高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷
人教版数学高二选修2-1课后训练 2-2-1 椭圆及其标准方程
04课后课时精练一、选择题1．命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：∵乙⇒甲且甲D ⇒/乙， ∴甲是乙的必要不充分条件． 答案：B2．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F 在BC 上，则△ABC 的周长是( )A. 23B. 6C. 4 3D. 12解析：可知a ＝3，由椭圆的定义得|BF |＋|BA |＝|CF |＋|CA |＝2a ＝23，∴(|BF |＋|CF |)＋|BA |＋|CA |＝|BA |＋|CA |＋|BC |＝43，即△ABC 的周长为43，故选C.答案：C3. 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为( )A. x 213＋y 212＝1B. x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C. x 213＋y 2＝1D. x 213＋y 2＝1或x 2＋y213＝1解析：显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中的标准方程应有两种情况，所以排除A 和C ，又由于a 2＝13，c 2＝12，∴b 2＝1.答案：D4．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2D ．－1<a <1解析：由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2. 答案：A5．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形解析：由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 由题可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴△PF 1F 2为直角三角形． 答案：D6．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1.∵焦点在y 轴上，∴2k >2且k >0，∴0<k <1.答案：D 二、填空题7．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．解析：由已知椭圆的方程得a ＝23，b ＝3，c ＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由于焦点F 1和F 2关于y 轴对称， ∴PF 2必垂直于x 轴．∴P (3，32)或P (3，－32)，|PF 2|＝32， |PF 1|＝2a －|PF 2|＝732. ∴|PF 1|＝7|PF 2|.答案：78．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |＝(2a －|F 2A |)＋(2a －|F 2B |)＝4a －(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8.答案：89．M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．解析：|MF 1|＋|MF 2|＝2a .|MF 1|·|MF 2|≤(|MF 1|＋|MF 2|2)2＝a 2＝9. 答案：9 三、解答题10．已知圆A ：x 2＋(y ＋6)2＝400，圆A 内一定点B (0,6)，圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程．解：设动圆C 的半径为r ，则|CB |＝r . ∵圆C 与圆A 内切，∴|CA |＝20－r . ∴|CA |＋|CB |＝20.又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∵2a ＝20,2c ＝12，∴a ＝10，c ＝6，b 2＝64. 又∵A 、B 在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为y 2100＋x 264＝1. 11．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.12. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点． (1)若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程．解：(1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A (1，32)在椭圆上，因此122＋(32)2b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即(x ＋12)2＋4y 23＝1，此即为所求的轨迹方程．。
高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷
高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷一．选择题1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是 .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在2.若方程m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A.(-16，25)B.(29，25) C.(-16，29) D.(29，+∞) 3．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．516B ．566C ．875D ．8774. 参数方程 θ=cos x 4 （θ为参数）表示的曲线是（ ） θ=sin y 3A. 以()07,±为焦点的椭圆 B. 以()04,±为焦点的椭圆C. 离心率为57的椭圆 D. 离心率为53的椭圆 5、已知M 是椭圆14922=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）A 、4B 、6C 、9D 、126．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．41B ．22C ．42 D ． 217．椭圆221123x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF 的 （ A ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 8．在椭圆13422=+y x 内有一点P（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ） A ．25 B ．27 C ．3D ．4二．填空题8．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．9．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为 ．10．已知直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是___________11．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．三．解答题13、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1，（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长14．设点P 在椭圆2214x y +=上，求P 到直线20x y -+=的距离的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值时P 点的坐标。
人教版高中数学选修2-1第二章《椭圆》同步测试题(含答案)
