2020年福建省厦门市高考数学二模试卷1 (含答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学二模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知m∈R，复数z1=1+3i，z2=m+2i，且z1⋅z2−为实数，则m=()A. 23B. −23C. 3D. −32.向量a⃗=(−4,5),b⃗ =(λ,1)，若(a⃗−b⃗ )//b⃗ ，则λ的值是()A. −54B. −43C. −45D. −23.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(−1,−1)，则抛物线的焦点坐标为()A. (0,1)B. (0,2)C. (1,0)D. (2,0)4.若x，y满足约束条件{3x−y+2≥02x−y+1≥0x+y−1≤0，则z=y−x的最大值为()A. 32B. 1 C. 12D. 05.若△ABC的周长为20，面积为10√3，A=60°，则a的值为()A. 5B. 6C. 7D. 86.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A. 2π−12B. π−24C. π−12D. π−147.曲线f(x)=2asinx在x=5π3处的切线倾斜角为π4，则a等于()A. 1B. −12C. 12D.−18.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1ACC1所成的角为()A. π2B. π3C. π4D. π69. 已知函数f(x)是定义在区间[1−3m,2m]上的偶函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，若a =f(m)，b =f(2−0.4)，c =f(log 415)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >c >bB. a >b >cC. b >c >aD. c >a >b10. 设F 是双曲线C:x 216−y 29=1的右焦点，P 是双曲线C 左支上的点，已知A(1,3)，则△PAF 周长的最小值是( )A. 3√5B. 3√5+13C. 2√5+13D. 2√5 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +S n =1，则S n 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,+∞)C. [12,1)D.[12,+∞)12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则f(π)=( )A. √3B. −√3C. 1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知tan(α−5π4)=15，则tan α=_________． 14. 已知底面是正方形的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长AB =6，侧棱长AA 1=2√7，它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上任意一点，有以下判断： ①PE 长的最大值是9；②三棱锥P −EBC 体积最大值是15+3√7； ③存在过点E 的平面，截球O 的截面面积是8π；④Q 是球O 上另一点，PQ =8，则四面体ABPQ 体积的最大值为56； ⑤过点E 的平面截球O 所得截面面积最大时，B 1C 垂直于该截面． 其中判断正确的序号是______ ． 15. 如果函数f(x)=a⋅3x +4−a 4(3x −1)是奇函数，则a =______．16. 如表记录了某公司投入广告费x 与销售额y 的统计结果，由表可得线性回归方程为y =b ̂x +a ̂，据此方程预报当x =6时，y =______． x 4 2 3 5 y 49 26 39 54 附：参考公式：b̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b̂x 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)求1S1+1S2+1S3+⋯+1S10的值．18.如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．(Ⅰ)求证：OM//平面ABD；(Ⅱ)若AB=BC=2，求三棱锥A−BDM的体积．19.针对某地区的一种传染病与饮用水进行抽样调查发现：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．(1)作出2×2列联表(2)能否有90%的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关？P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.已知F(1,0)，P是动点，以PF为直径的圆与圆O：x2+y2=4内切(1)求P的轨迹E的方程；(2)设A，B是圆O与x轴的交点，过点Q(12,0)的直线与E交于M，N两点，直线AM交直线x=8于点T，求证：B，N，T三点共线．21.讨论函数f(x)=x−2x+2e x的单调性，并证明当x>0时，(x−2)e x+x+2>0．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程是{x=√ty=√3t3(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把z1=1+3i，z2=m+2i代入z1⋅z2−，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用虚部为0求得m 值．【解答】解：∵z1=1+3i，z2=m+2i，∴z1⋅z2−=(1+3i)(m−2i)=(m+6)+(3m−2)i，．则3m−2=0，即m=23故选：A．2.答案：C解析：【分析】由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．【解答】解：向量a⃗=(−4,5)，b⃗ =(λ,1)，则a⃗−b⃗ =(−4−λ,4)，又(a⃗−b⃗ )//b⃗ ，所以−4−λ−4λ=0，．解得λ=−45故选：C．3.答案：A解析：解：∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(−1,−1)，∴p=1，2∴该抛物线焦点坐标为(0,1)．故选A．利用抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(−1,−1)，求得p2=1，即可求出抛物线焦点坐标．本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．4.答案：B解析：【分析】本题考查简单线性规划，画出可行域，分析z的几何意义求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如下图，目标函数z=y−x可化为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过(1,0)时，z取得最大值，则目标函数的最大值为z=1−0=1．故选B．5.答案：C解析：解：∵A=60°，S=10√3，∴S△ABC=12bcsinA=10√3，即√34bc=10√3，解得bc=40由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得a2=(b+c)2−3bc=(b+c)2−120∵△ABC的周长a+b+c=20∴b+c=20−a，得a2=(20−a)2−120，解得a=7故选C．根据三角形面积公式，结合A=60°算出bc=40.利用余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，化简得出a2=(b+c)2−120，结合三角形的周长为20得到关于a的方程，解之可得边a的长．本题考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，正确运用余弦定理是关键，属于中档题．6.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．设大正方形的边长为1，其内切圆直径为1，则小正方形边长为√22，从而阴影部分的面积S阴影部分=S 圆−S小正方形，由此利用几何概型能求出在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率．【解答】解：设大正方形的边长为1，其内切圆直径为1，则小正方形边长为√22，∴阴影部分的面积S阴影部分=S圆−S小正方形=π4−12=π−24，∴在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率：．故选：B．7.答案：A解析：解：∵f(x)=2asinx，∴f′(x)=2acosx，则f′(5π3)=2acos5π3=a．∴a=tanπ4=1．故选：A．求出原函数的导函数，得到f′(5π3)=a，进一步可得a=tanπ4．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是基础题．8.答案：D解析：【分析】本题主要考查了直线与平面所成的角，考查正方体的性质，正确作出线面角是关键，属于中档题．连接BD，BD∩AC=O，连接OC1，确定∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角，从而可得结论．解：连接BD，BD∩AC=O，连接OC1，由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA1，且AA1、AC为平面AA1C1C内两条相交直线，∴BO⊥平面AA1C1C，∴∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角，设正方体的棱长为a，则OB=√22a，BC1=√2a，在Rt△BC1O中，sin∠BC1O=OBBC1=√22a√2a=12，，∴∠BC1O=π6，故选D．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性，是一般题．由偶函数的定义域关于原点对称得m，然后比较自变量的大小，利用函数的奇偶性和单调性求解即可．【解答】解：因为函数f(x)是定义在区间[1−3m,2m]上的偶函数，所以1−3m+2m=0，解得m=1，又2−0.4∈(0,1)，，则，又当时，f(x)单调递增，，所以，即c>a>b．故选D．10.答案：B【分析】根据双曲线的定义以及几何性质求解即可得结果，属于一般题．【解答】解：设左焦点为F 1，由题意可知，c =√16+9=5，则F 1(−5,0)，F(5,0)， 又A(1,3)，则|AF|=5，根据双曲线的定义可知，|PF|=2a +|PF 1|， 所以△PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF 1|+|PA|+13．当A ，P ，F 1三点共线时，|PF 1|+|PA|取得最小值，即△PAF 的周长取得最小值． |AF 1|=√(1+5)2+32=3√5，故△PAF 周长的最小值为3√5+13.故选B ．11.答案：C解析： 【分析】根据条件进行化简，得到{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，求出S n 的表达式，即可得到结论． 本题主要考查递推数列的应用，利用条件判断数列{a n }是等比数列是解决本题的关键． 【解答】解：n =1时，a 1+S 1=2a 1=1， 解得a 1=12， n ≥2时，S n =1−a n ，S n−1=1−a n−1， 两式相减的S n −S n−1=1−a n −1+a n−1， 即a n =a n−1−a n ， 则2a n =a n−1， 即a nan−1=12，为定值．数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列． 则S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则1−12≤S n <1，即12≤S n <1，则S n 的取值范围是[12,1)， 故选：C12.答案：B解析：解：由函数f(x)的图象经过点(0,1)，(2π3,−1)， 所以A =2，T =2π3×2=4π3，所以ω=2π4π3=32，所以1=2sinφ，且|φ|<π，所以φ=π6；所以f(x)=2sin(32x+π6)f(π)=2sin(32π+π6)=−2cosπ6=−√3．故选：B．根据函数f(x)的图象与性质，求出f(x)的解析式，再计算f(π)的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．13.答案：32解析：【分析】本题主要考查liang两角和与差公式和简单的三角恒等变换．【解答】解：tan(α−5π4)=tan(α−5π4+π)=tan(α−π4)，则tan(α−π4)=15，而tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=15，即tanα−11+tanα=15，解得tanα=32．故答案为32．14.答案：①②④解析：解：①∵底面是正方形的长方体ABCD−A1B1C1D1的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2√7，∴外接球的直径为√36+36+28=10，半径为5，∵点E是AB的中点，∴OE=4，∴PE长的最大值是4+5=9，故正确；②P到平面EBC的最大值为5+√7，∵△EBC的面积为9，∴三棱锥P−EBC体积最大值是15+3√7，故正确；③过点E的平面，截球O的截面面积最小是9π，故不正确；④当PQ中点与C1D1中点重合，且PQ垂直于平面ABC1D1时，则四面体ABPQ体积为56，故正确；⑤过侧面C1CB1B是矩形，CB1不垂直C1B，BC1不可能垂直于ABC1D1，故不正确．故答案为：①②④．①求出外接球的直径为√36+36+28=10，半径为5，可得OE=4，从而PE长的最大值是4+5=9，故正确；②P到平面EBC的最大值为5+√7，利用体积公式，可求三棱锥P−EBC体积最大值；③过点E 的平面，截球O 的截面面积最小是9π；④当PQ 中点与C 1D 1中点重合，且PQ 垂直于平面ABC 1D 1时，则四面体ABPQ 体积为56；⑤当过E 点且平行于侧面C 1CB 1B 时，此时可以满足截球O 的截面面积最大，此时B 1C 平行于该截面． 本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．15.答案：2解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及运用，考查定义法求参数的方法，考查运算能力，属于中档题． 由奇函数的定义可得，f(−x)+f(x)=0，再化简整理，即可得到a ．【解答】解：函数f(x)=a⋅3x +4−a4(3x −1)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0，即有a⋅3−x +4−a 4(3−x −1)+a⋅3x +4−a 4(3x −1)=0， 则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a 2+3x 1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a =2．故答案为：2 16.答案：65.5解析：解：根据表中数据，计算x −=14×(4+2+3+5)=3.5，y −=14×(49+26+39+54)=42； ∑(4i=1x i −x −)(y i −y −)=(4−3.5)(49−42)+(2−3.5)(26−42)+(3−3.5)(39−42)+(5−3.5)(54−42)=47；∑(4i=1x i −x −)2=(4−3.5)2+(2−3.5)2+(3−3.5)2+(5−3.5)2=5；∴b ̂=475=9.4，a ̂=y −−b ̂x −=42−9.4×3.5=9.1； 所以y 关于x 的线性回归方程为ŷ=9.4x +9.1； 当x =6时，y =9.4×6+9.1=65.5；故答案为：65.5．