高一数学上册复习课教案
高一数学必修一复习教案
高一数学必修一复习教案高一数学必修一复习教案11.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数(function).记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域(range).注意：1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”○;2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f 乘x. ○2. 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示.4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论(由学生完成，师生共同分析讲评)(二)典型例题1.求函数定义域说明：1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定。
○2 如果只给出解析式y=f(x)，○而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. ○2.判断两个函数是否为同一函数说明：1构成函数三个要素是定义域、○对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，○而与表示自变量和函数值的字母无关。
判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由?(1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1(2)f ( x ) = x; g ( x ) = x2(3)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2(4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) =(三)课堂练习求下列函数的定义域(1)f(x)x2 1 x|x|(2)f(x) 111x(3)f(x)x24x5(4)f(x)(5)f(x)4x2 x1x26x10(6)f(x)x x3 1十一、归纳小结，强化思想从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
人教版高一数学必修一《复习题》教案及教学反思
人教版高一数学必修一《复习题》教案及教学反思一、教案编写本次教学主要针对人教版高一数学必修一中的《复习题》章节进行教学。
通过开展《复习题》的教学，学生们可以巩固之前所学的数学知识，同时还能够为下一步的学习打下坚实的基础。
本次教学采用下面的教案设计：1. 教学目的•通过对《复习题》的学习，巩固之前所掌握的知识点。
•强化数学思维，提升数学解题能力。
•注重培养学生的合作学习意识，提高学生应对团队合作和独立思考的能力。
2. 教学内容本次教学的内容主要涉及以下几个方面：•整式的加减运算；•二次根式的化简；•分式的加减运算；•分式方程的求解。
3. 教学过程（1）导入环节在导入环节中，教师可以通过以下几个方面来启发学生的兴趣和激发学习的热情：•通过学生自主提问的方式回顾前期所学的知识点，并进行思考和讨论；•通过教师出示课外拓展题目，引导学生进行自主思考；•通过教师讲述数学知识的重要性，鼓励学生积极参与讨论和学习。
（2）知识讲解本环节教师主要通过演示和讲解的方式，介绍《复习题》的相关知识点。
在讲解中，教师需要注意以下几个方面：•对中文术语的解释和讲解；•给出具体的计算步骤和解题方法；•引导学生区分不同的情况并进行分类讨论；•鼓励学生通过自主思考和独立解题的方式来巩固所学内容。
（3）实例演练本环节教师主要带领学生进行实例演练，巩固之前所学的知识点。
在实例演练中，教师需要注意以下几个方面：•需要对实例演练的难度进行适当的调整，以保证学生能够顺利掌握所讲授的知识点；•鼓励学生通过自主解题，提高自己的解题能力；•引导学生进行合作探讨，提高学生的团队协作能力。
（4）作业布置本环节教师主要通过布置作业，巩固学生所学的知识点，并帮助学生提高自己的解题能力。
在作业布置中，教师需要注意以下几个方面：•布置适量、难度适中的作业；•鼓励学生通过自主思考和独立解题的方式完成作业；•引导学生适时和同学进行解题讨论，以提升学生的合作学习能力。
最新人教版高一数学必修1第一章《复习》教案
最新人教版高一数学必修1第一章《复习》教案本章的研究内容主要包括集合和函数的基本知识，以及抽象函数和复合函数的相关问题。
通过整合这些知识，可以帮助学生系统化、网络化地理解数学概念，培养他们的理性思维能力和抽象思维能力。
在研究过程中，我们将注重培养学生的分析、探究、思考能力，帮助他们综合运用基本知识解决问题。
同时，我们也会激发学生对数学的兴趣，培养他们的合作、交流和创新意识。
本章的教学重点包括集合与函数的基本知识，含字母问题的研究，以及抽象函数的理解。
教学难点则在于分类讨论的标准和抽象函数的理解。
为了更好地进行教学，我们准备了多媒体课件和投影仪，并计划用两个课时来完成本章的教学任务。
在教学过程中，我们首先对第一章的知识点进行了回顾，包括集合的含义、表示法、元素与集合的关系，集合间的基本关系以及函数的概念和表示方法等等。
我们还介绍了函数的单调性、奇偶性以及应用问题的解法。
在解决函数应用题的过程中，我们需要遵循“设、列、解、答”的步骤，即先分析题意设出变量，然后列出关系式建立函数模型，接着运用函数的性质解出要求的量，最后回到原实际问题作答。
这些步骤可以用框图来表示。
通过本章的研究，我们希望学生能够掌握集合和函数的基本知识，理解抽象函数和复合函数的相关问题，并能够综合运用这些知识解决实际问题。
同时，我们也希望能够培养学生的分析、探究、思考能力，激发他们对数学的兴趣和创新意识。
当涉及到多个变量时，需要寻找与所求量（y）之间的关系式。
确定一个自变量（x），并通过题目中的条件用x表示其他变量，最终得到函数模型y=f（x）。
在证明集合相等时，需要同时满足A包含于B和B包含于A。
判断两个函数是否相同，需要考虑它们的定义域和对应法则。
函数表达式可以通过定义法、换元法和待定系数法求得。
函数的定义域可以通过列出使函数有意义的自变量的不等式来求解。
常见的依据包括分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0以及实际问题的实际意义。
高一数学复习教案简短大全6篇
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学习可以说很枯燥，记公式做题，做大量的类型题。
这时候，如果教师有一份明确的说课稿，将会大大提升教学效率，下面小编给大家带来关于高一数学复习教案简短，希望会对大家的工作与学习有所帮助。
高一数学复习教案简短（篇1）一、基本情况1、学生情况分析：本学期任教高一年级03，04，05共三个班，有两个班是实验班，还任化学科组长，高一年级副级长，04班班主任。
从中招成绩看，全年级学生无论是学习的态度、学习的习惯和学习成绩，都十分不理想，学生基础差、底子薄，学习主动性不强，因此教学中要特别注意在增进了解的基础上逐渐培养学生对化学学习的兴趣。
2、教学情况分析：对于高一新班，任课教师的首要任务是要培养学生良好的学习习惯，如规定课前预习、课后复习，特别是没有预习时不允许进入实验室进行学生实验等，要求学生准备好听课笔记，每一节课都要认真做笔记。
二、指导思想和要求全面贯彻党的教育方针，根据的要求，将教育与生产实践相结合，培养学生能力。
以全面推进素质教育为宗旨，提高学生化学科学素养。
从充分考虑学生的实际出发，配合新课程标准的要求，以学生的发展为本，抓好学生的“双基”，注重全体学生在初中原有基础上的向前提高，努力提高合格率，争取较高优秀率。
同时，努力探索教育教研的新路子，加强与达高合作，用好‘一张纸教学案’，诣在提高学生的学习效率，实现教学的化。
三、教学目标突出了化学与社会、生活、健康、环境的联系，重视理论和实际相结合，注重化学知识与科学精神、人文精神的渗透于融合，充分开发学生的情商和智商。
增强学生的探究性、亲历性和体验性，通过“实验”“思考与交流”“学与问”“科学探究”以及习题等的设计，限度增加学生活动。
狠抓听课效率和作业质量两个关键点，重视作业的布置，收缴，批改。
抓住记忆遗忘规律，促进学生学习效益的提高；缩小化学差生面，提高及格率和平均分；扩大尖子生面，提高优秀率；加大化学学习习惯的培养力度，努力使学生学会学习，做学习的主人。
高一数学复习教案大全（5篇）
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第一单元的习作内容是向同学推荐一个自己喜欢的地方。
写这类作文，重在把这个地方的特点介绍清楚，写出它的特别之处，从而激发他人去实地探看的兴趣。
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高一数学复习教案大全（篇1）本学期本人承担高一年级三个班的物理教学工作，每周九节课。
