乘法运算定律的运用
乘法运算定律应用(例)
03 乘法结合律
定义与性质
定义
乘法结合律是指三个或三个以上的数 相乘时，改变它们的乘法运算顺序， 其积不变。即对于任意实数a、b、c， 都有(a×b)×c=a×(b×c)。
性质
乘法结合律是乘法运算的基本性质之 一，它保证了乘法运算的可结合性， 使得多个数相乘时，可以按照任意顺 序进行分组计算，结果不变。
示例解析
01
示例1：计算(2×3)×4与2×(3×4) 的结果。
02
• 根据乘法结合律，两者的计算 顺序不同，但结果相同。
示例解析
• (2×3)×4=(6)×4=24 • 2×(3×4)=2×(12)=24
示例2：计算(5×a)×b与5×(a×b)的结果（a、b为任意实数）。
示例解析
• 同样根据乘法结合律，两者的计算顺序不同，但结果相同。
解析
根据题意，总价 = 甲货物总价 + 乙 货物总价 = a × c + b × c = (a + b) × c。
应用2
在代数运算中，乘法分配律也经常被 用来进行因式分解或展开多项式等操 作。
举例
因式分解多项式 a^2 - b^2。
解析
根据乘法分配律和平方差公式， a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
实际应用举例
• 应用2：在物理计算中，利用乘法结合律计算多个物理量的乘积。 • 例如，计算物体的体积时，需要将其长、宽、高三个维度相乘。根据乘
法结合律，可以先计算任意两个维度的乘积，再与第三个维度相乘，得 到最终结果。 • 应用3：在计算机编程中，利用乘法结合律优化算法性能。 • 在进行大量乘法运算时，通过合理地改变乘法运算的顺序，可以减少计 算量，提高运算效率。例如，在计算连乘表达式时，可以先将部分因子 相乘得到中间结果，再利用中间结果进行后续计算。
(小学阶段)乘法运算定律(运算律)及其在整数运算中的运用
(小学阶段)乘法运算定律（运算律）及其在整数运算中的运用乘法运算定律有乘法交换律（乘法的性质）、乘法结合律和乘法分配律，理解、掌握并运用乘法运算定律，可以简化部分乘法题目的计算过程，提高计算速度，提升计算结果的准确性。
➢乘法交换律一、内容及字母表达式乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
用字母表达为：a×b=b×a（或者a·b=b·a其中，·表示乘号）乘法交换律不仅适用于两个数相乘，也适用于三个或三个以上的数相乘。
二、在整数运算中的运用（一）两个数相乘如：25×4=4×25（都等于100）198×12=12×198（都等于2376）（二）三个或三个以上的数相乘如：3×8×5=8×5×3（都等于120）125×6×4×2=125×4×2×6 （都等于6000）➢乘法结合律一、内容及字母表达式乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
用字母表达为：a×b×c=a×(b×c)二、在整数运算中的运用（一）三个数相乘如：250×3×81.不运用乘法结合律250×7×8=1750×8=14000解析：按照运算顺序，先计算250×7=1750，再计算1750×8。
2.运用加乘法结合律250×7×8=(250×8)×7=2000×7=14000解析：按照原题，应先计算250×7，但是，通过运用乘法结合律先计算250×8=2000（250与8的乘积为整千数），再计算2000×7，在改变运算顺序的基础上简化了计算过程。
乘法的运算定律和公式
乘法的运算定律和公式乘法是数学中基本的四则运算之一，它有着广泛的应用。
乘法的运算定律和公式是我们在进行乘法运算时常用的规则和计算方法。
本文将详细介绍乘法的运算定律和公式，帮助读者更好地理解和掌握乘法运算。
一、乘法的运算定律乘法的运算定律包括交换律、结合律和分配律。
1. 交换律乘法的交换律指的是两个数相乘的结果与顺序无关，即a乘以b等于b乘以a。
例如，2乘以3等于3乘以2，都等于6。
这一定律可以用于简化计算和推导。
2. 结合律乘法的结合律指的是多个数相乘的结果与加法顺序无关，即(a乘以b)乘以c等于a乘以(b乘以c)。