根据表中数据计算x −、y −，求出回归直线方程的系数，由回归直线方程计算x =6时对应y 的值即可． 本题考查了线性回归直线方程的求法与应用问题，是中档题． 17.答案：解：(1)∵数列{a n }是等差数列，由a1+a2+a3=12，得3a2=12，a2=4，又a1=2，∴d=a2−a1=4−2=2，∴数列{a n}的通项公式为：a n=a1+(n−1)d=2+2(n−1)=2n，数列{a n}的前n项和为：S n=n(a1+a n)2=n(2+2n)2=n(n+1)；(2)∵1S n =1n(n+1)=1n−1n+1，∴求1S1+1S2+1S3+⋯+1S10=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(110−111)=1−111=1011．解析：(1)由已知借助于等差数列的性质求出a2，由等差数列的定义得到公差，则数列{a n}的通项公式及前n项和S n可求；(2)把1S n进行裂项，然后利用裂项相消法求和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．∵AB⊥平面BCD，∴OM//AB．又∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，∴OM//平面ABD．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知OM//平面ABD，∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离过O作OH⊥BD，垂足为点H，∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面BCD，∴OH⊥AB．∵AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD=B，∴OH⊥平面ABD．∵AB=BC=2，△BCD是等边三角形，∴BD=2，OD=1，OH=OD⋅sin60°=√32．∴V A−BDM =V M−ABD =V O−ABD =13×12×AB ⋅BD ⋅OH =13×12×2×2×√32=√33． ∴三棱锥A −BDM 的体积为√33．解析：(I)由平面CMD ⊥平面BCD 可得OM ⊥平面BCD ，又AB ⊥平面BCD ，得出OM//AB ，从而得出OM//平面ABD ；(II)过O 作OH ⊥BD ，则可证OH ⊥平面ABD.于是V A−BDM =V M−ABD =V O−ABD ．本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解(1)：作出2×2列联表−(2)计算随机变量K 2的观测值k =86×(5×22−50×9)255×31×14×72≈5.785>2.706，所以有90%的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关．解析：(1)根据题目数据作出2×2列联表(2)计算观测值k 2，根据临界值表可得结论．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：(1)设PF 中点为G ，由内切可知，|OG|=2−|PF|2， 即|PF|+2|OG|=4，取F′(−1,0)，连接P ，F′，由中位线可知，|PF′|=2|OG|，∴|PF′|+|PF|=4，故P 的轨迹E 是以F′，F 为焦点的椭圆，a =2，c =1，b =√3，其方程为：x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意知，A(−2,0)，B(2,0)，则BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，∵直线AM 的方程为y =y 1x1+2(x +2)， ∴T(8,10y 1x 1+2)，∴BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,10y 1x 1+2)， 由题意可设直线MN 的方程为：x =my +12，由{x =my +12x 24+y 23=1 得(3m 2+4)y 2+3my −454=0， y 1+y 2=−3m 3m 2+4，y 1y 2=−454(3m 2+4)，∵(x 2−2)×10y 1x 1+2−6y 2 =10y 1(my 2−32)−6y 2(my 1+52)x 1+2=4my 1y 2−15(y 1+y 2)x 1+2=4m ×−454(3m 2+4)−15×−3m 3m 2+4x 1+2=0，∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BT⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴B ，N ，T 三点共线．解析：(1)设PF 中点为G ，由内切得|OG|，|PF|的关系，再利用中位线转化为|PF|与|PF′|(F′(−1,0))的和，由椭圆定义可得方程；(2)设M ，N 的坐标，并求得T 的坐标，由直线MN 的方程与椭圆方程联立得根与系数关系，然后向量共线的条件去证BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BT⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 此题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，三点共线的证明等，难度较大．21.答案：解：f(x)=x−2x+2e x ，f′(x)=e x (x−2x+2+4(x+2)2)=x 2e x(x+2)2，∵当f′(x)>0时，x <−2或x >−2，∴f(x)在(−∞,−2)和(−2,+∞)上单调递增，证明：因为x >0时，x−2x+2e x >f(0)=−1∴(x −2)e x +x +2>0．解析：求导，f′(x)=x 2e x(x+2)2，令f′(x)>0，即可求得f(x)的单调递增区间，由当x >0时，根据函数单调性可知x−2x+2e x >f(0)=−1，即可证，(x −2)e x +x +2>0．本题考查了导数在函数单调性上的应用，考查复合函数的求导法则以及导数代表的意义，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：曲线C 1的参数方程是{x =√t y =√3t 3(t 为参数)，化为直角坐标方程：y=√33x.(x ≥0)．曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，化为x 2+y 2=4．联立{y =√33x x 2+y 2=4，解得{x =√3y =1 ∴曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标为(√3,1)．解析：分别把曲线C 1的参数方程化为直角坐标方程，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程，联立解出即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12 或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2 ， 解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)．(2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ，当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=”当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2；当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a 2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题．(1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。
2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(有答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足，则z在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，集合，若，则m的取值范围是A. B. C. D.3.已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则C的标准方程为A. B. C. D.4.设，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为单位：，鲑鱼的耗氧量的单位数为科学研究发现v与成正比．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为则当时，其耗氧量的单位数为A. 2670B. 7120C. 7921D. 80106.某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为A.B.C.D.7.在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛获奖名次不重复甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种8.若，，，则A. B. C. D.9.已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为A. 10B. 5C.D.10.已知抛物线C：的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则直线AF的斜率为A. B. C. D.11.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O与AC中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是A. ACB. AFC. BFD. CF12.函数，若存在唯一整数使得，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______．14.排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为______．15.已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为______．16.用表示函数在闭区间I上的最大值，若正数a满足，则______；a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，且．求的通项公式；若，记数列的前n项和为，求证：．18.直四棱柱被平面所截得到如图所示的五面体，，．求证：平面；若，求二面角的余弦值．19.一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分即获得分．设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．20.已知椭圆E：，过左焦点F且斜率大于0的直线l交E于A、B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线交x轴于点D．若点G的纵坐标为，求直线GD的方程；若，求的面积．21.已知函数，其中．讨论函数的单调性；若函数存在两个极值点，其中，且的取值范围为，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数，，曲线C的参数方程为参数．求曲线C在直角坐标系中的普通方程；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求．23.已知函数．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若时，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数z满足，，它在复平面内对应点的坐标为，故选：A．利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z，求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.答案：D解析：解：，，，，解得，的取值范围是．故选：D．根据得出，从而得出，进而得出，解出m的范围即可．本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，则可以设其方程为，又双曲线C经过点，则有，解可得：，则双曲线的标准方程为：；故选：D．根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为，将点代入双曲线方程，解得的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．4.答案：B解析：【分析】本题考查了倍角公式和简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．由，可得或，即可得到最终答案．【解答】解：由，即或，即或，“”是“”的必要不充分条件，故选：B．5.答案：C解析：解：v与成正比，比例系数设为k，可得，当时，，即有，即，则当时，，即，则，可得，故选：C．由题意可设，当时，，求得k，再由，结合对数的换底公式和对数的定义，计算可得所求值．本题考查函数在实际问题中的应用，考查对数的换底公式和对数的定义，考查运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体，如图所示：设外接球的半径为r，则：，所以．故：．故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出外接球的半径，最后求出球体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法及应用，球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：A解析：解：根据题意，第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好，则甲不能为第五名，据此分2种情况讨论：若甲是第一名，则第五名可以为乙和丙，有2种情况，剩下三人有种情况，此时有种可能情况；若甲不是第一名，则甲有3种情况，同时第五名必须为丙，第一名为乙，剩下2人有种情况，此时有种可能情况；则一共有种可能情况，故选：A．根据题意，分析可得则甲不能为第五名，据此按甲的名次分2种情况讨论，若甲是第一名和若甲不是第一名，求出每种情况下的可能数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及合情推理的应用，属于基础题．8.答案：C解析：解：因为，因为，，故，所以．故选：C．由对数函数单调性可知，，，然后结合对数的运算性质先比较的大小即可判断．本题主要考查了利用对数函数的单调性及对数的运算性质比较对数式的大小，属于基础试题．9.答案：C解析：解：由是正项等比数列的前n项和可知，，因为，则，，结合二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值．故选：C．由已知结合数列的和与项的关系进行化简，然后结合二次函数的性质可求．本题主要考查了等比数列的性质及二次函数的性质的简单应用，属于中档试题．10.答案：D解析：解：，F，B三点共线，为圆F的直径，则．由抛物线定义知，在中，可得．则，直线AF的斜率．故选：D．由题意画出图形，由已知可得三角形ADB为直角三角形，再由抛物线定义结合圆的性质求得，从而求得AF的倾斜角，斜率可求．本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.答案：B解析：解：，M分别为BC，AC的中点，，则，又，，而，平面MOF，，CF与平面MOF所成的角分别为和，相等为，根据直线与平面所成角的定义可知，AC与平面MOF所成的角为，故只有AF与平面FOM所成的角不为定值．