根据上学期期末检测成绩分析，大多数学生基础知识掌握情况尚可，但能力水平仍有待提升，尤其是面对综合性问题时学生的思路不清晰，答题逻辑性不强。
另有少部分学生基本知识点落实不够好，学习效果不明显。
现制定这一学期的工作计划。
工作目标：1、学生普遍认为物理难学，需引导学生改变思想认识，在教学中激发学生的兴趣，激发学生的学习积极性，引导学生自主学习。
2、万丈高楼平地起，所以在教学中要加强基础知识的教学及学习方法的指导。
尤其是对一些基础知识薄弱，对物理现象反应不太敏锐的学生要求不要一步到位，想办法给学生设置多层台阶，降低难度，逐层提升，最后力争达到整体的要求。
3、对于学有余力的学生，要为其打造提升能力的平台。
在基础知识掌握好的基础上，习题的配备采用分层设置的方式，并力争和高考对接。
4．尽量多做实验，多让学生做实验，激发学生兴趣，增加其感性认识，加深理解；5、在学生管理上，一如既往的精细化，尤其关键学生、关键时段的管理。
深入教室，深入学生，增加亲和力，多找学生谈心，从多方面给学生以鼓励和帮助。
6、一如既往的做好集体备课，发挥集体的智慧，取长补短，整体提高。
及时做好每次测验的质量分析，并针对教学中存在的问题提出教学整改措施。
个人发展目标：1、正所谓学无止境，而且，要想使应当下的课程环境，要想把学生培养成为全方面的人才，教师只有一桶水是绝对不够的。
问渠哪得清如许，为有源头活水来。
教师必须是一眼迸发勃勃生机的清泉，必须不断地学习。
为了更好的进行必修二的教学，近期要读的书有两本《外星人学物理》和《大众天文学》。
有关高一数学复习的教案6篇
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语文是工具学科，是我们学好各门功课的基础。
学好语文有利于提高我们逻辑思维，有利于提高我们的写作能力和语言表达能力，下面小编给大家带来关于高一数学复习的教案，希望会对大家的工作与学习有所帮助。
高一数学复习的教案【篇1】一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。
生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。
函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。
同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。
二、学生学习情况分析函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：(一)初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数;(二)高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学习典型的对、指、幂和三解函数;(三)高中用导数工具研究函数的单调性和最值。
1.有利条件现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。
初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。
也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。
2.不利条件用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。
三、教学目标分析课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.1.知识与能力目标：⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性;⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系;⑶会求简单函数的定义域和值域2.过程与方法目标：⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型;⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.情感、态度与价值观目标：感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。
高一上册数学期末复习经典教案
第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性❶．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A❷真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x0∈B，x0∉AA B或B A相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B(B≠∅)∅❸3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A❹图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}任何集合是其自身的子集．(1)注意∅，{0}和{∅}的区别：∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确．(2)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能．(1)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件．从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A．(2)补集∁U A是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同．[熟记常用结论]1．A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；2．含有n个元素的集合A＝{a1，a2，…，a n}有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．4．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B．5．A∩B＝A∪B⇔A＝B．6．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁U A)⊇(∁U B)⇔A∩(∁U B)＝∅．7．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．8．A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A．考点一集合的基本关系例1．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[变式发散]1．(变条件)在本例(2)中，若“B ⊆A ”变为“B A ”，其他条件不变，如何求解？2．(变条件)在本例(2)中，若“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，如何求解？练习1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 考点二集合的基本运算例2 (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0，2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{－1,1} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{2,3,4} (2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 练习2．设集合M ＝{x |－1≤x ＜2}，N ＝{x |x ＜a }，若M ∩N ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[课时跟踪检测]1．设集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，集合B ＝{x |－1＜x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1] C ．(－1,2) D ．[1,2) 2．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{4}B ．{2,4}C ．{4,5}D ．{1,3,4}3．(2018·安庆二模)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝________．4．(2018·合肥二模)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．5．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．