第二章《2.1椭圆》同步测试题一、单选题1．设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．2．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ））A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >3．已知F 1、F 2为椭圆221259x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若2212F A F B +=，则|AB |= ( )A ．6B ．7C ．5D ．84．“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若过椭圆22142x y +=内一点()1,1P 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A ．210x y -+=B ．230x y --=C ．230x y +-=D ．230x y ++=610=的化简结果为（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=7．椭圆2212516x y +=的焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积是（ ）.A B C ．D ．8．已知1F ）2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2C ．12D 19．已知椭圆22182x y +=左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，则22||||AF BF +的最大值为） ）A ．B ．C ．D ．10．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．(0,2B ．[2C ．(0,2D ．211．已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA⋅的取值范围是（ ）A ．2[,9]3B ．[1,9]C ．2[,1]3D ． 12．已知1F ）2F 是椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题13．焦点在x 轴上，短轴长等于16，离心率等于35的椭圆的标准方程为________． 14．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点(4,0),(4,0)A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，sin sin sin A C B +=_____________ 15．在ABC ∆中，(2,0),(2,0)B C -，ABC ∆的周长为10，则A 点的轨迹方程为________.16．已知直线l 与椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>相切于第一象限的点00(,)P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ︒∠=(1F 、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠的平分线的长度为3a ，则实数m 的值是__________．三、解答题17．求椭圆22981x y +=的长轴长和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标.18．已知椭圆2222x y C 1a b ：+=()0,0a b >>的离心率为32，短轴长为4））1）求椭圆的标准方程；）2）已知过点P）2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.19．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点2,1)M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)作斜率为2直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的长．20．设点M 是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一动点，椭圆的长轴长为4√3，离心率为√63. (1)求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线l 1:x +y −5=0距离的最大值.21．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ，（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()0,1A ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．参考答案1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．D 9．D 10．B 11．A 12．D13．22110064x y += 14．54 15．221(0)95x y y +=≠ 16．52 17． 解：椭圆22981x y +=化为标准方程：221981x y +=.其中：9,3,a b c ====且焦点在y 轴上. 长轴长:218a =） 短轴长:26;b =离心率:3c a =; 焦点坐标:(0,±;顶点坐标:() 0,93,0.、（）±± 18．解：（1）c e a ==2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y +=（2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=） 19．解：（1）2c e a ==，又222a b c =+， 222a b ∴=，即椭圆方程是222212x yb b+=，代入点)M,可得222,4b a ==，。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-2椭圆的几何性质
2.2.2椭圆的几何性质一、选择题1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15[答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B. 2．已知椭圆C ：x 2a 2y 2b 2＝1与椭圆x 24＋y 28＝1有相同的离心率，则椭圆C 的方程可能是( )A.x 28＋y 24＝m 2(m ≠0) B.x 216＋y 264＝1 C.x 28＋y 22＝1 D ．以上都不可能[答案] A[解析] 椭圆x 24＋y 28＝1中，a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，即a ＝22，c ＝2，离心率e ＝c a ＝22.容易求出B ，C 项中的离心率均不为此值，A 项中，m ≠0，所以m 2>0，有x 28m 2＋y 24m 2＝1，所以a 2＝8m 2，b 2＝4m 2.所以a ＝22|m |，c ＝2|m |，即e ＝c a ＝22. 3．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相同的长轴长[答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1. 因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22，e 2＝12＝e 1＝22， 故离心率相等，选C.4．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.32 [答案] D[解析] 由△ABF 1为等边三角形，∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 5．我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22·|AB |·|BF |＝a 2＋b 2－(a ＋c )22·|AB |·|BF |＝(2＋5－12)a 2－(1＋5－12)2a 22·|AB |·|BF | ＝(5＋32－5＋32)a 22·|AB |·|BF |0， ∴∠ABF ＝90°，选C. 6．椭圆x 2－m ＋y 2－n＝1(m <n <0)的焦点坐标分别是( ) A ．(0，－m ＋n )，(0－m ＋n )B ．(n －m ，0)，(－n －m ，0)C ．(0，m －n )，(0，－m －n )D ．(m －n ，0)，(－m －n ，0)[答案] B[解析] 因为m <n <0，所以－m >－m >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝(－m )－(－n )＝n －m ，故焦点坐标为(n －m ，0)，(－n －m ，0)，故选B.7．(2010·福建文，11)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C[解析] 本题主要考查椭圆和向量等知识．由题易知F (－1,0)，设P (x ，y )，其－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2 当x ＝2时，(OP →·FP →)max ＝6.8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A.12B.13C.14D.22 [答案] A[解析] 由题意知a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12. 9．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能[答案] A[解析] 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2. 10．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( ) A.33 B.23 C.22 D.32[答案] A[解析] 如图，△ABF 2为正三角形，∴|AF 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＋|AF 1|＝2a ，3|AF 1|＝|F 1F 2|.