故选：B．由题意证明平面MOF，可得BF，CF，AC与平面OFM所成的角，由已知可得都为定值，由此得到答案．本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.答案：B解析：解：由，可得，令，易知函数在单调递增，在单调递减，且，作出函数的图象如图所示：恒过定点，且，，存在唯一整数使得，当时，存在唯一的整数使得命题成立．故选：B．通过半分离法，将问题转化为函数与直线图象之间的关系，再通过数形结合求解即可．本题考查不等式解的整数根问题，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，通过利用半分离法，将问题转化为两个函数图象之间的关系问题，再利用数形结合思想是解决本题的关键，属于中档题．13.答案：解析：解：，由正弦定理可得：，又，解得，．故答案为：．由正弦定理化简已知等式可得：，根据已知可求得，进而根据余弦定理可求cos C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：解析：解：排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为：．故答案为：．中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，由此能求出中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：因为，所以，又，所以，令，则，当且仅当即时取等号，故答案为：．由平面向量的数量积得：因为，所以，又，所以，由重要不等式得：令，则，当且仅当即时取等号，得解．本题考查了平面向量的数量积及重要不等式，属中档题．16.答案：1解析：解：如图是函数，的图象，若，在上单调递增，所以，，此时，，这与已知，矛盾．所以，，所以，故正确答案是：1．显然时，，这与已知，矛盾．所以，即，所以．又已知，，即，因为当时，，或sin2a，所以，故正确答案为：1，通过数形结合，分类讨论结合正弦性质找出解题思路．本题考查了三角函数的图象和性质．属于高档题．17.答案：解：解法一：当时，，当时，，为等差数列，且时，，，，即，解法二：，，为等差数列，，，成等差数列，，即，，；时，，时，为常数，等差数列的首项为1，公差为2，，；证明：由知，，故，，，．解析：解法一：求出首项，通过当时，，求解通项公式．解法二：求出首项，第二项，结合为等差数列，，，成等差数列，推出，；验证为常数，然后求解即可．由知，，化简，利用裂项相消法求解即可．本题考查数列的递推关系式，数列通项公式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18.答案：解法一：证明：在直四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，分，，平面BCE同理可证平面，分平面平面，分平面BCE，平面分解：平面平面，平面平面，平面平面，，和CE与平面ABCD所成角相等，即；，，，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D垂直于ABCD的直线为z轴，如图建系，1，，1，，1，，0，，，，，分设为平面的一个法向量，则，令，则，设为平面的一个法向量，则，令，则，则，由图知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．解法二：证明：直四棱柱，则平面ABCD，平面ABCD，，，，平面BCE，，，且BC，AD同面，，平面，平面，平面．解：平面平面，平面平面，平面平面，，和CE与平面ABCD所成角相等，即，，，，取的中点为M，连接AM，则，平面，平面，，，平面，过点M作的垂线，垂足为N，连接MN，由题意得，为二面角的平面角，，，则，所以二面角的余弦值为．解析：法一：推导出，，从而平面BCE，同理可证平面，平面平面，由此能证明平面，推导出，AD和CE与平面ABCD所成角相等，即，以D为坐标原点，DA 为x轴，DC为y轴，过D垂直于ABCD的直线为z轴，利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：推导出，，从而平面BCE，，，，由此能证明平面．推导出，AD和CE与平面ABCD所成角相等，即，取的中点为M，连接AM，则，平面，过点M作的垂线，垂足为N，连接MN，由题意得，为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为．X可能的取值为0，1，2，3，，，，．所以X的分布列为：X0123P摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分即获得分．设每轮游戏得分为则Y的取值为，20，200，由知，Y的分布列为：Y20200PY的数学期望为．这表明，获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了．解析：每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．设每轮游戏的得分为则Y的取值为，20，200，求出Y的分布列和数学期望，从而得到获得分数Y的期望为负，多次游戏之后大多数人的分数减少了．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概率、n次独立重复试验事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由椭圆的方程可得左焦点，由题意设直线l的方程：，且，设，，直线l与椭圆联立，整理可得：，所以，，，所以AB的中点G的纵坐标，由题意可得，，解得：或，当时，AB的中点G坐标，所以AB的中垂线方程为：，即，当时，AB的中点G坐标，所以AB的中垂线方程为：，即；由可得：弦长，AB的中点G的坐标为：，所以AB的中垂线的方程为：，令，可得，即，所以D到直线AB的距离，，由题意可得，，解得：，所以，，所以解析：由椭圆的方程可得左焦点F的坐标，设直线l方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出弦AB的中点，由AB的中点G的纵坐标可得参数的值，进而求出弦AB的中垂线的方程；由的过程可得中点G的坐标，及中垂线GD与x轴的交点D的坐标，进而求出及弦长的值，由可得参数的值，进而求出，的值，进而求出三角形的面积．本题考查直线与椭圆的综合，及面积公式，和由角的正切的应用，属于中档题．21.答案：解：．令，则．当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．当，即时，由，得或；由，得，在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．由得，当时，有两极值点，其中由得，为的两根，所以，．所以．令，则，因为，所以在上单调递减，而，，所以，又，易知在上单调递增，所以，所以实数a的取值范围为．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解；结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用函数极值存在条件的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22.答案：解：直线l的参数方程为参数，，转换为直角坐标方程为：当时，，当时，．曲线C的参数方程为参数，转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程代入得到：，整理得：，所以，曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时故，所以，则．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．利用三角函数关系式的变换和直线与椭圆位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，直线和椭圆的位置关系式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，中点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：当时，，由得．当时，原不等式可化为：，解之得：．当时，原不等式可化为：，解之得且，．因此的解集为：．当时，．由得，，，，，，的取值范围为．解析：Ⅰ将代入，分类讨论解不等式即可；Ⅱ利用绝对值不等式的性质进一步可得，由此得解．本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算能力，属于基础题．。
福建省厦门市2020届高三毕业班(6月)第二次质量检查(文科)数学试题(含答案解析)
16．已知四面体 的所有顶点在球 的表面上， 平面 ， ， ，则球 的表面积为_________.
三、解答题
17．已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，其前 项和为 ，证明 .
18．如图，四棱锥 中，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 中点.
5．A
【分析】
首先根据题意得到 ， ，再根据指数函数的单调性即可得到答案.
【详解】
， .
因为 在 上为增函数，所以 .
即 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查指数式比较大小，同时考查了指数函数的单调性，属于简单题.
6．B
【分析】
首先根据正弦定理边化角公式得到 ，再利用余弦定理 即可得到答案.
【详解】
因为 ，
A． B．2C． D．
二、填空题
13．已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ,则 =______．
14．某地区中小微企业中，员工人数50人以下的企业占总数的 ，员工人数50～100人的企业占总数的 ，员工人数100～500人的企业占总数的 ，员工人数500人及以上的企业占总数的 ，现在用分层抽样的方式从中抽取40个企业调查生产情况，员工人数100～500人的企业应抽取的个数为______.
中度污染
重度污染
严重污染
.
20．已知函数 在 处取得极值.
（1）求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 ， 时， .
21．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 作斜率为 的直线 交 于 ， 两点，以线段 为直径的圆 .当 时，圆 的半径为2.
2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)(有解析)
2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}，B={1,3，5}，则A∩B=()A. {0,1，5}B. {0,2，4}C. {0,3}D. {1,3}2.椭圆y213+x24=1的焦点坐标为()A. (±2,0)B. (±3,0)C. (0,±2)D. (0,±3)3.已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为()A. 1B. 2C. 3D. 44.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽在《周髀算经》中注释了其理论证明，其基本思想是图形经过割补后面积不变.即通过如图所示的“弦图”，将匀股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”(其中a,b,c分别为勾股弦)；证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”，即2ab+(b−a)2=c2，化简得a2+b2=c2.现已知a=6，b=8，向外围大正方形ABCD区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在中间小正方形A1B1C1D1内的概率是()A. 149B. 125C. 2549D. 24495.已知tanα=13，则tan2α=()A. −43B. 43C. −34D. 346.已知直线l⊥平面α，直线m//平面β，则下列命题正确的是()A. 若α⊥β，则l//mB. 若l⊥m，则α//βC. 若l//β，则m⊥αD. 若α//β，则l⊥m7. 菱形ABCD 中，AC =2，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −32B. −3C. 12D. 28. 已知{a n }满足a 1=1，a n +a n+1=(14)n (n ∈N ∗)，S n =a 1+4a 2+42a 3+⋯+4n−1a n ，则5S n −4n a n =( )A. n −1B. nC. 2nD. n 29. 3、已知，则等于( ) A.B.C.D.10. 在三棱锥D −ABC 中，AB =BC =CD =DA =1，且AB ⊥BC ，CD ⊥DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC ⊥BD ；②MN//平面ABD ；③三棱锥A −CMN 的体积的最大值为√212；④AD 与BC 一定不垂直． 其中所有正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②③④C. ①④D. ①②④11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 是双曲线C 上的两点，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，cos∠AF 2B =35，则该双曲线的离心率为( )A. √10B. √102 C. √52D. √512. 函数f(x)=x −e x (x ∈R)的最大值为( )A. 1B. −1C. e −1D. 1−e二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 复数z =3+4i1−2i (i 为虚数单位)的虚部为______．14. 设实数x ，y 满足约束条件{3x +y ≥5x −4y ≥−74x −3y ≤11，则z =x +2y 的最大值为______．15. 已知数列{a n }满足a 3=−12，a n+1=1+an 1−a n (n ∈N ∗)，则a 2的值为______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0)，其中角φ的终边经过点P(−1,1)，且0<φ<π.则φ=，f(x)的单调减区间为．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA−√3ccosA=√3acosC．(1)求角A的值；(2)若∠B=π，BC边上中线AM=√7，求△ABC的面积．618.如图，已知AB⊥BC，BE//CD，∠DCB=90°，平面BCDE⊥平面ABC，CD=4，AB=BC=BE=2，F为AD中点．(1)证明：EF//平面ABC；(2)求三棱锥D−BCF的体积．19.2018年3月3日至20日中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第一次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第一次会议在北京胜利召开，为及时宣传国家政策，贯彻两会精神，某校举行了全国两会知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分，最低分不低于50分)进行统计，得出频率分布表如下：(1)求表中a，b，c，n的值;(2)若从成绩较好的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6人担任两会知识宣传员，则从第3，4，5组中应分别抽取多少人?20.ΔABC两个顶点A、B的坐标分别是(−1,0)、(1,0)，边AC、BC所在直线的斜率之积是−4．(1)求顶点C的轨迹方程；(2)求直线2x−y+1=0被此曲线截得的弦长．21. 已知函数f(x)=e x e−x 2．