第二节 函数及其表示1．函数与映射函数映射两集合A ，B 设A ，B 是非空的数集设A ，B 是非空的集合对应关系 f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域❶；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域❷．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数❸若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y ＝f (x )用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域． 值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．[熟记常用结论](1)若f (x )为整式，则函数的定义域为R ； (2)若f (x )为分式，则要求分母不为0； (3)若f (x )为对数式，则要求真数大于0；(4)若f (x )为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负； (5)若f (x )描述实际问题，则要求使实际问题有意义．如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．考点一 求函数的解析式例1．(1)已知f ()2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．练习1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________．考点二 函数的定义域考法(一) 已知函数解析式求定义域 例2．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)；(2)f (x )＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4．考法(二) 已知函数的定义域求参数的值(范围) 例3．(1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(]0，34B ．()0，34C ．[]0，34D ．[)0，34(2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．练习2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________________．考点三 分段函数 考法(一) 分段函数求值例4．(1)(2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧()13x ，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫f ()19＝________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥9，f (f (x ＋4))，x ＜9，则f (7)＝__________．考法(二) 求参数或自变量的值(范围)例5．(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(2)(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________．[课时跟踪检测]1．(2019·重庆调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)2．(2018·合肥质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．113．(2018·安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0,4) B ．(0,4) C ．[4，＋∞)D ．[0,4]4．(2019·珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．()－1，12C ．[)－1，12 D ．()0，125．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．第三节 函数的单调性与最值❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质． ❸对于∀x 1，x 2∈D ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0．❻若函数f (x )的值域是开区间，则函数无最值；若函数f (x )的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是最值.1．函数的单调性❶ (1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x ❷2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)❸，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)❹，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间❺． 2．函数的最值❻前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值M 为函数y ＝f (x )的最小值x 1，x 2的特征：(1)任意性；(2)有大小，即x 1＜x 2(x 1>x 2)；(3)属于同一个单调区间． 对于∀x 1，x 2∈D ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0．(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域． (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(4)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M ．[熟记常用结论]1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)f (x )与a ·f (x )在a >0时具有相同的单调性，在a ＜0时具有相反的单调性． (2)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数．(3)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f (x )·g (x )也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f (x )·g (x )是减(增)函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． 考点一 确定函数的单调性(区间) 考法(一) 确定不含参函数的单调性(区间)[例1] 函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． 考法(二) 确定含参函数的单调性(区间)[例2] 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．练习1．判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性．考点二 函数单调性的应用 考法(一) 比较函数值的大小[例3] 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ()－12，b ＝f (2)， c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c考法(二) 解函数不等式[例4] (1)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫||1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．考法(三) 利用函数的单调性求参数[例5] 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为________．考点三 函数的最值[例6](1) 函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．(2)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．练习3．设0＜x ＜32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．[课时跟踪检测]1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x 2．