∴|AF 1|＝23，又|F 1F 2|＝2c ， ∴23a 2c ＝13. ∴c a ＝33.故选A. 二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径的圆过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0过P 作圆的两切线又互相垂直，则离心率e ＝________. [答案] 22 [解析] 如图，切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a＝22.12．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．[答案] 53[解析] 易知直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，与椭圆方程联立解得A (0，－2)，B ⎝⎛53，43，故S △ABC ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×2＋12×1×43＝53. 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[答案] 8[解析] 由椭圆的第一定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝4a ＝20⇒|AB |＝20－12＝8.14．在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________.[答案] 12[解析] 设|AC |＝3x ，|AB |＝4x ，又∵∠A ＝90°，∴|BC |＝5x ，由椭圆定义：|AC |＋|BC |＝2a ＝8x ，那么2c ＝|AB |＝4x ，∴e ＝c a ＝4x 8x ＝12. 三、解答题15．已知点P 在以坐标轴为对称轴，长轴在x 轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为43和23，且点P 与两焦点连线所张角的平分线交x 轴于点Q (1,0)，求椭圆的方程．[解析] 根据题意，设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵|PF 1|＝43，|PF 2|＝23，∴2a ＝63，即a ＝33，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF 1| |P F 2|＝|F 1Q | |Q F 2|＝2 1，即c ＋1＝2(c －1)，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝18，故所求椭圆方程为x 227＋y 218＝1. 16. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2＝90°，求证：椭圆的圆心率e ≥22. [证明] 证法一：∵P 是椭圆上的点，F 1、F 2是焦点，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，由①2，得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2(a 2－c 2)，②由①和②，知|PF 1|，|PF 2|是方程z 2－2az ＋2(a 2－c 2)＝0的两根，且两根均在(a －c ，a ＋c )之间． 令f (z )＝z 2－2az ＋2(a 2－c 2)则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0f (a －c )>0f (a ＋c )>0可得(c a )2≥12，即e ≥22. 证法二：由题意知c ≥b ，∴c 2≥b 2＝a 2－c 2∴c 2a 2≥12，故e ≥22. 17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．[解析] ∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2.与x ＋2y ＋8＝0联立消去y 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a 2)]． ∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 18．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)的一条直线与椭圆交于A ，B 两点，如果弦AB 被M 点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．[解析] 设所求直线存在，方程y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k 2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.又k ＝－12时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x ＋2y －4＝0.。
高中数学选修2-1《椭圆》综合练习含答案
椭圆一、以考查知识为主试题 【容易题】1．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（ ） （A ）－21 （B ）21 （C ）1925-或21 （D ）1925或21【答案】C2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x236＋y216＝1 B.x216＋y236＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x24＝1 【答案】A3. 若焦点在x 轴上的椭圆x22＋y2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3 B.32 C.83 D.23【答案】B4. 已知1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点,点B 为其短轴的一个端点,若12BF F ∆为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )AB ．12C ．2D 【答案】B5. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 （ ）A.1B.2C.2D.22【答案】D6. 椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为 （ ） A.3± B.3± C.2± D.34±【答案】A7.过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心e=__ 【答案】328.椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若1AF ，21F F ，B F 1 成等比数列，则此椭圆的离心率为_____________.【答案】559.设F1,F2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________. 【答案】410．已知椭圆22195x y +=的右焦点为F , P 是椭圆上一点，点(0,A ，当点P 在椭圆上运动时， APF ∆的周长的最大值为____________ . 【答案】1411．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为__________．【答案】312．设 ， 为椭圆 ：的焦点，过 所在的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，则椭圆 的离心率为__________．13．已知椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，点 在椭圆上，， ，则椭圆的离心率 等于__________．二、以考查技能为主试题 【中等题】14. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________ 【答案】111(,)(,1)32215．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是________ 【答案】416.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5717．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c - =3, 那么椭圆的方程是 ．【答案】191222=+y x18.如图，椭圆C ：(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，是否存在上述直线l 使成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
高中数学选修2—1椭圆测试卷