例如，(2乘以3)乘以4等于2乘以(3乘以4)，都等于24。
结合律可以用于简化多个数相乘的计算。
3. 分配律乘法的分配律是乘法运算与加法运算之间的关系。
它表明两个数相乘再加上第三个数的乘积，等于两个数分别与第三个数相乘再进行相加。
即a乘以(b加上c)等于(a乘以b)加上(a乘以c)。
例如，2乘以(3加上4)等于(2乘以3)加上(2乘以4)，都等于14。
分配律在代数运算中经常被使用。
二、乘法的公式乘法的公式是一种特定的计算方法，可以用于求解一些常见的乘法运算。
1. 平方公式平方公式是乘法中的一种重要公式，用于求解一个数的平方。
平方公式表示为a的平方等于a乘以a。
例如，2的平方等于2乘以2，结果为4。
2. 乘方公式乘方公式是乘法中的另一种常用公式，用于求解一个数的乘方。
乘方公式表示为a的n次方等于a乘以a乘以...乘以a，其中a连乘n次。
例如，2的3次方等于2乘以2乘以2，结果为8。
3. 乘法逆元公式乘法逆元公式是用于求解乘法逆元的公式。
乘法逆元指的是一个数与其乘法逆元相乘等于1。
乘法逆元公式表示为a乘以a的乘法逆元等于1。
例如，2乘以1/2等于1，其中1/2是2的乘法逆元。
4. 乘法倍增公式乘法倍增公式是一种用于快速计算乘法的方法。
它利用了乘法的交换律和结合律，将一个乘法运算转化为多个乘法运算的相加。
乘法运算定律的应用教学设计
乘法运算定律的应用教学设计右安门一小牛海娟教学内容：乘法运算定律的应用教学目标：1•使学生理解乘法的交换律、结合律和分配律各自的特点，通过体验、感悟，熟练、灵活地运用它们进行简便计算。
2•感受数学与现实生活的联系，能用乘法运算定律解决在生活中简单的实际问题。
教学重点：灵活应用乘法分配律进行简便计算。
教学难点：将一个因数拆分成两个适当的数的和。
教学准备：课件教学思路：乘法运算定律是四年级数学教学中的重点，也是难点之一。
它将贯穿于整个高年级数学教学中的一个流程。
学习乘法的三条定律，看似一个比较简单的问题，但从真正的意义上来说，运用与操作却有着太多的不可估计的问题，尤其对于定律的综合运用。
本节课是一节综合练习课，重点在于知识的归纳、整理、巩固以及知识的应用上，从而使所学知识系统化、网络化，并利用这些知识解决一些实际问题。
难点是如何根据算式及数的特征正确运用运算定律进行计算，从而提高学生运用乘法定律进行简便计算的能力。
教学过程：课前游戏：我们先来做个游戏，聪明的小猴子最爱动脑筋了，他正在思考谁能给这个数字找个好朋友，与它相乘是整十、整百、整千的数，像这样的好朋友，还有哪些?教师板书：25X 4 125X 8 15X 2 ,,请同学们要牢记这些好朋友，一会儿它要给我们很大的帮助。
、定向梳理1 •回忆，我们学习了哪些乘法运算定律? 用自己的话说一说定律的内容。
、探究新知情境一：导游设关秋天是收获的季节，果子都成熟了，你们想到果园去采摘吗？但在出发前，导游想考考同学们，必须先闯过她设的一道关。
比一比，男生和女生谁先坐上车？1.符合定律形式的基本题：8X (125+7)19X 37+ 19X 638X (125+7)教师：看到这个算式，你想到了应用什么定律？19X 37+ 19X 63。
“仔细看一看这道题里的两个乘法计算中的因数有什么特点?想一想这道题怎样做才能使计算简便呢?”(两个乘法计算有相同的因数9，另外两个因数是37和63，它们的和正好是100，整百数乘9比较容易。
乘法运算定律及其在简便计算中的运用
3×6+6×7=□6 ×(□3 +□7 )
用自己最喜欢的方式计 算下面各题？
396×25×4
125×19×8
8×25×125×4
我能行
看谁算得又对又快。
如：（80+8）×125 =80×125+8×125
用字母表示： （ a+ b ）× c =a × c + b × c
填空
A×B=(_B__×A) 35×2×5=35×(2×_5__) (60×25) ×4=60×(_2_5_×4) (125×5)×8=(1_2_5_×_8__)×5
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在□里填上适当的数。
复习