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)3．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．5．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[]12，2上的值域是[]12，2，求a 的值．第四节 函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数 关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立． (2)图象法：(3)性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 3．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 并不是所有周期函数都有最小正周期，如f (x )＝5．[熟记常用结论]1．奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0． (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 2．周期性的4个常用结论 设函数y ＝f (x )，x ∈R ，a >0．(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； (3)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数的周期为2a ； (4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a ．3．对称性的3个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． 考点一 函数奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．考点二 函数奇偶性的应用[例2] (1)(2019·广州调研)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________．(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________．(3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x＋t ，若f ()12＋f ()－12＝6，则实数t ＝________．练习1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜0，g (x )＋1，x >0，若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1考点三 函数的周期性[例3]设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________．练习2．已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( )A ．f (log 27)＜f (－5)＜f (6)B ．f (log 27)＜f (6)＜f (－5)C ．f (－5)＜f (log 27)＜f (6)D ．f (－5)＜f (6)＜f (log 27)考点四 函数性质的综合应用考法(一) 单调性与奇偶性综合[例4]（1）已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( ) A ．()1，53 B ．()－∞，53C ．(1,3)D ．()53，＋∞(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．考法(二) 奇偶性与周期性综合[例5] 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－3) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)考法(三) 单调性、奇偶性与周期性结合[例6] (2019·达州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减，设a ＝f (－2．8)，b ＝f (－1．6)，c ＝f (0．5)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >c >aD ．a >c >b 练习3．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．[课时跟踪检测]1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ()2 0192＝( ) A ．3＋1 B ．3－1 C ．－3－1D ．－3＋13．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是________． 4．若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________．5．[数学运算]设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ． (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．第五节 函数的图象1．描点法作函数图象通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．“左加右减，上加下减”．左加右减只针对x 本身，与x 的系 数无关；上加下减指的是在f (x ) 整体上加减． 2．函数图象的变换 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象．(3)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．图象变换的注意点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．[熟记常用结论]1．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称． 2．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0中心对称．考点一 函数图象的识别 考法(一) 知式选图[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为( )考法(二) 图象变换问题[例2] 已知函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )练习1．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是()考点二 函数图象的应用[考法全析]考法(一) 研究函数的性质[例3] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)考法(二) 研究不等式的求解问题[例4] (1)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) (2)若不等式(x －1)2＜log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)考法(三) 研究方程根的问题[例5] 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4练习2．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．[课时跟踪检测]1．函数f (x )＝x e －|x |的图象可能是( )2.已知在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，该函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )3．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为________．4．对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．第六节 指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a (a 使n a 有意义)．(2)当n 是奇数时，na n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0.❶2．