高中数学选修2-1《圆锥曲线》2.2—2.3阶段训练（椭圆） 时间120分钟 总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A 1B 2C 3 D2 【答案】B 2.已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =A1 B 2 C 3 D2 【答案】B3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 【答案】 D解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 4.椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A 20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C)21,1⎡-⎣ D 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C.52 D.51【答案】B6.若点O 和点F 分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则O P FP的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 7.椭圆()222210x y a ab+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A （0，22] B （0，12] C[21-，1） D[12，1）【答案】D 8．椭圆141622=+yx上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10【答案】D 9．在椭圆13422=+yx内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27C ．3D ．4【答案】C10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+yx交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21【答案】D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .【答案】1273622=+xy12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 【答案】1101522=+yx13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+yx上的点，则y x +的取值范围是________________ ．【答案】]13,13[-14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________． 【答案】5415．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程____________． 【答案】18014422=+yx或18014422=+xy.三、解答题（本大题共6题，16—18每小题12分，19—21题每小题13分，共75分） 16.已知A 、B 为椭圆22ax +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．【答案】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a58，∴x 1+x 2=a21，即AB 中点横坐标为a41，又左准线方程为ax 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17.过椭圆4:),(148:220022=+=+yx O y x P yxC 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． （1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标； （2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点） 【答案】（1）PBPA PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±）（2）设A （x1，y1），B （x2，y2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x0，y0） 即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB 的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||21000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|m in00==∆MONS y x 时.18.椭圆12222=+by ax (a＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点. （1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.【答案】设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y-=112222=+by ax 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba ax x +=+∴>∆222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab ab ab ac e又由（1）知12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a aa，∴长轴 2a ∈ [6,5].19.一条变动的直线L 与椭圆42x+2y2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【答案】设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x－x 1||x －x 2|=1，也即 |x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++mmx x∵m=y －x ，∴|x2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20.椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分） 【答案】（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a，所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①136272221+-=kk x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y. ③∵0=⋅OQOP ，∴02121=+y y x x. ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k.所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP-=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.21.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
高中数学人教A版选修2-1椭圆测试卷(二)
椭圆（二）一.选择题：（5×12=60分）1.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程221sin cos x y αα+=表示焦点在x 轴上椭圆，则α∈ （ ）A.0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦B.,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线360x y +-=上，则此椭圆的标准方程是 （ ）A.221404x y += B.2213640x y += C.22221140363640x y x y +=+=或 D.2222114043640x y x y +=+=或 3.椭圆2214x ym +=的焦距为2，则m 的值等于 （ ） A.5或3 B.5 C.8 D.164.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 （ ） Ａ.()0,1 Ｂ.()0,5 Ｃ.[)()1,55,+∞U Ｄ.()1,+∞5.过点M(-2 0)的直线l 与椭圆2212x y +=交于1p ， 2p 两点，线段12p p 中点为p ,设直线l 斜 率为11(0)k k ≠,直线op 斜率为2k ，则12k k 等于 （ ） A.2 B.–2 C.12 D.12- 6.已知F 为椭圆222222(b x a y a b a b +=>0)>一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记c 则PQF ∆面积最大值 （ ） A.12ab B.ab C.ac D.bc 7.已知一定圆C 及其内一异于圆心C 的定点A ,过点A 且与圆C 相切的动圆圆心M 的轨迹是（ ）A.直线B.线段C.圆D.椭圆8.