(1)证明：函数f(x)有两个极值点x 1，x 2；(2)若g(x)=f(x)+ax 为增函数，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知函数f(x)=|x−a|．(1)若a=2，解不等式：xf(x)<x；(2)若f(x)+f(x+2a)≥|a|−|a−1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．解不等式，利用交集的定义计算即可．解：集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}={0,1，2，3，4}，集合B={1,3，5}，则A∩B={1,3}．故选D．2.答案：D解析：解：椭圆的y213+x24=1中a2=13，b2=4，∴c2=a2−b2=9，又该椭圆焦点在y轴，∴焦点坐标为：(0,±3)．故选：D．确定椭圆的y213+x24=1中a2=13，b2=4，求出c，即可求出椭圆的焦点坐标．本题考查椭圆的简单性质，利用c2=a2−b2是关键，属于基础题．3.答案：B解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a6=10，前5项和S5=5，∴2a1+8d=10，5a1+5×42d=5，解得a1=−3，d=2．则其公差为2．故选：B．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查几何概型概率的求解，由题意可知为面积型，分别求出小正方形和大正方形的面积，代入几何概型的面积公式即可求解．解：由题意可知为几何概型，大正方形的面积为14×14=196，小正方形的面积为，(8−6)×(8−6)=4，则由几何概型的概率公式得到所求概率为4196=149；故选A．5.答案：D解析：解：由tan2α=2tanα1−tan2α=2×131−19=34．故选：D．根据正切的二倍角公式求解即可．本题主要考察了正切的二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．6.答案：D解析：本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的判定，熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键．A中l与m位置不确定，B中α与β可能相交，C中m与α的位置不确定，D正确．解：对于A，若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则l与m可能平行、可能相交也可能异面，故A不正确；对于B，若l⊥m，直线l⊥平面α，直线m//平面β，则α与β可能平行也可能相交，故B不正确；对于C，m与α的位置不确定，故C不正确；对于D，若α//β，直线l⊥平面α，则直线l⊥平面β，又∵直线m//平面β，则l⊥m，故D正确．故选D．7.答案：D解析：解：因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠CAD =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2， 故选D ．根据向量的数量积公式计算即可．本题考查向量数量积的概念与计算，注意结合菱形的对角线的性质．8.答案：B解析：解：∵a n +a n+1=(14)n (n ∈N ∗)， ∴a n+1−45(14)n+1=−[a n −45(14)n ]，∴数列{a n −45(14)n }是等比数列，首项为45，公比为−1， ∴a n =45(14)n +45×(−1)n−1， 4n−1a n =15+(−1)n−1×15×4n ， 4na n =45+(−1)n−1×4n+15，∴5S n =n −−4[1−(−4)n ]1−(−4)=n +45−(−4)n 5，∴5S n −4n a n =n ． 故选：B ．a n +a n+1=(14)n (n ∈N ∗)，变形为：a n+1−45(14)n+1=−[a n −45(14)n ]，利用等比数列通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：lg12=lg4+lg3=2lg2+lg3=2a +b ．10.答案：D解析：本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题． 根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可． 解：设AC 的中点为O ，连接OB 、OD ，如图所示；则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD =O ，所以AC ⊥平面OBD ， 所以AC ⊥BD ，故①正确；因为MN//BD ，所以MN//平面ABD ，故②正确； 当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V 三棱锥A−CMN 最大，最大值为V 三棱锥A−CMN =V 三棱锥N−ACM =13×14×√24=√248，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ， 又BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB =OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确． 综上知，正确的命题序号是①②④． 故选：D ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．设|F 1A|=3x ，|F 1B|=x ，在△ABF 2中，由余弦定理列方程可得△ABF 2是直角三角形，从而得出a ，b ，c 的关系，即可得该双曲线的离心率．解：∵AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A ，B 在F 的y 异侧，∴A ，B 在双曲线同一支上， 如图，设|F1A|=3x，|F1B|=x，则|AB|=4x，|BF2|=2a+x，|AF2|=2a+3x，在△ABF2中，由余弦定理得：(4x)2=(2a+x)2+(2a+3x)2−2(2a+x)(2a+3x)×3，5解得x=a，∴AF2=5a，AB=4a，BF2=3a，∴△ABF2是直角三角形，．在Rt△F1BF2中，a2+(3a)2=(2c)2，代入得10a2=4c2，即e2=52．则该双曲线的离心率为e=√102故选：B．12.答案：B解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及求最值．解：由题意解得，f′(x)=1−e x，则函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则f(x)max=f(0)=−1，故选B．13.答案：2解析：本题考查复数的四则混合运算，属于基础题型，直接求解即可．解：由题意，复数z =3+4i 1−2i =(3+4i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )=−5+10i 5=−1+2i, 故复数z =3+4i 1−2i (i 为虚数单位)的虚部为2，故答案为2．14.答案：11解析：解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z =x +2y 为y =−x 2+z2，联立{x −4y =−74x −3y =11，解得A(5,3)， 由图可知，当直线z =x +2y 过点(5,3)时，z 取得最大值11．故答案为：11．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题． 15.答案：−3解析：利用递推关系直接代入计算即可．本题考查求数列的某项，利用递推关系式直接计算即可，属于基础题．解：∵a 3=−12，a n+1=1+an 1−a n (n ∈N ∗)， ∴a 3=1+a 21−a 2，即−12=1+a21−a 2， 解得：a 2=−3．故答案为：−3．16.答案：3π4[−π+kπ,3π+kπ](k ∈Z)解析：解：OP =√2，∴cosφ=√2=−√22． ∵0<φ<π，∴φ=3π4．f(x)=Asin(2x +3π4)=−Asin(2x −π4). 令−π2+2kπ≤2x −π4≤π2+2kπ，解得−π8+kπ≤x ≤3π8+kπ． ∴f(x)的单调减区间为[−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)． 故答案为3π4，[−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)．根据三角函数的定义求出cosφ，得出φ；得出f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性列出不等式解出．本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．17.答案：解：(1)∵2bcosA −√3ccosA =√3acosC ，由正弦定理，得2sinBcosA −√3sinCcosA =√3sinAcosC ，∴2sinBcosA =√3sin(A +C)=√3sinB ，∵sinB ≠0，∴cosA =√32， 又∵0<A <π，∴A =π6．(2)∵∠B=π6，∴C=π−A−B=2π3，可知△ABC为等腰三角形，a=b，∵在△ABC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2−2AC⋅MCcos120°，即7=b2+(b2)2−2×b×b2×cos120°，∴b=2，∴△ABC的面积S=12b2sinC=√3．解析：【试题解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式可得2sinBcosA=√3sinB，结合sinB≠0可求cosA=√32，结合范围0<A<π，即可得解A的值．(2)由已知及三角形内角和定理可求C，进而利用余弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=12DC，又由题意BE//CD，BE=12CD，∴EB//FG，且EB=FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EB//FG，又BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵平面BCDE所在平面垂直平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCDE，∵F为AD中点，∴V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD=16(12BC⋅DC)AB=43，所以，三棱锥D−BCF的体积是43．解析：(1)设AC中点为G，连FG，BG，推导出四边形BEFG为平行四边形，从而EB//FG，由此能证明EF//平面ABC．V A−BCD，由此能求出三棱锥D−BCF的体积．(2)V D−BCF=V F−BCD=12本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由频率分布表得，n=4÷0.04=100，a=100−4−14−28−42=12，b=12÷100=0.12，c=14÷100=0.14．(2)∵第3，4，5组共有84人，∴利用分层抽样在84人中抽取6人，×14=1(人)，第3组应抽取684×28=2(人)，第4组应抽取684×42=3(人)，第5组应抽取684∴第3，4，5组中应分别抽取1人、2人、3人．解析：本题主要考查频率分布表以及分层抽样，属于基础题．(1)根据频率分布表即可求出a，b，c，n的值；(2)第3、4、5组共有84名学生，利用分层抽样在84名学生中抽取6名学生，第3、4、5组应分别抽取1人、2人、3人．20.答案：解：(1)设C(x,y)，由k AC =y x+1,k BC =y x−1,(x ≠±1)，由k AC ·k BC =y x+1·y x−1=−4 ，化简可得4x 2+y 2=4 ．所以顶点C 的轨迹方程为4x 2+y 2=4(x ≠±1)．(2)设直线2x −y +1=0与曲线4x 2+y 2=4(x ≠±1)相交于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)．联立{4x 2+y 2=42x −y +1=0 化为8x 2+4x −3=0 则x 1+x 2=−12,x 1x 2=−38, ． 弦长d =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+22)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√5[(−12)2−4×(−38)]=√352所以直线2x −y +1=0被曲线4x 2+y 2=4(x ≠±1)截得的弦长为√352．解析：本题是中档题，考查点的轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线相交弦长，考查计算能力，注意直线的斜率垂直的条件的应用，属于难题．(1)设出C 的坐标，利用AC 、BC 所在直线的斜率之积等于−4，列出方程，求出点C 的轨迹方程；(2)把直线方程与曲线方程联立方程组，同时设交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).可得x 1+x 2，x 1x 2，由圆锥曲线中的弦长公式可得弦长．21.答案：(1)证明：f′(x)=e x−1−2x ．设f′(x)=p(x)=e x−1−2x ，则p′(x)=e x−1−2，p′(x)=0，得x 0=1+ln2．又函数p′(x)是单调增函数，所以x ∈(−∞,x 0)时，p′(x)<0；x ∈(x 0,+∞)时，p′(x)>0， 所以f′(x)在(−∞,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增．所以f′(x)≥f′(x 0)=−2ln2<0，f′(0)=1e >0,f′(4)=e 3−8>0，由零点存在性定理，得f′(x)=0存在两个根x1，x2且0<x1<x0,x0<x2<4，列表，x(−∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0−0+f(x)增极大值减极小值增所以函数f(x)有两个极值点x1，x2．(2)解：g(x)=e x−1−x2+ax，则g′(x)=e x−1−2x+a.因为函数g(x)为增函数，所以g′(x)≥0恒成立．即e x−1−2x+a≥0，所以a≥2x−e x−1．设ℎ(x)=2x−e x−1，则ℎ′(x)=2−e x−1，由ℎ′(x)=0，得x=1+ln2，当x<1+ln2时，ℎ′(x)>0，当x>1+ln2时，ℎ′(x)<0，所以1+ln2为函数ℎ(x)的极大值点，所以ℎ(x)≤ℎ(1+ln2)=2ln2．所以a≥2ln2．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性，属于中档题．(1)先求出函数的导数f′(x)，然后根据导函数的单调性与零点存在性定理证明出结论．(2)根据函数g(x)为增函数，转化为g′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解．22.答案：解：(Ⅰ)直线l的参数方程是{x=ty=t+1(t为参数)，转换为直角坐标方程为：x−y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是为参数)，转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S △OPQ =12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，所以|OP|=4cos π4=2√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)a =2时，不等式xf(x)<x 可化为{x ≥2(x −2)x <x ①或{x <2−x(x −2)<x②； 解①得2≤x <3，解②得x <0或1<x <2；综上，原不等式的解集为{x|x <0或1<x <3}；(2)f(x)+f(x +2a)≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，∵|x −a|+|x +a|≥|2a|，∴|2a|≥|a|−|a −1|+3，∴|a|+|a −1|≥3；a <0时，不等式化为−a −a +1≥3，解得a ≤−1；0≤a ≤1时，不等式化为a −a +1≥3，不成立；a >1时，a +a −1≥3，解得a ≥2；综上，实数a 的取值范围是a ≤−1或a ≥2．解析：(1)a =2时不等式xf(x)<x 化为{x ≥2(x −2)x <x 或{x <2−x(x −2)<x；求出不等式组的解集，再求并集；(2)由题意可化为|x −a|+|x +a|≥|a|−|a −1|+3对任意的实数x 恒成立，根据绝对值不等式|x −a|+|x +a|≥|2a|，得出|2a|≥|a|−|a −1|+3，求绝对值不等式的解集即可．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
福建省厦门市2020届高三二模考试数学(文)试题含解析
厦门市2020届高中毕业班5月质量检查数学（文科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数12,z z 在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,1)-，则12z z ⋅=（ ） A. 2i + B. 12i -C. 12i --D. i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得122,z i z i =+=-，再利用复数相乘，即可得到答案； 【详解】122,z i z i =+=-，∴12())122(z i i z i ⋅=⋅-=-+，故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 已知集合{}2|0,{|1}A x x B y y =>=>，则A B =（ ）A. RB. (0,)+∞C. [0,)+∞D.(,0)(0,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到答案；【详解】{}{}2|0|0,{|1}A x x x xB x x=>=≠=>，∴A B=(,0)(0,)-∞+∞，故选：D.【点睛】本题考查集合的描述法及并集运算，考查运算求解能力，属于基础题.3. 某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误．．的是（）A. 8月份的利润最低B. 7至9月份的平均收入为50万元C. 2至5月份的利润连续下降D. 1至2月份支出的变化率与10至11月份支出的变化率相同【答案】C 【解析】【分析】根据收入和支出图中的数据，可得利润变化情况，即可得到答案；【详解】对A，8月份利润为10万元最低，故A正确；对B，7-9月份的收入分别为40，50，60万元，∴平均收入为50万元，故B正确；对C，3月份利润相对2月份是增加了10万元，故C不正确；对D，1至2月份和10至11月份的支出都是增加30万元，∴变化率相同，故D正确；故选：C.【点睛】本题考查统计中图的信息读取，考查数据处理能力，属于基础题.4. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A. 输出1352019+++⋯+的值B. 输出1352021++++的值C. 输出1232019+++⋯+的值D. 输出1232020+++⋯+的值【答案】A 【解析】 【分析】由程序框图的循环结构，可得程序功能为数列求和； 【详解】1,1i S ==，3,13i S ==+，2019,1352019i S ==+++⋯+，2021i =，输出S 的值，故选：A.【点睛】本题考查利用程序框图进行数列求和，考查阅读程序框图的能力，属于基础题.5. 射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001）A .0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 6. 在ABC 中，点D 满足12BD CD =，则AD =（ ） A. 2AB AC -B. 2AB AC -+C. 1122AB AC +D.2133AB AC + 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量定理可得B 为CD 的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案； 【详解】12BD CD =，∴B 为CD 的中点，()2AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC =+=+=+-=-，故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，求解时注意回路的选择.7. 已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数x by a+=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的最大值为0.5，可得0,b <再根据周期2Tπ>，可得01a <<，即可得答案； 【详解】sin 10.5y ax b b =+≤+=，∴0.5b =-，又2Tπ>，∴01a <<， x b y a +=是由函数x y a =向右平移0.5个单位得到，且x y a =单调递减，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的最值、周期、指数函数的单调性和平移问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8. 双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在渐近线上，O 为坐标原点，且||||OP OF =，则OPF △外接圆的面积是（ ） A. πB.43π C. 2πD.163π【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线，结合||||OP OF =可得三角形为正三角形，再利用正弦定理可得外接圆的半径，最后利用圆的面积公式，即可得答案；【详解】双曲线的渐近线为y =，∴60POF ∠=，||||OP OF =，∴OPF △的边长为2c =的等边三角形， ∴22sin 60r r =⇒=∴243S r ππ==， 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、正弦定理求外接圆的面积，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9. 已知0a >，0b >，则“4a b +≥”是“4ab ≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，再根据集合的关系，即可得答案； 【详解】作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，如图所示：设直线条件4a b +≥所表示的区域为集合A ，条件4ab ≥所表示的区域为集合B ，∴B 是A 的真子集，∴4a b +≥推不出4ab ≥，而4ab ≥可推出4a b +≥， ∴“4a b +≥”是“4ab ≥”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查条件所表示的区域问题及利用集合间的关系判断必要不充分条件，考查数形结合思想的应用.10. 函数2()2sin sin 21f x x x ωω=+-的图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数()2)4f x x πω=-，再根据平移后的图象与原图象有相同的对称轴，可得*,24T k k N π⋅=∈，再利用周期公式，即可得答案； 【详解】21cos 2()2sin sin 212sin 212)24x f x x x x x ωπωωωω-=+-=+-=-，图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴， ∴*,24T k k N π⋅=∈，∴*2,k k N ω=∈， ∴ω的最小值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换、辅助角公式、三角函数的平移变换和图象性质，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时对平移变后图象的理解是解题的关键. 11. 如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C ．翻折过程中，有下列三个结论：①1DE A C ⊥；②存在某个位置，使1A E BE ⊥； ③若12CF FA =，则BF 的长是定值． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折前后垂直的不变量，及排除法和反证法，即可得答案； 【详解】对①，ED AC ⊥于D ，∴11,,DE A D DE CD A D CD D ⊥⊥⋂=，∴DE ⊥平面1A CD ，∴1DE A C ⊥，故①正确；对②，假设存在某个位置，使1A E BE ⊥，CE BE ⊥，1CE A E E ⋂=，∴BE ⊥平面1A CE ，1A C BE ⊥，又由①知1DE A C ⊥，∴1A C ⊥平面ABC ， ∴12ACD π∠=，∴1A D CD >，这显然是不可能的，故假设错误，故②错误；利用排除法，可得B 正确； 故选：B.【点睛】本题考查立体几何中图形的翻折问题、线面、面面的垂直关系问题，考查空间想象能力，求解时注意翻折前后的不变量.12. 若函数ln(1)2,0,()1,0.x ax x f x x a x x +-->⎧⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为(1)f -，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】分别求出函数()f x 在0x >和0x <的最大值，再由函数的最大值为(1)f -，可得关于a 的不等式，解不等式即可得答案；【详解】当0x >时，()ln(1)2f x x ax =+--，'1()1f x a x =-+， 若0a ≤，则'()0f x >在0x >恒成立，∴()f x 在(0,)+∞，且x →+∞时，()f x →+∞，∴函数的最大值不可能为(1)f -，∴0a >，当'()0f x >时，得101x a<<-，当'()0f x <时，11x a >-，∴()f x 在1(0,1)a -单调递增，在1(1,)a -+∞单调递减，∴max 1111ln 12l ()()()n 3a a a a a f ax f --==--=-+-，当0x <时，11()[()]2(1)f x x a x a a f x x=++=--++≤-+=--，∴1ln 32ln 1a a a a a e-+-≤-+⇒≥-⇒≥， 故选：C.【点睛】本题考查分段函数的性质、导数研究函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分段函数的最值的概念.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数3xy =的图象在0x =处的切线方程为________． 【答案】(ln 3)+1y x = 【解析】 【分析】对函数进行求导，求得'(0)y 的值，再利用斜截式方程，即可得答案； 【详解】'n 33l x y =，∴'3(0ln )y k ==，切点坐标为(0,1)，∴函数3x y =的图象在0x =处的切线方程为(ln 3)+1y x =，故答案为：(ln 3)+1y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，考查运算求解能力，求解时注意3x 的导数求解是解题的关键.14. 过点的直线l 被圆228x y +=截得的弦长为4，则l 的方程为________．【答案】40x +-= 【解析】 【分析】设直线l 的方程为(1)y k x -=-，再利用弦长为4，可得圆心到直线的距离，从而求得k 的值，即可得答案；【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，24282d d =-⇒=，∴2|3|321k k k -+=⇒=-+， ∴l 的方程为340x y +-=，故答案为：340x y +-=.【点睛】本题考查直线与圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为________．【答案】206π+ 【解析】 【分析】通过几何体的三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，再根据三视图中的数据，分别求出两个半圆柱侧面积，上下底面面积，两个长方形面积，再相加即可得答案； 【详解】三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，两个半圆柱侧面积：111(23)3(22)31522S πππ=⋅⋅+⋅⋅=， 上下底面面积：222112(32)522S πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅=，两个长方形面积：32(13)6S =⋅⋅=，∴该几何体的表面积为123206S S S S π=+=++，故答案为：206π+.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意运算的准确性.16. ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2cos 0a B b A +=，则tan tan AB=_______，tan C 的最大值是________． 【答案】 (1). 2-2 【解析】 【分析】（1）由cos 2cos 0a B b A +=可得tan A 与tan B 的关系，即可求得tan tan AB的值；（2）利用诱导公式将tan C 用tan A 、tan B 表示，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】cos 2cos 0a B b A +=，∴sin cos 2sin cos 0sin cos 2sin cos tan 2tan A B B A A B B A A B +=⇒=-⇒=-，∴tan2 tanAB=-；∴tan tan1tan t1tan tnan(n)12a tatanA BBC A BA B B+⋅+=+ =--=-由于求tan C的最大值，只需考虑tan0B>的情况，所以41ttantnan1a2BBC==+≤，等号成立当且仅当n21tantaBB=.故答案为：2-；4.【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a的公差为1-，数列{}n b满足1212,4,2n n nb b b b a+===+．（1）证明：数列{}nb n-是等比数列；（2）记数列{}n b的前n项和为n S，求使得2020nS>的最小正整数n的值．【答案】（1）证明见解析（2）最小正整数n的值为10．【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，证明1(1)nnb nb n+-+-为常数，即可证得结论；（2）利用分组求和法求出n S，再根据数n S的单调性，即可求得使不等式成立的最小正整数n 的值；【详解】（1）证明：∵12n n nb b a+=+∴当1n=时，2112b b a=+即144a=+，∴1a=∴0(1)(1)1n a n n =+-⋅-=-+ ∴121n n b b n +=-+，∴()12(1)21(1)2n n n n n n b n b n b n n b n b n b n+--+-+-+===--- 又11211b -=-=，∴{}n b n -是以1为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）1222n n n b n --=⋅=，∴2n n b n =+∴()2(12)222n n S n =+++++++21(1)222222122n n n n n n++-⋅+=+=+--∵91010672020,21012020S S =<=>且{}n S 为递增数列 ∴使得2020n S >的最小正整数n 的值为10．