)x

展开式中的常数项为 ．

14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=

，(0)f =，则(10)f 等于 ．

15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122n n n S S S --+=+(3)n ≥ ，则3a 的值为 ．

16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线

1111,,,A D A B C B C D 相交于点,,,E F G H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为________.

三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每

个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17．(12分) 已知锐角ABC ?中，角,A B C ,所对边分别为,,a b c ，

且π

)33

c C =-

=

（Ⅰ）若边a =A ；

（Ⅱ）求ABC ?面积的最大值.

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B 1

18．(12分) 已知直三棱柱111ABC A B

C -中，120BAC ?∠=，12,AB AC AA ==，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且13A F FE =. （Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；

（Ⅱ）求二面角11B A E B --余弦值的大小.

19．(12分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.

图2

图1

（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；

（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22?联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？

（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.

22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

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20．(12分) 已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>

四个顶点中的三个是边长为的顶点.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设直线y kx m =+与圆2

2

2

2:3

b O x y +=相切且交椭圆E 于两点M N ，，求线段||MN 的

最大值.

21．(12分)已知函数e ()2ln(1)ax

f x x x a

=+-+（e 为自然对数的底数，a 为常数，且0a ≠） （Ⅰ）若函数在1x =处的切线与直线e 0x y -=平行，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在(0,)+∞上存在单调递减区间，求a 的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=??=?

，

（[0,2),απα∈为参数），在同一平面

直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y

=??

=?，

得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02

OB π

θβρ=+>与曲线1C 交

于点B ，求

2

2

11OA

OB

+

的值．

23．[选修4—5：不等式选讲] (10分)

已知函数21

()|||1|(0)a f x x x a a

+=-+->，g()4|1|x x =-+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；

（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]

1,2，求a 的取值集合．