乘法运算定律 及其在简便计算中的运用
复习目的
通过复习乘法运算律，让学生进一 步理解掌握运算律在简便计算中的运 用，能够灵活利用运算律进行计算， 并解决生活中的实际问题。
一、乘法交换律： 两个因数相乘，交换它们的位置，积不
变，这叫做乘法交换律。 如: 32×25=25×32
用字母表示：a × b = b × a 二、乘法结合律：
三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后 两个数，乘积不变，这叫做乘法结合律。
如： 28×125×8=28×（125×8） 用字母表示：a × b × c= a × ( b × c )
三、乘法分配律： 两个数的和乘以一个数，可以先把这
两个数分别与这个数相乘，再将这两个积 相加，结果不变，这叫做乘法分配律。
20×6+80×6 =(20+80) × 6 =100 × 6 =600
四年级运算定律的运用
乘法交换律、乘法结合律1、乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。
用字母表示为：a ×b ＝ b × a2 、多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。
如 a × b × c × d ＝ b × d × a × c3 、乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
用字母表示为：（ a × b ）× c ＝ a ×（ b × c ）4 、在乘法算式中，如果其中两个因数的积为整十、整百、整千数时，可以运用乘法交换律、乘法结合律来改变运算顺序，从而简化运算。
5、运用乘法交换律、乘法结合律简化运算的实质与算式特点实质：把其中相乘结果为整十、整百、整千的两个因数先相乘。
通常利用的算式是：2 ×5 ＝10 ；4 ×25 ＝100 ；8 ×125 ＝1000 ；625 ×16 ＝10000 ；75×8= 600 25 ×8 ＝200 ；75 ×4 ＝300 ；375 ×8 ＝3000例题1 计算125 ×25 ×8 ×4练习1-18 ×（30 ×125 ） 5 ×（63 ×2 ）25 ×（26 ×4 ）（25 ×125 ）×8 ×478 ×125 ×8 ×3 125 ×19 ×8 ×3例题2 计算25 ×32 ×125分析：在乘法算式中，当因数中有25 、125 等因数，而另外的因数没有 4 或8 时，可以考虑将另外的因数分解为两个因数相乘、其中一个因数为 4 或8 的形式，从而利用乘法交换律、乘法结合律使运算简化。
乘法的三种运算定律公式
乘法的三种运算定律公式乘法是初等数学中的基础运算之一，它可以用于两个或多个数的相乘。
在乘法运算中，有着许多基本的性质和规则，其中最重要的三个运算定律公式为结合律、交换律和分配律。
1. 结合律：结合律是指在三个或更多项的乘法运算中，不改变因子的顺序可以改变乘积的分组方式。
表述为(a×b)×c = a×(b×c)。
例如，对于2×3×4，可以将先将2和3相乘得到6，再将6和4相乘得到24，也可以先将3和4相乘得到12，再将2和12相乘得到24。
这就是结合律的表现。
乘法结合律的证明方法有很多种，其中一种方法是使用数学归纳法。
首先，任意三个自然数 a、b 和 c，可以通过结合律得到下列式子：(a×b)×c = a×(b×c)然后，当我们增加一个新因子 d 时，我们可以应用结合律来重新组合它们，得到：((a×b)×c)×d = (a×b)×(c×d) =a×(b×(c×d)) = a×((b×c)×d)因此，在数学归纳法的证明中，我们可以认为结合律适用于有限数量的任意自然数上。
2. 交换律：交换律是指在两项乘积中，可以改变它们的次序而保持其值不变。
表述为a×b = b×a。
例如，2×3=3×2。
这表明在乘法中，因子可以任意交换而不改变乘积的值。
交换律的证明相对简单，可以用数学归纳法证明。
首先，在两个自然数 a 和 b 上，如果应用交换律，我们可以得到：a×b = b×a然后，假设交换律在所有 k 个自然数上都成立。