【点睛】本题考查数列递推关系、通项公式、求和等基础知识：考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想.18. 为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间(2,2)x s x s -+之内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x ，s 分别表示样本的平均值和标准差，计算得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm ，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30,60) 的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率． 【答案】（1）该零件不合格．（2）35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出(2,2)x s x s -+的区间，再判断100cm 是否属于区间内，即可得答案；（2）记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C ，再列出从这6个零件中随机抽取2个的基本事件，记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ”，计算事件D 包含的基本事件，利用古典概型计算概率，即可得答案； 【详解】（1）记各组的频率为(1,2,,7)i p i =，依题意得12340.05,0.1,0.15,0.3p p p p ====， 5670.2,0.15,0.05p p p ===∴350.05450.1550.15650.3750.2850.15950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯66.5=∴266.53036.5,266.53096.5x s x s -=-=+=+= 而10096.5>，故该零件不合格． （2）记前三组抽取的零件个数分别为,,x y z ∴60.050.10.150.3x y z ===，∴1,2,3x y z ∴抽取出的6个零件中尺寸小于50cm 的有3个．记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C （其中,,a b c 为尺寸小于50cm 的） 记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ” ∴从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B a C b c b A b B b C c A c B c C ,{,},{,},{,}A B A C B C 共15个．则事件D 包含的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a A a B a C b A b B b C c A c B c C 共9个∴93()155P D == ∴这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率为35． 【点睛】本题考查频数分布直方图、分层抽样等基础知识、古典概型的概率计算，考查数据处理能力，运算求解能力，求解时注意列出所有等可能结果.19. 如图，在五面体ABCDEF中，AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，2AB CD==．（1）求证：//AB CD；（2）若2AD AE==，且二面角E DC A--的大小为60°，求四棱锥F ABCD-的体积．【答案】（1）证明见解析（2）43F ABCDV-=【解析】【分析】（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行；（2）取AD中点O，连接OE，根据二面角的定义得到60ADE︒∠=，则E到面ABCD的距离3EO=，再利用四棱锥的体积公式，即可得答案；【详解】（1）∵AB⊥面ADE，EF⊥面ADE ，∴//AB EF又EF⊂面CDEF，AB⊄面CDEF，∴//AB面CDEF又AB面ABCD，面ABCD面CDEF CD=，∴//AB CD（2）取AD中点O，连接OE∵AB⊥面ADE，,DA DE⊂面ADE，∴AB DA⊥，AB DE⊥．∵//AB CD，∴CD DA⊥，CD DE⊥．又DA⊂面ABCD，DE⊂面CDEF，且面ABCD面CDEF CD=．∴二面角A DC E--的平面角60ADE︒∠=．又ADE中，2AD AE==，∴ADE是边长为2的正三角形∴33EO AE==，⊥EO AD，∵AB ⊥面ADE ，∴AB EO ⊥ 又AD AB A ⋂=，∴EO ⊥面ABCD 即E 到面ABCD 的距离3EO =∵//EF AB ，EF ⊄面ABCD ，AB面ABCD ，∴//EF 面ABCD ．∴F 到面ABCD 的距离即为E 到面ABCD 的距离 在四边形ABCD 中，//,,AB CD AB CD AB DA =⊥， ∴矩形ABCD 的面积224S =⨯= ∴14333F ABCD V S EO -=⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行性质定理、线面垂直性质定理、棱锥体积求解，考查转化与化归思想，考查逻空间想象能力、运算求解能力.20. 设O 为坐标原点，动点M 在圆22:4C x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点E满足32ED MD =． （1）求点E 的轨迹Γ的方程；（2）直线4x =上的点P 满足OM MP ⊥．过点M 作直线l 垂直于线段OP 交C 于点N ． （ⅰ）证明：l 恒过定点；（ⅱ）设线段OP 交Γ于点Q ，求四边形OMQN 的面积．【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）23【解析】 【分析】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a，根据向量关系坐标化可得,x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去,a b 可得轨迹Γ的方程；（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，根据直线垂直，向量的数量积为0可得：44a pb +=，设直线l 方程为4()y b x a p-=--，化简即可得到直线过定点坐标； （ⅱ）根据直线与圆相交的弦长公式求出||MN ，||OQ ，再根据对角线相乘的半，求得四边形的面积.【详解】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a∵32ED MD =，又(,)ED a x y =--，(0,)MD b =-，∴,2x a y b =⎧⎪⎨=⎪⎩又224a b +=，∴22443y x +=，化简得点E 的轨迹Γ方程为22143x y +=（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，∵OM MP ⊥，∴2240OM MP a a pb b ⋅=-+-= 又224a b +=，∴44a pb += ①又直线l 过点M 且垂直于线段OP ，故设直线l 方程为4()y b x a p-=-- 化简得440x py bp a +--=，又由①式可得44x py +=，所以l 恒过定点(1,0) （ⅱ）直线l 为44x py +=，交圆C 于,M N 两点则圆心到直线的距离为d =∴弦长||MN ====，又直线OP 为4p y x =，由2243412p y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得224812Q x p =+，故||Q OQ x ===，∴ 1||||2OMQN S OQ MN =⋅⋅=OMQN的面积【点睛】本题考查轨迹方程、直线过定点、弦长公式、四边形的面积，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 21. 已知函数()ln 1()af x x a R x=-+∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当*n N ∈时，证明：22211ln (11)ln 1ln 1224n n n ⎛⎫⎛⎫++++++> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）分类讨论，见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导得2()x af x x-'=，再对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，分别得到函数的单调性；（2）令1a =，由（1）可得：()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1ln 1x x≥-，再令11x n=+同时不等式两边进行平方，结合放缩法，可证得不等式. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞221()a x af x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，2()0x af x x-'=≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，由2()0x a f x x'-=>得x a >，故()f x 在(,)a +∞上单调递增； 由2()0x af x x -'=<得x a <，故()f x 在(0,)a 上单调递减； （2）令1a =，由（1）可得：()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则1ln 10x x-+≥，即1ln 1x x ≥-令11x n =+，则111ln 11111n n n⎛⎫+≥-= ⎪+⎝⎭+，∴2211ln 1(1)n n ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭ 又21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++∴22222211111ln (11)ln 1ln 1223(1)n n ⎛⎫⎛⎫++++++>+++⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112334(1)(2)n n >+++⨯⨯+⨯+1111112334(1)224nnn n =-+-++-=+++∴命题得证【点睛】本题考查函数单调性的讨论、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的方程为(y k x =-，直线2l 的参数方程为,1x t y tk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的普通方程；（2）过(0,2)Q 的直线l 与C 相交于,A B 两点，求11||||QA QB +的取值范围． 【答案】（1）223(x y x +=≠（2）114||||QA QB ⎛⎤+∈⋃ ⎥ ⎝⎭⎝⎦【解析】 【分析】（1）将直线2l 的参数方程化成普通方程，再联立两条直线方程，消去参数k ，即可得到C 的普通方程；（2）设直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），根据参数的几何意义，即可得答案； 【详解】（1）直线2:1x t l y t k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去参数t得1(y x k =-+，① 因为直线1l的方程为(y k x =，②所以由①×②得，C的普通方程223(x y x +=≠．（2）直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）． 将cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入223x y +=得24sin 10t t α++=， 所以124sin t t α+=-，121t t ⋅=，由216sin 40α∆=->得1|sin |2α>且sin α≠，所以121211|4sin |||||t t QA QB t t α⎛⎤++==-∈⋃ ⎥⋅⎝⎭⎝⎦． 【点睛】本题考查普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数3()|3|2f x x x =---． （1）解不等式1()2f x ≥； （2）若142(,0)m n m n+=>，求证：()f x m n ≤+． 【答案】（1）{|1}x x ≥（2）证明见解析【解析】分析】（1）利用零点分段法讨论绝对值内数的正负，解不等式，即可得答案；（2）根据绝对值不等式可得339|3|3222x x x x +--≤+-+=，再利用基本不等式可得m n +的最小值为92，从而证明不等式成立. 【详解】（1）原不等式可化为：31|3|22x x +--≥， 当32x ≤-时，不等式31322x x --+-≥，无解； 当332x -<<时，不等式31322x x ++-≥，解得1≥x ，故13x ≤<； 当3x ≥时，不等式31322x x +-+≥，解得x ∈R ，故3x ≥， 综上，不等式的解集为{|1}x x ≥；（2）因为3()|3|2f x x x =+--，所以339|3|3222x x x x +--≤+-+=， 当且仅当3(3)02x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，且3|3|2x x +≥-时，取得等号， 又142(,0)m n m n+=>，所以1141419()14(14)2222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当922m n ==时，取得等号，故92m n +≥， 所以()f x m n ≤+成立．【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件的运用.。
2020届福建省厦门市高三毕业班(6月)第二次质量检查(文)数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】作 垂直于底面，连接 、 ，可知 即为 与下底面所成角，结合线段长即可得解.
【详解】
由题意，作 垂直于底面，连接 ，如下图所示：
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二、填空题
13．已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ,则 =______．
【答案】
【解析】根据三角函数的定义，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．
【详解】
由三角函数的定义，r ，
可得：sinα ，
可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（ ）2 ．
【详解】
取 中点 ，连接 ， ，如图所示：
[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/6/18/2487522753945600/2488179565289472/EXPLANATION/0643573483c14d6289b6f64992bd8c2c.png]
圆柱 中， ， ， ，
则 即为 与下底面所成角，
而 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与平面夹角的求法，圆柱结构特征及性质的应用，属于基础题.