分数指数幂的意义 (1)amn＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(2)a−m n＝1am n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质(1)a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r，s ∈Q)；(3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 4．指数函数的图象和性质❷函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)图象a ＞10＜a ＜1性质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性 单调递增单调递减函数值变化规律当x ＝0时，y ＝1当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1 化简na n 时，一定要注意区分n 是奇数还是偶数． 1．图象问题(1)画指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a )，()－1，1a . (2)y ＝a x 与y ＝()1ax的图象关于y 轴对称．(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 2．函数性质的注意点讨论指数函数的性质时，要注意分底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况.[熟记常用结论]指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象， 底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b . 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[例1] 化简下列各式： (1)()2350＋2－2×()214−12－(0.01)0.5；(2)56a 13·b －2·(－3a −12b －1)÷(4a 23·b －3)12；考点二 指数函数的图象及应用[例2] 若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为__________．[变式发散]1．(变条件)将本例(2)改为若函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．2．(变条件)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．3．(变条件)将本例(2)改为直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为_________．考点三 指数函数的性质及应用 考法(一) 比较指数式的大小 [例1] 已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝()79−14，b ＝()9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )＜f (a )＜f (c )B ．f (c )＜f (b )＜f (a )C ．f (c )＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (c )＜f (a )考法(二) 解简单的指数方程或不等式[例2] (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧()12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．考法(三) 指数函数性质的综合应用 [例3] 已知函数f (x )＝()13243－＋ax x .(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．练习 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b[课时跟踪检测]1．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b2．函数f (x )＝()121−2+2+x x 的单调递减区间为________． 3．函数y ＝()14x－()12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．第七节 对数与对数函数1．对数概念 如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式．其中常用对数：log 10N ⇔lg N ；自然对数：log e N ⇔ln N性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N ❶log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N运算 法则❷log a (M ·N )＝log a M ＋log a Na ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0log a MN ＝log a M －log a Nlog a M n ＝n log a M (n ∈R)换底公式换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0)函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)图象❸a ＞10＜a ＜1图象特征在y 轴右侧，过定点(1,0)当x 逐渐增大时，图象是上升的当x 逐渐增大时，图象是下降的性质定义域 (0，＋∞)值域R单调性 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数 函数值变 化规律当x ＝1时，y ＝0当x ＞1时，y ＞0； 当x ＞1时，y ＜0；谨记运算法则有关口诀积的对数变加法；商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.①对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，()1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．②在直线x ＝1的右侧，当a ＞1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0＜a ＜1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．③函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于x 轴对称.[熟记常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log am b n ＝nmlog a b .其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ≠0，n ∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．考点一 对数式的化简与求值 [例1]计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．考点二 对数函数的图象及应用[例2] (2019·合肥质检)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )[例3] 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)[变式发散]1．(变条件)将例2中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，a 的取值范围为__________．2．(变条件)若例2变为：已知不等式x 2－log a x ＜0对x ∈()0，12恒成立，则实数a 的取值范围为__________．1练习1．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1考点三 对数函数的性质及应用 考法(一) 比较对数值的大小[例4] 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 考法(二) 解简单的对数不等式[例5]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)考法(三) 对数函数的综合应用[例6] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A.[]43，3B.[]43，2C.[)43，2D.[)43，＋∞ 练习2．（1）设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，()12b＝log 12b ，()12c＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．