已知12,F F 是椭圆221169x y +=两焦点,过2F 的直线交椭圆于,A B 两点且5AB =,则 11AF BF += ( )A.11B.10C.9D.69.已知椭圆221169x y +=左右两焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角 形的三个顶点，则点P 到x 轴距离为 （ ） A.95B.3C.7D.9410.若椭圆22228925100mx y x y +=+=与的焦距相等，则m = （ ）A.9B.11C.9917或 D.91711.把圆229x y +=上每个点横坐标不变，纵坐标缩短为原来14，则所得曲线方程为 （ ）A.221916x y += B.2219144x y +=C.2216199x y +=D.22199x y +=12.给定四条曲线①2252x y +=②22194x y +=③2214y x +=④2214x y +=，其中与直线 0x y +=仅有一个交点的曲线是 （ ）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④二.填空题：（5×4=20分）13.若椭圆对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点；又焦点到同侧长 1，则椭圆的标准方程为14.如图，在AFB ∆中，150AFB ∠=︒,2AFB S ∆=,则以F 为 焦点，A,B 分别为长短轴端点的椭圆方程为 _____ . 15.设F 是椭圆22176x y +=右焦点，且椭圆上至少有21个不同 点(1,2,3,)i P i =L 使123,,,PF PF PF L 组成公差为d 的等差数列，则d 16.过椭圆2244x y +=上一点(0,1)A 的弦AP 的长度的最大值为 .三.解答题：（70分）17.(10分)已知椭圆2214520x y +=的焦点分别是1F ，2F ，过中心O 作直线与椭圆交于A,B 两点.若2ABF ∆的面积是20，求该直线方程.18.(12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，过点(,0)A a 和点(0,)B b -的直线与原点距离为2。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 椭圆2
1.过点⎝⎛⎭⎫25，355且2c ＝8的椭圆的标准方程为________． 解析：由于焦点的位置不确定，故分类求解．答案：x 225＋y 29＝1和10x 229＋33649＋10y 2189＋33649＝12.椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则该椭圆方程是________．解析：椭圆的两个焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)， ∵P 为椭圆上一点，F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝13.设M (－5，0)，N (5，0)，△MNP 的周长是36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________． 解析：由于点P 满足PM ＋PN ＝36－10＝26>10，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且2a ＝26的椭圆(由于P 与M 、N 不共线，故y ≠0)，再利用待定系数法求解．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．解析：方程x 2＋ky 2＝2化为方程x 22＋ky 22＝1，所以0<2k<2，即k >1.答案：k >1[A 级 基础达标]1.椭圆的焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为________．解析：∵焦点为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；点P (3，4)在椭圆上，∴16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，∴椭圆方程为y 240＋x 215＝1.答案：y 240＋x215＝12.若椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点P 到一个焦点的距离为5，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝10，∴PF 2＝10－PF 1＝5.答案：53.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且2b ＝45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36化为标准方程x 24＋y 29＝1，则焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，又因为2b ＝45，则b 2＝20，a 2＝b 2＋c 2＝25，故所求椭圆的标准方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y225＝14.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k 等于____．解析：椭圆5x 2－ky 2＝5化为标准方程y 25－k ＋x 21＝1，则c 2＝5－k －1＝4，解得k ＝－1，满足5－k>1，故k ＝－1. 答案：－15.方程x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎨⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12.故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 6.根据椭圆的方程写出椭圆的焦点坐标：(1)x 225＋y 29＝1；(2)2x 2＋y 2＝1； (3)y 2a 2＋1＋x 2a 2＋5＝1(a ∈R )． 解：(1)由方程知，焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝16，∴c ＝4，故所求椭圆的焦点坐标为(－4，0)，(4，0)．(2)把方程化为标准方程为y 2＋x 212＝1，故焦点在y 轴上，且a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2－b 2＝12， ∴c ＝22，故所求椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，22，⎝⎛⎭⎫0，－22.(3)a 2＋5>a 2＋1，故焦点在x 轴上，且c 2＝(a 2＋5)－(a 2＋1)＝4，∴c ＝2，故所求椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．7.已知△ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)．求顶点B 的轨迹方程．解：设点B 的坐标为(x ，y )，∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即BC ＋BA ＝2AC ＝4.由椭圆的定义知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1；又∵a >b >c ，∴a >c ，∴BC >BA ，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，x <0；又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一条直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧．[B 级 能力提升]8.已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0，2)，则m 的值是________．解析：方程变形为x 26＋y 22m ＝1，∵焦点在y 轴上，∴a 2＝2m ，b 2＝6，又c ＝2且a 2－b 2＝c 2， ∴2m －6＝22，∴m ＝5. 答案：59.已知椭圆的方程为x 2m ＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________．解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ， ∴c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )；当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝m －1，∴c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)．答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)， (－m －1，0)10.(2012·淮安高二检测)若B (－8，0)，C (8，0)为△ABC 的两个顶点，AC 、AB 两边上的中线和是30，求△ABC 重心G 的轨迹方程．解：如图，设CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，则CD ＋BE ＝30，又G 是△ABC 的重心，∴BG ＝23BE ，CG ＝23CD ，∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝23×30＝20.又B (－8，0)，C (8，0)，∴BC ＝16<20＝BG ＋CG ， ∴G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆， ∴2a ＝20，2c ＝16，即a ＝10，c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝102－82＝36，∴G 点的轨迹方程是x 2100＋y 236＝1.11.(创新题)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)．求椭圆C 的方程．解：∵l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b 2＝1，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1。