9．已知函数 的图象如图，则( )
[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/6/18/2487522753945600/2488179565248512/STEM/dd4c4c0e36c24e6bbb27fca434a3f3ac.png]
福建省厦门市2020届高三二模考试数学(文)试题 Word版含解析
厦门市2020届高中毕业班5月质量检查数学（文科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数12,z z 在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,1)-，则12z z ⋅=（ ）A. 2i +B. 12i -C. 12i --D. i - 【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义可得122,z i z i =+=-，再利用复数相乘，即可得到答案；【详解】122,z i z i =+=-，∴12())122(z i i z i ⋅=⋅-=-+，故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2. 已知集合{}2|0,{|1}A x x B y y =>=>，则A B =（ ） A. R B. (0,)+∞ C. [0,)+∞ D. (,0)(0,)-∞+∞【答案】D【解析】【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到答案；【详解】{}{}2|0|0,{|1}A x x x xB x x=>=≠=>，∴A B=(,0)(0,)-∞+∞，故选：D.【点睛】本题考查集合的描述法及并集运算，考查运算求解能力，属于基础题.3. 某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误．．的是（）A. 8月份的利润最低B. 7至9月份的平均收入为50万元C. 2至5月份的利润连续下降D. 1至2月份支出的变化率与10至11月份支出的变化率相同【答案】C 【解析】【分析】根据收入和支出图中的数据，可得利润变化情况，即可得到答案；【详解】对A，8月份利润为10万元最低，故A正确；对B，7-9月份的收入分别为40，50，60万元，∴平均收入为50万元，故B正确；对C，3月份利润相对2月份是增加了10万元，故C不正确；对D，1至2月份和10至11月份的支出都是增加30万元，∴变化率相同，故D正确；故选：C.【点睛】本题考查统计中图的信息读取，考查数据处理能力，属于基础题.4. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A. 输出1352019+++⋯+的值B. 输出1352021++++的值C. 输出1232019+++⋯+的值D. 输出1232020+++⋯+的值【答案】A【解析】【分析】 由程序框图的循环结构，可得程序功能为数列求和；【详解】1,1i S ==，3,13i S ==+，2019,1352019i S ==+++⋯+，2021i =，输出S 的值，故选：A.【点睛】本题考查利用程序框图进行数列求和，考查阅读程序框图的能力，属于基础题.5. 射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001）A 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.116【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.6. 在ABC 中，点D 满足12BD CD =，则AD =（ ） A. 2AB AC - B. 2AB AC -+ C. 1122AB AC + D. 2133AB AC + 【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理可得B 为CD 的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案；【详解】12BD CD =，∴B 为CD 的中点， ()2AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC =+=+=+-=-，故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，求解时注意回路的选。
2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(6月份)(含答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，，，则A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，则A. B. C. D.3.已知向量，，且，则A. B. C. D. 54.已知椭圆的一个焦点为，则A. 1B.C.D.5.已知，，，则A. B. C. D.6.内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则A. B. 2 C. 3 D.7.在数列中，，，，则A. B. C. 2 D. 48.如图，圆柱中，，，，则AB与下底面所成角的正切值为A. 2B.C.D.9.已知函数的图象如图，则A. ，B. ，C. ，D. ，10.我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的窟窿状装饰，这种装饰称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙风角蝉云龙随瓣枋套方八角深金龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术，是我国古代丰富文化的体现，从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最下层为方井，中为八角井，上为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形，若在图2中随机取一点，则此点取自圆内的概率为A. B. C. D.11.已知函数在区间单调递增，下述三个结论：的取值范围是；在存在零点；在至多有4个极值点；其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.已知双曲线的左、右焦点分别、，过的直线交双曲线右支于A，B两点．的平分线交于D，若，则双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则______．14.某地区中小微企业中，员工人数50人以下的企业占总数的，员工人数人的企业占总数的，员工人数人的企业占总数的，员工人数500人及以上的企业占总数的，现在用分层抽样的方式从中抽取40个企业调查生产情况，员工人数人的企业应抽取的个数为______．15.曲线在处的切线过原点，则实数______．16.已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；设，其前n项和为，证明：．18.如图，四棱锥中，四边形ABCD为正方形，E，F分别为DC，PB中点．证明：平面PAE；已知，，，求三棱锥的体积．19.2020年是打赢蓝天保卫战三年行动计划的決胜之年，近年来，在各地各部门共同努力下，蓝天保卫战各项任务措施稳步推进，取得了积极成效，某学生随机收集了甲城市近两年上半年中各50天的空气量指数，得到频数分布表如表：2019年上半年中50天的AQI频数分布表AQI的分组天数7241261 2020年上半年中50天的AQI频数分布表AQI的分组天数1230521估计2019年上半年甲城市空气质量优良天数的比例；求2020年上半年甲城市AQI的平均数和标准差的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；精确到用所学的統计知识，比较2019年上半年与2020年上半年甲城市的空气质量情况．附：AQI的分组空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染．20.已知函数在处取得极值．求a，并求的单调区间；证明：当，时，．21.已知抛物线C：的焦点为F，过F作斜率为k的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆当时，圆M的半径为2．求C的方程；已知点，对任意的斜率k，圆M上是否总存在点E满足，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，l的方程为，C的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．求l和C的极坐标方程；直线与l交于点A，与C交于点异于，求的最大值．23.已知函数是奇函数．求m，并解不等式；记的最大值为M，若a，，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：因为集合2，，，；则，故选：A．先求B的补集，进而求得结论．本题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：由，得．故选：D．先求的模，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：向量，，且，，，则，故选：C．由题意利用两个向量的数量积、两个相量垂直的性质，求出m的值，可得的值．本题主要考查两个向量的数量积、两个相量垂直的性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：由椭圆的的方程可得：，，所以，解得，故选：C．由椭圆的方程可得，，再由a，b，c之间的关系求出b的值．本题考查椭圆的定义，属于基础题．5.答案：A解析：解：，，，．故选：A．可得出，，然后根据函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了分数指数幂的运算，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，，由余弦定理，可得，可得：，解得负值舍去．故选：B．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合，可求，由已知利用余弦定理可得，解方程可求b的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：，，，，，，，，，故数列是周期为4的周期数列，．故选：D．先由题设条件写出数列的前几项，然后根据数列项之间的关系找出数列的周期，再利用数列的周期求出结果．本题主要考查数列项的关系及数列的周期性，属于基础题．8.答案：B解析：解：如图，过B作BC垂直于底面，垂足为C，连接AC，则为AB与下底面所成角．再连接OC，，，四边形为平行四边形，则，得为异面直线OA与所成角为．由，得，又，．即AB与下底面所成角的正切值为．故选：B．过B作BC垂直于底面，连接AC，则为AB与下底面所成角．再连接OC，证明，得为异面直线OA与所成角为求得，在直角三角形ACB中求解AB与下底面所成角的正切值．本题考查空间中直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.答案：D解析：解：由图可知，，即，；且函数有2个极值点，有2个变号零点，当时，，则的零点问题可转化为函数和有两个交点，令，则，当或时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，若与有两个交点，则前提条件为，和b异号，，，故选：D．由图可知，，且函数有2个极值点，所以，且有2个变号零点，当时，，则的零点问题可转化为函数和有两个交点，令，则，利用导数与函数单调性关系可知，当或时，单调递减，当时，单调递增，所以，若与有两个交点，则前提条件为，所以a和b异号，由于，所以，故而得解．本题考查函数的图象，涉及利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查学生的转化与化归能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：如图；设正方体的边长为，则；则；故圆的直径为，半径为；在图2中随机取一点，则此点取自圆内的概率为：；故选：A．根据边长之间的关系，求出各自对应的面积，即可求得结论．本题考查了几何概型的概率，属于基础题．11.答案：D解析：解：当，所以，由于在区间上单调递增．所以，故，故正确．作出和函数的图象，根据函数的图象，把函数的图象向左平移个单位，得到的图象，在内和的图象如图所示：由函数的图象可知正确．故选：D．直接利用函数的图象和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：A解析：解：如图，取的中点E，连接DE，，由，可知四边形为平行四边形，又为的平分线，四边形为菱形．，为的中点，，为AB的中点，则．由双曲线的对称性可知，轴，，即，解得：．故选：A．由题意画出图形，取的中点E，连接DE，，由已知可得四边形为菱形．再由，得到D为的中点，进一步可得为AB的中点，求得，由双曲线的对称性可知，轴，然后利用勾股定理列式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.答案：解析：解：由三角函数的定义，，可得：，可得：．故答案为：．根据三角函数的定义，求出，利用二倍角公式可得的值．本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.答案：6解析：解：因为各自所占的比列为：65：15：15：5；且员工人数人的企业占总数的，所以：员工人数人的企业应抽取的个数为：；故答案为：6．直接根据其所占比例即可求得结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件得到对应的比例是解决本题的关键．15.答案：2解析：解：由，得，在处的切线斜率，又，在处的切线方程为，在处的切线过原点，，．故答案为：2．先对求导，然后求出切线的斜率，再求出切线方程，根据切线方程过原点，得到关于a的方程，进一步求出a的值即可．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．16.答案：解析：解：因为已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，故下底面三角形的外接圆半径满足：；设外接圆圆心为E，过E作下底面的垂线，则球心O在垂线上，且，；；如图：则；；球O的表面积为：．故答案为：．先根据条件求得下底面三角形的外接圆半径，分析球心所在位置，求出球半径，即可求得结论．本题考查球的表面积的求法，考查四面体及外接球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.答案：解：解：设等差数列的公差为d，依题意得，解得：，；证明：由得：，，．解析：设等差数列的公差为d，依题意列出d与的方程组，求解出d与，即可求得；由求得与，再利用裂项相消法求得，证明结论．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题．18.答案：解：证明：取PA中点M，连结ME，MF，为PB中点，，又E为DC中点，，，四边形EMFC为平行四边形，，平面PAE，平面PAE，平面PAE．解：在在方体ABCD中，，，，，，，平面ABP，，平面ABP，平面ABP，平面ABP，到平面ABP的距离等于C到平面ABP的距离，即为，，，，即，又F为PB中点，，．解析：取PA中点M，连结ME，MF，推导出四边形EMFC为平行四边形，从而，由此能证明平面PAE．推导出，，从而平面ABP，推导邮平面ABP，从而E到平面ABP的距离等于C到平面ABP的距离，即为，，由此能求出三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：依据题意可知，所调查的2019年上半中的50天里，甲城市空气质量优的天数为7，空气质量良的天数为24，甲城市空气质量优良天数的频率为．用样本频率估计总体得，2019年上半年甲城市空气质量优良天数的比例为．年上半年甲城市AQI的平均数的估计值为：．2020年上半年甲城市AQI的标准差的估计值为：．年上半年空气质量优良天数的比例的估计值为，2020年上半年空气质量优良天数的比例的估计值为，故2020年上半年空气质量优于2019年上半年．年上半年甲城市AQI的平均数的估计值为95，2020年上半年甲城市AQI的平均数的估计值为75，AQI越小，空气质量越好，故2020年上半年空气质量优于2019年上半年．年上半年未达到空气质量优良天数的比例的估计值为，2020年上半年未达到空气质量优良天数的比例的估计值为，2020年上半年空气质量优于2019年上半年．解析：由频数分布表可知甲城市空气质量优，良的天数，进而得出优良天数的频率．由频率分布表中平均数的公式，标准差公式，即算即可．根据题意分析数据即可．本题考查频数分布表，分析数据，处理数据的能力，属于中档题．20.答案：解：，由题意可得，，故，，，由可得，故函数单调递增区间，由可得，故函数单调递减区间，证明：由可知在上单调递增，在单调递减，故，即，故，当且仅当时取等号，，，，，，因为，所以，令，则，由可得，，故在上单调递增，由可得，，故在上单调递减，所以，即在处取得等号，，由于取等条件不同，所以．解析：先对函数求导，然后结合极值存在的条件可求a及单调区间；结合的结论可得，然后对不等式进行合理的放缩，构造函数，结合导数可证．本题主要考查了函数极值存在条件的应用及利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．21.答案：解：由题意可得，不妨设A在第一象限，当时，，，所以，所以，所以抛物线的方程为；设直线l：，，，由可得，所以，，所以，所以圆M的半径，又，，所以，所以圆M的方程为，即，假设存在点E满足，则E在以OD为直径的圆N上，所以，圆N的半径，若，两圆的圆心距，因为，所以圆M与圆N内切，有一个交点，当时，D，E重合，，即对任意的k，圆M上存在点E，使得．解析：求得F的坐标，求得，解方程可得p，可得所求抛物线方程；设直线l：，，，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得圆M和圆N的方程，讨论k是否为0，运用圆心距判断两圆相切，即可判断．本题考查抛物线和圆的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用韦达定理，考查方程思想、分类讨论思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：的方程为，根据转换为极坐标方程为，即．曲线C的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．由于得到，由于得到：，所以，当或时，的最大值为．解析：直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质应用求出结果．本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：是奇函数，，即．当时，．满足，为奇函数，故，此时．当时，成立；当时，由，得，即；当时，不等式不成立．不等式的解集为；证明：由，得，即，则，由柯西不等式得：，即，则．当且仅当，时等号成立．解析：由函数的奇偶性求得m值，得到函数解析式，写出分段函数，分类求解得答案；由分段函数解析式得到函数最大值，可得，然后利用柯西不等式证明．本题考查绝对值不等式的解法，训练了柯西不等式的用法，是中档题．。
福建省厦门市2020届高三毕业班(6月)第二次质量检查(文科)数学试题 Word版含解析
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,2,3A =，{}2B x x =≥，则R A
B =( ) A. {}1 B. {}1,2 C. {}1,3 D. {}2,3 【答案】A
【解析】
【分析】 求出集合
B R ，利用交集的定义可求得集合R A B . 【详解】
{}2B x x =≥，则{}2R B x x =<，又{}1,2,3A =，因此，{}1R A B =. 故选：A. 【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.