[课时跟踪检测]1．设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c2．已知点A (1,0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．43．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．4．函数f (x )＝log 13(x 2－4)的单调递增区间为________．5．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．第八节 幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义：一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线x ＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象；(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 对于形如f (x )＝x nm (其中m ∈N *，n ∈Z ，m 与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称； (2)当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 考点一 幂函数的图象与性质[例1]（1）已知幂函数f (x )的图象经过点(9,3)，则f (2)－f (1)＝( ) A ．3 B ．1－2 C.2－1 D ．1 (2)当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52(3)幂函数y ＝x 2-2-3m m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(4)已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b [课时跟踪检测]1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d >c >b >a B ．a >b >c >d C ．d >c >a >b D ．a >b >d >c3．若a ＝()1223，b ＝()1523，c ＝()1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜b4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值为________． 5．已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)xn的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫()1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ()－12，则a ，b ，c 的大小关系为________． 第九节 函数与方程1．函数零点的概念对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )，x ∈D 的零点❶. 2．函数的零点与方程根的联系函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的横坐标，所以方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数f (x )有零点． 3．零点存在性定理4．二次函数图象与零点的关系Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无 零点个数❹215设函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若对区间[a ，b ]有f (a )≥0，f (b )≤0，则曲线必与x 轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a ，b ]上)． 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根，根的分布对照y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象，知其等价不等式组的关系是：①若x 1＜x 2＜m ，则⎩⎨⎧Δ>0，f (m )>0，－b2a ＜m ；②若m ＜x 1＜x 2，则⎩⎨⎧Δ>0，f (m )>0，－b2a >m ；③若x 1＜m ＜x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )＜0；④若x 1，x 2∈(m 1，m 2)，则⎩⎨⎧Δ>0，f (m 1)>0，f (m 2)>0，m 1＜－b2a＜m 2；⑤若x 1，x 2有且仅有一个在(m 1，m 2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m 1)f (m 2)＜0.[熟记常用结论]1．若函数f (x )在[a ，b ]上单调，且f (x )的图象是连续不断的一条曲线，则f (a )·f (b )＜0⇒函数f (x )在[a ，b ]上只有一个零点． 2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点． 考点一函数零点所在区间的判断[例1](1)已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 23 4 5 6 y124.435－74 14.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间A ．2个 B ．3个。
人教版高中必修一数学复习教案
且 A B A ，满足条件的 m 集合是______
5．已知全集 U＝｛2，4，1－a｝ ，A＝｛2，a2－a ＋ 2｝ ，如果 ð ，那么 a 的值为____ U A 1 强调（笔记） ：
A B A B A ; A B A B B
2 6． 设 A 4, 2a 1, a , B 9, a 5,1 a ,已知
【课初 5 分钟】课前完成下列练习，课前 5 分钟
第 1 页
A B 9 ,求实数 a 的值.
B x | x 2 6 x 8 0 , 则 (CU A) B 等 于
A． [1, 4) B． (2,3) C． (2,3] D． (3, 4)
2．设集合 A x x 2 2, x R ，
B y | y x 2 , ， 则 CR A B
7． 已知集合 M= { y | y x 2 1} ， N= {x | y A． (, 0] C． (0, )
C．{a} M 强调（笔记） ：
那么A C . ④n 个元素的子集 如果 A B， B C，
有 2n 个；n 个元素的真子集有 2n －1 个；n 个元素 的非空真子集有 2n－2 个. 7．集合的运算（用数学符号表示） 交集 A∩B= 并集 A∪B= 补集 CUA= 全集. 8.集合运算中常用结论: ; ； ，集合 U 表示 【课中 35 分钟】边听边练边落实 5．集合 A x | 3 x 7 ， B x | 2 x 10 ， 求 A B ， A B ， (CR A) B
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《三角恒等变换》复习课（2个课时）
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，
π±β代替β、α=β等换元法可以推导出由它出发，用-β代替β、
2
其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗？
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。
例题
例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=5
1，求βαtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例 3 化简（1）
0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-2
1cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2
π。
例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。
若水渠断面面积设计为定值m ，渠深8米。
则水渠壁的倾角α应为多少时，方能使修建的成本最低？
分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为α和横断面的周长L 之间建立函数关系，求函数的最小值。