当增加一个因子 c 时，我们可以将它插入到乘积公式中并交换其顺序得到：(a×b)×c = (b×a)×c = b×(a×c) = c×(b×a) = c×a×b因此，交换律对任意数量的自然数同样适用。
运用乘法分配律进行简算的五种方法
运⽤乘法分配律进⾏简算的五种⽅法合理使⽤乘法分配律，能使运算变得简便，从⽽提⾼运算速度。
常⽤的⽅法有下⾯⼏种。
⼀、直接运⽤法。
根据数的特点，把两个数的和与⼀个数相乘的形式，改写为两个数分别与这个数相乘的积再相加的形式进⾏计算。
例1. (8+80)×125=8×125+80×125=1000+10000=11000⼆、逆向运⽤法。
根据数的特点，把两个数分别与⼀个数相乘的积再相加的形式，改写为两个数的和与这个数相乘的形式进⾏计算。
例2. 14×58+86×58=(14+86)×58=100×58=5800三、扩展运⽤法。
根据数的特点，把多个数的和与⼀个数相乘的形式，改写为多个数分别与这个数相乘的积再相加的形式进⾏计算（反过来也可以运⽤）。
例3. 25×(40+80-4)=25×40+25×80−25×4=1000+2000−100=2900例4. 8×72+8×42+8×11=8×(72+42+11)=8×125=1000四、转化运⽤法。
根据数的特点，将能变为乘法分配律标准形式的题⽬，转化为乘法分配律的标准形式（或逆运⽤的标准形式）进⾏计算。
例5. 6×230+60×77=6×230+6×770=6×(230+770)=6×1000=6000例6. 26×40=(25+1)×40=25×40+40=1000+40=1040五、综和运⽤法。
把乘法分配律与其他运算定律综合在⼀起使⽤，进⾏简便计算。
例7. 23×78+43×78+66×22=(23+43)×78+66×22=66×78+66×22=66×(78+22)=66×100=6600。
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2、利用除法的运算规律进行简便计算。 300÷25÷4 =300÷（25×4） 210÷5÷6 =210÷（5×6） =210÷30 =7 720÷45 = 720÷（9×5） = 720÷9÷5
=300÷100
=3 630÷（7×2） = 630 ÷7 ÷2 = 90÷2
= 45
= 80÷5
=16
李大爷家有一块菜地（如右 图），这块菜地的面积有多 少平方米？
方法①： 9×21＋9×19 ＝9×（21＋19） ＝9×40 ＝360（m2 ） 方法②：
（21+19）×9 =40×9 =360（平方米）
答：这块菜地的面积有360 m2。
当堂训练
1、用简便方法计算 （1）36×25 （2） 88×125
15×16 15×12
25×16
125×16
2. 商店上午卖出25箱饮料，每箱
36瓶一个数连续乘两位数可以改 成连续乘两个一位数，积不变。也 可以使用乘法分配律使计算简便。
检测二：
我用了3个星期才 把这本习字本写 完。一共写了420 个毛笔字。
问：小明平均每天写多少个毛笔字？
（3）18×19+19×82
（4）23×102
2、解决问题
商店卖出苹果和梨各8箱，每箱苹果25千克，每箱梨35千克， 商店卖出苹果和梨一共多少千克？
这节课，你有什么收获？
四、布置课外作业
1：第31页练习八，第7题。
2：《同步导学与优化训练》
第15页内容
乘法运算定律的运用
主备人：马萌克
学习目标:
1、在解决问题中了解乘除混合 应用题的数量关系； 2、运用运算定律进行一些简便 计算。
自学指导：
请同学们认真看课本第29页例8，思考 以下问题：（时间：5分钟） 1、当一个数乘两位数时怎样计算简 便？ 2、当遇到连除时你能用简便算法计 算吗？
检测一
1、你能用更简便方法计算吗？
解题思路：
一个数连续除以两个数可以用 这个数除以它们的积，商不变。 也可先除以第二个除数，再除以 第一个除数上不变
检测三
每本相册都是 32页，每页可 以插6张照片。
32 ×6 ×5
我家大约有900 张照片,5本相 册够用吗？
900 ﹤ 960
= 32×（ 6×5）
=32 ×30 =960（张）
答：5本相册够用。