2.已知复数1z i i =++（i 为虚数单位），则z =( )
A. 12i -+
B. 12i -
C. 2i - 2i 【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意可求得2z i =+，进而求得2z i =，得到答案. 【详解】221112z i i i i =++=+=
, 所以2z i =-，
2z i =，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的模，共轭复数，属于基础题目.
3.已知向量()2,1a =，()1,b m =，且a b ⊥，则b =( )。
2020届福建省厦门市高三下学期5月二模考试数学(理)试卷及解析
2020届福建省厦门市高三下学期5月二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡和试卷的指定位置上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位,复数z 满足(1)2i z i +=,则复平面内与z 对应的点在（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】利用得数的除法运算化简复数z ,再利用复数的几何意义,即可得答案； 【详解】(1)2i z i +=,∴22(1)112i i i z i i -===++, ∴复平面内与z 对应的点在第一象限,故选：A.2. 已知集合{|12}A x x =<<,集合{|B x y ==,若A B A =,则m 的取值范围是（ ）．A. (0,1]B. (1,4]C. [1,)+∞D. [4,)+∞ 【答案】D【解析】根据A B A =可得A B ⊆,从而得到关于m 的不等式,解不等式即可得答案； 【详解】A B A A B ⋂=⇒⊆,{|12}A x x =<<,∴B ≠∅,∴0m ≥,∴{|{|B x y x x ===≤≤,∴1,2,⎧≤-⎪≥,解得：4m ≥, 故选：D.3. 已知双曲线C经过点,其渐近线方程为y =,则C 的标准方程为（ ）． A. 2213x y -= B. 2213y x -= C. 2213x y -= D. 2213y x -= 【答案】D【解析】 根据双曲线的渐近线方程可设其方程为22(0)3y x λλ-=≠,再根据双曲线过点,可求出λ的值,即可得到答案； 【详解】双曲线的渐近线方程为y =,∴设双曲线的方程为：22(0)3y x λλ-=≠, 双曲线C经过点,∴231λλ-=⇒=-,∴双曲线的方程为：2213y x -=, 故选：D.4. “cos20θ=”是“sin cos θθ=”的（ ）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由二倍角公式对条件变形得cos sin θθ=或cos sin θθ=-,再通过充分必要条件的定义,即可得到答案；【详解】22cos 20cos sin cos sin θθθθθ=⇔=⇔=或cos sin θθ=-,。
2020届福建省厦门市高三(6月份)高考数学(理科)模拟试题及答案解析
2020届福建省厦门市高三（6月份）高考数学（理科）模拟试题一、单选题1．复数2i等于（ ） A ．2i -B ．2iC ．2D ．2- 2．设,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；②若l 上有两个点到α的距离相等，则l α；③若l α⊥，l β∥，则αβ⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥.其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占25，35的份额，出厂时已知两种品种腊肉亚硝酸盐超标的概率分别为110，19.现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为（ ）A ．875B ．1990C ．125D ．1154．若直线//a 平面α，//a 直线平面β，b αβ=，则（ ） A ．//a b 或a 与b 异面B ．//a bC ．a 与b 异面D ．a 与b 相交 5．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（ ）． A ．1B ．4C ．7D ．15 6．已知函数(),0,sin ,? 0.x x f x x x >⎧=⎨≤⎩则下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 不是周期函数 B ．()f x 在2π⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦，上是增函数 C ．() f x 的值域为[)1,∞-+ D ．()f x 的图象上存在不同的两点关于原点对称7．函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞8．已知0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．设A ={x|x 2−x −2<0},B ={0,a},若A ∩B =B ,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−1，2)B ．C ．(−∞,−1)∪(2,+∞)D ．(0，2)10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()2222132243354201720192018a a a a a a a a a a a a ----=（ ）A ．1B ．2019C ．1-D ．2019-11．经过椭圆22x 2y 2+=的一个焦点作倾斜角为45的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ⋅等于( )A ．3-B ．13±C ．13-D ．12- 12．定义在上的函数是减函数，且函数的图像关于原点中心对称，若满足不等式，其中，则当时，的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．已知A 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点，B 1,B 2分别为虚轴的两个端点，F 为右焦点，若B 2F ⊥AB 1，则双曲线C 的离心率是__________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若24S ,4S ,32S -成等差数列,且232a a +=,则6a 的值是_______．15．已知向量a =（2，1），=（－1，2），若a ，在向量上的投影相等，且（－a ）（－）=－，则向量的坐标为_______ . 16．某篮球队有12名队员，其中有6名队员打前锋，有4名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为3名前锋，2名后卫，则不同的出场阵容共有______种．三、解答题17．2020年春节期间，新型冠状病毒（2019﹣nCoV ）疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城．共克时艰，为疫区助力．我国S 省Q 市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送湖北省H 市．（1）现对100家商家抽取5家，其中2家来自A 地，3家来自B 地，从选中的这5家中，选出3家进行调研．求选出3家中1家来自A 地，2家来自B 地的概率．（2）该市一商家考虑增加先进生产技术投入，该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量．现用以往的先进技术投入x i （千元）与月产增量y i （千件）（i ＝1，2，3，…，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y a =+46.6563 6.8x y t ===，，，()821 289.9i i x x =-=∑，()8211.6i i t t=-=∑，()()81 1469i i i x x y y =--=∑，()()81 108.8i i i t t y y =--=∑，其中，i t =811 8i i t t ==∑，根据所给的统计量，求y 关于x 回归方程，并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量． 附：对于一组数据（u 1，v 1）（u 2，v 2），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121 ni ii n i i u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑， 18．已知函数()22xf x e ax a =--，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()12111x x ++<.19．选修4-5：不等式选讲若0a >， 0b >， 4a b ab +=.（Ⅰ）求a b +的最小值；（Ⅱ）当a b +取得最小值时， a ， b 的值满足不等式22x a x b t t -+-≥-对任意的x R ∈恒成立，求t 的取值范围.20．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）点()00,P x y 为抛物线C上一点，且(02y ∈-+，求PAB ∆面积的最大值. 21．ABC 的内角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，已知(2)cos cos c a B b A -=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 面积的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线2C的参数方程为11x y φφ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 的交点分别为,,(20)A B M ，，求22MA MB +的最大值及此时直线1C 的倾斜角.23．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知A 1B 1＝B 1C 1＝l ，∠A l B l C 1＝90°，AA l ＝4，BB l ＝2，CC l ＝3．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面A 1B 1C 1；（2）求二面角B —AC —A 1的大小；（3）求此几何体的体积．【答案与解析】1．A给复数的分子分母同乘以i ，化简即可2222i i i i==- 故选：A此题考查复数的运算化简，属于基础题2．D根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个命题分别进行判断，得到答案.命题①，若αβ⊥，βγ⊥，则平面α和平面γ可能平行，也可能相交，所以不正确；命题②，若l 上两个点A 、B 满足线段AB 的中点在平面内，则A 、B 到α的距离相等，但l 与α相交，所以不正确；命题③，因为l β∥，则在平面内β内一定存在一条直线m ，满足m l ，因为l α⊥，所以m α⊥，而m β⊂，所以αβ⊥，所以正确；命题④，如图，在平面内γ内任取一点P ，过P 作1PA l ⊥于A ，2PB l ⊥于B ，因为1l αγ=，αγ⊥，PA γ⊂，所以PA α⊥，而l α⊂，所以PA l ⊥，同理，PB l ⊥，而,PA PB γ⊂，PAPB P =，所以l γ⊥，所以正确.故选：D.本题考查空间中线面关系命题的判断，面面关系命题的判断，属于简单题.3．A分别求出该块亚硝酸盐超标的腊肉来自甲、乙品牌的概率，相加即可得到所求事件的概率. 设一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，该块腊肉来自甲品牌且亚硝酸盐超标为事件A ， 该块腊肉来自乙品牌且亚硝酸盐超标为事件B ，则211()51025P A =⨯=， 311()5915P B =⨯=，则所求概率为()()P A P B +=875. 故选：A本题考查互斥事件的概率，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．B过a 作平面γ交平面α于c ，过α作平面ε交平面β于d ，通过线面平行的性质定理、判定定理、平行公理可以判断出,a b 的位置关系.如图，过a 作平面γ交平面α于c ，过α作平面ε交平面β于d ，因为//a α，所以//a c . 因为//a β，所以//a d .所以//c d ，又,c d ββ⊄⊂，所以//c β，又,c b ααβ⊂⋂=，所以//c b ，所以//a b . 故选：B本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了平行公理，考查了推理论证能力.5．D∵n ，n a ，n S 成等差数列，∴2n n a n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =，当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+，∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a +=，∴21n n a =-，∴442115a =-=，故选D6．D函数的图像如下图所示：由图可知，选项A 、B 、C 正确，对于D 选项，当02x π<<时，x>sinx,当2x π≥时，-1≤sinx≤1，而x>1,所以x>sinx,∴当x>0时，y=sinx 与y=x 无交点.故f(x)的图像上不存在不同的两点关于原点对称，所以选项D 错误.故选D.7．B将()()121233f x f x x x ->-恒成立，变形为()()112233f x x f x x ->-恒成立，可构造函数()()3g x f x x =-，有()g x 单调递增，则()0g x '≥恒成立，从而求得a 的取值范围.对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则()()112233f x x f x x ->-恒成立，即令()()3g x f x x =-，则()g x 单调递增，则2()330g x x a '=+-≥恒成立，则233a x -≥-恒成立，得30-≥a ，则3a ≥.故选：B本题考查了构造函数的思想，函数单调性与导函数的关系的应用，属于中档题.8．D分析得到1,01,0a b c ><<<，即得解.由题得0.40331a =>=， 300.40.41b <==，且300.4b =>.0.40.4log 3log 10c =<=.所以c b a <<.故选：D本题主要考查指数对数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B试题分析：由题意A ={x|−1<x <2}，因为A ∩B =B ，所以a ∈A ，又a ≠0，所以−1<a <2且a ≠0，故选B ．考点：集合的运算，集合的概念．10．A计算部分数值，归纳得到2211,1,n n n n a a a n ++⎧-=⎨-⎩为奇数为偶数，计算得到答案. 21321a a a -=；22431a a a -=-；23541a a a -=；24651a a a -=-… 归纳总结：2211,1,n n n n a a a n ++⎧-=⎨-⎩为奇数为偶数 故()()()()22221322433542017201920181a a a a a a a a a a a a ----=故选：A 本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力.11．C 椭圆化标准方程为2212x y +=，求得,,a b c ，设直线方程为1y x =-， 代入椭圆方程，求得交点坐标41(0,1),(,)33M N --，由向量坐标运算求得OM ON ⋅． 椭圆方程为2212x y +=，1,1a b c ===，取一个焦点(1,0)F ,则直线方程为1y x =-，代入椭圆方程得2340x x -=，41(0,1),(,)33M N --， 所以OM ON ⋅13=-，选C. 本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算．一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求．12．C试题分析:定义在R 上的函数是减函数,且函数的图象关于原点中心对称,故为奇。