高中新课标数学选修(2-1)椭圆练习题
椭圆及其标准方程基础卷1．椭圆2211625x y +=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)2．在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22116y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）2211636x y += 5．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）146．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。
高中数学人教A版选修2-1高二同步练习——椭圆.docx
高二同步练习——椭圆一、选择题1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．22 B 21-．22D 21 3．设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u r u u u r 且1OQ AB =u u u r u u u r g ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>> 4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 5．设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要二、填空题6．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．8．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .9．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ;三、解答题10．椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=34,,| P F 2|=314. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。
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高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷
一．选择题
1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是
.A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在
2.若方程m x -252+m
y +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A.(-16，25)B.(29，25)C.(-16，29)D.(2
9，+∞) 3．已知P 是椭圆136
1002
2=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ ）
A ．516
B ．566
C ．875
D ．8
77
4. 参数方程 θ=cos x 4（θ为参数）表示的曲线是（ ）
θ=sin y 3
A. 以()
07,±为焦点的椭圆 B. 以()04,±为焦点的椭圆 C. 离心率为
57的椭圆 D. 离心率为5
3的椭圆 5、已知M 是椭圆1492
2=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）
A 、4
B 、6
C 、9
D 、12
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为
（ ）
A ．41
B ．22
C ．42
D ． 21 7．椭圆 22
1123
x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF 的 （ A ）
A ．7倍
B ．5倍
C ．4倍
D ．3倍
8．在椭圆13
42
2=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是
（ ） A ．25 B ．2
7 C ．3 D ．4 二．填空题
8．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．
9．点是椭圆
上一点，是其焦点，若，则的面
积为． 10．已知直线1y kx =+与椭圆22
15x y m
+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是___________
11．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则
的最大值为______________，最小值为___________．
三．解答题
13、斜率为1的直线与双曲线122
2=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1，
（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长 14．设点P 在椭圆2
214
x y +=上，求P 到直线2320x y -+=的距离的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值时P 点的坐标。
15．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与
x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；
高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷答案
一．选择题：CBBAC DAC
二．填空题
8．
9． 10. m 大于等于1且不等5
11．， 三．解答题
13.(1)y=x+1 (2)AB=62
14.略解1：设[)2cos ,sin ,0,2p p x y θθθπ==∈，P ∴到此直线的距离
3222sin()2cos 2sin 32455d π
θθθ---+==
当34
πθ=
时，min ,5d =此时P
点的坐标为(2， 当74πθ=
时，max d =P
点的坐标为2⎫-⎪⎪⎭ 略解2
：设平行于20x y -+=的直线方程为20x y c -+=
由222014
x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得222240x cx c ++-=。
由0∆=
，得c =±
当c =
P (
，此时min d =；
当c =-
2P ⎫-⎪⎪⎭
，此时max d = 15.[解析]：（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(1222
2>=+a y a x .由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a ，所以椭圆的方程为12
622=+y x ，离心率36=e . （2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,1262
2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3
636<<-k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ①1
36272221+-=k k x x . ②，由直线PQ 的方程得 )3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③
∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④，由①②③④得152=k
，从而)36,36(55-∈±=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .。